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• Andrezh Banda

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OBJETIVO Resolver problemas relacionados con los espacios euclídeos y hermíticos, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

CONTENIDO: 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

ESPACIOS EUCLIDEOS ESPACIOS HERMITICOS NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES SUBESPACIO COMPLEMENTO ORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO CUESTIONARIO

6.1 ESPACIOS EUCLIDEOS En esta sección se usarán como axiomas las propiedades más importantes del producto interior euclidiano para definir el concepto general de producto interior; luego se demostrará cómo los productos interiores se pueden utilizar para definir la desigualdad de Cauchy – Schwartz, la ortogonalidad, paralelismo y proyecciones entre vectores. Los espacios vectoriales que se estudiaron en el capítulo anterior resultan ser, en determinado sentido, más pobres en conceptos y propiedades que nuestro espacio corriente. En la teoría general de los espacios vectoriales no han quedado reflejados conceptos como la longitud de un segmento, la magnitud del ángulo y el producto interior que desempeñan un papel muy importante en la geometría. Por esto, si queremos que la teoría general abarque todas las propiedades más esenciales del espacio corriente, debemos introducir, además de las operaciones de adición de vectores y de multiplicación de los mismos por escalares, la operación producto interior. En este capítulo se estudiarán precisamente las propiedades de los vectores pertenecientes a espacios vectoriales provistos del producto interior. El cuerpo principal es de carácter muy especial: es el cuerpo de los números reales en el caso de espacios euclídeos y es el cuerpo de los números complejos en el caso de espacios hermíticos. Tomemos en el espacio vectorial V un sistema de coordenadas formado por k cualesquiera vectores {e1, e2, ..., ek}, perpendiculares dos a dos, de longitud 1. Entonces todo vector u admite una representación única de la forma u = a1e1 + a2e2 + ... + akek donde a1, a2, ..., ak son las longitudes de las proyecciones del vector u sobre

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

los ejes coordenados, tomados con signo adecuado. Si v = b1e1 + b2e2 + ... + bkek es otro vector cualquiera, resulta entonces que el producto interior es u  v = a1b1 + a2b2 + ... + akbk. El espacio vectorial V es real. Esto se expresa en que las proyecciones, las longitudes y los productos interiores de los vectores son números reales. DEFINICION 6.1.1 Si dos vectores u y v están dados mediante sus coordenadas rectangulares cartesianas, entonces el producto interior canónico de estos vectores es igual a la suma de los productos, realizados dos a dos, de las coordenadas correspondientes. Nótese que el producto interior no define la multiplicación de vectores en el sentido ordinario, es decir, el producto interior de dos vectores no es un vector sino un número real. EJEMPLO 6.1.1 Formando el producto interior de los vectores (Cos, Sen) y (Cos, Sen), deducir la identidad trigonométrica Cos( - ) = CosCos + SenSen. SOLUCION Dado que u = (Cos, Sen) y v = (Cos, Sen), entonces realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: u  v = (Cos, Sen)  (Cos, Sen) = CosCos + SenSen = Cos( - ). De esta manera hemos demostrado que Cos( - ) = CosCos + SenSen.  EJEMPLO 6.1.2 1

Calcular u  v, siendo u = 2i – 4j + k y v   (te2t i  tCosh2tj  2te2t k ) dt . 0

SOLUCION Integrando v, obtenemos: 1

v   (te2t i  tCosh2tj  2te2t k ) dt 0

1

1

1

0

0

0

 i  te2t dt  j  tCosh2t dt  k  2te2t dt

1 1 1  (e2  1)i  (e2  3e2  2) j  (1  3e2 )k . 4 8 2 Realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: 1 1 1  f  g   2i  4 j  k  (e2  1)i  (e2  3e2  2) j  (1  3e2 )k 4 8 2 1 1 1  (e2  1)  (e2  3e2  2)  (1  3e2 )  0 .  2 2 2

EJEMPLO 6.1.3 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n k k  f  g   f   g   . k 0  n   n  Calcular f  g cuando f(t) = t y g(t) = at + b. SOLUCION k Haciendo que t  , entonces: n ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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259 1

1

t 0

t 0

 f  g    f (t ) g (t )   t (at  b)  a  b . 

EJEMPLO 6.1.4 Encuentre la función producto interior f  g en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real continuas en C([-, ]), en donde  f  g  





f ( x) g ( x)dx :

x

a.- f(x) = Cosx, g(x) = x; b.- f(x) = e , g(x) = Senx + Cosx; c.- f(x) = Cos4x, g(x) = Senx; d.- f(x) = ex, g(x) = 1 – ex. SOLUCION 

 

a.-  f  g    xCosxdx  Cosx  xSenx 

0;









b.-  f  g    e x (Senx  Cosx)dx  e x Senx 

c.-  f  g    Cos 4 xSenx dx  

Cos3x Cos5 x  6 10 

e2 x d.-  f  g    (1  e )e dx  e   2 

x

x

0;



x



0; 

1  2e  2e3  e4 2e2



. 

EJEMPLO 6.1.5 Encuentre la función producto interior f  g en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real, definidas en C([0, 1]), en donde 1

 f  g    f ( x) g ( x)dx : 0

a.- f ( x)  Sen

x x , g ( x)  Cos ; 2 2

1 1 1 , g ( x)  - x . 2 2 2

b.- f ( x)  x -

SOLUCION 1

a.-  f  g    Sen 0

b.-  f  g   

1

0

x x Cosx Cos dx   2 2 2

1

 0

1 ;  1

(2 x  1) 2 x  1 (2 x  1)3 1 1 1  x    x   dx   2 2 2  16 24

 0

1 .  24

EJEMPLO 6.1.6 Encontrar f  g para cada uno de los siguientes pares de funciones en C([0, 1]) cuando la función producto interior está definida con respecto a la función peso h(x) = ex; por 1

 f  g    f ( x) g ( x)h( x)dx : 0

a.- f ( x)  1  2 x , g ( x)  e x ; c.- f ( x)  Cos

b.- f ( x)  e



 2 Sen



 x 3x , g ( x)  e 2 Sen ; 2 2

x , g ( x)  1 . 2

SOLUCION 1

1

1

0

0

0

a.-  f  g    (1  2 x)e x e x dx   (1  2 x)dx  x  x 2 1 



b.-  f  g    e 2 Sen 0

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0;



1 x  2 3x x x 3x e Sen e dx   Sen Sen dx 0 2 2 2 2

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

Senx Sen2x  2 4

1

 0; 0

x x   2  2Cos  Sen  e x 1 x x 2 2  c.-  f  g    e Cos dx   0 2 2  4

1



2e  4 2  4

. 

0

EJEMPLO 6.1.7 Encuentre la función producto interior f  g en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real continuas en C([-, ]), en donde  f  g  





f ( x) g ( x)dx :

a.- f(x) = Senmx, g(x) = Sennx, m, n  Z+; b.- f(x) = Senmx, g(x) = Cosnx, m, n  Z+; c.- f(x) = Cosmx, g(x) = Cosnx, m, n  Z+. SOLUCION 

a.-  f  g    SenmxSennx dx  

Sen(m  n) x Sen(m  n) x  2(m  n) 2(m  n)

 

Sen(m  n) Sen(m  n)   ; mn mn 

b.-  f  g    SenmxCosnx dx   

c.-  f  g    CosmxCosnx dx  

Cos(m  n) x Cos (m  n) x  2(n  m) 2(m  n) Sen(m  n) x Sen(m  n) x  2(m  n) 2(m  n)



 0;   

Sen(m  n) Sen(m  n)   .  mn mn % CALCULO DEL PRODUCTO INTERIOR clc;clear; fprintf('\n PRODUCTO INTERIOR \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores : '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end fprintf('EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') u*v'

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DEFINICION 6.1.2 Dado (V, , +, ) un espacio vectorial definido sobre los reales. Un producto interior en V es una función    : V x V  , que a cada par de vectores u, v en V le asocia un número real    de forma tal que satisface los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: u  u > 0 cuando u   y    = 0. 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: u  v = v  u. 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple la homogeneidad: ku  v = ku  v. 4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: u  (v + w) = u  v + u  w. TEOREMA 6.1.1 Para todo trío de vectores u, v, w de n se cumple (u + v)  w = u  w + v  w. DEMOSTRACION (u + v)  w = w  (u + v) axioma 2 = w  u + w  v axioma 4 = u  w + v  w axioma 2  TEOREMA 6.1.2 Para todo par de vectores u, v de n y para todo escalar real k se cumple u  kv = k u  v. DEMOSTRACION u  kv = kv  u axioma 2 = kv  u axioma 3 = k u  v axioma 2  TEOREMA 6.1.3 Para todo u,  de n, entonces u   = 0. DEMOSTRACION u   = u  u - u = u  u - u  u = 0. 

axioma 4

EJEMPLO 6.1.8 Determine cuáles de las siguientes funciones    : 2 x 2   son funciones producto interior en el espacio vectorial 2: a.- u  v = a1b1 – a2b1 – a1b2 + 2a2b2; b.- u  v = a1b1 – a2b1 + a1b2 - a2b2; c.- u  v = 2a1b1 + 2a2b2; d.- u  v = a1b1 – a2b1 + a1b2 + 2a2b2. SOLUCION a.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- u  u  a1a1  a2 a1  a1a2  2a2 a2  a12  2a1a2  2a22  (a1  a2 )2  a2  0 ; 2.- ku  v  ka1b1  ka2b1  ka1b2  2ka2b2  k (a1b1  a2b1  a1b2  2a2b2 )  k u  v ; 3.- u  v  a1b1  a2b1  a1b2  2a2b2  b1a1  b2 a1  b1a2  2b2 a2  v  u ; 4.- u  v  w  (a1  b1 )c1  (a2  b2 )c1  (a1  b1 )c2  2(a2  b2 )c2  a1c1  b1c1  a2c1  b2c1  a1c2  b1c2  2a2c2  2b2c2  (a1c1  a2c1  a1c2  2a2c2 )  (b1c1  b2c1  b1c2  2b2c2 )  u  w  v  w . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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b.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- u  u  a1a1  a2 a1  a1a2  a2 a2  a12  a22 . De esto se concluye que a12  a22 no necesariamente es mayor que cero. 2.- ku  v  ka1b1  ka2b1  ka1b2  ka2b2  k (a1b1  a2b1  a1b2  a2b2 )  k u  v ; 3.- u  v  a1b1  a2b1  a1b2  a2b2  b1a1  b2 a1  b1a2  b2 a2  v  u ; 4.- u  v  w  (a1  b1 )c1  (a2  b2 )c1  (a1  b1 )c2  (a2  b2 )c2  a1c1  b1c1  a2 c1  b2 c1  a1c2  b1c2  a2 c2  b2 c2  (a1c1  a2c1  a1c2  a2c2 )  (b1c1  b2c1  b1c2  b2c2 )  u  w  v  w . Como no se cumple la primera y tercera propiedad, entonces no es producto interior. c.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- u  u  2a1a1  2a2 a2  2a12  2a22  0 ;

2.- ku  v  2ka1b1  2ka2b2  k (2a1b1  2a2b2 )  k u  v ; 3.- u  v  2a1b1  2a2b2  2b1a1  2b2 a2  v  u ; 4.- u  v  w  2(a1  b1 )c1  2(a2  b2 )c2  2a1c1  2b1c1  2a2c2  2b2c2  (2a1c1  2a2 c2 )  (2b1c1  2b2c2 )  u  w  v  w . d.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- u  u = (a1, a2)  (a1, a2) = a1a1 – a2a1 + a1a2 + 2a2a2 = a1a1 + 2a2a2  0 3.- u  v = (a1, a2)  (b1, b2) = a1b1 – a2b1 + a1b2 + 2a2b2 v  u = (b1, b2)  (a1, a2) = b1a1 – b2a1 + b1a2 + 2b2a2 Por lo tanto u  v  v  u. Como la tercera propiedad no se cumple, entonces u  v no es un producto interior.  EJEMPLO 6.1.9 Determine cuáles de las siguientes funciones    : C[-1,1] x C[-1,1]   son productos interiores en el espacio vectorial C([-1,1]): 1

1

a.-  f  g    f ( x) g ( x) dx ;

b.-  f  g    x 2 f ( x) g ( x)dx ;

1

1

1

1

c.-  f  g    (1  x 2 ) f ( x) g ( x)dx ;

d.-  f  g    xf ( x) g ( x)dx .

