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• Leo Rivera

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C A P I T U L O III

DISTRIBUCION GRANULOMETRICA 1.- GENERALIDADES

La respuesta de una partícula al procesamiento de minerales, en un alto grado, esta influenciada por su tamaño, forma y distribución de tamaños (Figura 1). De las características de las partículas, la distribución por tamaños juega un papel importante en las operaciones de trituración, molienda, concentración y separación sólido líquido. En cada una de estas etapas las partículas se encuentran en un amplio rango de tamaños además de tener formas diferentes por lo cual su caracterización generalmente presenta dificultades. La forma, o más propiamente, la superficie que presenta la partícula, tienen una marcada influencia en el procesamiento de minerales a través de los Figura 1. Procesamiento de minerales en función del tamaño de partícula. siguientes efectos: 1. Retardo por fricción entre partículas 2. Transferencia de calor de o hacia una partícula 3. Reacciones estequiométricas 4. Reacciones químicas superficiales 5. Formación de películas en las superficies de las partículas 6. Modificación del medio fluido por efecto de la suspensión de (viscosidad del fluido)

las

partículas

La representación del área superficial de un infinito número de formas y tamaños, por algún método estadístico, es una parte importante del procesamiento de minerales. Para este propósito existen variados métodos de medición de tamaño de partículas y diversos métodos de interpretación de los mismos. 2.- TAMAÑO Y FORMA DE LA PARTICULA Se denomina como partícula a aquella unidad física individual que describe el estado de subdivisión de la materia y en concentración de minerales, una partícula es aquella unidad discreta de materia que constituye una unidad de trabajo.

2

2.1.- TAMAÑO El tamaño de una partícula es una dimensión representativa que describe el espacio que ocupa. Para definir el tamaño de una partícula se puede utilizar una dimensión lineal como el diámetro, también el tamaño se puede caracterizar por su área o volumen en base al uso de factores de forma que permiten la transformación de una medida a otra, sin embargo, la medida mas común para determinar el tamaño de cuerpos irregulares es a través de la cuantificación de una serie de “diámetros equivalentes”, de esta manera, el diámetro equivalente volumétrico de una partícula es el diámetro de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula y el diámetro equivalente superficial, de una partícula es el diámetro de una esfera que tiene la misma superficie que la partícula. 2.2.- FORMA La forma de una partícula esta relacionado con su figura externa. En el campo de procesamiento de minerales la gran mayoría de las partículas mineralizadas, generalmente no tienen formas regulares y uniformes, lo cual hace necesario establecer un parámetro, denominado como factor de forma, para describir la forma de las partículas mineralizadas. Un factor de forma muy utilizado es el que relaciona la variable de tamaño (volumen) con otra variable tal como la dimensión lineal. El concepto de factor de forma viene del hecho de que para partícula de forma regular, el área superficial es proporcional a una dimensión lineal al cuadrado ( a  d 2 ) y el volumen es proporcional a una dimensión lineal al cubo ( v  d 3 ). Así, tanto el área superficial ( a ), como el volumen ( v ) están relacionados a una dimensión lineal ( d ), es decir: a  c2 d 2 v  c3 d 3

Donde:

c 2 = Factor de forma superficial c 3 = Factor de forma volumétrico

Los valores de c2 y c3 para algunas partículas de geometría simple son: Cubo

Area = 6.d 2 Volumen = d 3

c2  6 c3  1

Esfera

Area =  .d 2 Volumen =  .d 3 / 6

c2  6 c3  1

c2 6 c3 c2 6 c3

De manera similar, para cuarzo triturado los valores experimentales de c2 y c3 son: Tamaño promedio

30

110

490

830

890

3

c2 c3 c2 / c3

2,10 -

2,20 -

2,50 0,27 9,30

2,50 -

2,50 0,50 16,70

De donde se deduce que la forma de una partícula para un determinado material depende de su tamaño y se puede observar que para partículas pequeñas la forma superficial de las mismas es aproximadamente constante Otro factor utilizado en concentración de minerales (en movimiento de partículas en fluidos) es la denominada esfericidad (  ) que se define como:  

