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• Humberto Escalante Calvo

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Resistencia de Materiales I U.M.S.S – Ing.Civil

Capitulo VI

…………………………………………………………………………………………….

CAPITULO VI FLEXIÓN EN VIGAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------6.1.- INTRODUCCIÓN Este capitulo tiene mucha importancia para estudiar el comportamiento de vigas, debido a una fuerza puntual sobre ella, se basa a la grafica de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y el momento flector máximo. Para cuyo efecto se tendrá que seguir las siguientes hipótesis. 6.2.- HIPÓTESIS • La sección transversal tiene que ser uniforme. • El material tendrá que ser homogéneo y obedece a la ley de Hooke. • Las cargas que actúan sobre la viga, tendrán que ser perpendiculares sobre la viga. • El modulo de elasticidad a la tracción es aproximadamente igual al modulo de elasticidad al de compresión. • El esfuerzo de trabajo tendrá que ser menor al esfuerzo admisible. 6.3.- OBJETIVOS • Establecer que tipo de tensiones provoca la flexión. • Establecer la ecuación que nos permita hallar el valor de las tensiones y las hipótesis bajo las cuales pueden aplicarse. • Dimensionar vigas sobre tiras a flexión. • El objetivo principal es como encontrar la ecuación del esfuerzo debido a M *Y flexión que esta dada de la forma siguiente : σ = I

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Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. 6.4.- TIPOS DE APOYOS EN LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES Los elementos estructurales generalmente se clasifican de acuerdo con los esfuerzos principales, por las cargas que los miembros deben soportar. Una viga soporta cargas que producen momentos de flexión. Una columna es un miembro en el cual están presentes tanto momento de flexión, como fuerzas de tracción y las fuerzas de compresión. En la práctica se presentan tres tipos de apoyos ideales. En la mayor parte de las situaciones prácticas las condiciones de apoyo de las estructuras pueden escribirse así en el siguiente cuadro.

G.L = Grados de libertad. 6.5.- DEDUCCIÓN DE ECUACION DE ESFUERZO A FLEXIÓN

Cuya deducción se realiza a base de las hipótesis mencionadas anteriormente, para el cual tendremos una viga de longitud “L”, tal como se observa en la siguiente figura.

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……………………………………………………………………………………………. ds ff ' Por otra parte se tiene que θ = y θ= ρ y Igualando ambas igualdades se tiene que

ds

ρ

=

ff ' ff ' y ⇒ = y ds ρ

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación σ = E

σ =E

∑M

y

ρ

z

⇒

E

ρ

=

σ

……………………………………………….. (6.1 )

y

=0⇒

M = ∫ σdA * y ⇒ M = ∫

Como

ff ' se tiene dx

∫y

2

dA =

I

Ey

ρ

dA * y ⇒ M =

⇒M =

E

y ρ∫

⇒M =

2

dA

σ

y I zz Para su dimensionamiente se tendrá que considerar: zz

σ=

M

max

I

ρI

E

*y

zz

max

≤σ

………………………………(6.2)

zz

Donde:

Kg ) cm 2 ymax = Es la distancia desde la línea neutra hasta el punto de tracción (cm). σ = Tensión debido a flexión (

Izz= Es el momento de inercia con respecto al eje (cm4). Mmax = Momento flector máximo (Kg*cm).

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS RESUELTOS DE FLEXIÓN EN VIGAS PROBLEMA 6.1.- Calcular los esfuerzos máximos de tracción y de compresión de la sección transversal del perfil T.

Solución

Calculo de las reacciones ∑MA=0 ⇒ 500*4*2 - 5*R+2000*7=0 ⇒ R=3600Kg ∑MB=0 ⇒ - 500*4*3 - 5*V+2000*2=0 ⇒ V=400Kg Control ∑V=0 ⇒ V+R - 2000-500*4=0 ⇒ 0=0 Análisis de los esfuerzos tanto a tracción, como esfuerzo a compresión

σ

= tracc

σ comp. =

M

max

*y

⇒ σ tracc =

t

I

M

max

I

*y

c

400000*12.08 Kg = 348.816 2 ⇒ σ tracc 13852.565 cm

⇒ σ comp. =

400000*19.92 Kg = 575.2 2 ⇒ σ comp . 13852.565 cm

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.2.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil I de 120 x 20cm.

