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Matemática para ingenieros III

Informe N°3

CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE EDIFICIOS

Introducción l nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de Fusión de los metales motivado por su respnsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de La Casa de la Monead en inglaterra (1699). Newton y el matemático y filósofo alemán Gottfriel Wilhelm Leibniz (1646-1716) inventaron (independientemente) el cálculo diferencial e integral; Newton descubrió varias leyes físicas fundamentales y creó el método para abordar los problemas físicos por medio del cálculo. Su Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos de la filosofía natural, 1687) contiene el desarrollo de la mecánica clásica. Su obra es de suma importancia tanto para las matemáticas como para la física. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de la Ley de Enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como:

Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo

representa la rapiez

del enfriamiento, es la temperatura instantánea del cuerpo, una constante que define el ritmo del enfriamient y es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo. Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observación en el caso del enfriamiento de una tasa de café.

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Objetivos  

Modelar ecuaciones diferenciales para obtener la temperatura correcta en una edificación. Corroborar la ley del enfriamiento de Newton analíticamente con la ayuda de su ecuación para el caso de edificaciones

Información acerca de los Edificios  



Los Edificios son construcciones que están acosadas por tres factores para su cambio repentino de temperatura. Los factores son: En primer lugar los objetos y las persona, en segundo lugar las máquinas que cambian le temperatura interior (calefactor y aire acondicionado) y en tercer lugar, la temperatura exterior, con respecto a so temperatura propia o interna. Este último factor tiene que ver con la ya nombrada Ley del Enfriamiento de Newton.

La Formula Básica de la Ley de Newton Esta fórmula ya vista anteriormente es la siguiente:

Es una ecuación de primer grado la cual la resolvemos por separación de variables:

Integramos: ∫ Obteniendo lo siguiente:

Hacemos lo siguiente:

Separando y arreglando:

∫

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Denotación de los factores : Esta denotación representa el calor generado por las máquinas y las personas, la cual siempre es positiva por la razón de que siempre emiten energía, y dan un aumento de esta en el interior del edificio. : Esta denotación representa la temperatura que emanan las máquinas especiales (calefactor, la cual da un incremento de temperatura, y el aire acondicionado, que quita o da un decremento de la temperatura); esta puede ser positiva o negativa, si es calefactor será positiva, si es aire acondicionado es negativa, por lo ya antes dicho. : Representa la temperatura interior de la edificación. : Representa la temperatura Exterior o ambiental. : Representa una constante que depende de las propiedades físicas de la edificación, pero no depende de , o .

Modelación de la Formula Ya hemos visto el modelo matemático de Isaac newton: [

]

El cual representa la variación de la temperatura con respecto al tiempo, pero solo tomando las temperaturas: le del edificio y la ambiente. Bueno, ahora tenemos que hacer encajar las otras dos denotacions restantes, quedandonos la siguiente fórmula: [

]

Este modelo mátemático es mucho más detalado, porque viene a inconrporar todos los factores que influyen en la temperatura de una edificación, la Ley de newton,en cambio se centraba en objetos compactos, como metales, la cual era muy sencilla, pero fundamental para poder terminar el modelado.

Despejado y obtención de Como tenemos la fórmula: [

]

La cual la podemos expresar en la siguiente forma, por ser lineal:

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Donde:

De donde sacamos el factor integrante: ∫

Ya obtenido el factor integrante, procedemos a multiplicar a la ecuación diferencial:

Integramos: ∫ Al despejar ∫ ∫

[

]

Ejemplos: Aplicando Solo la Ley de Enfriamiento de Newton 1. Una esfera de cobre se calienta hasta una temperatura de 100°C. Después, en el tiempo , se coloca en agua que se mantiene a una temperatura de 30°C. Al término de 3 minutos la temperatura de la esfera se reduce a 70°C. Encontrar el tiempo en el que la temperatura de la esfera se reduce a 31°C. Solución a) Primer paso. Modelado

b) Segundo paso. Solución general ∫ |

|

∫

|

|

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c) Tercer paso. Solución particular

d) Cuarto paso. Determinación de k y de la respuesta | El Valor negativo de que el valor de

hace que

|

sea negativa, como debería ser el caso, ya

debe disminuir. Entonces la respuesta se obtiene de:

Por lo tanto, la respuesta es que la esfera alcanza la temperatura de 31°C después de aproximadamente 23 minutos. e) Quinto paso. Comprobación Vemos que la ecuación que obtuvimos después del modelado, osea en la solución general, satisface a los tres casos ya mencionados en el ejemplo. Aplicando el Modelo de Calentamiento y Enfriamiento de Edificios 2. Determinar la temperatura del edificio si la razón de calentamiento adicional es igual a la constante , no hay calentamiento ni enfriamiento ( ) y la temperatura exterior varía como una onda senoidal en un periodo de 24 horas, con un mínimo en (medianoche) y un máximo en (mediodía). Es decir, Donde

es una constante positiva,

promedio y

⁄

es la temperatura exterior

. (Esto podría ocurrir durante

primavera o el otoño cuando no hay calefactor o aire acondicionado). Solución a) Primer paso. Encontrar

b) Segundo paso.

representa el valor diario de

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∫ c) Tercer paso.

se sustituye en la ecuación de la temperatura ∫

Donde ( ) ( ) Elegimos la constante de modo que en medianoche , el valor de temperatura sea igual a cierta temperatura inicial . Así, ( )