Area . sup erficial.de.una.esfera.de.volumen.igual .al.de.la. particula Area . sup erficial.de.la. paticula

Para el caso de partículas de oro se utiliza el factor de Corey, cuya ecuación es: FACTOR .DE.COREY 

T L.B

Donde:

T = Espesor de partícula L = Largo de partícula B = Ancho de partícula

3. MEDICIÓN DE TAMAÑOS Las técnicas son clasificadas de acuerdo a las mediciones físicas utilizadas para caracterizar el “tamaño” de las partículas. Estas son: Medición mediante microscopio: es una medición de la partícula (largo y ancho) utilizando la escala del ocular del microscopio o una foto micrografía. Se toma en cuanta un promedio de varias mediciones. En tamización: el tamaño es igual a la abertura de una malla cuadrada de un tamaño estándar, la cual retiene a la partícula. Este es el método mas antiguo y el mas utilizado para determinar la distribución por tamaños. La tamización se realiza en un recipiente circular cuyo extremo inferior esta conformada por una tela de alambre tejido o plancha perforada cuyas aberturas tienen la misma forma y tamaño (Figura 2).

4

Cuando se coloca una muestra de partículas con población de diferentes tamaños sobre un tamiz y luego esta es sacudida, las partículas de menor tamaño a la abertura del tamiz pasan a través de esta (paso) y las de mayor tamaño quedan encima del tamiz (rechazo), lográndose de esta manera la separación del conjunto de partículas en dos intervalos de diferente tamaño. Figura 2.- Operación de tamización Un sistema de partículas con un rango amplio de tamaños, solo se puede describir mediante el uso de funciones estadísticas. De estas distribuciones es posible derivar una estimación de tamaño, superficie y volumen promedio del sistema. Para que las comparaciones sean validas, así como para facilitar el intercambio de información en el área de procesamiento de minerales, se ha confeccionado una ESCALA DE TAMAÑOS ESTANDAR. De la experiencia se ha encontrado que la escala más satisfactoria es aquella en la cual los tamaños sucesivos forman una progresión geométrica, donde el punto de referencia es 74 micrones (0.074 mm.) que equivale a la abertura de una malla 200 de alambre tejido. De la progresión geométrica se deduce que la razón de su equivalencia progresiva dentro de la escala estándar es 2 Esto significa que el área de cualquier tamiz, en la serie, es el doble que el del tamiz inmediatamente inferior, pero solo 1/2 del área de tamiz inmediatamente superior a ella en la serie. Entonces, el tamaño de las partículas se asocia a la abertura de la malla de los tamices. Se define como malla el número de aberturas que tiene un tamiz por pulgada lineal. Mientras mayor es el número de la malla, menor es el tamaño de las aberturas (Figura 3). La escala estándar correspondiente a los tamices U.S. Standard, son completamente concordantes con la serie de mallas Tyler. La diferencia radica en que los tamices U.S.Standard son designados mediante una identificación de mm. o micrones y los de la Figura 3.- Relación de abertura del tamiz con serie Tyler son designados con la identificación el numero de malla Tyler de malla (Tabla 1).

5

TABLA 1. Abertura Nominal (Pulg.)

NUMERO DE MALLAS EN LAS SERIES DE TAMICES ASTM Y TYLER T Y L E R

Malla:

Abertura

;

Serie

Pulg.

mm.

A.S.T.M. ESTÁNDAR

Malla: Serie

Diámetro Alambre (Pulg.)

ABERTURA

MALLA

Pulg.

mm.

Diámetro Alambre (Pulg.)

% Toleran. (± a)

3

......