Solución

Cálculo de Momentos por Áreas: Por Semejanza de triángulos:

Centro de masas en el eje “y” y=

∑A ∑A

Y

=

120 * 20 *10 + 120 * 20 *80 + 120 * 20 *150 = 80cm 120 * 20 + 120 * 20 + 120 * 20

Calculando la Inercia por el teorema de Steiner 120 * 203 20 *1203 120 * 203 + 2400 * (10 − 80) 2 + + 2400 * (80 − 80) 2 + + 2400 * (150 − 80) 2 12 12 12 4 I = 26560000cm I=

σ

= trac

200000 *80 Kg = 0.602 2 26560000 cm

σ

= comp

200000 *80 Kg = 0.602 2 26560000 cm

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.3.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil L de dimensiones dadas. ∑FH= 0 ⇒ H=2000Kg ∑MD= 0 2000*2 – 3000*3 – 500*3.5 – 1000*5 + 4BV=0 BV=3437.5Kg ∑FV= 0 ⇒ -1500 – 3000 – 1000 + BV + DV=0 DV=2062.5Kg Cálculo de Momentos por Áreas: MB = −

1000* 2 = −1000 2

MC = −1000 + (

2437.5 + 1937.5 ) *1 ⇒ 2

MC=1187.5 MD = 1187.5 − 1062.5*3 = −2000 ME = −2000 + 1000* 2 = 0

Centro de gravedad de la sección transversal. 3*0.5 + 7 * 4.5 y= ⇒ y = 3.3cm 3+ 7 Calculando la Inercia por el teorema de Steiner I=

3*13 1*73 + 3*(3.3 − 0.5) 2 + + 7 *(3.3 − 4.5)2 ⇒ I = 62.43cm 4 12 12

Para

M= 1187.5Kg*m 2000 Kg 118750 Kg * cm *3.3cm Kg = 6477.03 2 σ trac = 10 cm2 + 4 62.43cm cm 2000 Kg 118750 Kg * cm * 4.7cm Kg = 8740.013 2 σ comp = 10 cm2 − 4 62.43cm cm Para M= 2000Kg*m 2000 Kg 200000 Kg * cm * 4.7cm Kg + = 15256.86 2 ⇒ σ max En tracción 2 4 10 cm 62.43cm cm 2000 Kg 200000 Kg * cm *3.3cm Kg = 10371.84 2 ⇒ σ max En compresión σ comp = 10 cm2 − 4 62.43cm cm

σ

trac

=

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.4.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del angular T invertida.

Centro de masas en el eje “y” y=

∑A*y ∑A i

i

i

=

16*1 + 10*7 = 3.308cm 16 + 10

I = 5.33 + 16 * (3.308 − 1) 2 + 83.33 + 10 * (3.308 − 7) 2 = 310.2cm 4 50000 Kg * cm *8.692cm Kg = 1401.03 2 ⇒ σ max En tracción 4 cm 310.2cm 50000 Kg * cm * 3.308cm Kg = 533.2 2 ⇒ σ max En compresión σ comp = 310.2cm 4 cm

σ

trac

=

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.5.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal de angular C.

Cálculo de Momentos por Áreas: MB = 4000+3000= 7000 MC = 7000+1000*2/2= 8000 MD = 8000 - 1000*2/2= 7000 ME = 7000 – (3000+4000) = 0

Centro de masas en el eje y

I = 3.33 + 10*(8.3125 − 1) 2 + 221.83 + 22*(8.3125 − 7.5) 2 + 5.33 + 16*(8.3125 − 14) 2 ⇒ I = 1297.3025cm 4

Determinación de los esfuerzos máximos 800000 Kg * cm *8.3125cm Kg = 5126.02 2 ⇒ σ max En tracción 4 1297.3025cm cm 800000 Kg * cm *6.6875cm Kg = 4123.94 2 ⇒ σ max En compresión σ comp = 4 1297.3025cm cm

σ

trac

=

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Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.6.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal.

Cálculo de Momentos por Áreas:

Determinación de los esfuerzos máximos 20000000 N * cm *6cm = 1041.67 MPa ⇒ σ max En tracción 1152cm 4 20000000 Kg * cm *6cm = 1041.67 MPa ⇒ σ max En compresión σ comp = 1152cm 4

σ

trac

=

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.7.-Calcular el esfuerzo máximo a tracción y a compresión de la sección transversal del perfil T invertida de dimensiones dadas.

