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Libreto Capitulo 6: Sumatoria de fuerzas y equilibrio de Fuerzas en el espacio. 6.1 Sumatoria de fuerzas 6.2 Equilibrio de Fuerzas en el espacio

Objetivo: Resolver la suma de dos o más fuerzas en el espacio.

Autor: M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

Libreto Capitulo 6 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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6.1- Sumatoria de fuerzas en el espacio

Una vez comprendido como representar una fuerza en vector cartesiano podemos calcular la resultante de de dos o más fuerzas del mismo sentido lógico que en dos dimensiones, esto es sumando sus componentes obteniendo un vector resultante. Una vez con el vector resultante mediante la fórmulas que se muestran a continuación obtenemos su magnitud y sus ángulos directores. FR² = FRx i² + FRy j² + FRz k² Fx = F Cos θx Fy = F Cos θy y Fz = F Cos θz Ejemplo 6.1 Determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante en de F1 y F2 aplicadas en A.

Primer paso. Obtener y analizar información. La figura nos ilustra que en el punto A se aplican dos fuerzas cuyas magnitudes son de 150 N y 200 N dirigidas del punto A a B y de A a C respectivamente. Los puntos están claramente señalados, y se nos solicita obtener la resultante y los ángulos directores. Segundo paso. Representar las fuerzas involucradas en vector. Para llevar a cabo estos debemos de calcular el vector unitario de cada una de las fuerzas . Paso 2.1 -Determinar los vectores AB y AC. Para hacer esto existen dos modos los cuales les podríamos llamar por coordenadas y por avance directo. Por coordenadas:

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Esta forma consiste en asignar coordenadas a los puntos más relevantes en la figura como los son el principio e inicio de cada una de las fuerzas y un punto de origen. Teniendo nuestro origen ósea la coordenada (0,0,0) que en este caso puede ser en la intersección de los ejes X, Y y Z. asignamos coordenadas a los puntos A B y C. Punto A ubicado con respecto al origen: ( 0, -1.5, 4) Punto B ubicado con respecto al origen: ( 3cos 60°, 3sen 60°, 0) Punto C ubicado con respecto al origen: (3, -2, 0) Calculamos el vector AB: Dx = (3cos 60°-0) = 3cos 60° = 1.5 i Dy = (3sen 60° -(- 1.5)) = (2.6 + 1.5) = 4.1 j Dz =( 0 -4) = - 4 k Vector AB (1.5 i + 4.1 j - 4 k) Calculo del vector AC: Dx = (3-0) = 3 i Dy = (-2 -(- 1.5)) = (-2 + 1.5) = - 0.5 j Dz =( 0 -4) = - 4 k Vector AC (3 i - 0.5 j - 4 k) Otra forma por avance directo: Esta forma consiste en imaginar que estamos en el punto inicial del vector ósea en A y la distancia sobre cada uno de los ejes para llegara el punto del vector es la componente rectangular. Vector AB: Iniciamos en le punto A, primero me traslado del punto A la plano XY bajando 4m, osease que la componente seria -4 K. Luego me traslado sobre el eje de las x (3cos 60°= 1.5 m) = 1.5 i. Por último la distancia de A a B sobre el eje de las Y es la suma de 1.5 + 3sen 60° = 4.j. Nótese que los signos se asignaron de acuerdo hacia donde haya sido el avance. Vector AB (1.5 i + 4.1 j - 4 k) Para el vector AC manejamos el mismo criterio. Iniciamos en A bajamos 4m = -4 k. Avanzamos sobre las x positivas 3m = 3i. Y nos trasladamos sobre las z negativas 0.5m = - 0.5 j. Vector AC (3 i - 0.5 j - 4 k) Paso 2.2 Paso calcular las distancias AB y AC. Con la formula de la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes calculamos este valor. d = d x2 + d y2 + d z2 Libreto Capitulo 6 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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dAB = √[(1.5)² + (4.1)²+ (-4)²] = 5.92 m dAC = √[(3)² + (-0.5)² + (-4)²] = 5.02 m Paso 2.3 Calcular el vector unitario (λ). Utilizamos la formula siguiente que consiste en dividir el vector entre su magnitud: uuuu r MN 1 λ= = (d x i + d y j + d z k ) MN d λAB = (1.5 i + 4.1 j - 4 k)/ 5.92 = 0.2533 i + 0.6926 j – 0.6757 k λAC = (3 i - 0.5 j - 4 k)/ 5.02 = 0.5976 i - 0.0996 j – 0.7968 k Paso 2.4 Multiplicamos el vector unitario por la magnitud de la fuerza. F = Fλ FAB =Tab λAB=150 N (0.2533 i + 0.6926 j –0.6757 k) =[37.995i + 103.89 j –101.355 k] N FAC = Tac λAB = 200 N (0.5976 i - 0.0996 j – 0.7968 k)= [119.52 i – 19.92 j – 159.72 k] N Tercer Paso. Obtener vector resultante. Una vez representadas las fuerzas en vectores se procede a efectuar la suma de componentes. ∑ Fx = 37.995i + 119.52 i = 157.515 N i ∑ Fy = 103.89 j + (– 19.92 j) = 83.97 N j ∑ Fz = – 101.355 k + (– 159.72 k) = -261.075 N k De aquí obtenemos el vector resultante: FR = 157.515 N i + 83.97 N j -261.075 N k Cuarto Paso obtener la magnitud del vector resultante. Con la formula de la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes calculamos este valor. Fr = √[(157.515 i)² + (83.97 j)² + (-261.075 k)²] = 316 N Quinto Paso. Obtener los ángulos directores. Cos θx = Fx / Fr sustituimos Cos θx = 157.515 N / 316 N despejamos y resolvemos θx = 60.1° Cos θy = Fy / Fr sustituimos Cos θy = 83.97 N / 316 N despejamos y resolvemos Libreto Capitulo 6 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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θy = 74.6° Cos θz = Fz / Fr sustituimos Cos θz = -261.075 N / 316 N despejamos y resolvemos θz = 145.7°

