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• Julio Rios Garcia

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Un cubo de lado 0.3 m está colocado con un vértice en el origen de coordenadas como se muestra en la figura. Se encuentra en el seno de un campo eléctrico no uniforme, que viene dado por E⃗

=(−5⋅x⋅i⃗ +3⋅z⋅k⃗ ) N/C:

a) Halla el flujo eléctrico a través de sus seis caras. b) Determina la carga eléctrica total en su interior.

Solución Datos l = 0.3 m

E⃗ =(−5⋅x⋅i⃗ +3⋅z⋅k⃗ ) N/C Consideraciones previas Para identificar el flujo que atraviesa cada una de las caras, las numeraremos de la siguiente forma:

De forma general todas las superficies viene dada por un vector S cuyo módulo es el área de dicha superficie y su dirección y sentido perpendicular al plano. De esta forma, teniendo en cuenta que el area de cada una de ellas es lado por lado (l2), obtenemos que el vector S de cada una de ellas es:

S1=l2⋅i⃗ S2=−l2⋅i⃗ S3=l2⋅k⃗ S4=−l2⋅k⃗ S5=l2⋅j⃗ S6=−l2⋅j⃗ Resolución El flujo total (Φ) que atraviesa el cubo será la suma del flujo que atraviesa cada una de las caras (Φ1,Φ2, ...), o lo que es lo mismo:

Φ=Φ1+Φ2+Φ3+Φ4+Φ5+Φ6 Adicionalmente nos centraremos en la definición del flujo eléctrico de un campo uniforme sobre una superficie plana el cual establece que:

Φ=E⃗ ⋅S⃗ =E⋅S⋅cos(E⃗ ,S⃗ ) Por esta razón vamos a calcular el flujo para cada una de las caras: Flujo S1 (Φ1)

Φ1=E⃗ ⋅S⃗ 1=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(l2⋅i⃗ ) = −5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅i⃗ +3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅i⃗ ⇒Φ1=−5⋅ x⋅l2⋅i⋅i⋅cos(i⃗ ,i⃗ )+3⋅z⋅l2⋅k⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ1=−5⋅x⋅l2 Durante toda la superficie S1, x vale exactamente el lado del cubo, es decir x = l, por tanto:

Φ1=−5⋅l⋅l2 = −5⋅l3 ⇒Φ1=−5⋅(0.3)3 = −13.5⋅10−2 N⋅m2/C Flujo S2 (Φ2)

Φ2=E⃗ ⋅S⃗ 2=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(−l2⋅i⃗ ) = 5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅i⃗ −3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅i⃗ ⇒Φ2=5⋅x⋅l 2⋅i⋅i⋅cos(i⃗

,i⃗ )−3⋅z⋅l2⋅i⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ2=5⋅x⋅l2

Durante toda la superficie S2, x vale exactamente 0, es decir x = 0, por tanto:

Φ2=5⋅0⋅l2 = 0 ⇒Φ2=0 N⋅m2/C Flujo S3 (Φ3)

Φ3=E⃗ ⋅S⃗ 3=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(l2⋅k⃗ ) = −5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅k⃗ +3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅k⃗ ⇒Φ3=− 5⋅x⋅l2⋅i⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ )+3⋅z⋅l2⋅k⋅k⋅cos(k⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ3=3⋅z⋅l2 Durante toda la superficie S3, z vale exactamente l, es decir z = l, por tanto:

Φ3=3⋅l⋅l2 = 3⋅0.33⇒Φ3=8.1⋅10−2 N⋅m2/C Flujo S4 (Φ4)

Φ4=E⃗ ⋅S⃗ 4=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(−l2⋅k⃗ ) = 5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅k⃗ −3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅k⃗ ⇒Φ4=5⋅ x⋅l2⋅i⋅k⋅cos(i⃗ ,k⃗ )−3⋅z⋅l2⋅k⋅k⋅cos(k⃗ ,k⃗ ) ⇒Φ4=−3⋅z⋅l2 Durante toda la superficie S4, z vale exactamente 0, es decir z = 0, por tanto:

Φ4=−3⋅0⋅l2 ⇒Φ4=0 N⋅m2/C Flujo S5 (Φ5)

Φ5=E⃗ ⋅S⃗ 5=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(l2⋅j⃗ ) = 5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅j⃗ −3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅j⃗ ⇒Φ5=5⋅x⋅l2⋅ i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ )−3⋅z⋅l2⋅i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ ) ⇒Φ5=0 N⋅m2/C Flujo S6 (Φ6)

Φ6=E⃗ ⋅S⃗ 5=(−5⋅x⋅i⃗ + 3⋅z⋅k⃗ )⋅(−l2⋅j⃗ ) = −5⋅x⋅i⃗ ⋅l2⋅j⃗ +3⋅z⋅k⃗ ⋅l2⋅j⃗ ⇒Φ6=− 5⋅x⋅l2⋅i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ )+3⋅z⋅l2⋅i⋅j⋅cos(i⃗ ,j⃗ ) ⇒Φ6=0 N⋅m2/C a) Flujo TOTAL

Φ=8.1⋅10−2 − 13.5⋅10−2 ⇒Φ= −5.4⋅10−2 N⋅m2/C b)Para determinar la carga eléctrica en su interior utilizaremos el teorema de Gauss, que establece que:

Φ=Qε0 ⇒Q=Φ⋅ε0 = −5.4⋅10−2 ⋅8.85⋅10−12 ⇒Q= −4.78⋅10−13 C