1

1

SOLUCION a.- Para verificar si f  g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que f 2(x)  0 para toda x, se tiene 1

f  f

1

f  f

1

f 2 ( x) dx  0

con 1

f 2 ( x) dx  0

sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 1

1

1

1

2.-  f  g    f ( x) g ( x) dx  g ( x) f ( x) dx   g  f  . 1

1

1

1

3.- f  g    f ( x) g ( x) dx    f ( x) g ( x) dx   f  g  . 1

1

4.-  f  g  h   f ( x)[ g  h]( x) dx   [ f ( x) g ( x)  f ( x)h( x)] dx 1



1 1

1

f ( x) g ( x) dx  

1 1

f ( x)h( x) dx   f  g    f  h .

Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que f  g es un ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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producto interior. b.- Para verificar si f  g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que x2f 2(x)  0 para toda x, se tiene 1

 f  f    ( xf ( x))2 dx  0 1

con 1

 f  f    ( xf ( x))2 dx  0 1

sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 1

1

1

1

2.-  f  g    x 2 f ( x) g ( x) dx  x 2 g ( x) f ( x) dx   g  f  . 1

1

3.- f  g    x 2 f ( x) g ( x) dx    x 2 f ( x) g ( x) dx   f  g  . 1

1

1

1

4.-  f  g  h   x f ( x)[ g  h]( x) dx   x 2 [ f ( x) g ( x)  f ( x)h( x)] dx 2

1

1

1

1

1

1

  x 2 f ( x) g ( x) dx   x 2 f ( x)h( x) dx   f  g    f  h .

Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que f  g es un producto interior. c.- Para verificar si f  g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que (1 – x2)f 2(x)  0 para toda x, se tiene 1

 f  f    (1  x 2 ) f 2 ( x) dx  0 1

con 1

 f  f    (1  x 2 ) f 2 ( x) dx  0 1

sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 1

1

1

1

2.-  f  g    (1  x 2 ) f ( x) g ( x) dx   (1  x 2 ) g ( x) f ( x) dx   g  f  . 1

1

3.- f  g    (1  x2 ) f ( x) g ( x) dx    (1  x 2 ) f ( x) g ( x) dx   f  g  . 1

1

1

1

4.-  f  g  h   (1  x ) f ( x)[ g  h]( x) dx   (1  x 2 )[ f ( x) g ( x)  f ( x)h( x)] dx 2

1

1

1

1

1

1

  (1  x 2 ) f ( x) g ( x) dx   (1  x 2 ) f ( x)h( x) dx   f  g    f  h .

Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que f  g es un producto interior. d.- Para verificar si f  g define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que xf 2(x)  0 para toda x, se tiene 1

 f  f    x f 2 ( x) dx  0 1

con lo que no se cumple esta propiedad. Por lo tanto podemos decir que f  g no es un producto interior.  EJEMPLO 6.1.10 Determine cuáles de las siguientes funciones    : (n, n) x (n, n)   son productos internos en el espacio vectorial : ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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a.- AB = Det(AB); b.- AB = Tr(AB); c.- AB = Tr(ATB); d.- AB = Tr(ABT). SOLUCION a.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A  A = Det(AA) = Det(A)Det(A)  0; 2.- kA  B = Det(kAB) = knDet(AB)  kDet(AB); 3.- A  B = Det(AB) = Det(BA) = B  A; 4.- A + B  C = Det((A + B)C) = Det(AC + BC)  Det(AC) + Det(BC). Por tanto, se puede concluir que A  B no es un producto interior. b.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A  A = Tr(AA) = Tr(A2)  0; 2.- kA  B = Tr(kAB) = kTr(AB) = kA  B; 3.- A  B = Tr(AB) = Tr(BA) = B  A; 4.- A + B  C = Tr((A + B)C) = Tr(AC + BC) = Tr(AC) + Tr(BC) = A  C + B  C. Por tanto, se puede concluir que A  B es un producto interior. c.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A  A = Tr(ATA)  0; 2.- kA  B = Tr((kA)TB) = Tr(kATB) = kTr(ATB) = kA  B; 3.- A  B = Tr(ATB) = Tr(ATB)T = Tr(BTA) = B  A; 4.- A + B  C = Tr((A + B)TC) = Tr(ATC + BTC) = Tr(ATC) + Tr(BTC) = A  C + B  C. Por tanto, se puede concluir que A  B es un producto interior. d.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- A  A = Tr(AAT)  0; 2.- kA  B = Tr(kABT) = kTr(ABT) = kA  B; 3.- A  B = Tr(ABT) = Tr(ABT)T = Tr(BAT) = Tr(ATB) = B  A; 4.- A  (B + C) = Tr(A(B + C)T) = Tr(ABT + ACT) = Tr(ABT) + Tr(ACT) = A  B + A  C. Por tanto, se puede concluir que A  B es un producto interior.  DEFINICION 6.1.3 Un espacio vectorial real (V, R, +, ) se denomina espacio vectorial euclídeo, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un número real   , llamado producto interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: u  u > 0 cuando u   y    = 0. 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: u  v = v  u. 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple la homogeneidad: ku  v = ku  v. 4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: u  (v + w) = u  v + u  w. EJEMPLO 6.1.11 Se da un espacio vectorial cuyos vectores son todos los sistemas posibles compuestos por 3 números positivos: u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3), w = (c1, c2, c3), .... La adición de los vectores y la multiplicación de un vector por un número están definidas por las igualdades





u + v = (a1b1, a2b2, a3b3), ku  a1k , a2k , a3k . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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265

¿Se puede hacer euclídeo este espacio al definir la función producto interno por la igualdad u  v = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3? SOLUCION Vamos a comprobar el cumplimiento de los axiomas de los espacios euclídeos: 1.- u  u = ln2a1 + ln2a2 + ln2a3  0. 2.- u  v = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 u  v = lnb1lna1 + lnb2lna2 + lnb3lna3 Es decir, u  v = v  u. 3.- ku  v = lnak1lnb1 + lnak2lnb2 + lnak3lnb3 = klna1lnb1 + klna2lnb2 + klna3lnb3 = k(lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3) = ku  v. 4.- u (v + w) = lna1ln(b1c1) + lna2ln(b2c2) + lna3ln(b3c3) = lna1lnb1 + lna1lnc1 + lna2lnb2 + lna2lnc2 + lna3lnb3 + lna3lnc3 = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 + lna1lnc1 + lna2lnc2 + lna3lnc3 = u  v + u  w. Por cumplirse todos los axiomas de la definición, el espacio que se considera es euclídeo.  EJEMPLO 6.1.12 ¿Es el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de dos vectores se define como el producto de sus longitudes? SOLUCION El producto interior tiene la forma siguiente: u  v  u v , siendo u, v, w tres vectores geométricos. Por tanto debemos probar los siguientes axiomas: 1.- u  u  u 2.- ku  v  ku 3.- u  v  u

u  u

2

v  k v  v

4.- u  v  w  u  v

; u

v k u

v ;

u   v  u ;

w  ( u  v ) w  u  w  v  w .

Como no se cumplen los axiomas segundo y cuarto, no es espacio euclídeo.  TEOREMA 6.1.4 Dado (V,   ) un espacio vectorial euclídeo, entonces para cualesquiera par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz: u  v2  u  u v  v. La desigualdad de Cauchy - Schwartz se convierte en una igualdad si, y sólo si, los vectores, son colineales. DEMOSTRACION El teorema tiene lugar, a ciencia cierta, si v = , por lo cual convengamos en considerar que v  . Examinemos un vector u – av, donde a es un número real arbitrario. Tenemos u - av  u - av  0 u  u - au  v - av  u + a2v  v  0 u  u - 2au  v + a2v  v  0 En el primer miembro de la desigualdad figura un producto interior de vectores iguales. Por esta razón el trinomio de segundo grado es no negativo, cualquiera que uv sea a, en particular, para a  . De este modo, vv u u 2

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uv vv

uv 

uv

2

vv

2

vv  0

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266

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u u 2

u u 

uv vv

uv

2

vv

2

vv 

uv

2

vv

2

vv  0

2

 0  u u vv  u v

2

0 

uv

2

 u u vv . 

EJEMPLO 6.1.13 Verifique que la función    : (n, n) x (n, n)   definida por A  B = Tr(ABT), en el espacio vectorial (n, n), cumple la desigualdad de Cauchy Schwartz. SOLUCION Debemos comprobar que se cumpleA  B2  A  A B  B. Es decir: Tr(ABT)2  Tr(AAT)Tr(BBT) 2

n n n n  n   n 2 2  2 2    a1i b1i  ...   ani bni     a1i  ...   ani   b1i  ...   bni  i 1 i 1 i 1  i 1   i 1  i 1 

2

 n n   n n  n n    a ji b ji     a 2ji   b2ji  .  j 1 i 1   j 1 i 1  j 1 i 1       Por lo tanto podemos observar que se cumple la desigualdad. 

DEFINICION 6.1.4 En un espacio vectorial euclídeo V se dice que un vector u es ortogonal a otro vector v, representado por u  v, si u  v = 0, siendo u y v vectores no nulos. DEFINICION 6.1.5 Dos vectores u y v de un espacio euclídeo V distintos de cero son paralelos, y se nota u v, si uno es múltiplo escalar del otro. Si u = kv con k > 0, entonces u y v tienen la misma dirección; si k < 0, entonces u y v tienen dirección opuesta. Por analogía con los segmentos dirigidos, llamemos colineales dos vectores u y v de cualquier espacio vectorial, si o bien u = av o bien v = bu para ciertos escalares a y b. En virtud de la igualdad  = 0u concluimos que los vectores u y v son colineales, a ciencia cierta, si por lo menos uno de ellos es nulo. TEOREMA 6.1.5 La desigualdad |u  v|2  u  uv  v se convierte en una igualdad si, y sólo si, los vectores u y v son colineales. DEMOSTRACION Supongamos que los vectores u y v son colineales, entonces u = av. Hallamos u  v2 = av  v2 = a2v  v2 u  uv  v = av  avv  v = a2v  v2 La comparación de estas igualdades muestra que la afirmación tiene lugar. Supongamos ahora que para los vectores u y v se verifica la igualdad u  v2 = u  uv  v Si v = , los vectores son colineales. Sin embargo, si v  , entonces, al tomar u v a= y teniendo presente la ecuación anterior, obtenemos u - av  u - av = 0. vv En vista del axioma 1 de la definición, esto significa que u – av = , o bien u = av, es decir, los vectores u y v son colineales.  ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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267

En muchas aplicaciones se desea descomponer un vector u en una adición de dos sumandos, uno paralelo a un vector específico diferente de cero v y el otro perpendicular a v. Si u y v se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en un punto Q, entonces es posible descomponer el vector u como sigue: Trazar una perpendicular desde la punta de u hasta la recta que pasa por v, y obtener el vector w que va de Q al pie de esta perpendicular. Luego, forma la diferencia u – w Como se puede ver en la figura, el vector w es paralelo a v, el vector u – v es perpendicular a v, y w + (u – w) = u.

