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Capítulo 5

POTENCIA DE BOMBEO El objetivo de este capítulo es aprender a calcular la potencia necesaria para impulsar un líquido a través de una tubería a una velocidad determinada. De la energía invertida en esta operación una parte quedará asociada al fluido una vez terminada la operación de bombeo y la otra se perderá irreversiblemente en forma de calor por efecto de la fricción, de acuerdo con el segundo principio de la termodinámica. La energía mecánica que permanece asociada al líquido adopta dos formas, a saber, energía de presión y energía potencial. Se comenzará por el cálculo de la caída de presión por fricción. Transición al flujo turbulento. Cuando las fuerzas inerciales predominan sobre las viscosas, aparecen turbulencias en el fluido. La relación entre dichas fuerzas está representada, como ya se vio, por el número de Reynolds. En los párrafos siguientes se desarrollan expresiones del reynolds generalizado (Ecs. 5.17, 5.18) en las cuales interviene el modelo reológico. El valor crítico del reynolds en un tubo, que marca la aparición de las turbulencias, puede calcularse con la ecuación de Ryan y Johnson para líquidos con ley de potencia ( 1): Re c 

6464n'

 3n'1 2

 2  n'  2 n '  /  1 n '

(5.1)

donde n' es el valor del índice de comportamiento en un tubo, ya mencionado en el Cap.2, y del cual se hablará después; su valor es muy cercano o igual al parámetro reológico n. La ecuación anterior da un valor de 2,100 para n' =1. Al disminuir n' aumenta el reynolds crítico, de manera que cuando n' =0.4 dicho valor es de 2,400. Esto concuerda con la gráfica de Dodge y Metzner (Fig. 5.2). Para valores más pequeños del índice n' no existe dicha concordancia y por ello es que a falta de información más precisa se suele tomar 2100 como valor crítico del reynolds generalizado para líquidos con ley de potencia. Para plásticos de Bingham se toma igualmente el mismo valor crítico del reynolds definido como D/o. Longitud de entrada. Al entrar un fluido en un tubo comienza a formarse la capa límite hidrodinámica; al crecer a lo largo del tubo se irá cerrando hasta establecerse el perfil de velocidad que aparece en la Fig. 13.1. Para flujo laminar la longitud de entrada puede ser estimada como del orden de 0.05ReD. Si el flujo es turbulento la longitud de entrada se puede reducir a 10-25 diámetros. Las ecuaciones empleadas normalmente para calcular la caída de presión en tubos son válidas más allá de la longitud de entrada.

5-2

5.1. CAÍDA DE PRESION POR FRICCIÓN EN TUBO RECTO La caída de presión por fricción (-P) en un tubo horizontal se produce por el hecho de que existe una fuerza de arrastre sobre la pared interna del tubo ejercida por el fluido. Es la presencia de esta pared la que establece un gradiente radial de velocidad, según se vio en el Cap. 2, el cual a su vez determina la disipación de energía mecánica por fricción en el seno del fluido, principalmente en la cercanía de la pared, en que se dan los mayores gradientes. La energía transformada en calor por unidad de tiempo constituye la potencia disipada por fricción, Ef. Lo que sigue se refiere a fluidos puramente viscosos, es decir, newtonianos, viscoplásticos y los de ley de potencia. Dado que en las aplicaciones de viscoelásticos en ingeniería el flujo en tuberías se da en régimen permanente, su comportamiento no afecta realmente las características del flujo laminar salvo cuando éste se da en ductos no cilíndricos y accesorios. Aún en estos casos el factor importante es la relación /(-d/dr) en condiciones estables, más que el carácter viscoelástico. Los líquidos no-newtonianos son en general altamente viscosos, de manera que su flujo por tuberías es principalmente laminar a diferencia de los fluídos newtonianos. La Ec. (2.15) es válida para cualquier fluido dado que no implica consideración alguna con respecto al modelo reológico. Aplicándola a la pared de un tubo horizontal el valor resultante de  es la Ec. (2.26): R 

 P  D 4L

(2.27)

Puede definirse un factor de fricción para tubo, mediante una ecuación semejante a la empleada para placa plana (Ec.3.12):

   2 R  f 2

(5.2)

siendo la velocidad media. Igualando despejando -P se obtiene:  P 

2f  D

2

L

las

últimas

dos

ecuaciones

y

(5.3)

que es la ecuación de Fanning, obtenida ya en el Cap. 4 mediante el análisis dimensional, sin hacer consideración alguna acerca del tipo de fluido y de flujo. Es práctico emplear esta ecuación para régimen laminar o turbulento y para fluidos

5-3

newtonianos o no-newtonianos. La diferencia entre los diferentes casos se traducirá en diferentes expresiones para el factor de fricción f. Se trata ahora de obtener dichas expresiones. Fluidos newtonianos Flujo laminar Para que la ecuación de Fanning sea aplicable, en estos casos el factor de fricción debe tener una expresión tal que el valor de -P calculado con ella coincida con el predicho por la ecuación de Hagen-Poiseuille (2.23):  P  32 L