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Ejercicios. 6.1 Dos tractores jalan al árbol como se muestra en la figura. Determina la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.

R. Fr = 236 lb, θx = 92.5°, θy = 154°, θz = 64.3° 6.2 La torre de la figura se encuentra sostenida por tres cables. Si la tensión de cada uno de los cables se muestra a continuación, determina la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante. Tomar los valores de x = 20m, y = 15 m.

R. Fr = 1.5 kN, θx = 90.6°, θy = 168°, θz = 77.6° 6.3 Tres cables están sujetos a una armella como se muestra en la figura. Obtener la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante

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R. Fr = 407 N, θx = 61.3°, θy = 76°, θz = 32.5° 6.4 Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre la armella. Si la fuerza resultante Fr tiene una magnitud de 50 lb y θx = 110°, θy = 80°, como se muestra, determina la magnitud y los ángulos directores de F2.

R. F2 = 32.4 lb, θ2x = 122°, θ2y = 74.5°, θ2z = 144°

Formulario: FR² = FRx i² + FRy j² + FRz k² Cos ² θz = 1 Fx = F Cos θx Fy = F Cos θy Fz = F Cos θz

Cos ² θx + Cos ² θy + uuuu r MN 1 λ= = (d x i + d y j + d z k ) MN d d = d x2 + d y2 + d z2

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6.2 Equilibrio de Fuerzas en el espacio Como se había mencionado la condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero esto mismo aplica para fuerzas en el espacio y se puede describir por las siguientes ecuaciones: FR = ΣF = 0 ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 Ejemplo 6.2 Una placa rectangular se sostiene mediante tres cables como se muestra en la figura. Sabiendo que la tensión en el cable AC es de 60 N, determine el peso de la placa.