2.97

……

……

0.207

……

3.00

76.2

0.19 a 0.32

2

2

……

2.10

……

……

.0192

……

2.00

50.8

0.16 a 0.245

2

1½

……

1.48

……

……

0.165

……

1.50

38.1

0.145 a 0.210

2

1

……

1.050

26.67

……

0.148

……

1.00

0.135 a 0.177

3

7/8

……

0.883

22.43

……

0.135

……

0.8

25.4 5 22.2

0.127 a 0.166

3

3/4

……

0.742

18.85

……

0.135

……

0.750

19.1

0.122 a 0.154

3

5/8

……

0.624

15.85

……

0.120

……

0.625

15.9

0.108 a 0.135

3

1/2

……

0.525

13.33

……

0.105

……

0.500

12.7

0.094 a 0.122

3

7/16

……

0.441

11.20

……

0.105

……

0.438

11.1

0.088 a 0.112

3

3/8

……

0.371

9.423

……

0.092

……

0.375

9.52

0.083 a 0.102

3

5/16

……

0.312

7.925

2½

0.088

……

0.312

7.93

0.073 a 0.093

3

1/4

3

0.263

6.680

3

0.070

3

0.250

6.35

0.063 a 0.083

3

3½

0.223

5.66

0.050 a 0.075

3

5,660

……

0.021

5.613

3½

0.065

4

0.187

4.76

0.045 a 0.066

3

4,760

4

0.185

4.699

4

0.065

5

0.157

4.00

0.039 a 0.058

3

0.156

3.962

5

0.044

6

0.132

3.36

0.034 a 0.052

3

7

0.111

2.83

0.031 a 0.047

3

Micrón

4,000 3,360

6

0.131

3.327

6

0.036

2,830

……

0.110

2.794

7

0.0378

2,380

8

0.093

2.362

8

0.032

2,000

…

0.078

1.981

9

0.033

1,680

10

0.065

1.651

10

0.035

1,410

……

0.055

1.397

12

0.028

1,190

14

0.046

1.168

14

0.025

1,000

……

0.039

0.991

16

0.0235

840

20

0.0328

0.833

20

0.0172

710

……

0.0276

0.701

24

0.0141

590

28

0.0232

0.589

28

0.0125

500

……

0.0195

0.495

32

0.0118

420

35

0.0164

0.417

35

0.0122

350

……

0.0138

0.351

42

0.0100

297

48

0.0116

0.295

48

0.0092

250

……

0.0097

0.246

60

0.0070

210

65

0.0082

0.208

65

0.0072

177

……

0.0069

0.175

80

0.0056

149

100

0.0058

0.147

100

0.0042

125

……

0.0049

0.124

115

0.0038

105

150

0.0041

0.104

150

0.0026

88

……

0.0035

0.088

170

0.0024

74

200

0.0029

0.074

200

0.0021

62

……

0.0024

0.063

250

0.0016

53

270

0.0021

0.053

270

0.0016

44

……

0.0017

0.044

325

0.0014

37

400

0.0015

0.037

400

0.001

Base = 200 M. = 0,074 mm.;

;

1 mm. = 1000 μm.

8

0.0937

2.38

0.0291 a 0.0433

3

10

0.0787

2.00

0.0268 a 0.0394

3

12

0.0661

1.68

0.0244 a 0.0354

3

14

0.0555

1.41

0.0220 a 0.0315

3

16

0.0469

1.19

0.0197 a 0.0276

3

18

0.0394

1.00

0.0169 a 0.0244

5

20

0.0331

0.84

0.015 a 0.0217

5

25

0.0280

0.71

0.013 a 0.0189

5

30

0.0232

0.59

0.0114 a 0.0165

5

35

0.0197

0.50

0.0102 a 0.0146

5

40

0.0165

0.42

0.0091 a 0.0130

5

45

0.0138

0.35

0.0079 a 0.0114

5

50

0.0117

0.297

0.0067 a 0.0100

5

60

0.0098

0.25

0.0059 a 0.0087

5

70

0.0083

0.21

0.0051 a 0.0074

5

80

0.0070

0.177

0.0045 a 0.0061

6

100

0.0059

0.149

0.0038 a 0.0049

6

120

0.0049

0.125

0.0031 a 0.0041

6

140

0.0041

0.105

0.0025 a 0.0034

6

170

0.0035

0.088

0.0021 a 0.0029

6

200

0.0029

0.074

0.0018 a 0.0024

7

230

0.0024

0.062

0.0015 a 0.0020

7

270

0.0021

0.053

0.0014 a 0.0018

7

325

0.0017

0.044

0.0012 a 0.0016

7

400

0.0015

0.037

0.0009 a 0.0014

7

Base = 18 M. = 1.00 mm ;

;

1mm = 1000μm.

