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• Julio Chavarry Koosi

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Matemática III

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN

CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE EDIFICIOS

Introducción l nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de Fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de La Casa de la Moneda en Inglaterra (1699). Newton y el matemático y filósofo alemán Gottfriel Wilhelm Leibniz (1646-1716) inventaron (independientemente) el cálculo diferencial e integral; Newton descubrió varias leyes físicas fundamentales y creó el método para abordar los problemas físicos por medio del cálculo. Su Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos de la filosofía natural, 1687) contiene el desarrollo de la mecánica clásica. Su obra es de suma importancia tanto para las matemáticas como para la física. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de la Ley de Enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como:

𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑀) 𝑑𝑡 Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo

𝑑𝑇 𝑑𝑡

representa la

rapidez del enfriamiento, 𝑇 es la temperatura instantánea del cuerpo, 𝑘 una

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constante que define el ritmo del enfriamiento y 𝑀 es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo. Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observación en el caso del enfriamiento de una tasa de café.

Objetivos  

Modelar ecuaciones diferenciales para obtener la temperatura correcta en una edificación. Corroborar la ley del enfriamiento de Newton analíticamente con la ayuda de su ecuación para el caso de edificaciones.

Información acerca de los Edificios  



Los Edificios son construcciones que están acosadas por tres factores para su cambio repentino de temperatura. Los factores son: En primer lugar los objetos y las persona, en segundo lugar las máquinas que cambian la temperatura interior (calefactor y aire acondicionado) y en tercer lugar, la temperatura exterior, con respecto a su temperatura propia o interna. Este último factor tiene que ver con la ya nombrada Ley del Enfriamiento de Newton.

La Fórmula Básica de la Ley de Newton Esta fórmula ya vista anteriormente es la siguiente: 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑀) 𝑑𝑡 Es una ecuación de primer grado la cual la resolvemos por separación de variables: 𝑑𝑇 = 𝑘𝑑𝑡 (𝑇 − 𝑀) Integramos: ∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 (𝑇 − 𝑀)

Obteniendo lo siguiente: ln(𝑇 − 𝑀) = 𝑘𝑡 + 𝑐 Hacemos lo siguiente: 𝑒 ln(𝑇−𝑀) = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐 Separando y arreglando:

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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN 𝑇 − 𝑀 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑒 𝑐 , 𝑒 𝑐 = 𝐶 𝑇 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 𝑀; 𝑘 < 0

Denotación de los factores 𝐻(𝑡): Esta denotación representa el calor generado por las máquinas y las personas, la cual siempre es positiva por la razón de que siempre emiten energía, y dan un aumento de esta en el interior del edificio. 𝑈(𝑡): Esta denotación representa la temperatura que emanan las máquinas especiales (calefactor, la cual da un incremento de temperatura, y el aire acondicionado, que quita o da un decremento de la temperatura); esta puede ser positiva o negativa, si es calefactor será positiva, si es aire acondicionado es negativa, por lo ya antes dicho. 𝑇(𝑡): Representa la temperatura interior de la edificación. 𝑀(𝑡): Representa la temperatura Exterior o ambiental. 𝑘 : Representa una constante que depende de las propiedades físicas de la edificación, pero no depende de 𝑀, 𝑇 o 𝑡.

Modelación de la Fórmula Ya hemos visto el modelo matemático de Isaac newton: 𝑑𝑇 (𝑡) = 𝑘[𝑀(𝑡) − 𝑇(𝑡)] 𝑑𝑡 El cual representa la variación de la temperatura con respecto al tiempo, pero solo tomando las temperaturas: le del edificio y la ambiente. Bueno, ahora tenemos que hacer encajar las otras dos denotaciones restantes, quedándonos la siguiente fórmula: 𝑑𝑇 (𝑡) = 𝑘[𝑀(𝑡) − 𝑇(𝑡)] + 𝐻(𝑡) + 𝑈(𝑡) 𝑑𝑡 Este modelo matemático es mucho más detallado, porque viene a inconrporar todos los factores que influyen en la temperatura de una edificación, la Ley de newton,en cambio se centraba en objetos compactos, como metales, la cual era muy sencilla, pero fundamental para poder terminar el modelado.

Despejado y obtención de 𝑻(𝒕) Como tenemos la fórmula: 𝑑𝑇 (𝑡) = 𝑘[𝑀(𝑡) − 𝑇(𝑡)] + 𝐻(𝑡) + 𝑈(𝑡) 𝑑𝑡 La cual la podemos expresar en la siguiente forma, por ser lineal:

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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN 𝑑𝑇 (𝑡) + 𝑃(𝑡)𝑇(𝑡) = 𝑄(𝑡) 𝑑𝑡

Donde: 𝑃(𝑡) = 𝑘 𝑄(𝑡) = 𝑘𝑀(𝑡) + 𝐻(𝑡) + 𝑈(𝑡) De donde sacamos el factor integrante: 𝑢(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑘𝑑𝑡 = 𝑒 𝑘𝑡 Ya obtenido el factor integrante, procedemos a multiplicar a la ecuación diferencial: 𝑒 𝑘𝑡

𝑑𝑇 (𝑡) + 𝑘𝑒 𝑘𝑡 𝑇(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡 𝑄(𝑡) 𝑑𝑡

Integramos: 𝑒 𝑘𝑡 𝑇(𝑡) = ∫ 𝑒 𝑘𝑡 𝑄(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐 Al despejar 𝑇(𝑡) = 𝑒 −𝑘𝑡 ∫ 𝑒 𝑘𝑡 𝑄(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐𