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• Daniel Nunuraj

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PRACTICA DIRIGIDA Nº 1 DE MATEMATICAS III

1._Defina una función vectorial del intervalo [-2,2] en R3 cuya imagen es el triángulo de vértice A= (3, 2,-1), B= (2, 0,1), C= (1,2,1) Sol:

Para: AB: L: (3,2,-1) +t(-1,-2,2) ; t [0,1] BC: L: (2,0,1) +t(-1,-2,0) ; t [0,1] CD: L: (1,-2,1) +t(2,4,-2) ; t [0,1] Como piden de [-2,2] reparametrizando la curva L1 de [-2,0], L2 de [0,1] (ya lo está) por lo q no habrá q reparametrizarlo y L3 de [1,2].

*Para L1: t [0,1]

t* [-2,0]

t*= -2 + t(0-(-2)) = -2 + 2t (t*+2)/2 = t

t*=t ( reemplazando en la ecuación original de la recta L1, solo que ahora t [-2,0]) L : (3,2,-1) +(t+2)/2 (-1,-2,2) ; t [-2,0] L : (3 - t/2 – 1 , 2 - t - 2 , -1 +t +2 ) ; t [-2,0] L : (2 - t/2, -t , 1 + t ) ;

t [-2,0]

*Para L2: No habrá que reparametrizarlo porque ya que t [0,1]

*Para L3: t [0,1]

t* [1,2]

t*= 1 + t(2-1) = 1 + t (t*-1) = t

t*=t ( reemplazando en la ecuación original de la recta L1, solo que ahora t [0,2]) L : (1,-2,1) +(t-1)(2,4,-2) ; t [0,2] L : (1 + 2t – 2 , -2 + 4t - 4 , 1 -2t +2 ) ; t [0,2] L : ( 2t - 1, -6 + 4t , 3 - 2t ) ; t [0,2]

Por lo tanto:

f(t) =

(2 - t/2, -t , 1 + t )

;

t [-2,0]

(2,0,1) +t(-1,-2,0)

;

t [0,1]

( 2t - 1, -6 + 4t , 3 - 2t ) ;

2.-Defina una función vectorial

t [0,2]

f :  3,3  R3

de tal manera que su rango sea el triangulo de vértices P0   2, 1,1 , P1  1,3, 1 P2  1,0, 2  , . Solución: Hallando la función vectorial en los intervalos

3, 1, 1,1, 1,3 - En el intervalo 3, 1 y los

P0   2, 1,1

y

P1  1,3, 1

t 3  f1   2, 1,1  1,3, 1   2, 1,1   2   t 3  f1   2, 1,1   1, 4, 2  2  

- En el intervalo 1,1 y los

P1  1,3, 1

y

P2  1,0, 2

t 1  f 2  1,3, 1  1, 0, 2   1,3, 1   2   t 1  f 2  1,3, 1   0, 3,3 2  

- En el intervalo 1,3 y los puntos t 1  f3  1, 0, 2    2, 1,1  1, 0, 2    2   t 1  f3  1, 0, 2   1, 1,1 2  

P2  1,0, 2

y

P0   2, 1,1

Entonces la función vectorial será.  t 3    f1   2, 1,1  2  1, 4, 2   ; t   3, 1     t 1  f  t    f 2  1,3, 1   0, 3,3 ; t   1,1 2     t 1  1, 1,1 ; t  1,3  f3  1, 0, 2   2   

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcular el limite de:

 1  cos 5t 1  tsent  1  lim  ,  2 t 0 t t2   Solución:

 1  cos 5t 1  tsent  1   1  cos 5t 1  tsent  1  lim  ,  lim , lim      t 0 t 0 t 0 t2 t2 t2 t2    

1  cos5t 1  cos5t  1  cos 5t = lim 2 t 0 t 0 t t 2 1  cos5t 

Sea el límite: f 1  lim

sen 2 5t t 0 t 2 1  cos 5t 

= lim

sen2 5t 1  lim 2 t 0 t 1  cos5t  2

25  sen5t   lim   t 0  5t  1  cos 5t  2

1 25  sen5t  = 25lim    t 0  5t  1  cos 5t  2 f  2   lim t 0

1  tsent  1  lim t 0 t2



= lim t 0



1  tsent  1 t2



t2





1  tsent  1

1  tsent   1



1  tsent  1



1  tsent  1

 lim

sent t

 lim

sent t

t 0

t 0



1  tsent  1



1



1  tsent  1

=

1 2

 1  cos 5t 1  tsent  1   25 1  lim  ,    ,  t 0 t2 t2    2 2

Entonces el límite será: 2.



1

Analizar la continuidad de la siguiente función vectorial.

 sent   t ,  sit  0 t  f  t     0,1 sit  0  Solución: Para que sea continua tiene que cumplir que lim f  t   f  0  t 0

a)

 sent  lim  t ,  t 0 t   - lim t =0 t 0

-

lim t 0

sent 1 t  sent  lim  t ,    0,1 t 0 t  

f  0   0,1

b)

 sent  lim  t ,    0,1 es continua en t  0 t 0 t  

Por lo tanto

3.

Determinar el dominio de la siguiente función vectorial.

t 1 3   f  t    t  2, ,  t 2 t 2  Solución: Sea - f 1  t  2

Df 1  R -

-

f  2 

f  3 

t 1 t2 3 t2

Df 3  R  2

Df 3  R  2

El dominio será

D f t   R R  2 R  2 Df t   R  2, 2

4. DETERMINAR EL RANGO DE LA FUNCION VECTORIAL

    f  t      et  e  t  dt ,   et  e t  dt  2  2 

,,   0

SOLUCION: Sea :

    f :  a, b    R 2 / f  t      et  e t  dt ,   et  e t  dt     sinh tdt ,  cosh tdt  2  2  Si

 x, y   Rf

 f  t    x, y    sinh t  C1 ,  cosh t  C2 

 x   cosh t  C1   x  c1   y  c2   1   2 2  y   senht  C2  2

2

2 2   y  1  2  x  c1   R f   x, y   R /   1  2 2  

es hipérbola