6

La aplicación de la tamización puede efectuarse en el rango de 3” a 38  m y en algún caso extenderse hasta 5  m. Esta operación se puede efectuar en forma manual o mecánico (RO TAP), tanto en seco como en húmedo. En sedimentación: los tamaños se determinan de acuerdo a la velocidad de asentamiento de las partículas en un fluido, para lo cual generalmente se utiliza la ley de Stokes, de acuerdo a la siguiente relación:  18 .v  d st       s   l  .g 

0. 5

Donde:

d st  Diámetro de Stokes  = Viscosidad dinámica del fluido v = Velocidad terminal de la partícula  s y  l = Densidad de la partícula y densidad del líquido  = Cte. (=1 para sedimentación en campo gravitacional; = w2 r / g para sedimentación en campo centrífugo). g = Aceleración de la gravedad.

La ley de Stokes se aplica solo en flujos laminares (Numero de Reynolds < 1). El análisis de tamaños, utilizando esta metodología, se puede efectuar en el rango de 100 a 1  m , y en la practica se recomienda trabajar con pulpas menores a 1 % sólidos en volumen con sedimentación en caída libre. Durante el análisis, las partículas se dejan sedimentar libremente en un recipiente. La concentración de partículas en un determinado nivel fijo o varios niveles de la pulpa en función del tiempo, conjuntamente la ley de Stokes, son utilizados para determinar la distribución por tamaños de la muestra. Medición del área superficial: este método se basa en la adsorción de una monocapa de un gas sobre la superficie de la partícula, de manera que una vez conocida la superficie especifica ( S v ) se calcula el tamaño de las partículas utilizando relaciones matemáticas simples, como el propuesto por Brunauer, Emmet y Teller (Método de la isoterma de BET). Sv 

N . .Vm Mv

Donde:

N = Numero de Abogadro Vm = Volumen monocapa de gas M v = Volumen molar (22,4 lt.)  = Área ocupada por una molécula de gas adsorbida

Luego el diámetro medio volumen-área se puede calcular mediante la siguiente relación: d32 

c2 / c3  p Sv

Donde:

c2 / c3

= Razón de los factores de forma superficial y volumétrico  p = Densidad de la partícula

7

4.- DISTRIBUCION DE TAMANOS Una vez definido el tamaño de una partícula, es necesario cuantificar la frecuencia con que ese tamaño aparece en un sistema particulado. Es decir, la distribución de partículas por tamaños (análisis granulométrico), se refiere a la manera en que las partículas se distribuyen cuantitativamente entre los diversos tamaños de la serie; es una relación estadística entre cantidad y tamaño. Para ello es importante definir la función de densidad (frecuencia) y función de distribución, que gráficamente son similares a las distribuciones de probabilidad. La cantidad f(d) se llama “función de densidad de tamaño de partícula” para un espacio muestral. Físicamente f(d)d(d) es igual a la fracción de partículas de una población que están en el intervalo de tamaño diferencial d a d+d(d). Para encontrar la fracción de partículas cuyo tamaño es menor que d’, se tiene que sumar las fracciones de partículas f(d)d(d) desde el tamaño mínimo (dmin) hasta el tamaño d’. Esta suma se puede lograr integrando la función de densidad. F(d’) =



d'

d min

f(d)d(d)

La función F(d’) denominada “función de distribución” representa la fracción de partículas de la población con tamaño menor a d’. F(d’) puede ser determinado mediante la figura 1b y será igual al área que esta debajo de la curva de la función de densidad entre d min y d’ (área achurada en la figura 1a). De todo esto se puede mostrar que la fracción de partículas entre dos tamaños d a y db (db>da) esta dada por F(db) – F(da), siendo F(dmax) = 1. Una vez conocidas f(d) o F(d) se conoce todo acerca de la distribución de tamaños de la muestra. Cuando experimentalmente es completamente difícil determinar la función de densidad y la función de distribución completas, lo que se hace es distribuir la fracción de partículas en una serie de intervalos discretos de tamaño de partícula. Por ejemplo todo el rango de tamaño de partículas de una muestra dmin a dmax pueden ser dividido en n+1 fracciones discretas utilizando un conjunto de n tamices, y que la fracción de partículas obtenida en el intervalo i (di a di+1) sea fi para i = 1,2,3,4,....n. El conjunto de valores fi determinado de esta menera no caracteriza en forma completa la distribución de tamaños di a di+1, pero a partir de esta información se puede lograr aproximadamente las funciones de densidad y de distribución. La figura 2ª y 2b muestran las funciones de densidad y distribución discreta respectivamente, donde se observa que las aproximaciones discretas reproducen las características esenciales de las funciones continuas. La información de una población de partículas de una muestra se presenta mejor en forma de gráficos, los que se platean de acuerdo a uno o dos de los diversos métodos generales. El de uso mas general es el ploteo de % peso retenido (rechazo) acumulado (ordenada) Vs. Tamaño