El vector w se denomina proyección ortogonal de u sobre v, o algunas veces se le conoce como, componente vectorial de u a lo largo de v. Se denotará por Pr oyv u . El vector u – w se denomina componente vectorial de u ortogonal a v. Como se tiene u – w, este vector se puede escribir como u  w  u  Pr oyv u . Sean w  Pr oyv u y u  w  u  Pr oyv u . Como w es paralelo a v, debe ser un múltiplo escalar de v, de modo que se puede escribir en la forma w = v. Así u = w + (u – w) = v + u – w Tomando el producto interior en ambos miembros de esta ecuación con v, se obtiene u  v  v  u  w  v   v

2

 u  w  v

Pero u - w  v = 0, ya que u – w es perpendicular a v; de modo que se produce  u  v  2 v Como Pr oyv u  w  v , se obtiene

Pr oyv u 

 u  v v

2

v

 u  v v v  v

DEFINICION 6.1.6 Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v  . Entonces, la proyección perpendicular de u sobre v está definida por  u  v Pr oyv u  v.  v  v EJEMPLO 6.1.14 Determine la proyección ortogonal de f(x) = 2 + 3x2 sobre g(x) = 1 + 3x – x2. SOLUCION Si f(x) = a0 + a1x + a2x2 y g(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces el producto interior canónico se establece por f  g = a0b0 + a1b1 + a2b2. Para determinar la proyección  f  g g , es decir: ortogonal de f(x) sobre g(x), debemos utilizar Pr oyg f   g  g Pr oyg f 

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2  3x 2 1  3x  x 2 1  3x  x 1  3x  x 2

2

(1  3x  x 2 ) 

23 (1  3x  x 2 ) 1 9 1 JOE GARCIA ARCOS

268

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

1 1 3 1 (1  3x  x 2 )    x  x 2 .  11 11 11 11

EJEMPLO 6.1.15 Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial euclídeo V, los vectores v y u – Proyvu son ortogonales. SOLUCION Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno real: u v u  v u  v v  u  Pr oyv u  v  u  v  v  u  v  v   v  u  v  v v  v v  v v  v  v  u  u  v  0 .  % CALCULO DE LA PROYECCION DE VECTORES clc;clear; fprintf('\n PROYECCION DE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end fprintf('EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') numerador=u*v' denominador=v*v' fprintf('LA PROYECCION DEL VECTOR u SOBRE v ES:\n') w=((u*v')/(v*v')*v)

PROBLEMAS 6.1.1 En los siguientes problemas, determine en cada caso, si u  v es un producto interior en n, si u  v está definido por la fórmula que se da. En caso contrario, decir cuáles son los axiomas que no se cumplen: n

n

n

i 1

i 1

i 1

a.- u  v   (ui  vi )2   ui2   vi2 ; b.- u  v 

n

 ui vi

;

i 1

d.- u  v 

n

 ui2vi2 ; i 1

2

 n   n  n  a.-   ui vi     ui2   vi2  ;  i 1   i 1  i 1  2

n

n

i 1

j 1

c.- u  v   ui  v j ; n

e.- u  v   ui vi . i 1

6.1.2 Encuentre 5u - 2v  2u + 3v, dado que u  u = - 10, u  v = - 8 y v  v = - 3. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

6.1.3 Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestre las siguientes desigualdades:

 n   n  n 1  b.-   ui vi     i ui2   vi2  .  i 1   i 1  i 1 i 

6.1.4 Describa los vectores u  2 que son ortogonales al vector (-2, 5). Verifique que éstos son los puntos de una recta que pasa por el origen. 6.1.5 Demuestre que la igualdad en la desigualdad triangular se tiene si y sólo si uno de los vectores es un múltiplo no negativo del otro vector. JOE GARCIA ARCOS

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269

6.1.6 Demuestre que en 2 un producto interior puede ser dado por la fórmula u  v  au1v1  bu1v2  bu2v1  cu2v2 si, y solamente si, a > 0 y ac > b2 simultáneamente.

6.1.10 ¿Qué es el producto interior de dos vectores en ? ¿Cómo se ve la desigualdad de Cauchy-Schwarz para vectores en ? ¿En qué casos se tiene la igualdad en esta desigualdad para vectores en ?

6.1.7 ¿Forma el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de dos vectores arbitrarios u y v se define como el producto de la longitud del vector u y la producción triplicada del vector v por el sentido del vector u?

6.1.11 Encuentre 2u + v  3u – 2v, dado que u  u = 14, u  v = 15 y v  v = 11.

6.1.8 En el espacio vectorial de todos los polinomios reales, determinar si f  g es o no un producto interior cuando se define f  g con la fórmula que se da: a.-  f  g   b.-  f  g  

1

 0 f ( x) g ( x) dx



1 0

f ( x) dx

;

  g(x) dx ; 1

0

0

1

t  t

6.1.13 Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que si x1, x2, ..., xn son números reales cualesquiera, entonces 1

n

 xi



n

 xi2

n i 1 i 1 y que la igualdad se da si y sólo si todos los xi son iguales.

1

c.-  f  g    f ´( x) g´( x) dx ; d.-  f  g   lim

6.1.12 Sean u, v dos vectores en n y –u, -v sus inversos aditivos. Demuestre que: a.- Proy-uv = Proyuv; b.- Proyu(-v) = -Proyuv. Verifique este resultado con los vectores u = (2, -3), v = ( 3, 1).

t

 0 f ( x) g ( x) dx .

6.1.9 Sean v, u1, u2, ..., uk, k + 1 vectores en . Si u = u1 + u2 + ... + uk. Demuestre que Proyvu = Proyvu1 + Proyvu2 + ... + Proyvuk Verifique este resultado con los vectores u1 = (1, 1), u2 = (3, -2), v = (2, 3).

6.2 ESPACIOS VECTORIALES HERMITICOS En esta sección se definirán productos interiores sobre espacios vectoriales complejos usando como axiomas las propiedades del producto interior euclidiano sobre Cn. En este momento surge la necesidad de considerar vectores de proyecciones complejas. A primera vista parece natural tomar de nuevo la expresión del producto interior de vectores con coordenadas reales para el producto interior de vectores con coordenadas complejas a1, a2, ..., ak y b1, b2, ..., bk. En algunos casos se procede precisamente de este modo. El espacio que así resulta se denomina espacio vectorial hermítico. Por desgracia, el producto interior pierde entonces muchas propiedades importantes. Para evitar este inconveniente, en lugar de la expresión u  v = a1b1 + a2b2 + ... + akbk se toma como definición del producto interior de vectores complejos la expresión u  v  a1 b1  a2 b2  ...  ak bk donde la raya superior significa que ha de pasarse a los números complejos conjugados. En el caso en que los vectores u y v sean reales, tenemos bi  bi y la expresión del producto interior de vectores complejos coincide con la expresión del producto interior de vectores reales. Por consiguiente, la nueva definición es una generalización de la anterior.

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

DEFINICION 6.2.1 Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio vectorial hermítico, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un número complejo   , llamado producto interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: u  u > 0 cuando u  . 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: u v  v u .

3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k, se cumple la homogeneidad: ku  v = ku  v. 4.- Para todo trío de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: u  v + w = u  v + u  w. El axioma u  v  v  u

muestra que las propiedades del espacio vectorial

hermítico difieren, en general, de las propiedades del espacio vectorial euclídeo. No obstante, estas diferencias son de poca importancia. En todo caso, el espacio hermítico se aproxima más por sus propiedades al espacio euclídeo. En el caso en que el espacio vectorial está definido en los reales, el espacio hermítico se denomina espacio euclídeo. En este caso la expresión v  u coincide con la expresión u  v y el axioma 2 adquiere una forma más sencilla: u  v = v  u. Nótese también que en la definición de los espacios hermíticos no se exige que el espacio sea de dimensión finita. Por esto cabe hablar también de espacios hermíticos de dimensión infinita. Aun cuando algunas propiedades de los espacios hermíticos no dependen de la dimensión de los mismos, nos limitaremos a considerar, mientras que no se diga lo contrario, solamente espacios vectoriales de dimensión finita. TEOREMA 6.2.1 Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k se cumple u  kv  k u  v . DEMOSTRACION Para demostrar este teorema, utilizamos los axiomas 2 y 3 de la definición de espacio hermítico: u  kv = kv  u

axioma 2

= k v u

axioma 3

= k u  v

axioma 2 

TEOREMA 6.2.2 Dado (V,   ) un espacio vectorial hermítico, entonces para cualesquiera par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz: u  v2  u  u v  v. La demostración es análoga a la del caso real. EJEMPLO 6.2.1 Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial hermítico V, el vector v y u – Proyvu son ortogonales. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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271

SOLUCION Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno complejo: u  v u  v u  v v  u  Pr oyv u  v  u  v  v  u  v  v  v  u  v  v v  v v  v  v  v  v  u  u  v  v  u  v  u  0 . 

EJEMPLO 6.2.2 Si u = (2, 4, 1 + i), v = (1 - i, 2, 3i), hallar un vector no nulo w de un espacio hermítico V, ortogonal simultáneamente a u y v. SOLUCION Debemos encontrar un vector w tal que u  w = 0 y v  w = 0. Es decir: u  w = (2, 4, 1 + i)  (a, b, c) = 2a + 4b + (1 - i)c = 0; v  w = (1 – i, 2, 3i)  (a, b, c) = (1 + i)a + 2b – 3ic = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneo y obtenemos:  2 4 1  i 0   2 4 1  i 0   2i 0 1  5i 0      .    1  i 2 3i 0   0 2i 1  3i 0   0 2i 1  3i 0  Por lo tanto w = (5 – i, 3 – i, 2).  EJEMPLO 6.2.3 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V se cumple la siguiente identidad uv

2

 u v

2

 2u  v  2u  v .

SOLUCION Descomponemos || u + v ||2 y || u - v ||2 en función del producto interior: uv

2

 u  vu  v  u u  u v  vu  v v

 u  u  u  v  u  v  v  v ; u v

2

 u  v u  v  u u  u v  v u  v v

 u  u  u  v  u  v  v  v .

Restamos estas dos expresiones y obtenemos el resultado buscado: uv

2

 u v

2

 2u  v  2u  v . 

EJEMPLO 6.2.4 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V, la suma u  v  u  v es real. SOLUCION Del problema anterior tenemos:  uv

2

1 2 uv  uv 2 Lo cual implica que u  v  u  v es un número real. 

2

2u  v  2u  v  u  v

De donde u  v  u  v 



2

.

.

EJEMPLO 6.2.5 Si u y v son vectores no nulos de un espacio hermítico V, demostrar que  u  v    u  v 2   2. || u || || v || SOLUCION Sabemos que ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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(1) Cos(u, v) 

 u  v  u  v con 1  1 ; || u || || v || || u || || v ||

v  u u  v  u  v con 1   1 . || u || || v || || u || || v || || u || || v || Sumando estas dos expresiones, obtenemos: v  u u  v v  u  u  v . Cos(u, v)  Cos(v, u )  2Cos(u, v)    || u || || v || || u || || v || || u || || v || Donde  v  u    u  v 2Cos(u, v)  || u || || v || con  u  v    u  v 2   2. || u || || v || Lo cual demuestra la identidad. 

(2) Cos(v, u ) 

EJEMPLO 6.2.6 Definimos el ángulo  formado por dos vectores no nulos u y v de un espacio hermítico V mediante la identidad u  v  u  v 0  ArcCos . 2 || u || || v || SOLUCION En el problema anterior se demostró que v  u  u  v 2Cos(u, v)  2Cos  || u || || v || De donde  v  u    u  v  v  u    u  v Cos     ArcCos . 2 || u || || v || 2 || u || || v || Con lo cual queda demostrada la identidad. 

PROBLEMAS 6.2.1 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Demuestre que u  v  3ac  2bd define un producto interior sobre C2. 6.2.2 Calcular u  v usando el producto interior u  v  3ac  2bd : a.- u = (2i, -i), v = (-i, 3i); b.- u = (1 + i, 1 - i), v = (1 – i, 1 + i); c.- u = (3i, -1 + 2i), v = (3i, -1 – 2i). 6.2.3 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Determine cuáles de las siguientes expresiones son productos interiores sobre C2. Para las que no lo sean, enumerar los axiomas que no se cumplen: a.- u  v  2ac  iad  iba  2bd ; 2

2

2

6.2.5 Sea C3 con el producto interior hermético. Demuestre que para todos los valores de  el vector  i 1 1  u  ei   , ,  tiene norma 1 y es ortogonal a 3 3 3  (1, i, 0) y a (0, i, -i). 6.2.6 Sea C3 con el producto interior hermético. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(i, i, i), (-i, i, 0), (i, 2i, i)} en una base ortonormal.

2

b.- u  v  a c  b d ; c.- u  v  ac  bd ; d.- u  v  2ac  iad  iba  2bd . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

6.2.4 Demuestre que en un espacio hermítico se cumple la siguiente identidad: 1 2 2 2 2 u  v   u  v  u  v  i u  iv  i u  iv   4

6.2.7 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Demuestre que u  v  ac  (1  i)ad  (1  i)bc  3bd define un producto interior sobre C2. JOE GARCIA ARCOS

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273

6.2.8 Demuestre que si k es un número complejo y u  v es un producto interior sobre un espacio vectorial complejo, entonces: a.- u  kv  u  kv  u  u  k u  v  k u  v  kk v  v ;

6.2.13 Sea C con el producto interior hermético. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(0, 2i, i, 0), (i, -i, 0, 0), (i, 2i, 0, -i), (i, 0, i, i)} en una base ortonormal.

b.- 0  u  u  k u  v  k u  v  kk v  v .