…………………………………………………………………………………………… Solución

Y=

900 ( 5 ) + 1200 ( 70 ) ⇒ Y = 42.14 cm 900 + 1200

90 (10 ) 2 I1 = + 900 ( 42.14 − 5 ) ⇒ I1 = 1248941.64 12 3

10 (120 ) 2 I2 = + 1200 ( 70 − 42.14 ) ⇒ I 2 = 2371915.52 12 I = I1 + I 2 ⇒ I = 3620357.16 cm 4 (60000)(87.86) σ tracc. = ⇒ σ tracc. = 1.456 kg / cm 2 …...Esfuerzo de tracción máxima 3620357.16 ( 60000 )( 42.14 ) ⇒ σ = 0.698 kg / cm2 σ comp. = comp . 3620357.16 3

σ tracc. = σ comp. =

(47500)(42.14) ⇒ σ tracc. = 0.553 kg / cm 2 3620357.16

( 47500 )( 87.86 ) ⇒ σ 3620357.16

comp .

= 1.153 kg / cm 2 ….. Esfuerzo de compresión máxima

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.8.-Calcular la magnitud de la fuerza admisible P que actúa en la viga de la figura, par a un esfuerzo de trabajo de 1000Kg/cm2

……………………………………………………………………………………………. Solución

I= I=

πd4 64

−

π *(d − 2e) 4 64

………………Momento de inercia de una sección hueca

π ⎡ 4 4 12 − (12 − 8 ) ⎤ ⇒ I = 1005.31 cm 4

⎦ 64 ⎣ ( 300 P )( 6 ) ≤ 1000 M *y σ max = max max ≤ σ ⇒ 1005.31 I P ≤ 558.51 kg ⇒ P = 558.5 kg …………………. Solución

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.9.-Para la estructura mostrada, determinar el número de aceros longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos: Si σf=4200Kg/cm2, n=2.Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

I=

π 64

Ø 4 + Ay 2 2

2

M = 1150 x − 2000 x − 3 − 250 x − 3 + 250 x − 5 − ∴1150 x − 2000 ( x − 3) − 250 ( x − 3) + 250 ( x − 5 ) − 2

x = 5.40m M *y σ max = max max ≤ σ NI

Tramo L – m

3

400 3 ( x − 5) = 0 9

Tramo m - n

( 345000 )(18 ) ⎡π π Ø⎞ ⎛ N ⎢ Ø 4 + Ø 2 ⎜ 18 − ⎟ 4 2⎠ ⎝ ⎢⎣ 64 ∴N = 3 Ø = 1" l1 = 5.6m

2

400 x−5 9

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

≤ 2100

( 600000 )(18) 2 ⎡π π Ø⎞ ⎤ ⎛ N ⎢ Ø 4 + Ø 2 ⎜ 18 − ⎟ ⎥ 4 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣ 64 N =3 Ø = 1 14 " l2 = 4.8m

≤ 2100

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMA 6.10.-Para la estructura mostrada, determinar el número de aceros longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos: Si σf=4200Kg/cm2, n=2.Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

I=

π

Ø 4 + Ay 2

64 2 2 M = 600 x − 1000 x − 1 − 250 x − 3 + 250 x − 5 + 2400 x − 5

∴ 600 x − 1000 ( x − 1) = 0

x = 2.5m M *y σ max = max max ≤ σ NI

Tramo L – m

Tramo m - n

( 60000 )(18) ⎡π Ø⎞ π ⎛ N ⎢ Ø 4 + Ø 2 ⎜ 18 − ⎟ 4 2⎠ ⎝ ⎢⎣ 64 ∴N = 2 1 Ø= " 2 l1 = 2.7m

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

≤ 2100

( 200000 )(18) 2 ⎡π 4 π 2⎛ Ø⎞ ⎤ N ⎢ Ø + Ø ⎜ 18 − ⎟ ⎥ 4 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣ 64 N =3 3 Ø= " 4 l2 = 4.7m

≤ 2100

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……………………………………………………………………………………………. PROBLEMAS PROPUESTOS FLEXIÓN EN VIGAS 6.1.- Calcular los esfuerzos máximos de tracción y de compresión de la sección transversal del perfil T.