8

(abscisa). En figura 3 se muestra la representación del análisis granulométrico de tabla 2. TABLA 2. ANALISIS GRANULOMETRICO DEL PRODUCTO DE MOLINO DE BARRAS.

MALLA TYLER No. + 6# -6+ 8# - 8 + 10 # - 10 + 14 # - 14 + 20 # - 20 + 28 # - 28 + 35 # - 35 + 48 # - 48 + 65 # - 65 + 100# - 100+ 150# - 150+ 200# - 200 # TOTAL

TAMAÑO (Micrones) 3350 2360 1680 1190 850 595 425 300 210 150 105 74

PESO % PESO RECHAZADO RECHAZADO EN LA MALLA (GR) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50 7,50 7,50 7,50 7,50 8,50 8,50 11,00 11,00 14,40 14,40 12,50 12,50 10,30 10,30 7,80 7,80 0,00 0,00 20,00 20,00 100,00 100,00

% PESO ACUMULADO RECHAZO 0,00 0,00 0,50 8,00 15,50 24,00 35,00 49,40 61,90 72,20 80,00 80,00 100,00

El valor de este gráfico acumulativo es muy útil para encontrar los porcentajes que pasaran o serán rechazados por las diferentes mallas utilizadas en el análisis granulométrico; o para

9

encontrar el tamaño de malla que se requiere para dejar pasar o rechazar un determinado porcentaje. 5.- RELACIONES MATEMATICAS GRANULOMETRICA.

QUE

DESCRIBEN

LA

DISTRIBUCION

Para describir la distribución granulométrica de un determinado proceso, existen una diversidad de funciones matemáticas que representan en forma muy aproximada esta distribución de tamaño de partículas. Las relaciones empíricas más utilizadas en el procesamiento de minerales son: Distribución de Gates-Gaudin-Schumann (GGS) Distribución de Rosin-Rammler-Bennett (RRB) Distribución log-normal Distribución Gama Distribución de tres parámetros Funciones vectoriales 5.1.- DISTRIBUCIÓN DE GATES-GODAN-SCHUMANN (GGS)

Es la función matemática de dos parámetros ajustables (experimentales) m y dmax, más utilizada para representar un sistema de partículas en el campo del procesamiento de minerales. Las ecuaciones que definen esta distribución son: Función de densidad d m 1 f (d )  m (d max ) m Función de distribución F (d )  (

d d max

)

Donde:

.m = Modulo de distribución (pendiente de la recta) d = Tamaño de la partícula (  m) dmax = Modulo de tamaño (tamaño teórico máximo de la partícula en la muestra

m

Tomando logaritmos en la ecuación de F(d), se tiene: log (F(d)) = m.log(d) – m.log(dmax) Esta ecuación representa una línea recta con pendiente “m” e intersección = m.log(dmax). Si los datos experimentales de distribución de tamaños son representados por la relación GGS, entonces m y dmax podrán ser determinados a partir de la recta trazada F(d) vs d en papel logarítmico, donde m es la pendiente y dmax es la intersección de la recta con F(d) = 1, leída en el eje de las abscisas (Figura 4). Cuando F(d) = 100, la ecuación de distribución toma la forma de:

10

F ( d )  100.(

d d max

)m

Ejemplo: La distribución granulométrica muestra la carga de alimentación a un molino de bolas: MALLA (MICRONES)

PESO RETENIDO (GR)

1410 1190 841 597 420 297 210 149 105 74 - 74

5.22 18.60 23.60 25.78 19.62 16.38 15.48 11.20 12.18 7.75 44.19

% PESO RECHAZO 2.61 9.30 11.80 12.89 9.81 8.19 7.74 5.60 6.09 3.88 22.09

97.39 88.09 76.29 63.40 55.59 43.40 37.66 32.06 25.97 22.09

d(max)

100 PORCENTAJE PESO PASO ACUMULATIVO

% PESO PASO ACUMULADO

80 F(d)

60 40

d

20 0 75

575

1075

1575

TAMAÑO PARTICULA (MICRONES)

Para analizar la aplicabilidad de la ecuación de GGS, representamos gráficamente los valores del cuadro. Esta gráfica no indica absolutamente nada referente a la distribución de tamaños de partícula por debajo de 74  m (200 mallas), sin embargo, si determinamos gráficamente la pendiente de la recta (m) como 0.55; para: d max = 1400; entonces la ecuación GGS toma la forma de: F (d )  100.(

d 0,55 ) 1400

11

Así mismo, extrapolando, basado en el gráfico GGS, el cual es una línea recta, se puede realizar una estimación de los porcentajes de tamaño de partícula, hasta, inclusive los 5  m. El cálculo de (m) para d = 210 m ; dmax = 1400 m y F(d) = 37.66 % del análisis de malla es como sigue: 37,66 = 100 (210/1400)m = 100 (0.15)m log 37.66 = log 100 + m. log 0.15

de donde:

m = 0.52

De la curva se deduce que cuanto más grande sea el valor de la pendiente, más uniforme será el producto; y más pequeña será la distribución del material en los tamaños muy finos y muy gruesos. Entre las aplicaciones mas útiles de los gráficos de análisis granulométrico se tiene: 1. Las eficiencias comparativas de unidades de trituración y molienda se analizan relacionando el trabajo efectuado y los tamaños del producto, cuando se tritura o se muele el mineral en diferentes equipos. 2. Las áreas superficiales de las partículas se podrían calcular del análisis granulométrico. Los resultados se pueden reportar como cm2 de área superficial, por gramo de muestra. 3. La estimación de potencia requerida para moler o triturar un mineral desde un tamaño de alimentación a un tamaño de producto determinado. Este calculo se realiza tomando en cuenta el 80 % peso paso de la alimentación referido al 80 % peso paso del producto. 4. Cálculo de la eficiencia de clasificación por tamaños de un clasificador o ciclón, se estima con precisión a partir del análisis granulométrico de la alimentación y el producto. 5.2.- DISTRIBUCIÓN DE ROSIN-RAMMLER Y SPERLING (RRS) Esta relación también describe la distribución de tamaños con la ayuda de dos parámetros experimentales ( m y l ). Las ecuaciones son: Función de densidad

Donde:

 m m 1 d   d exp  d    m l  l    m

f (d ) 

.m = Modulo de distribución (pendiente de la recta) d = Tamaño de la partícula (  m) l = Tamaño característico

Función de distribución   d m  F (d )  1  exp       l  

El logaritmo de la función de distribución es:

12

  1 log ln   m. log(d )  m. log(l )  1 Fd 

La representación grafica de esta ultima ecuación ( ln1 / 1  F (d ) vs. ln d ) el papel logarítmico (figura 5) resulta ser una línea recta con pendiente m donde, si los datos experimentales son bien representados, entonces la Distribución RRS describe adecuadamente la distribución de tamaños de la muestra sometida a análisis de tamaños. En consecuencia m puede ser determinado de la pendiente de la recta y l de la intersección de la recta con el valor de F(d) en el eje de las abscisas. Por ejemplo, la figura muestra que cuando F(d) = 0.63212, entonces d = l . 5.3.- DISTRIBUCION LOG-NORMAL Esta relación se basa también en la estimación de dos parámetros experimentales como son: ln d 50 y ln  (varianza). La ecuación de función de densidad es: f (d ) 

