• Author / Uploaded
• Poleth López

• Categories
• Función continua
• Integral
• Longitud
• Derivado
• Volumen

Citation preview

E

l poder del Cálculo Integral se ha mostrado en geometría por sus aplicaciones al cálculo del área de una región plana, del volumen de un sólido de revolución y del volumen de un sólido que tiene secciones planas paralelas conocidas. En la sección 6 . 1 se presenta otra aplicación geométrica : el cálculo de la longi. tud de arco de la gráfica de una func ión entre dos puntos. las aplicaciones de la integración a la física e ingeniería se muestran en las otras cuatro secciones. En la sección 6 .2 se determina el centro de masa de una barra y en la sección 6 .3 se estudia el centro de masa de una lómina . En la sección 6 .4 se calcula el trabajo realizado por una fuerza variable que se aplica sobre un objeto, mientras que en la sección 6 .5 se aplica la integral definida para determinar la fuerza ejercida por la presión de un líquido, tal como la presión del agua sobre las paredes de un envase.

6.1

LONGnuo DE ARCO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCI6N 509

;

)

6. 1 LONGITUD DE ARCO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION

y y=f(x)

-:o;:l---'----------~ x

FIGURA 1

y Pi

x=a

En el estudio de áreas y volúmenes, se emplearon las palabrás "medida del área" y "medida del volumen" para indicar un número sin incluir alguna unidad de medición. Al estudiar la longitud de arco se empleará la palabra "longitud" en lugar de las palabras "medida de la longitud". Así, la longitud de arco es un número sin unidades de medición. Sea fla función continua en el intervalo cerrado [a, b) y considere la gráfica de esta función definida por la ecuación y = ft.x), la cual se muestra en la figura 1. La porción de la curva desde el punto A(a,ft.a» hasta el punto B(b,ft.b» de denomina arco. Se desea asignar un número a lo que intuitivamente se considera como la longitud de dicho arco. Si el arco es un segmento de recta desde el punto (Xl . Yl) hasta el punto (X2, Y2), se sabe por la fórmula de la distancia entre dos puntos que su longitud está dada por

~(Xl - X2)2 + (Yl - Y2)2. Esta fórmula se utiliza para definir la longitud de un arco en general. Recuerde de geometría que la longitud de la circunferencia está definida como el límite de los perímetros de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. Para otras curvas se procede en forma semejante. Sea ~ una partición del intervalo cerrado [a, b) formada al dividir el intervalo en n subintervalos eligiendo cualesquiera n - 1 números intermedios entre a y b. Sea .lo = a y Xn = b , Y Xl' X2' X3, .. . 'Xn-l. lo números intermedios de modo que .lo < Xl < X2 < ... < Xn-l < x n. Así, el i-ésimo subintervalo es [X¡-l, x n), y su longitud, denotada por ~¡x. es x¡ - x¡-l' donde i = 1, 2, 3, ... , n. Entonces, si 11 ~ 11 es la norma de la partición ~, cada ~¡x S; II~ 11 . . Asociado con cada punto (x¡, O) del eje X hay un punto p¡(x¡,f(x¡» de la curva. Dibuje un segmento de recta desde cada punto Pi-! al siguiente punto Pi' como se muestra en la figura 2. La longitud del segmento de recta de P¡-l a p¡ se denota por 1P¡-l p¡ 1y está deterÍninada por la fórmula de la distancia

(1)

x)

FIGURA 2

La suma de las longitudes de los segmentos es IpOpll + IP l P2

1

+ Ip2 P 3 1 + ... + Ip¡-IPd + ... +

1Pn-lPn 1

la cual puede escribirse con la notación sigma como

í 1P¡-IP¡1

(2)

i=)

Parece razonable que si n es suficientemente grande. entonces la suma de (2) se "acercará" a lo que intuitivamente se considera como la longitud del arco AB. Así, se define la longitud de arco como el límite de la suma (2) conforme la norma de ~ se aproxima a cero, en tal caso, n crece sin límite. Por tanto, se tiene la definición siguiente.

6.1.1 Definición de la longitud de arco de la gráfica de una función Suponga que la ~Ies continua en el intervalo cerrado la, b). Ade; más considere que elÜllle on n6mero L qu~ tiene .. siguiente propiedad: Para cualquier € > O existe una 8 > O tal que para cada partición tJ,. del intervalo [a, b] es cieno que

510 CAPÍTULO 6

APUCACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

si

11 A 11

< ~ entonces

Hntonces se escribe A

L =

L I/L1 p;1 14u...o

(3)

llm

1_ 1

y L se denomina la longitud de arco de la curva y A(a,f{a» hasta el punto B(b,f(b».

= ¡(x) desde el punto

Si el límite de (3) existe, entonces se dice que el arco es rectificable. A continuación se deducirá una fórmula para determinar la longitud L de un arco que es rectificable. En la deducción se requiere que la derivada defsea continua en el intervalo [a, b]; a la función que cumple esta condición se le llama lisa (o suave) en [a, b]. Refiérase a la figura 3. Si P i- I tiene coordenadas (xi-l' Yi-l) y Pi tiene coordenadas (xi, Yi), entonces la longitud de la cuerda P i- I Pi está dada por la fórmula (1). Al considerar Xi - xi-I = Aix y Yi - Yi-] = Aiy, se tiene

FIGURA 3

o, equivalentemente, como Aix

IP i- l Pi I =

I +

'Í'

0,

(~;~) 2 (Llix)

(4)

Como se pidió que!, fuese continua en [a, b], entonces f satisface la hipótesis del teorema del valor medio (3.3 .2); de modo que existe un número Zi en el intervalo abierto (Xi-I, Xi) tal que

= !'(Zi)(Xi Debido a que Aiy = f(x,) -

f(Xi) - f(Xi-l)

Xi-I) f(Xi-l)

y Aix

= Xi

- xi-],

de la ecuación

anterior se tiene Ll¡y = !'(Zi) Ll¡x

Si se sustituye de esta ecuación en (4) se obtiene

IP i- I Pi I

= ~ l + [!'(Z¡ )]2 L1¡x

Para cada i de 1 a n existe una ecuación de esta forma, de modo que

;=1

i=J

Al lomar el límite en los dos miembros de esta ecuación conforme I!AI! se aproxima a cero se obtiene Iím 11