6.2.- Determinar esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil I de 120x20 cm.

6.3.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del perfil L.

6.4.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del angular T invertida.

6.5.- Determinar los esfuerzos Máximos de la sección transversal del angular C.

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……………………………………………………………………………………………. 6.6.- Dimensionar la viga de sección transversal circular para σ =2100 kg/cm 2 .

6.7.- Dimensionar la viga de sección transversal circular para σ =2100 kg/cm 2 .

6.8.- Dimensionar la viga de sección transversal rectangular para σ =1050 kg/cm 2 .

6.9.- Dimensionar la viga de sección transversal rectangular para σ =2100 kg/cm 2 .

6.10.- Dimensionar la viga de sección transversal rectangular para σ =1050 kg/cm 2 .

6.11.- Dimensionar la viga de sección transversal circular para σ =2100 kg/cm 2 .

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……………………………………………………………………………………………. 6.12.-Dimensionar la sección transversal de la viga, σf = 4200Kg/cm2, n= 2.

6.13.-Dimensionar la viga de sección transversal rectangular, σf = 2100Kg/cm2, n= 3.

6.14.-Dimensionar la viga de sección transversal circular hueca de espesor de 30mm, σ =2100 kg/cm 2 .

6.15.-Dimensionar la viga de sección transversal rectangular con espesor se 40mm, para una tensión de fluencia de σf = 2100Kg/cm2, con un factor de seguridad de 2.

6.16.-Dimensionar la viga de sección circular hueca con espesor se 40mm, para una tensión de fluencia de σf = 4200Kg/cm2, con un factor de seguridad de 2.

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……………………………………………………………………………………………. 6.17.- Determinar el modulo resistente (S) de la sección transversal de la viga mostrada.

6.18.- Determinar el modulo resistente (S) de la sección transversal de la viga mostrada. Para una tensión de fluencia de σf = 4200Kg/cm2, con un factor de seguridad de 2.

6.19.- Determinar el modulo resistente (S) de la sección transversal de la viga mostrada. Para una tensión de fluencia de σf = 200GPa, con un factor de seguridad de 2.

6.20.- Determinar el modulo resistente (S) de la sección transversal de la viga mostrada. Para una tensión de fluencia de σf = 4200Kg/cm2, con un factor de seguridad de 3.

6.21.- Calcular las dimensiones para la sección transversal de la viga mostrada en la figura si: σtrac.=600Kg/cm2, σcomp.=1400Kg/cm2.

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Capitulo VI

……………………………………………………………………………………………. 6.22.-Determinar el número de las barras de acero longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos. Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

6.23.- Determinar el número de las barras de acero longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos. Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

6.24.- Determinar el número de las barras de acero longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos. Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

6.25.- Determinar el número de las barras de acero longitudinales, diámetros y sus longitudes por tramos. Para efectos de cálculo no considerar la tensión del hormigón.

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Capitulo VII

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CAPITULO VII TENSIÓN CORTANTE EN VIGAS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------7.1.- INTRODUCCIÓN Este capitulo esta dedicado al estudio de los cortantes en vigas causados por fuerzas cortantes transversales. Es considerado también el problema relacionado con unir partes longitudinales separadas de una viga por medio de tornillos, pegamento o soldadura. El capitulo se limita al análisis elástico, que es el que mas se emplea para la resolución del tipo de problemas considerados. 7.2.- HIPÓTESIS • La sección transversal tiene que ser uniforme. • El material tendrá que ser homogéneo y obedece a la ley de Hooke. • Las cargas que actúan sobre la viga, tendrán que ser perpendiculares sobre la viga. • El modulo de elasticidad a la tracción es aproximadamente igual al modulo de elasticidad al de compresión. • El esfuerzo cortante de trabajo tendrá que ser menor al esfuerzo cortante admisible. 7.3.- OBJETIVOS • Establecer la distribución de tensiones cortantes y su comportamiento en la viga. • Hallar la ecuación que nos permita encontrar su valor en cualquier punto de la viga. • Establecer los criterios de dimensionamiento. • El objetivo principal es como encontrar la ecuación del esfuerzo cortante debido V * A′Y ′ a flexión que esta dada de la forma siguiente : τ = I *b

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