d 1 2 . log 

exp

 log 2  d / d 50  2 log 2 

La función de distribución F(d) se determina por integración numérica de la función de densidad o mediante tablas estándares. Para estimar los valores de ln d 50 y ln  , en una prueba experimental, se realiza la grafica de la integral de la probabilidad normal vs el logaritmo del tamaño de partícula. En vista de que la probabilidad normal debe ser evaluada numéricamente, se tiene que utilizar papel log-normal, que consiste de una abscisa logarítmica y una ordenada de probabilidad normal (figura 6). El “parámetro” d 50 se determina directamente de grafica y ln  se obtiene de: ln   ln d 84  ln d 50

ln   ln d 50  ln d 16

5.4.- DISTRIBUCION GAMA Esta función también utiliza dos parámetros ajustables p y b. La función de densidad es: f (d ) 

b p d p 1e  bd P( p)

La F(d) se determina por integración numérica de la función de densidad. Para determinar los valores de los parámetros de la distribución p y b de los datos experimentales se utilizan las relaciones de la media y la varianza, es decir:   p/b Media de la distribución: 2 Varianza de la distribución:   p / b 2 2  Los valores de  y  2 se determinan a partir de datos experimentales como  y  . Pas ecuaciones que se obtienen para estimar p y b son:

13

    p    ./    



2



b   ./ 2

La representación grafica de la funcion de densidad se presenta en figura 6. La distribución gama presenta dos inconvenientes debido a la estimacion de parámetros y la bondad de ajuste, sin embargo, se caracteriza por ser flexible y ajustarse bien a los datos experimentales. 5.5.- DISTRIBUCIÓN DE TRES PARAMETROS La desventaja de estas funciones de dos parámetros es que no siempre representan la distribución de partículas en todos los rangos de tamaño salvo casos excepcionales, frecuentemente presentan desviaciones en la región de los tamaños más finos y en la de los gruesos. Por esta razón se recurre a ecuaciones mas completas, denominadas funciones de distribución de tres parámetros como las funciones propuestas por: ROSIN, RAMMLER, SPERLING Y BENNET:

F (d )  1  e C. HARRIS:

 ( d / d max ) s .r



F (d )  1  1   d / d max 



s r

donde: s = superficie especifica particulas r = parámetro del material

de

las

Si bien es cierto que estas ecuaciones proporcionan una mejora considerable en la representación de distribución de tamaño, su aplicación es limitada por que la determinación de los parámetros no es simple como en el caso de las funciones de dos parámetros (GGS y RRS). 5.6.- FUNCIONES VECTORIALES Uno de los mas conocidos de este grupo, es la función de distribución de tamaño desarrollada por Broadbent y Callcott. B( x / y ) 

1  e ( x / y ) 1  e 1

donde: B(x/y) = Fracción de las partículas resultantes de la fragmentación cuyo tamaño es menor que "x", donde el tamaño de la partícula original esta representado por "y"

Las ventajas que presenta esta función son: -

Es descrita la totalidad de la distribución de tamaño Todas las distribuciones pueden ser representadas en esta forma. El uso de esta función es muy aconsejable para introducir en modelos de simulación.

Ejemplo de cálculo de área superficial: Para un gramo de sílice pura de densidad "d" y considerando a las partículas como cubos de lado "l".

14

1. El área de una partícula individual es: 6 x l2 (cm2) 2. El peso de una partícula individual es: l3 x d (gr) 3. El número de partículas por gramo es: 1/(l3 x d) 4. El área superficial de las partículas contenidas en un [1/(l3 x d)] x 6 x l2

ó [6/(l x d)]

gramo es:

(cm2)

Si: d = 2.70 gr./cm3, el área superficial en (cm2/gr, para varios valores de l es: LONGITUD DE LA PARTICULA (l) (cm) (mm) (micrones) 10-1 10-3 10-5 10-6 10-7

1.0

10000.

AREA SUPERFICIAL (cm2/gr) 22.2

6.- PRESENTACION DE RESULTADOS Después de efectuar el análisis granulométrico de una muestra, los resultados obtenidos en esta labor se consignan en forma de tablas, los cuales posteriormente nos permitan confeccionar las graficas correspondientes. La tabla 3 muestra una forma de presentación de resultados.

