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• Yesica Cruzado

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En estudios de hidráulica de canales es común que se requiera hacer el cálculo del tirante normal; por ejemplo, en el diseño hidráulico de un canal se dispone de los datos siguientes: la forma de la sección transversal del canal, la pendiente de la plantilla, el coeficiente de rugosidad de Manning y el caudal de diseño; primero, con estos datos y alguno de los métodos del diseño hidráulico del canal, se obtiene una de las dimensiones del canal; después, se calcula el tirante normal requerido para el caudal de diseño.

Otro de los estudios clásicos donde se requiere hacer el cálculo del tirante normal se tiene cuando se hace el estudio del funcionamiento hidráulico de un canal, donde se requiere conocer los tipos de perfiles hidráulicos que se presentan en toda su longitud; para ello es necesario calcular tanto el tirante normal como el tirante crítico. Además, en este tipo de estudios es común que al menos una de las secciones de control este asociada al régimen crítico.

Tradicionalmente, se dispone de varios métodos que permiten hacer el cálculo de los tirantes normal y crítico, los cuales se basan en el empleo de tablas y gráficas que están incluidas en casi todos los libros de hidráulica de canales; sin embargo, la precisión que se obtiene con estos métodos no es adecuada.

También se dispone de métodos numéricos tradicionales que se recomiendan para hacer el cálculo de los tirantes crítico y normal, los cuales se dice que en la actualidad ya no se emplean debido a que se dispone de modelos matemáticos que permiten hacer el cálculo de manera sencilla, y cuyos resultados tienen excelente aproximación. Dos herramientas numéricas clásicas de este tipo son las hojas de cálculo y el software matemático. Sin embargo, la experiencia adquirida en la docencia y la práctica profesional de los autores dela bibliografía tomada, indican que es conveniente disponer de métodos alternativos para este tipo de cálculos; por ello, en este trabajo se incluyen varios métodos con los que se obtienen excelentes resultados, y tan sencillos de emplear que solo se necesita una calculadora de bolsillo para su aplicación. CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL

En casi todo el continente americano, y también a nivel mundial, se emplea la fórmula de Manning para calcular la velocidad media del flujo en un canal con régimen uniforme; esta conocida expresión se escribe como:

𝑉=

1 2 1 𝑅3𝑆 2 𝑛

Donde V es la velocidad media del flujo, en m/s; R, el radio hidráulico, en m; S, la pendiente de la plantilla del canal, adimensional; y , el coeficiente de rugosidad de Manning. Además:

𝑄=

1 2 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑛

donde, Q es el gasto, en m3/s y, A el área hidráulica, en m2.

Es conveniente recordar que el tirante normal es aquel que se presenta en un canal con flujo a superficie libre, en régimen uniforme, y que satisface la ecuación de la continuidad, por lo que para su cálculo se requiere resolver dicha ecuación; esto indica que se requiere resolver una ecuación del tipo no lineal e implícita; para ello se dispone de métodos numéricos del tipo recursivo y también de ecuaciones ajustadas del tipo explícito, cuya solución no es matemáticamente exacta, pero los resultados obtenidos tienen excelente aproximación.

Sección rectangular Para este caso se dispone de dos métodos que emplean fórmulas explícitas y un método numérico bastante sencillo.



Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)

Terzidis (2005) publicó un método que emplea expresiones del tipo explícito para calcular el tirante normal en canales de sección rectangular, y Srivastava (2008) indica que hizo algunas adecuaciones a esas expresiones, con las que propone la metodología de cálculo siguiente: 1.

Se calcula el parámetro

Un criterio de convergencia comúnmente empleado para suspender el proceso iterativo es cuando se cumple la condición siguiente:

donde

es el ancho de la plantilla del canal, en m.

2.

Se obtiene el parámetro

3.

Se calcula el parámetro

4.

Se obtiene el valor del tirante normal, en m

Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011)

1.

Se obtiene el parámetro

2.

Se calcula

3.

Se obtiene el valor del tirante normal

Este mismo criterio es válido para las otras fórmulas recursivas que se incluyen en el presente trabajo. Este método se distingue porque con pocas iteraciones se obtiene una solución tan precisa como sea requerida por el usuario. El método permite que el valor inicial propuesto sea inclusive

Sección trapecial

Para canales de sección trapecial se dispone de un método que emplea expresiones del tipo explícito, y otro que es numérico del tipo recursivo.



Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)

En Srivastava (2008) se presenta un método del tipo explícito para calcular el tirante normal en canales de sección transversal de forma trapecial. Este autor aclara que el método se basa en el presentado por Terzidis (2005), con una adecuación sencilla propuesta por Srivastava; la metodología de cálculo es la siguiente:

1.

