PROBLEMAS DEL CAP 5- edic 9 Walpole- Estadística II 5.1 Una variable aleatoria X que toma los valores x1, x2,..., xk s
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PROBLEMAS DEL CAP 5- edic 9 Walpole- Estadística II
5.1
Una variable aleatoria X que toma los valores x1, x2,..., xk se denomina variable 𝟏 aleatoria discreta uniforme si su función de masa de probabilidad es f (x) = 𝒌 para todas las variables x1 , x2 ,…, xk y 0 en cualquier otro caso. Calcule la media y la varianza de X.
µ=∑10 𝑡=1
𝑋𝑖 𝑘
σ2 = ∑10 𝑡=1 5.2
=
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 10
(𝑋𝑖−µ)2 𝑘
5.5
= 8.25
Se entregan dos altavoces idénticos a 12 personas y se les pide que los escuchen para determinar si hay alguna diferencia entre ellos. Suponga que sus respuestas son simplemente conjeturas. Calcule la probabilidad de que tres personas afirmen haber detectado una diferencia entre los dos altavoces.
Probabilidad Binomial Datos: n = 12 P = 0.5 P(x=3) = P(x≤3) – P(x≤2) = 0.0730 – 0.0193 = 0.0537 R/= Existe un 5.37% de probabilidad de que tres personas afirmen haber detectado una diferencia entre los dos altavoces. 5.3
De un equipo de 10 empleados, y mediante la selección al azar de una etiqueta contenida en una caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 al 10, se elige a uno para que supervise cierto proyecto. Calcule la fórmula para la distribución de probabilidad de X que represente el número en la etiqueta que se saca. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que se extrae sea menor que 4?
Probabilidad Uniforme Datos: 1 f(x) = 10 x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. P(x3) = 1 – f(5) – f(4) = 1 – b(5,5,0.75) – b(4,5,0.75) = 1 – (54)(0.75)4(0.25)1 – (54)(0.75)5(0.25)0 = 1 – 0.3955 – 0.2373 = 0.3672 R/= Existe un 36.72% de probabilidad de que a lo sumo 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas. 5.5
De acuerdo con Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990), aproximadamente 30% de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas por errores del operador. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberías al menos 10 se deban a un error del operador? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador? c) Suponga que, para una planta específica, de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas exactamente 5 son errores de operación. ¿Considera que la cifra de 30% anterior se aplique a esta planta? Comente su respuesta. Probabilidad Binomial Datos: P = 0.30 n = 20 Q = 1 – P = 1 – 0.30 = 0.70 a) P(X≥10) = 1 – P(x≤9) = 1 – 0.9520 Valor tomado de la tabla de Probabilidad Binomial
= 0.0480
de Walpole.
R/= Existe un 4.8% de probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberías al menos 10 se deban a un error del operador. b) P(x≤4) = 0.2375
Valor tomado de la tabla de Probabilidad Binomial de Walpole.
R/= Existe un 23.75% de probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador. c) P(x=5) = P(X=5) – P(X=4) = 0.4164 – 0.2375 = 0.1789 R/= Existe un 17.89% de probabilidad de que exactamente 5 son errores de operación. Dicha probabilidad no es muy pequeña, ya que el evento es común, por lo tanto un 30% de probabilidad es razonable. 5.6
a) b)
De acuerdo con una encuesta de la Administrative Management Society, la mitad de las empresas estadounidenses da a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio en la empresa. Calcule la probabilidad de que, de 6 empresas encuestadas al azar, el número que da a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio es cualquiera entre 2 y 5; menor que 3.
Probabilidad Binomial Datos: n=6 P = 0.50 a) P(2≤x≤5) = P(x≤5) – P(x≤1) = 0.9844 – 0.1094 = 0.875
Valores tomados de la tabla de Probabilidad Binomial de Walpole.
R/= Existe un 87.5% de probabilidad de que de 6 empresas encuestadas al azar, el número que da a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio es cualquiera entre 2 y 5. b) P(x