6.2.14 Demuestre que si {v1, v2, …, vk} es una base ortonormal para un espacio V con producto interior complejo y si u y v son vectores cualesquiera en V, entonces u  w  u  v1  w  v1   ...  u  vk  w  vk 

6.2.9 Use el producto interior  A  B  a1 b1  a2 b2  a3 b3  a4 b4 para encontrar A  B si  i 1  i   3 2  3i  A  y B . i  1  1  i  4i 6.2.10 Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). ¿ u  v  u1 v1  u2 v2  u3 v3  u4 v4 define un producto interior sobre C3? En caso de no serlo, enumerar los axiomas que no se cumplan. 6.2.11 Sea C4 con el producto interior hermético. Expresar w = (-i, 2i, 6i, 0) en la forma w = w1 + w2, donde el vector w1 está en el espacio W generado por u1 = (-i, 0, i, 2i) y u2 = (0, i, 0, i) y w2 es ortogonal a W. 6.2.12 Sea C3 con el producto interior hermético. Encontrar una base ortonormal para el subespacio generado por (0, i, 1 - i) y (-i, 0, 1 + i).

4

6.2.15 Demuestre que si f = f1(x) + if2(x) y g = g1(x) + ig2(x) son vectores en el espacio complejo C[a; b], entonces  f  g  

b

a

 f1 (0)  if2 (0) g1 (0)  ig2 (0) dx

define un producto interior complejo sobre C[a; b]. 6.2.16 Sea V es espacio vectorial de las funciones con valores complejos de la variable real x, y sean f = f1(x) + if2(x) y g = g1(x) + ig2(x) son vectores en V. ¿La expresión  f  g    f1 (0)  if 2 (0) g1 (0)  ig2 (0)

define un producto interior sobre V? En caso de no serlo, enumerar todos los axiomas que no se cumplan.

6.3 NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES En esta sección se definirá el concepto de longitud y distancia entre dos vectores y el ángulo entre dos vectores en un espacio con producto interior, y esta idea se usará para obtener algunas relaciones básicas entre vectores en un espacio con producto interior. La longitud de un vector u a menudo se denomina norma de u y se denota por u . De acuerdo con el teorema de Pitágoras se concluye que la norma de un vector u = (a, b) en el espacio bidimensional es u  a 2  b2 .

Sea u = (a, b, c) un vector en el espacio tridimensional. Usando la figura y dos aplicaciones del teorema de Pitágoras se obtiene u 2  (OR)2  ( RP)2  (OQ)2  (OS )2  ( RP)2  a2  b2  c2 Así ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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274

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u  a 2  b2  c 2 .

DEFINICION 6.3.1 Sea (V,   ) un espacio vectorial euclídeo. Se define la norma o longitud del vector u de V, representada por, al número real no negativo u  u  u  . De esta definición se ve directamente que el vector nulo es el único vector cuya longitud es igual a cero. Un vector de norma 1 se denomina vector unitario. DEFINICION 6.3.2 Un vector de V es un vector unitario si tiene magnitud 1. Dado cualquier vector distinto de cero u de V, un vector unitario con la misma dirección que u está dado por 1 u. u EJEMPLO 6.3.1 Dado p(x) = 2 – 3x + 4x2 un polinomio en 2. Determine || p ||. SOLUCION Si p(x) = a0 + a1x + a2x2 y q(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces el producto interior canónico se establece por p  q = a0b0 + a1b1 + a2b2. Por lo tanto p  (2)(2)  (3)(3)  (4)(4)  4  9  16  29 .  EJEMPLO 6.3.2 1 0 3 Sea la matriz A    . Use el producto interior canónico para determinar 5 9 7 A .

SOLUCION a b Si A   d e

c  a1 b1 c1   , entonces el producto interior canónico se  y B f  d1 e1 f1  establece por A  B = aa1 + bb1 + cc1 + dd1 + ee1 + ff1. Por lo tanto A  (1)(1)  (0)(0)  (3)(3)  (5)(5)  (9)(9)  (7)(7)

 1  0  9  25  81  49 165 . 

EJEMPLO 6.3.3 Sea f(x) = exSenx una función definida en el intervalo -  x  . Determine || f ||. SOLUCION Como f(x) está definida en el intervalo -  x  , entonces para poder determinar la norma de esta función debemos aplicar lo siguiente f 



 f

2

( x) dx 



 e

2x

Sen2 x dx 

2e e4  1 .  4

EJEMPLO 6.3.4 4  1  i 2i Sea la matriz A    . Use el producto interior canónico para  1 1 i 2  i  determinar A .

SOLUCION El producto interior canónico se establece por ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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275

A  B  a a1  bb1  c c1  d d1  e e1  f f1 .

Por lo tanto A  (1  i)(1  i)  2i(2i)  4  4  11  (1  i)(1  i)  (2  i)(2  i)  1  i 2  4i 2  16  1  1  i 2  4  i 2  30 . 

EJEMPLO 6.3.5 Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en 4. ¿Para qué valor de k los vectores u = ke1 + ke2 – e3 – ke4 y v = e1 – e2 + ke3 – e4 tienen igual longitud? SOLUCION Como el espacio vectorial es 4, entonces e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1), entonces u = (k, k, -1, -k) y v = (1, -1, k, -1). Para que u y v tengan igual longitud, u  v . Es decir u  v 

(k , k ,  1,  k )  (k , k ,  1,  k )  k 2  k 2  1  k 2 (1,  1, k ,  1)  (1,  1, k ,  1)  1  1  k 2  1  k 2  3

igualamos las dos ecuaciones 3k2 + 1 = k2 + 3 y obtenemos k =  1.  TEOREMA 6.3.1 Sea (V,   ) un espacio vectorial euclídeo. La norma, definida a partir de un producto interno en un espacio vectorial real V, tiene las siguientes propiedades: 1.- Para todo u  V, || u || > 0 y || u || = 0 si y sólo si u = . Positividad. 2.- Para todo u  V y para todo escalar real k, entonces ku  k u . Homogeneidad. 3.- Para todo u, v  V, entonces || u + v ||  || u || + || v ||. Desigualdad triangular. DEMOSTRACION 1.- Si u = (a1, a2, ..., ak), entonces || u || =

u  u  a12  a22  ...  ak2 > 0

Si u = (0, 0, ..., 0), entonces || u || = 2.-

ku 

u  u  02  02  ...  02  0

ku  ku  k u  ku  k ku  u  k 2 u  u  k

u u  k

u .

3.- || u + v || = u + v  u + v = u  u + v + v  u + v = u  u + 2u  v + v  v 2

 u  u + 2

u u

v  v + v  v

2

= || u || + 2|| u || || v || + || v ||2 = (|| u || + || v ||)2. Por lo tanto || u + v ||  || u || + || v ||.  EJEMPLO 6.3.6 Sean los vectores u = (3, -2, 4) y v = (1, 9, 3) de 3. Verifique la desigualdad triangular con el producto interior definido por u  v = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3 + a2b1 + a1b3 + 2a2b3. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || u + v ||  || u || + || v ||. u  (3,  2, 4)  (3,  2, 4)  (3,  2, 4) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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 3  3  2(2)(2)  3  4  4  (2)  3  3  4  2  (2)  4  55 v  (1, 9, 3)  (1, 9, 3)  (1, 9, 3)  11  2  9  9  3  3  3  9 1  1  3  2  9  3  16

; u  v  (3,  2, 4)  (1, 9, 3)  (4, 7, 7)  (4, 7, 7)  (4, 7, 7)

 4  4  2  7  7  3  7  7  7  4  4  7  2  7  7  415

Por lo tanto

415  55  16 . 

EJEMPLO 6.3.7 1 3 5 5 2 1 Sean las matrices A    y B  . Verifique la desigualdad  2 4 6  4 3 2 triangular utilizando el producto interior canónico. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B ||  || A || + || B ||.

1 3 5 A      2 4 6

1 3 5 1 3 5     2 4 6  2 4 6

 11  3  3  5  5  2  2  4  4  6  6  91 ; 5 2 1 B      4 3 2

5 2 1 5 2 1     4 3 2  4 3 2

 5  5  2  2  11  4  4  3  3  2  2  59 ;

 1 3 5  5 2 1  6 5 6 A+B        2 4 6 4 3 2     6 7 8

 6  6  5  5  6  6  6  6  7  7  8  8  246 .

Por tanto

246  91  59 . 

EJEMPLO 6.3.8 Sean las funciones f(x) = Senx y g(x) = Cosx definidas en C[-; ]. Compruebe la desigualdad triangular. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos f  g  f  g . 

2



2

f  Senx   Senx  Senx 

  Sen

g  Cosx  Cosx  Cosx 

  Cos

x dx   ; x dx   ;

f  g  Senx  Cosx   Senx  Cosx  Senx  Cosx



Por tanto



  (Senx  Cosx)

2

dx  2 ;

2  2  . 

EJEMPLO 6.3.9 3   1  2i 2  i  2  i 1  i i  Sean las matrices A    y B  . Verifique 4  3 i  1 2  5 i   1  3i 2  3i i  la desigualdad triangular utilizando el producto interior canónico. SOLUCION Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B ||  || A || + || B ||:

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277

3   1  2i 2  i A     4  3 i  1 2  5i  

3   1  2i 2  i 3   1  2i 2  i    4  3 i  1 2  5 i 4  3 i  1 2  5i    

 (1  2i)(1  2i)  (2  i)(2  i)  (3)(3)  (4  3i)(4  3i)  (1)( 1)  (2  5i)(2  5i )  1  4i 2  4  i 2  9  16  9i 2  1  5  25i 2  75 ;  2  i 1  i i  B     1  3i 2  3i i 

 2  i 1  i i   2  i 1  i i     1  3i 2  3i i  1  3i 2  3i i 

 (2  i)(2  i)  (1  i)(1  i)  (i)(i)  (1  3i)(1  3i)  (2  3i)(2  3i)  (i)(i)

 4  i 2  1  i 2  i 2  1  9i 2  4  9i 2  i 2  32 ; 3   2  i 1  i i   1  2i 2  i A+B      4  3i 1 2  5i  1  3i 2  3i i   3  i 3  2i 3  i      5  6i 1  3i 2  4i   9  i 2  9  4i 2  9  i 2  25  36i 2  1  9i 2  4  16i 2  2 31 ;

Por tanto 2 31  75  32 .  TEOREMA 6.3.2 Dos vectores son ortogonales si y sólo si || u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2. DEMOSTRACION || u + v ||2 = u + v  u + v = u  u + u  v + v  u + v  v = u  u + 2u  v + v  v = u  u + v  v por definición de ortogonalidad = || u ||2 + || v ||2.  % CALCULO DE LA NORMA DE UN VECTOR clc;clear; fprintf('\n NORMA DE UN VECTOR \n') col=input('Ingrese la dimension del vector: '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end %end fprintf('El VECTOR u es:\n') u end fprintf('LA NORMA DEL VECTOR u ES:\n') NORMA=sqrt(u*u')

DEFINICION 6.3.3 Un espacio vectorial V en el que hay definida una norma se denomina espacio vectorial normado. Si P(a, b, c) y Q(x, y, z) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia d(P, Q) entre los puntos es la norma de Q – P. Ya que Q – P = (x – a, y – b, z – c) Es decir ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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d ( P, Q)  ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2 .

DEFINICION 6.3.4 Se denomina distancia d(u, v) entre los vectores u y v de un espacio vectorial euclídeo, a la magnitud d (u, v)  u  v . El hecho de disponer de una norma en un espacio vectorial implica que se puede dotar automáticamente a éste de estructura de espacio métrico; no se piense, sin embargo, que la única forma de obtener un espacio métrico es a partir de una norma; obsérvese, en este sentido, que para dotar a un conjunto de una métrica no se precisa que dicho conjunto tenga estructura algebraica alguna. Obsérvese nuevamente que esta definición hace perfecto sentido en cualquier espacio con producto interno. DEFINICION 6.3.5 Se denomina distancia d(P, Q) entre los conjuntos P y Q de vectores de un mismo espacio la magnitud d ( P, Q)  inf d ( P, Q) . uP, vQ

TEOREMA 6.3.3 Sea (V,   ) un espacio vectorial euclídeo, la distancia d(u, v) entre los vectores u, v de V satisface los siguientes axiomas: 1.- Para todo u, v  V, d(u, v) > 0 cuando u  v y d(u, v) = 0 si y sólo si u = v. 2.- Para todo u, v  V, d(u, v) = d(v, u). 3.- Para todo u, v, w  V, d(u, v)  d(u, w) + d(w, v). DEMOSTRACION 1.- Para todo u = (a1, a2, ..., ak), v = (b1, b2, ..., bk)  V, donde ai  bi, entonces d(u, v) = || u – v || = =

u  v u  v

(a1  b1 )2  (a2  b2 )2  ...  (ak  bk )2 > 0

Para u = (a1, a2, ..., ak), v = (b1, b2, ..., bk)  V, donde ai = bi, entonces d(u, v) = || u – v || =

u  v u  v =

(a1  b1 )2  (a2  b2 )2  ...  (ak  bk )2 = 0.

2.- d(u, v) = || u – v || = || -(v – u) || = | -1 | || v – u || = d(v, u). 3.- d(u, v) = || u – v || = || u – v + w – w || = || (u – w) + (w – v) ||  || u – w || + || w – v || = d(u, w) + d(w, v).  EJEMPLO 6.3.10 Determine la distancia entre las funciones f(x) = Senx y g(x) = Cosx definidas en C[-; ]. SOLUCION Para determinar la distancia entre las funciones f(x) y g(x), debemos calcular d(f, g) = || f – g ||: f  g  Senx  Cosx   Senx  Cosx  Senx  Cosx 



  (Senx  Cosx)

2

dx  2 . 

EJEMPLO 6.3.11 Demostrar que entre todos los vectores u – v, donde u es un vector dado y v recorre el espacio dado V, tiene la longitud mínima el vector u – w, donde w es la proyección ortogonal de u sobre V. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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279

SOLUCION Desarrollamos lo siguiente: u v

2

 (u  w)  (w  v)

2

 uw

2

 wv

2

 uw

2

donde la igualdad es posible sólo para v = w.  EJEMPLO 6.3.12 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad uv

2

 u

2

 v

2

 u  v  u  v .

SOLUCION Descomponiendo || u + v ||2 en función del producto interior, obtenemos: uv

2

 u  v  u  v  u  u  u  v  v  u  v  v

 u  u  u  v  u  v  u  v

 u

2

 v

2

 u  v  u  v .

Con esto queda demostrada la identidad propuesta.  EJEMPLO 6.3.13 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad || u + v ||2 + || u – v ||2 = 2|| u ||2 + 2|| v ||2 SOLUCION Descomponiendo || u + v ||2 y || u – v ||2 en función del producto interior, obtenemos: || u + v ||2 = u + v  u + v = u  u + u  v + v  u + v  v = || u ||2 + || v ||2 + u  v + v  u 2 || u – v || = u - v  u - v = u  u - u  v - v  u + v  v = || u ||2 + || v ||2 - u  v - v  u Sumamos estas dos expresiones || u + v ||2 + || u – v ||2 = 2|| u ||2 + 2|| v ||2. Con esto queda demostrada la identidad.  TEOREMA 6.3.4 Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v  . Entonces  u  v d(u, Proyv u) < d(u, kv), k  .  v  v Sean u y v vectores distintos de cero. Por la desigualdad de Cauchy – Schwarz, tenemos |u  v|  || u || || v ||  - || u || || v ||  u  v  || u || || v || es decir,  u  v -1 1 u v En consecuencia, podemos encontrar un ángulo  en radianes, de manera que se cumpla lo siguiente. % CALCULO DE LA DISTANCIA ENTRE VECTORES clc;clear; fprintf('\n DISTANCIA ENTRE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

');

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fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end w=v-u fprintf('LA DISTANCIA ENTRE LOS VECTORES ES:\n') d=sqrt(w*w.')

Sean u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional, y suponga que estos vectores se colocan de modo que sus puntos iniciales parten del origen. Por ángulo entre u y v se entiende el ángulo  determinado por u y v que satisface 0    . Sean u = (a, b, c) y v = (x, y, z) dos vectores diferentes de cero. Si, como se muestra en la figura,  es el ángulo entre u y v, entonces la ley de los cosenos da v u u

2

 v

2

2

 u

2

 v

 2u  v  u

u  v  u

2 2

2 u

 v

2

v Cos 2 u

v Cos  Cos 

v Cos

 u  v . u v

DEFINICION 6.3.6 Sean u y v dos vectores no nulos del espacio vectorial euclídeo V. Se denomina coseno del ángulo que forman los vectores u y v, representado por Cos(u, v), al número real que cumple la igualdad  u  v . 0   (u, v)  . Cos(u, v)  u v Si  (u, v) = 90°, decimos que u y v son ortogonales. Si entre los vectores u y v existe al menos uno no nulo, el ángulo formado por tales vectores se considera indeterminado. EJEMPLO 6.3.14 En el espacio de cuatro dimensiones se dan dos planos, engendrados por los vectores del sistema S y S1. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con los vectores del segundo plano, hallar el mínimo: a.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (2, -2, 5, 2)}; b.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1)}. SOLUCION a.- La proyección del vector (t + 2r, t – 2r, t + 5r, t + 2r) sobre el primer plano es (t + 2r, t – 2r, 0, 0). Por consiguiente 2t 2  8r 2 2 x2  8 Cos 2   2  4t  14tr  37r 2 4 x 2  14 x  37 t donde x  . Esta expresión alcanza el máximo, igual a 8/9, para x = -4. r b.- El ángulo formado por cualquier vector del segundo plano con su proyección ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ortogonal sobre el primer plano queda invariante y es igual a /4.  EJEMPLO 6.3.15 Sea el espacio euclídeo V, cuyo producto interior está definido de forma usual. Determine el ángulo entre los vectores u  (1, 3, 5, ..., 2n  1) y v = (1, 0, 0, ..., 0). SOLUCION Aplicando la definición, obtenemos: Cos(u, v) 

(1, 3, 5, ..., 2n  1)  (1, 0, 0, ..., 0)

|| (1, 3, 5, ..., 2n  1) || || (1, 0, 0, ..., 0) || 1 Por lo tanto (u, v)  ArcCos .  n



1 . n

EJEMPLO 6.3.16 Sea S = {e1, e2, e3, e4} la base canónica de 4. Determine el ángulo entre los vectores u  7e1  5e2  3e3  2e4 y v  7e1  5e2 . SOLUCION Como S es la base canónica para 4, entonces u  ( 7, 5, 3, 2) y v  ( 7, 5, 0, 0) . Por la definición anterior: ( 7, 5, 3, 2)  ( 7, 5, 0, 0)

Cos(u, v) 

|| ( 7, 5, 3, 2) || || ( 7, 5, 0, 0) || Por lo tanto (u, v) = 32,84 °. 



12 17 12



12 . 17

EJEMPLO 6.3.17 La desigualdad 2 

 u  v    u  v  2 demuestra que siempre existe un único u v

ángulo  en el intervalo 0     que satisface esta igualdad. Demostrar que || u – v ||2 = || u ||2 + || v ||2 - 2|| u |||| v ||Cos SOLUCION  u  v   u  v  u  v    u  v Sabemos que Cos(u, v)  para 2   2 . Entonces: 2 u v u v u v

2

 u

2

 u

2

 v

2

 v

2

 u  v  u  v  u 2 u

2

 v

v Cos(u, v)  u

2

2

 (u  v  u  v )

 v

2

2 u

v Cos .

Con esto queda demostrada la identidad.  EJEMPLO 6.3.18 Tres vectores u, v, w de V satisfacen lo siguiente: || u || = || w || = 5, || v || = 1 y || u – v + w || = || u + v + w ||. Si el ángulo que forman u y v es /8, hallar el que forman v y w. SOLUCION Sabemos que u  v  w  u  v  w  v  w = - u  v. Como Cos(u, v) 

entonces

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 u  v u v

y Cos(v, w) 

v  w v w

u  v  5Cos(u, v) y v  w  5Cos(v, w) . JOE GARCIA ARCOS

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De donde 5Cos(u, v) = -5Cos(v, w)  Cos(u, v) = -Cos(v, w).  7 Como (u, v) = , entonces (v, w) = .  8 8 El coseno del ángulo que forman los vectores u y v está comprendido entre –1 y 1, alcanzando estos valores extremos únicamente si u y v son linealmente dependientes. El hecho de que el producto interior sea cero, es una prueba para que dos vectores sean ortogonales. Esto motiva la definición de que dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto interior es cero. Como el producto interior de cualquier vector con el vector nulo  es cero, se acostumbra decir que el vector nulo es ortogonal a cualquier otro vector. Si los vectores u y v son no nulos y  es el ángulo entre ellos, entonces a.-  es agudo, si y sólo si u  v > 0. b.-  es obtuso, si y sólo si u  v < 0. c.-  es /2, si y sólo si u  v = 0. EJEMPLO 6.3.19 Si u = (3, -i, 2) y v = (1 + i, 1 – i, 2 + 3i), hallar un vector no nulo w de 3 ortogonal simultáneamente a u y v. SOLUCION Como w pertenece a 3, entonces: u  w = (3, -i, 2)  (a, b, c) = 3a – ib + 2c = 0; v  w = (1 + i, 1 - i, 2 + 3i)  (a, b, c) = (1 + i)a + (1 – i)b + (2 + 3i)c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones anotadas, obtenemos: i 2 0  3 i 2 0   2i  2 0 1 0  3   .    2i  2 4  7i 0  1  i 1  i 2  3i 0   0 2i  2 4  7i 0   0 Por lo tanto w = (2 + 2i, 6 – 22i, 8).  EJEMPLO 6.3.20 Si u = (-1, 4, 3) y v = (2, 5, 1), hallar un vector no nulo w de V tal que sean ortogonales simultáneamente. SOLUCION Como w pertenece a 3, entonces: u  w = (-1, 4, 3)  (a, b, c) = -a + 4b + 3c = 0 v  w = (2, 5, 1)  (a, b, c) = 2a + 5b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones anotadas, obtenemos:  1 4 3 0   1 4 3 0  13 0 11 0       .  2 5 1 0   0 13 7 0   0 13 7 0  Por lo tanto w = (-11, -7, 13).  EJEMPLO 6.3.21 Si u = (7, 4, 5) y v = (-3, 2, -1), hallar los escalares a y b tales que w = au + bv es un vector no nulo y que w y v sean ortogonales. SOLUCION Tenemos que w = a(7, 4, 5) + b(-3, 2, -1) = (7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b) y w  v = (7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b)  (-3, 2, -1) = 0, de donde ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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9 -3(7a - 3b) + 2(4a + 2b) – (5a - b) = 0  -18a + 14b = 0  b  a . 7 De donde  22 46 26  w   a, a, a  ,  a  0.  7 7   7

EJEMPLO 6.3.22 Si u = (2, -2, 1) y v = (-1, 1, 2), hallar los vectores w y x de V tales que v, x sean ortogonales, w sea paralelo a v y u = w + x. SOLUCION Sabemos que v  x = 0  (-1, 1, 2)  (a, b, c) = -a + b + 2c = 0  a – b – 2c = 0; w = kv  w = k(-1, 1, 2) = (-k, k, 2k); u = w + x  (2, -2, 1) = (-k, k, 2k) + (a, b, c) = (a – k, b + k, c + 2k)  ak  2  a  2k  b  k  2  b  2  k .  c  2k  1  c  1  2k  Reemplazando los valores de a, b y c en la primera ecuación, obtenemos que 1 k   . Este valor de k lo reemplazamos en w y x, donde: 3 1 1 2 1 w   (2,  2, 1)   ,  ,   ; 3 3 3 3 1 1 2 5 5 5  x  (2  k ,  2  k , 1  2k )   2  ,  2  , 1     ,  ,  .  3 3 3 3 3 3    EJEMPLO 6.3.23 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n k k  f  g   f   g   . k 0  n   n  Hallar todos los polinomios g(t) ortogonales a f(t) = t. SOLUCION k Hacemos que g(t) = a0 + a1t + a2t2 + ... + antn y t  , entonces: n 1

1

t 0

t 0

 f  g    f (t ) g (t )   (a0  a1t  a2t 2  ...  ant n )t  a0  a1  a2  ...  an  0 .