Primer paso. Obtener y analizar información. Como podemos observar en este ejercicio intervienen cuatro fuerzas, los tres cables que cargan la placa y la cuarta fuerza es la del centro de atracción de la tierra sobre la placa. Las cuatro logran estar en equilibrio así que cualquier cambio con la ubicación de los puntos de sujeción de los cables en la placa afectaría la tensión en cada uno de los cables. Segundo paso. Representar cada una de las fuerzas en vector: Empezaremos con la fuerza más fácil de representarla en vector puesto que recae sobre un eje y sabemos su dirección. Estamos hablando de la fuerza del peso de la placa que desconocemos y la representaremos como incógnita por la letra W. Como podemos observar esta fuerza va dirigida hacia abajo ósea hacia el centro de la tierra sobre el eje de las y por lo cual si le asignamos dirección y sentido el vector se expresaría: W=-Wj

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Después le toca el turno a las tensiones de los cables cuya magnitud es desconocida a excepción de Tca que es igual a 60 N, debido a esto iniciaremos con ella. Obtenemos el vector CA, nótese que el sentido es de C a A puesto que los cables tensionan cargando la placa hacia el punto A. CA= -450i +480j – 360k y su magnitud dCA= 750 Multiplicamos la magnitud por su vector unitario dejando como incógnita la magnitud (TCA): TCAλCA= -0.6TCAi + 0.64TCAj – 0.48TCAk Repetimos los pasos para las tensiones Tba y Tda. BA= 320i + 480j – 360k dBA= 680 TBAλBA= .47TBAi + 0.7TBAj – 0.53TBAk DA= -250i + 480j + 360k dAD= 650 TDAλDA= -0.38TDAi + 0.74TDAj + 0.55TDAk Paso tercero. Elaborar las ecuaciones de equilibrio. Con la finalidad de resolver las incógnitas ( W, TBA , TDA) formulamos las ecuaciones de equilibrio que nos dicen que en cualquier sistema de fuerzas que estén en equilibrio las sumas de sus componentes debe ser igual a cero. ∑Fx=0 Para esta sumatoria tomamos las componentes en X de cada una de las fuerzas involucradas y las igualamos a cero. 0.47TBA – 0.6TCAi – 0.38TDAi = 0 Repetimos los pasos para las componentes en Y y Z. ∑Fy= 0 -P + 0.7BA + 0.64TCA + 0.74TDA = 0 ∑Fz= 0 -0.53TBA – 0.48TCAk + 0.55TDA = 0 Por método de sustitución resolvemos las incógnitas iniciamos despejando TDA de ∑Fx=0, solamente recordemos que el valor de TCA = 60 N. 0.47TBA – 0.6 (60) – 0.38TDAi = 0 TDA= (.47TBA – 36/.38)= 1.23TBA – 94.74 Después en la ecuación de ∑Fz= 0 sustituimos la igualdad de TDA encontrada en ∑Fx=0 -0.53TBA – 0.48 (60) + 0.55 (1.23TBA – 94.74)= 0 -0.53TBA – 28.8 + 0.6765TBA – 52.1 TBA (0.6765 - .53)= 28.8 + 52.1 Libreto Capitulo 6 M.C. Miguel Angel Fitch Osuna

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TBA= 80.9/0.1465= 552.22 TBA = 552.22 N Una vez calculado TBA lo sustituimos en la igualdad de TDA encontrada en ∑Fx=0 TDA = 1.23 (552.22) – 94.74 TDA = 584.49 Por último sustituimos las incógnitas conocidas y despejamos W. -W + .7TBA + 0.64TCA + 0.74TDA = 0 W =0 .7(552.22) +0 .64(60) + 0.74(584.49) W = 386.55 + 38.4 + 436.22 W = 861.17

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Ejercicios. 6.5 Un recipiente esta sostenido por tres cables. Determínese valor del peso a partir de que la tensión del cable Tab=1378 lb.

R. W= 3405lb 6.6 Un recipiente de peso W está suspendido a partir de un aro en A. El cable BAC pasa a través del aro y se fija a los soportes fijos B y C. Dos fuerzas P = Pi y Q = Qk se aplican en el aro para mantener al recipiente en la posición mostrada. Determine los valores de T AC, P y Q, si W = 270lb. (Sugerencia. La tensión en todos los tramos del cable BAC es la misma.

R. TAC = 154 lb, P = 36lb, Q = 54 lb

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6.7 Se emplean tres cables para amarrar el globo que se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 259 N, determine la fuerza vertical P que el globo ejerce en A.

R. P = 1043.05 N 6.8 Determinar el valor de las tensiones en cada uno de los cables de la siguiente figura.

R. TDA = 119.7 lb, TDC = TDB = 98.42 lb

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