Se calcula el parámetro

2.

Se calcula

Con esta expresión se obtienen errores menores que el 0.08%, por lo que se considera que es bastante precisa.

3.



Se obtiene

Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)

En Knight et al (2010) se presenta una expresión del tipo recursivo para calcular el tirante normal en una sección transversal de forma trapecial. Esa misma expresión se simplifica para el caso de una sección rectangular, puesto que , donde es el talud de la pared lateral del canal, adimensional. Así, la expresión simplificada se expresa de la manera siguiente:

4.

Se calcula

5.

Se calcula el tirante normal

donde el superíndice es un contador de las iteraciones.

Al aplicar este método se ha observado que el error máximo es menor que 0.01%, por lo que es ampliamente recomendado en aplicaciones prácticas.

Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)

Este método emplea la expresión recursiva siguiente:

Para comenzar el proceso iterativo es necesario proponer un valor inicial del tirante, por ejemplo, . El proceso iterativo se suspende cuando se cumple con el criterio de convergencia ya citado.

Sección circular

Método propuesto por Srivastava (2008) Para una sección de forma circular, se recomienda la expresión del tipo explícito siguiente:

donde

Ecuación propuesta por Swamee (1993) La fórmula propuesta, que es del tipo explícito, es la siguiente:

Los resultados obtenidos con esta expresión tienen errores menores que el 2%.

Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa (2011)

El error relativo máximo en porcentaje que se obtiene con esta expresión es menor que 0.27 %.

Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010) En el caso particular de que se requiera mayor precisión en el cálculo del tirante crítico de una sección trapecial, se recomienda emplear el método numérico recursivo de Punto Fijo que se basa en la expresión siguiente:

y

es el diámetro del conducto, en m.

Esta expresión es válida para tirantes normales que tienen un que 0.94, y el error en el tirante

porcentaje de llenado menor

normal calculado es menor que el 0.85%.

Cálculo del tirante crítico

El tirante crítico, , se obtiene al resolver la ecuación general del tirante crítico, la cual se expresa como:

donde , es el área hidráulica del tirante crítico, en m2 ; agua, en m; g, la aceleración de la gravedad, en m/s2.

, el ancho de la superficie libre del

También esta ecuación es del tipo no lineal e implícita cuando se requiere calcular el tirante para secciones transversales de forma trapecial y circular.

Sección trapecial

Para utilizar la ec. (12) se requiere proponer un valor inicial del tirante; en este caso se puede proponer un valor inicial de cero, es decir, , sin embargo, al proponer como valor inicial del tirante calculado con la ec. (10), el número de iteraciones para obtener un valor bastante preciso del tirante crítico es del orden tres. El criterio tradicional de convergencia para suspender el proceso iterativo es el mismo que ya se citó.

Sección circular

Ecuación propuesta por Swamee (1993) Aunque esta expresión ya tiene casi veinte años de haber sido publicada, se considera que es útil presentarla por su sencillez y su amplio rango de aplicación, que es desde el 2 hasta el 100% del porcentaje de llenado.

Para este tipo de sección se dispone de dos expresiones del sencillo método numérico, del tipo recursivo.

tipo explícito y un

Los resultados obtenidos con esta expresión son bastante precisos, ya que el error que se obtiene al emplearla es menor que 1.27%, lo cual es comúnmente aceptado en la práctica profesional.

Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa (2011)

Esta expresión, del tipo explícito, es de las más recientemente publicadas. El rango de aplicación es desde el 1 hasta el 100% del porcentaje de llenado.

Los resultados obtenidos con esta expresión tienen un error menor que 0.27%, por lo que se considera que es bastante precisa.

𝑣=

1 2 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑛

𝑄= 𝜃𝑟 = (

1 2 1 𝑅3𝑆 2 𝑛

𝑛𝑄 𝑏 8/3 √𝑆0

0.6

)

𝜂0 = 𝜃𝑟 (1 + 1.2𝜃𝑟 )0.7826

𝜃 (1.2𝜂 +1)

𝜂 = (2𝜂 𝑟+1)0.60−0.8𝜃 0

𝑟

𝑦𝑛 = 𝜂𝑏

𝛽𝑟 =

𝑛𝑄 𝑏 8/3 √𝑆0 2/5

𝜂𝑛 = 𝛽𝑟 3/5 (1 + 2𝛽𝑟 3/5 + 1.712𝛽𝑟 6/5 ) 𝑦𝑛 = 𝜂𝑛 𝑏

𝑦𝑛𝑖+1 = [

𝑄𝑛 √𝑆0

3/5

]

2/5

(𝑏+2𝑖𝑛 ) 𝑏