De donde a0 = - (a1 + a2 + ... + an). Por lo tanto, el polinomio buscado tiene la forma siguiente: g(t) = - (a1 + a2 + ... + an) + a1t + a2t2 + ... + antn.  % CALCULO DEL ANGULO ENTRE VECTORES clc;clear; fprintf('\n ANGULO ENTRE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: '); fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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%for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :'); end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v fprintf('\n EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') p=u*v' fprintf('\n LAS NORMAS SON:\n') Norma1=sqrt(u*u') Norma2=sqrt(v*v') fprintf('EL ANGULO ENTRE LOS VECTORES ES:\n') d=(acos(p/(Norma1*Norma2)))*180/pi if (p>0) fprintf('El angulo es agudo\n') end if (p n, entonces alguno de los vectores de este conjunto es el vector .

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6.4.2 Para cualquier subespacio U de dimensión m  1 en un espacio vectorial V de dimensión n (m < n), demostrar que V tiene una base ortonormal formada de m vectores en U y n – m vectores ortogonales a todos los vectores en U. 6.4.3 Sea un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cualquier conjunto de n vectores ortogonales es una base de V. 6.4.4 Para que dos subespacios sean ortogonales, es necesario y suficiente que todo vector de cualquier base de un subespacio sea ortogonal a todos los vectores de cualquier base de otro subespacio. 6.4.5 Completar los siguientes sistemas de vectores hasta bases ortonormales:  11 2 2  2 14 1   a.-   ,  ,  ,   ,  ,    ;  5 15 3   15 15 3    1 1 1 1   1 1 1 1   b.-  ,  , ,   ,   , , ,    .  2 2 2 2   2 2 2 2  

6.4.6 Sea u1, u2, …, un una base ortonormal de un espacio euclídeo. Hallar la expresión del producto interior de los vectores arbitrarios u y v haciendo uso de sus coordenadas: a.- En la base 1u1, 2u2, …, nun, donde 1, 2, …, n son escalares no nulos; b.- En la base u1 + u2, u2, u3, …, un. 6.4.7 Describe los vectores u  3 que son ortogonales al vector (-3, 4 , 3). Verifique que éste es un subespacio de 3 del tipo S = {(x, y, z) / ax + by + cz = 0}. Más en general, demuestre que todo subespacio S de 3 como el anterior, es descrito como S = {u   / u  v = 0} para algún v  3. 6.4.15 Escriba de manera vectorial cada una de las rectas dadas a continuación. Es decir, como un conjunto de vectores (x , y)  2 tales que (x, y) = (0, b) + t(1, m), t  R, haciendo una gráfica en cada caso: a.- y = 5x; b.- y = 2x – 1; c.- y = - x + 5; d.- y = -3x –1; e.- y = x – 7. 6.4.16 Considere la recta L = {(x, y) / (x, y) = (0, 3) + t(1, 2), t  }. Verifique que (2, 7)  L. ¿Significa esto que el vector (2, 7) se encuentra sobre la recta L? 6.4.18 Se sabe que todo conjunto ortogonal de n vectores no nulos en n es una base de este espacio. ¿Es cierta la afirmación recíproca? 6.4.13 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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6.4.8 Agregar a la matriz 1 1 1 2 1     1 0 0 1 2   2 1 1 0 2    dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales a las primeras tres filas. 6.4.9 Mediante el proceso de ortogonalización, construir una base ortogonal del subespacio dado por el sistema de vectores: a.- (2, 3, -4, -6), (1, 8, -2, -16), (12, 5, -14, 5), (3, 11, 4, 7); b.- (1, 1, -1, -2), (-2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7), (3, -3, -3, -9). 6.4.10 Para el sistema de ecuaciones 3 x  y  z  u  0  x  2 y  z  u  0 hallar un sistema fundamental ortonormal de soluciones. 6.4.14 Sea {u1, u2, ..., uk} un subconjunto ortonormal de n y sea u cualquier vector en n. Demuestre que 2

u

k

  u  ui  2 . i 1

6.4.25 Sea {u1, u2, ..., un} una base ortonormal de n. Demuestre que u

2

 u  u1 

2

 u  u2 

2

 ...  u  un 

2

para cualquier vector u en n. 6.4.26 Determine los números a0, b0, b1, c0, c1, c2 de modo que las funciones f(x) = c0, g(x) = b0 + b1x, h(x) = c0 + c1x + c2x2 formen un conjunto ortonormal sobre el intervalo – 1  x  1. 6.4.27 Demostrar que si las funciones f(x), g(x), h(x) forman un conjunto ortogonal sobre un intervalo a  x  b, entonces las funciones f(t + ), g(t + ), h(t + ),   0, forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo a  b  t  .   6.4.28 Agregar a la matriz  3 1 1 1 2     1 1 1 2 2   1 2 1 3 1    dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales a las primeras tres filas. 6.4.19 Mediante el proceso de ortonormalización, hallar una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0). JOE GARCIA ARCOS

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6.4.20 Considere la base canónica de 3. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(2/3, 2/3, 1/3), (2/3, 1/3, -2/3), (1/3, 2/3, 2/3)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S? 6.4.21 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3). 6.4.22 Construir una base ortonormal del espacio, tomando como vectores de la base los vectores (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) y (1/6, 1/6, 1/2, -5/6). 6.4.23 Considere la base canónica de 2. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(½, ½, ½, ½), (½, ½, -½, -½), (½, -½, ½, -½), (½, -½, -½, ½)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S? 6.4.30 Mediante el proceso de ortogonalización, hallar una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0).

6.4.29 Sea S = {(1, -1, 1), (1, 2, -2)} una base de un subespacio de 3 y sea u = (-1, -1, 3) un vector en el subespacio: a.- Exprese u como una combinación lineal de los vectores en S. Es decir, encuentre las coordenadas de u con respecto a S; b.- Aplique el proceso de ortonormalización de GramSchmidt para transformar S en un conjunto ortonormal; c.- Exprese u como una combinación lineal de los vectores de la base ortonormal. 6.4.24 Encuentre bases ortonormales para los subespacios de C4: a.- S = {(x, y, z, u)  C4 / ix – y + z = 0}; b.- S = {(x, y, z, u)  C4 / x = iu, y = iz + iu}. 6.4.31 Considere la base canónica de 2. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(3/5, 4/5), (-4/5, 3/5)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S?

6.5 SUBESPACIO COMPLEMENTO ORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO En esta sección se estudiarán varios problemas relacionados con el complemento ortogonal, proyecciones ortogonales y la distancia de un vector a un subespacio. Consideremos ahora un conjunto no vacío cualquiera S de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todos los vectores del espacio V ortogonales a S se llama complemento ortogonal del conjunto S. DEFINICION 6.5.1 Sea V un espacio vectorial euclídeo y S es un subconjunto de V. El complemento ortogonal de S en V es definido y representado por el subespacio S = {v  V / v  w = 0, para cada w  S}. Si U es un subespacio de dimensión finita de V, la proyección ortogonal ProyU : V  V es la única operación lineal donde ProyU(w) = w para todo W  U, y ProyU(v) =  para todo v  U. TEOREMA 6.5.1 Dado V un espacio vectorial euclídeo, entonces U es un subespacio de V. DEMOSTRACION Si u y v pertenecen al complemento ortogonal U y w es un vector cualquiera de U, se tiene au + bv  w = au  w + bv  w = 0. Por consiguiente, cualesquiera que sean a y b el vector au + bv está contenido en U y U es un subespacio vectorial.  DEFINICION 6.5.2 La totalidad de todos los vectores ortogonales al subespacio U, se denomina complemento ortogonal del subespacio U y se representa por U. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Si U es un subespacio del espacio vectorial euclídeo V, su subespacio ortogonal U es tal que la suma de U y U es directa. El hecho de que en el espacio ordinario ocurra que U y U sean siempre subespacios suplementarios puede hacer suponer que ocurra también así en todo espacio vectorial euclídeo; sin embargo, en general, las cosas no ocurren de esta manera, aun cuando, si el espacio es de dimensión finita, se satisfaga que el subespacio ortogonal de un subespacio dado sea un subespacio suplementario suyo. TEOREMA 6.5.2 El espacio euclídeo V es la suma ortogonal de cualquier subespacio vectorial U de V y su complemento ortogonal U, es decir V = U  U. DEMOSTRACION Sea u1, u2, ..., uk una base ortonormal del subespacio U y sea uk+1, uk+2, ..., un una base ortonormal del subespacio U. Para demostrar el teorema es suficiente ver que u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un es una base del espacio vectorial V. Supongamos, por el contrario, que el sistema u1, u2, ..., un no es una base del espacio vectorial V. Entonces este sistema puede ser complementado hasta obtener una base ortonormal del espacio vectorial V. Sea u uno de los vectores complementarios. Puesto que u es ortogonal a todos los vectores u1, u2, ..., uk, el vector u está contenido en U. Por consiguiente, U contiene un sistema ortonormal y, por ende, linealmente independiente de vectores uk+1, uk+2, ..., un, u. Pero esto contradice a nuestra hipótesis de que uk+1, uk+2, ..., un es una base de U.  TEOREMA 6.5.3 Si U es un subespacio de V, entonces DimU + DimU = n. Además, si {u1, u2, ..., uk} es una base de U y {uk+1, uk+2, ..., un} es una base de U, entonces {u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un} es una base de V. DEMOSTRACION Si U = {}, entonces U = V y DimU + DimU = 0 + n = n. Para demostrar que {u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un} es una base para U, basta probar que los n vectores son linealmente independientes. Supóngase que a1u1 + a2u2 + ... + akuk + ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun =  Sean u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk y v = ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun Tenemos entonces que u + v = , de donde u = - v. Por lo tanto, u y v son elementos de U  U. Pero U  U = {}. En consecuencia a1u1 + a2u2 + ... + akuk =  y ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun =  Como u1, u2, ..., uk son linealmente independientes, entonces a1 = a2 = ... = ak = 0. De manera similar uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y por tanto, ak+1 = ak+2 = ... = an = 0. En consecuencia, u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y, en consecuencia, forman una base para V.  TEOREMA 6.5.4 Supóngase que V es un espacio vectorial euclídeo y U es un subespacio de V de dimensión finita. Entonces la única proyección ortogonal es ProyU : V  V. Sea S = {w1, w2, ..., wk} una base ortonormal de U. La proyección ortogonal ProyU se establece como ProyU(v) = v  w1w1 + v  w2w2 + ... + v  wkwk. DEMOSTRACION Como S ={w1, w2, ..., wk} es una base ortonormal de U, un vector v se puede expresar como v = a1w1 + a2w2 + ... + akwk. Para todo vector wi en S se tiene ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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v  wi = a1w1 + a2w2 + ... + akwk  wi = a1w1  wi + a2w2  wi + … + akwk  wi Como S es un conjunto ortonormal, entonces se cumple que wi  wi = 1 y wj  wi = 0 si i  j. Por consiguiente, la expresión anterior se reduce a v  wi = ai, con lo cual queda demostrado el teorema.  Sea U un plano que pasa por el origen de R3, y sea u un punto arbitrario que no está en U. Entonces, si v indica la proyección perpendicular de u a U, la distancia de u a U se define como la longitud del vector u – v, como se muestra en la figura. Más aún, el vector v se caracteriza por la propiedad de que es el vector único en U tal que u – v es perpendicular a U. El vector v en la descomposición u = v + w se llamará proyección del vector u sobre el subespacio U; w, perpendicular trazada desde el vector u al subespacio U; el propio vector u, línea oblicua al subespacio U. DEFINICION 6.5.3 Se denomina ángulo entre el vector u y el subespacio U el menor de los ángulos formados por el vector u y los vectores de U. Ahora se hace ver que el vector w, que es llamado la componente de u perpendicular a U, puede usarse para medir la distancia de u a U. Para hacerlo, sea z  w cualquier vector en V tal que u – w pertenezca a U (puede imaginarse a z como un vector de U al punto u). Entonces, ya que z – w puede expresarse como la diferencia de dos vectores en U, también pertenece a U y, así, es ortogonal a w. Ahora se sigue, del teorema pitagórico, que || z ||2 = || w ||2 + || z – w ||2 y, luego, ya que || z – w || > 0, que || z || > || w ||. En otras palabras, de todos los vectores z en V tales que u – z pertenezca a U, w es aquél cuya longitud es la menor. Esto sirve para justificar la siguiente definición. Si U es un subespacio de dimensión finita de un espacio euclídeo V, y u es cualquier vector en V, entonces la distancia de u a U es la longitud de la componente de u perpendicular a U. En términos de una definición se puede describir la proyección perpendicular u – w de u sobre U como aquel punto en el cual U está más cercano a u, en el sentido de que si x es otro vector cualquiera en U, entonces || u – x || es mayor que || w ||. EJEMPLO 6.5.1 2 1 Dada la matriz P    . Hallar el conjunto de todas las matrices M tales que  4 2 PM = MP y determine el complemento ortogonal. SOLUCION Para determinar el conjunto de matrices M para que cumpla PM = MP, debemos tomar una matriz M cuyos elementos sean variables y luego multiplicar por la izquierda y por la derecha de la igualdad a la matriz P, es decir 4b  c  0 ad 0  2 1  a b   a b  2 1  4b  c  0            4 2  c d   c d  4 2  ad 0 ad 0 4b  c  0