15

PROBLEMAS. 1.- El análisis granulométrico de la alimentación y el producto del cuadro siguiente corresponde al de una trituradora de mandíbulas. MALLA TYLER + 1.5" + 1.0" + 3/8" + 4 M. + 10 M. - 10 M.

Se pide realizar:

PESO ALEM. (GR) 7555 13434 9498 1855 1270 1403

PESO PROD. (GR) --455 6795 12802 7536 6502

16

1. La gráfica de GGS para cada producto 2. Determinar el tamaño por el cual pasa el 80 % para cada muestra. 3. Determinar el modulo "dmax" para cada muestra 4. Deducir la ecuación de la recta para el producto 2.- El análisis granulométrico del underflow de un ciclón que trabaja en circuito cerrado con un molino de bolas es como sigue: MALLA TYLER

PORCENTAJE PESO RECHAZO

+ 20 + 28 + 35 + 48 + 65 + 100 + 150 + 200 + 325 + 400 - 400

3.6 6.0 8.3 8.7 8.1 8.4 7.6 8.1 8.8 7.5 24.9

Se pide lo siguiente: 1. Hacer un gráfico de frecuencia (escala aritmética) del % peso rechazo acumulado Vs. Tamaño de partícula. 2. Hacer un gráfico log-log del % peso paso acumulado Vs. Tamaño de partícula. Estimar el 80 % del tamaño de paso. 3. Para el caso 2, estimar el valor de la pendiente. 4. A partir del gráfico estimar el % peso del material mas fino (menor a 16 micrones) 3.- Utilizando las ecuaciones GGS y RRS, Graficar las curvas acumulativas de rechazo y paso y para cada análisis granulométrico establecer el d80. Los datos son:

DATOS DEL MUESTREO ANALISIS GRANULOMETRICO (Pesos en Kg.) Malla

Muestra 1/2" 3/8"

1 435,19 1009,32

2

3

4

5

6

7

8

9

17

1/4"

715,55

4,48

4

321,06

4,02

6,94

6

414,80

20,56

27,73

8

238,94

18,52

35,94

12

288,19

95,36

106,97

20

380,09

118,87

228,75

7,49

4,97

35

250,41

59,90

197,01

55,72

52,65

10,81

46,21

50

115,25

27,32

94,58

53,13

56,17

36,58

48,21

70

91,62

18,50

77,19

45,90

49,11

46,15

43,26

100

85,11

16,91

66,12

46,31

49,25

12,87

51,08

9,63

44,62

140

68,98

13,28

39,17

38,94

41,01

27,91

45,31

19,48

38,79

200

54,53

10,26

21,83

30,04

31,54

40,33

36,94

27,56

31,23

270

61,98

11,70

18,76

33,01

33,98

64,50

40,69

46,99

36,35

400

41,88

8,13

10,54

22,75

22,59

48,93

27,83

42,96

25,55

-400

332,72

66,06

65,32

165,45

151,97

301,78

201,36

344,98

178,81

6,12

1

ANALISIS GRANULOMETRICO Intervalo de tamaño m Malla Tyler

Abertura del tamiz inferior (  m)

Tamaño promedio de partículas ( 

di -48+65 -65+100 -100+150 -150+200 -200



di 

-300+212 -212+150 -150+106 -106+75 -75

d i  d i 1 2

212 150 106 75 0

) 256 181 128 90,5 37,5

wi = peso partículas en cada intervalo (g) 20 60 80 30 10 W = 200

f i  wi / W F(d) = fracción fracción de partículas en cada intervalo 0,10 0,30 0,40 0,15 0,05 1,00

acumulativa que pasa

1-0,1=0,9 0,9-0,3=0,6 0,6-0,4=0,2 0,2-0,15= 0,05

R(d)=1-F(d) Fraccion acumulativa retenida

0,1 0,1+0,3=0,4 0,4+0,4=0,8 0,8+0,15=0,95 0,95+0,05=1

Fix100= % peso

% acumulativ o que pasa

% acumulativo retenido

10 30 40 15 5 100

100-10=90 90-30=60 60-40=20 20-15=5

10 10+30=40 40+40=80 80+15=95 95+5=100