 D2

(2.23)

Igualando las Ecs (5.3, 2.23) se obtiene la expresión buscada del factor f: f 

16  16  D  Re

(5.4)

Por lo tanto la ecuación de Fanning puede ser usada para flujo laminar haciendo f=16/Re. En este caso la rugosidad no es un factor importante. Por supuesto que si se usa la ecuación de Darcy, f=64/Re. Una expresión útil del número de Reynolds para ducto cilíndrico es en función del gasto: Re=4Q/D=4/D. La ecuación de Fanning en función del gasto, como se señaló anteriormente, queda para este caso: -P=32fQ2L/2D5. En lo que sigue se usará la ecuación de Fanning. Flujo turbulento En el capítulo 4 se estableció mediante el análisis dimensional que f=f(Re, /D) . Esta relación funcional se encuentra en el diagrama de Moody (Fig. 5.1). Para tubo liso existen algunas ecuaciones empíricas para calcular el factor f tales como la de Blasius, válida para Re100,000: 0.0791 (5.5) Re 0.25 Para tubos rugosos y números de Reynolds elevados la ecuación de Nikuradse puede ser empleada: f 

1     2.28  1.737 ln  f  D

(5.6)

, rugosidad de la cara interior del tubo, es la profundidad promedio de las irregularidades de la cara. Depende del material como se señala después. Si se trata de una tubería de fierro o acero puede usarse la ecuación de Wilson,Macadams y Seltzer (2):

5-4

0.264 (5.7) Re 0.42 Ejemplo 5.1. Un solvente fluye por un tubo liso horizontal con 2 cm de diámetro interior a razón de 2.1 lps. Su densidad relativa es de 0.920 y su viscosidad de 1.25 cp. Calcular la pérdida de presión por metro de tubo. El líquido es newtoniano. f  0.0035 

Solución: (4)(0.0021)(920) Re   98396  (0.02)(1.25 x10 3 ) 0.0791 f   4.46 x10 3 1 (98396) 4  P 32(4.46 x10 3 )(0.0021) 2 (920)   18334 Pa / m L  2 (0.02) 5

Figura 5.1. Factor de fricción (Diagrama de Moody)

Fluidos con modelo reológico de ley de potencia Flujo laminar Para obtener la ecuación de -P en este tipo de fluidos se puede partir nuevamente de la Ec. (2.15) que para tubo horizontal es: rz=(-P)r/2L válida

5-5

como ya se dijo, para cualquier fluido. Sustituyendo en ella el modelo =K(-d/dr)n e integrando se obtiene: 1/ n

 n     P 1    z        n  1    L 2K  

r ( n1) / n  C 2

(5.8) n    P  ( n 1) / n    R  n  1   2 LK  

Usando la condición frontera z(r=R)=0 se evalúa C2= 

que introducida en la última ecuación proporciona el perfil de velocidad: 1/ n

n    P R     L 2K   n  1  

z  

La 1 R 2



2

0

expresión



R

0

para

la

  r  R 1      R 

velocidad



n 1 n

media



(5.9)  

se

obtiene

de:

=

 z ( r ) rdrd  . El resultado es: 1/ n

n    P  R     2 KL   3n  1   

 

R

(5.10)

Despejando -P de la última ecuación se tiene:    3n  1    P      n    R 

n

2 KL R

(5.11)

Si n=1, K=, la ecuación anterior se transforma en la de Hagen-Poiseuille. Si se quiere nuevamente usar la ecuación de Fanning para este tipo de fluidos, es necesario tener una expresión adecuada del factor de fricción. Para obtenerla es necesario igualar las ecuaciones (5.3, 5.11). Despejando f se obtiene: f  

n 2

 3n  1    n  

n

1 2K Rn 

(5.12)

Si se quiere ahora que el reynolds satisfaga la igualdad f=16/Re, se tendrá que Re=16/f y la expresión resultante, obtenida a partir de la Ec. (5.12) es: Re G 

    2n D n  3n  1    4n 

n

8 n 1 K 

(5.13)

Si n=1 la ecuación anterior se transforma en la expresión para fluidos newtonianos. La última ecuación corresponde a un reynolds generalizado R eG, válido para los modelos newtoniano y de ley de potencia. Viscosidad efectiva. La Ec. (5.11) puede escribirse:

5-6

n

 P  D  3n 1  8      K    4 L  4n   D 

n (5.14)

de tal manera que cuando se grafica log(-PD/4L) v.s. log(8/D), para un líquido con ley de potencia como se hizo en el ejemplo 2.4, la pendiente de la recta ajustada es n pero la ordenada en el origen es realmente log(K') siendo K'=K(3n+1)/4nn. Físicamente K' es el valor de -PD/4L=rz R cuando (-d/dr) R= 1, para un líquido con ley de potencia. Es también el valor obtenido cuando la determinación del modelo reológico se efectúa en un viscosímetro de tubo. En este caso, el valor obtenido de "n" no siempre coincide con el índice de comportamiento de la Ec. ( 1.4) y por ello se diferencia con una prima. Si a la Ec. (5.13) se le da la forma:

ReG 

D    n'

 n1'3   8   K     n'4   D 

n ' 1

(5.15)

y se compara con la definición clásica del reynolds para tubo, Re=D/ se tiene una expresión de la viscosidad aparente o efectiva en los no no-newtonianos con modelo de potencia, en tubos:

n'1 n'1

 8    8   ef K  K'   D  D 3n'1    4n' 

 siendo   

n'

0.25     0.75   n'  

(5.16)

n'

. Esta viscosidad aparente es llamada

efectiva para diferenciarla de la definida en el modelo reológico (Ec.1.4). Los

5-7

valores de ef predichos por la Ec. (5.16) coinciden con los calculados mediante la relación R/(-d/dr) R. De acuerdo con lo anterior, otra forma del reynolds generalizado es Re G 

D     ef

(5.17)

donde ef está dada por la Ec. (5.16); o bien, a partir de la Ec. (5.13): Re G 

    2n' D n ' 8 n '1 K '

(5.18)

Ejemplo 5.2. Calcular la caída de presión que se produce en un tubo de acero inoxidable (liso) horizontal de 100 m de largo y diámetro interno de 0.0381 m, cuando fluye por él un líquido a razón de 20 litros por minuto. El modelo reológico fue determinado en un viscosímetro de tubo obteniéndose K'=0.3039, n'=0.716; la densidad es '=1.05 Solución: d    ef  0.3039   dr  

0.284

; Por la Ec. (2.31):

 0.02  32  d 60      61.4 s 1 ;  ef  0.094 Pa  s 0.716 3 dr   0.0381  0.02  4  1050 16 60   Re G   124 laminar  ; f   0.128   0.0381 0.094  124 2

 0.02  32  x1050 x 0.128 x100 60  60,309 Pa=0.61 kgf/cm2  P    2  0.0381 5

Flujo turbulento Para el caso de tubos lisos la ecuación de Dodge  Metzner establece la relación entre el coeficiente de fricción, el reynolds generalizado R eG y el exponente n':



1 4  0.75 log 10 Re G f n' f

(1 n ' / 2 )

  n0'.4

1 .2

(5.19)

La solución de la ecuación anterior debe ser por tanteos. La Ec. (5.19) ha sido graficada (Fig. 5.2) junto con la relación f=16/R eG, de manera que la gráfica puede usarse para flujo turbulento en tubo liso y también para flujo laminar en tubo

5-8

liso o rugoso. Observar que para el caso en que n'=1 el flujo deja de ser laminar cuando ReG=2,100. Al disminuir el valor de n' el reynolds de transición aumenta. Para tuberías rugosas Metzner y Reed recomiendan usar el diagrama de Moody empleando ReG. Esto es conservador pues los valores observados del 0factor de fricción en no-newtonianos suelen ser menores que los correspondientes a fluidos newtonianos con el mismo valor del Reynolds. Ejemplo 5.3. Por un tubo horizontal liso con diámetro interno de 0.0508 m fluye un líquido a razón de 12.4 lps. El modelo reológico determinado en viscosímetro de tubo es =2.744(-d/dr)0.3. La longitud del tubo es de 10.5 m. Calcular -P. '=0.961 Solución: 0.7

 32 x 0.0124 

 ef   2.744   Re G



 0.022 Pa  s 3     0.0508  4 x 0.0124 x961   13576  flujo turbulento  0.0508 x 0.022

Figura 5.2. Factor de Fricción(Dodge-Metzner)

5-9

de la ecuación  5.19  f  0.003

32 x 0.003 0.0124  x961x10.5 2

 P 

 2  0.0508 5

 44.607 kPa

Plásticos de Bingham Flujo laminar Sea el flujo ascendente de un plástico de Bingham por un tubo. El perfil de esfuerzo cortante dado por la Ec. (2.15) es válido, dado que no implica consideración alguna sobre el tipo de fluido. Introduciendo en ella el modelo de Bingham se tiene para tubo horizontal:  d z    P r   L 2  dr 

 o  o 

(5.20)

que integrada es: 2    P  r  o  C2   L  4 o  o

z  

(5.21)

con condición frontera z(r=R)=0. Evaluando la constante e introduciendo su expresión en Ec. (5.21) se obtiene: z 

 P R 2   r   1  L 4 o   R



2



 

oR  r  1  o  R

(5.22)

que es el perfil de velocidad (Fig. 5.3). En r=r o, rz=o. La Ec. (5.22) solamente será válida en las zonas en que la sustancia se comporta como un líquido, es decir, cuando rz o. Esto sucede para radio mayor que un valor ro. Para valores r