 a b  a  d  0   0 1   1 0      S   Base S =   ,   . c d 4 b  c  0 4 0 0 1           Aplicando la definición de complemento ortogonal, obtenemos ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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 a b   0 1     b  4c  0  b = - 4c;  c d   4 0  a b  1 0      a  d  0  a = - d;  c d  0 1

  a b  b  4c   S    .      c d  a  d 

EJEMPLO 6.5.2 Sea V un espacio vectorial con producto interior y sean U y W subespacios de V. Verifíquese lo siguiente: a.- Si U  W entonces W  U; b.- Span(U) = U; c.- U  (U); d.- Si V es de dimensión finita, entonces U = (U); e.- (U + W) = U  W; f.- U + W  (U  W). SOLUCION a.- Suponga que U  W y que u  W; entonces u  v = 0 para todo v  W, luego para todo v  U; por lo tanto, u  U. b.- Por el inciso a), sabemos que Span(U)  U. Veremos también que U  Span(U). Si u es un elemento de Span(U), entonces u puede escribirse como combinación lineal de elementos de U, es decir u = a1u1 + a2u2 + ... + anun para algunos escalares a1, a2, ..., an y algunos vectores u1, u2, ..., un de U. Por tanto, si v  U, tenemos que u  v = a1u1  v + a2u2  v + ... + anun  v = 0 y v pertenece a Span(U). c.- Si u  U y v  U, entonces u  v = 0. Luego, si u  U, u es ortogonal a todo elemento de U; por lo tanto, u  (U). Con esto hemos visto que U  (U). d.- Basta tener en cuenta que U  (U) y que ambos subespacios tienen la misma dimensión. e.- Por el inciso a), al estar U y W contenidos en U + W, se tiene que (U + W)  U y (U + W)  W, y en consecuencia (U + W)  U  W. Además, si u  U  W y v = v1 + v2  U + W con v1  U y v2  W, u  v = u  v1 + u  v2 = 0, y u  (U + W). f.- Del inciso a) se deduce que U  (U  W) y W  (U  W), luego, por la definición de subespacio suma, tenemos que U + W  (U  W).  EJEMPLO 6.5.3 Demuestre que Span(S) = S. SOLUCION Ya que S es un subespacio que contiene a S, Span(S)  S. Sabemos que S  Span(S), S  (Span(S)), S  (Span(S)) = Span(S).  EJEMPLO 6.5.4 Determinar la proyección ortogonal del vector u = (1, 2, 3) sobre el subespacio generado por el plano a + 2b – c = 0. SOLUCION Debemos encontrar la base ortonormal para el subespacio generado por a + 2b – c = 0. Es decir c = a + 2b y (a, b, c) = (a, b, a + 2b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2). Por lo tanto {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} forman una base para el subespacio. La base ortonormal la podemos encontrar utilizando el proceso de Gram – Schmidt; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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 1 1  (1, 0,1), (1,1,1)   3  2  Por lo tanto la proyección ortogonal es 1 1 1 ProyU v  (1, 2, 3)  (1, 0,1) (1, 0,1)  (1, 2, 3)  (1,1,1) 2 2 3

1 3

(1,1,1)

4 4  2 4 10   (1, 0,1)  (1,1,1)   , , .  2 3 3 3 3 

EJEMPLO 6.5.5 Si V es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales definidos en el intervalo [-1; 1], encuentre el subespacio complemento ortogonal: a.- W = {1, t, t2}; b.- W = {t + t2, t2 + t3}. SOLUCION a.- Tomamos un genérico de P2, a + bt + ct2, tales que cumpla con las siguientes condiciones: 1 2(3a  c)  a  bt  ct 2 1   (a  bt  ct 2 )dt   0  3a + c = 0; 1 3 1 2b  a  bt  ct 2  t    (a  bt  ct 2 )t dt   0  b = 0; 1 3 1 2(5a  3c)  a  bt  ct 2  t 2    (a  bt  ct 2 )t 2 dt   0  5a + 3c = 0. 1 15 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a = b = c = 0. Por lo tanto W = {}. b.- Tomamos un genérico de P3, a + bt + ct2 + dt3, tales que cumpla con las siguientes condiciones: 1 2(5a  5b  3c  3d )  a  bt  ct 2  dt 3  t  t 2    (a  bt  ct 2  dt 3 )(t  t 2 )dt  0 1 15 5a + 5b + 3c + 3d = 0; 1

 a  bt  ct 2  dt 3  t 2  t 3    (a  bt  ct 2  dt 3 )(t 2  t 3 )dt 1

2(35a  21b  21c  15d )  0 105 35a + 21b + 21c + 15d = 0.

Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a  

3c 29d  , 5 35

10d . Por lo tanto el subespacio complemento ortogonal es: 7 3c 29d 10d   W  a  bt  ct 2  dt 3  P3 / a    ,b . 5 35 7   La base de este subespacio se encuentra de la siguiente manera:  3c 29d 10d   3   29 10  (a, b, c, d )     , , c, d   c   , 0,1, 0   d  ,  , 0,1 . 5 35 7 5 35 7       Entonces la base es: {3  5t 2 , 29  50t  5t 3} .  b

EJEMPLO 6.5.6 ¿Dónde está la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano  generado por los vectores (1, 0, 0) y (1, 1, 0)? SOLUCION Para encontrar la proyección del vector sobre el plano, tenemos que encontrar una base ortonormal del plano. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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(1,1, 0)  (1, 0, 0) (1, 0, 0)  (1,1, 0)  (1, 0, 0)  (0,1, 0) . (1, 0, 0)  (1, 0, 0) La base ortogonal es {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal, que es precisamente la base ortogonal. Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano : Proyu = (1, 1, 1)  (1, 0, 0)(1, 0, 0) + (1, 1, 1)  (0, 1, 0)(0, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0). Con este resultado podemos darnos cuenta que, la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano , está ubicado en el plano XY. 

v1  (1, 0, 0) ; v2  (1,1, 0) 

EJEMPLO 6.5.7 Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3, 4) sobre el subespacio de R4 generado por los vectores (1, 0, 1, 0) y (1, -1, 1, -1). SOLUCION Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar una base ortonormal del subespacio. Es decir: v1  (1, 0,1, 0) ; (1,  1,1,  1)  (1, 0,1, 0) v2  (1,  1,1,  1)  (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0)  (1, 0,1, 0)  (1,  1,1,  1)  (1, 0,1, 0)  (0, 1, 0, 1) . La base ortogonal es {(1, 0, 1, 0), (0, -1, 0, -1)}. Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal: 1  1  (1, 0,1, 0), (0,  1, 0,  1)  .  2  2  Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano : 1 1 Proy W u  (1, 2, 3, 4)  (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0)  2 2  (1, 2, 3, 4) 

1

2  2(1, 0,1, 0)  3(0,  1, 0,  1)  (2, 3, 2, 3) . 

(0,  1, 0,  1)

1 2

(0,  1, 0,  1)

EJEMPLO 6.5.8 Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3) sobre el plano dado implícitamente por x + y + z = 0. SOLUCION Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar una base ortonormal del subespacio. Es decir: v1  (1,1, 0) ; (1, 0,1)  (1,1, 0) 1  1 1  (1,1, 0)  (1, 0,1)  (1,1, 0)    ,  ,1 (1,1, 0)  (1,1, 0) 2  2 2  La base ortogonal es   1 1  (1,1, 0),   ,  ,1  .  2 2   Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal:  1 1  (1,1, 0), (1,  1, 2)  .  2 6   Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano : v2  (1, 0,1) 

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Proy W u  (1, 2, 3) 

1 2

(1,1, 0)

1 2

(1,1, 0)   (1, 2, 3) 

1 6

(1,  1, 2)

1 6

(1,  1, 2)

1 1  (1,1, 0)  (1,  1, 2)  (1, 0,1) .  2 2

EJEMPLO 6.5.9 Para cada uno de los subespacios W de R4, escriba el vector u dado como una suma de un vector de W y otro de W: a.- W = {(a, b, c, d) / a = b}, u = (1, 3, 1, 1); b.- W = {(a, b, c, d) / a + b + c + d = 0}, u = (2, 1, 1, 0); c.- W = {(1, 3, 1, 1), (2, -1, 0, 1)}, u = (1, 3, 1, 0); d.- W = {(2, 1, -1, 0), (3, 1, 0, 1)}, u = (2, 1, 0, 1). SOLUCION a.- La base de W la encontramos de la siguiente manera: (a, b, c, d) = (b, b, c, d) = b(1, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Ortonormalizamos esta base, obtenemos:  1  (1,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)  .  2   Encontramos el vector v = ProyWu  W de la siguiente manera: 1 v  (1, 3,1,1)  (1,1, 0, 0)(1,1, 0, 0)  (1, 3,1,1)  (0, 0,1, 0) (0, 0,1, 0)  2 (1, 3,1,1)  (0, 0, 0,1) (0, 0, 0,1)  2(1,1, 0, 0)  (0, 0,1, 0)  (0, 0, 0,1)  (2, 2,1,1) . Sabemos que w = u – v  W, de donde: w = (1, 3, 1, 1) – (2, 2, 1, 1) = (-1, 1, 0, 0). De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W. b.- La base de W la encontramos de la siguiente manera: (a, b, c, d) = (- b – c – d, b, c, d) = b(-1, 1, 0, 0) + c(-1, 0, 1, 0) + d(-1, 0, 0, 1) {(-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)}. Ortonormalizamos esta base, obtenemos:  1 1 1  (1,1, 0, 0), (1,  1, 2, 0), ( 1,  1,  1, 3)  .  6 2 3  2  Encontramos el vector v = ProyWu  W de la siguiente manera: 1 1 v  (2,1,1, 0)  (1,1, 0, 0) (1,1, 0, 0)  (2,1,1, 0)  (1,  1, 2, 0) (1,  1, 2, 0)  2 6 1  (2,1,1, 0)  (1,  1,  1, 3) (1,  1,  1, 3) 12 1 1 1   (1,1, 0, 0)  (1,  1, 2, 0)  (1,  1,  1, 3)  (1, 0, 0,  1) . 2 6 3 Sabemos que w = u – v  W, de donde: w  (2,1,1, 0)  (1, 0, 0, 1)  (1,1,1,1) . De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W. c.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal:  1 1  (1, 3,1,1), (2,  1, 0,1)  .  6 2 3  Encontramos el vector v = ProyWu  W de la siguiente manera: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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1 1 (1, 3,1, 0)  (1, 3,1,1) (1, 3,1,1)  (1, 3,1, 0)  (2,  1, 0,1) (2,  1, 0,1) 12 6 11 1 7 35 11 3    (1, 3,1,1)  (2,  1, 0,1)   , , ,  12 6  12 12 12 4  Sabemos que w = u – v  W, de donde: 3  7 35 11 3   5 1 1 w  (1, 3,1, 0)   , , ,    , , ,   . 12 12 12 4 12 12 12 4    De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W. d.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal:  1 1  (2,1,  1, 0), (4,  1, 7, 6)  .  102  6  Encontramos el vector v = ProyWu  W de la siguiente manera: 1 1 v  (2,1, 0,1)  (2,1,  1, 0) (2,1,  1, 0)  (2,1, 0,1)  (4,  1, 7, 6) (4,  1, 7, 6) 6 102 5 13  37 12 1 13   (2,1,  1, 0)  (4,  1, 7, 6)   , , ,  6 102  17 17 17 17  Sabemos que w = u – v  W, de donde: 1 4  37 12 1 13   3 5 w  (2,1, 0,1)   , , ,     , ,  ,  .  17 17 17 17   17 17 17 17  De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W.  v

EJEMPLO 6.5.10 Sea W el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales  2a  b  c  3d  0  4a  4b  4c  8d  0  3a  3b  3c  6d  0 

Escriba el vector (7, -4, -1, 2) como una suma de un vector en W y otro en W. SOLUCION La base de este subespacio es: {(0, -1, 1, 0), (-5, 7, 0, 1)} Ortonormalizando esta base, obtenemos:  1 1  (0,  1,1, 0), (10, 7, 7, 2)  .  202  2  Encontramos el vector v = ProyWu  W de la siguiente manera: 1 v  (7,  4,  1, 2)  (0,  1,1, 0) (0,  1,1, 0)  2 1  (7,  4,  1, 2)  (10, 7, 7, 2)(10, 7, 7, 2) 202 3 1  (0,  1,1, 0)  (10, 7, 7, 2)  (5,  5,  2,  1) . 2 2 Sabemos que w = u – v  W, de donde: w = (7, -4, -1, 2) – (5, -5, -2, -1) = (2, 1, 1, 3). De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W.  EJEMPLO 6.5.11 Encuentre la proyección ortogonal de cada uno de los vectores siguientes en [-; ] sobre el subespacio indicado W, y calcular la distancia del vector al subespacio y el ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ángulo formado por el vector y el subespacio: a.- f(t) = t, W = {1, Cost, Sent}; b.- f(t) = Cos2t, W = {1, Cos2t}. SOLUCION a.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W, debemos ortonormalizar la base del subespacio W: 







1 Cost    Cost dt  0 ; 1 Sent    Sent dt  0 ; 

Cost  Sent    CostSent dt  0 . 

La base ortogonal es: {1, Cost, Sent}. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: 1  11 



 dt 

2 ; 

 Sen t dt 

Sent   Sent  Sent  

2



;

2

 1 1 1  ;  , Cost , Sent  .   2  

La proyección ortogonal es: 1  1  1 ProyW f (t )  t dt 1   tCost dt  Cost     2    1  2Sent . La distancia del vector al subespacio es:





 Cos t dt 

Cost  Cost  Cost  





f (t )  ProyW f (t )  t  1  2Sent  t  1  2Sent  









tSent dt  Sent



 (t  1  2Sent )

2

dt

2(2  3) . 3 El ángulo formado por el vector y el subespacio es: t 1  2Sent  ( f (t ), Proy W f (t ))  ArcCos t 1  2Sent 



 ArcCos

 t (1  2Sent ) dt 

 t

2



 (1  2Sent )

dt

 ArcCos 2

dt

2 . 

b.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W, debemos ortonormalizar la base del subespacio W: 

1 Cos 2t    Cos 2t dt  0 . 

La base ortogonal es: {1, Cos2t}. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: 1  11 



 dt 

Cos 2t  Cos 2t  Cos 2t  



2 ;

 Cos

2

2t dt   ;

 1 1  , Cos 2t  .  2    

La proyección ortogonal es: 1  1 ProyW f (t )  Cos 2t dt 1  2   1 1   Cos 2t  Cos 2t . 2 2 La distancia del vector al subespacio es:



ALGEBRA LINEAL CON MATLAB











Cos 2tCos 2t dt  Cos 2t

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309

f (t )  ProyW f (t )  Cos 2t  Cos 2t  Cos 2t  Cos 2t  



 0 dt  0 .

El ángulo formado por el vector y el subespacio es: Cos 2t  Cos 2t  ( f (t ), Proy W f (t ))  ArcCos Cos 2t Cos 2t 

 ArcCos

 Cos t dt 

4



 0. 

 Cos t dt  Cos t dt 4

4

PROBLEMAS 6.5.1 Sea W la recta en R2 cuya ecuación es y = 3x. Encontrar una ecuación para W. vértices son: a.- A = (1, 4, 2), B = (3, -1, 2), C = (0, 6, 1); b.- A = (0, 2, 1), B = (-1, 3, -2), C = (1, -3, -2).

a.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, -2, 5, 2); b.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, -1, 1, -1).

6.5.2 Sea W el plano en R3 cuya ecuación es 2x – y – 2z =0. Encuentre las ecuaciones paramétricas para W.

6.5.9 Use el concepto de proyección de un vector sobre otro para calcular el área del triángulo cuyos  5 3  d.- u   , 2 4 

6.5.3 El subespacio U es la suma ortogonal de los subespacios U1 y U2. El vector u es ortogonal al subespacio U1. Demuestre que el ángulo formado por u y U es igual al ángulo comprendido entre u y U2. 3

6.5.4 Sea W la recta en R con ecuaciones paramétricas x = 2t, y = -5t, z = 4t, - < t < +. Determine una ecuación para W. 6.5.5 Sea {u1, u2, …, uk} una base para un subespacio W de V. Demuestre que W consta de todos los vectores en V que son ortogonales a todos los vectores básicos. 6.5.6 En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el vector u, proyección del vector y sobre el vector x. Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal a y – u: a.- x = (3, -2, 1), y = ( 1, -1, 2); b.- x = (4, -5 7), y = (2, -2, 1); c.- x = (1, 1, 3), y = (4 ,1, 2). 6.5.7 Hallar el ángulo entre los vectores del espacio R4, engendrado por los vectores u1, u2, …, um y el vector u: a.- u = (1, 3, -1, 3), u1 = (1, -1, 1, 1), u2 = (5, 1, -3, 3); b.- u = (2, 2, -1, 1), u1 = (1, -1, 1, 1), u2 = (-1, 2, 3, 1), u3 = (1, 0, 5, 3). 6.5.8 En el espacio R4 se dan dos planos, engendrados por los vectores u1, u2 y v1, v2. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con los vectores del segundo plano, hallar el mínimo: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

  2 1  4 3   1 0    S   ,  ,   ; 3 5  5  7 7 11         8 7 e.- u   ,  4 5

  3 2   2 3   1 1   S   ,  ,   ; 1 4 2  3  1 7         2  3   f.- u   , 4 5     1 2   3 4   4 5    S   ,  ,   ; 7  8 1  2 6  7        

g.- p(t )  2t 2  3t  1 ,





S  4t 2  3t  1, 5t 2  11t  3 ;

h.- u = (-3, 0, -5, 9),  3x  2 y  z  2u  0  S  5 x  4 y  3z  2u  0 .  x  2 y  3z  10u  0  6.1510 Sea v el vector de R3 cuyo punto inicial está en (1, -1, 5) y cuyo punto final está en (5, 4, -3). Encuentre la proyección del vector (2, 2, 1) sobre v. 6.5.11 Descomponer el vector u en una suma de dos vectores, uno de los cuales esté situado en el espacio engendrado por los vectores u1, u2, …, um y el otro sea ortogonal a este espacio a.- u = (5,2, -2, 2), u1 = (2, 1, 1, -1), u2 = (1, 1, 3, 0); JOE GARCIA ARCOS

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b.- u = (-3, 5, 9, 3), u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, -1, 1, 1), u3 = (2, -7, -1, -1). 6.5.12 Hallar la proyección ortogonal del vector u sobre el subespacio generado por el conjunto S: a.- u = (14, -3, -6, -7), S = {(-3, 0, 7, 6), (1, 4, 3, 2), (2, 2, -2, -2)}; b.- u = (2, -5, 3, 4), S = {(1, 3, 3, 5), (1, 3, -5, -3), (1, -5, 3, -3)}; c.- u = (2, -1, 1, 2), S = {(6, -3, 2, 4), (6, -3, 4, 8), (4, -2, 1, 1)}; 6.5.13 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones polinómicas definidas sobre el intervalo [-1; 1] y sea W el subespacio de V que consta de todas las funciones polinómicas impares. Encuentre W, donde 1

 p  q   p( x)q( x)dx . 1

6.5.15 En el espacio Pn de polinomios de grado  n con coeficientes reales, el producto interior de polinomios se determina por la fórmula  p  q  a0b0  a1b1  ...  anbn . Hallar el complemento ortogonal: a.Del subespacio de todos los polinomios que satisfacen la condición p(1) = 0; b.- Del subespacio de todos los polinomios pares del espacio Pn. 6.5.16 La suma directa de los subespacios U y U engendra el espacio euclídeo V. Demostrar que esto es también correcto para sus complementos ortogonales, es decir, V = U1 + U2 . 6.5.17 Encuentre la base del complemento ortogonal del subespacio generado por el sistema de vectores del espacio R4: {(1, 3, 0, 2), (3, 7, -1, 2), (2, 4, -1, 0)}

6.5.14 Demuestre que la suma de ángulos que un vector u forma con un subespacio arbitrario U y su complemento ortogonal U es igual a /2.

6.6 CUESTIONARIO Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 6.6.1 Un conjunto ortonormal de vectores es linealmente dependiente. 6.6.2 Una matriz cuadrada de orden n es unitaria si y sólo si sus filas constituyen un conjunto ortonormal. 6.6.3 El espacio euclídeo V es la suma directa de cualquier subespacio suyo y del complemento ortogonal de éste. 6.6.4 Sean U y W subespacios vectoriales de un espacio euclídeo V con la particularidad de que la dimensión de U es inferior a la de W; entonces en W habrá un vector no nulo, ortogonal a todos los vectores de U. 6.6.5 Cualquier sistema de vectores no nulos ortogonales de dos en dos es linealmente dependiente. 6.6.6 Sea U complemento ortogonal del subespacio U cada uno de los cuales es ortogonal a todos los vectores de U, entonces la suma de las dimensiones de U y U es igual a la dimensión del espacio vectorial que los genera. 6.6.7 Para que dos subespacios U y W sean recíprocamente ortogonales es necesario y suficiente que todos los vectores de uno sean ortogonales a todos los vectores del otro. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

6.6.8 El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos otros lados con el producto duplicado de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos. 6.6.9 Entre todos los vectores del subespacio vectorial U el ángulo mínimo con el vector u dado lo forma la proyección ortogonal v del vector u sobre U. 6.6.10 El coseno del ángulo entre vectores, es superior por su valor absoluto a la unidad. 6.6.11 El cuadrado de la diagonal de un paralelogramo ndimensional es igual a suma de los cuadrados de sus aristas que salen de un mismo vértice. 6.6.12 Si V es un espacio unitario y si S es un conjunto de vectores diferentes de cero y perpendiculares entre sí, entonces el conjunto S el linealmente dependiente. 6.6.13 La representación del subespacio vectorial U del espacio V y de su complemento ortogonal U en una base ortonormal están relacionadas de la siguiente manera: los coeficientes del sistema linealmente independiente de ecuaciones lineales, que determina uno de esos subespacios, sirven de coordenadas de los vectores de la base del otro subespacio. JOE GARCIA ARCOS

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6.6.14 La suma de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo s igual a la suma de los cuadrados de sus lados. 6.6.15 La intersección de dos subespacios recíprocamente ortogonales es el vector nulo. 6.6.16 Todo vector de V que es ortonormal a U pertenece a W.

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6.6.18 Los vectores no nulos ortonormales dos a dos son linealmente dependientes. 6.6.19 En todo espacio euclídeo V existen bases ortonormales. 6.6.20 Si U es un subespacio de V y S es una base ortonormal de U, los vectores de S pueden ser incluidos en una base ortonormal de todo el espacio.

6.6.17 Dos vectores se dice son ortogonales si el producto interior de estos vectores es igual a la unidad.

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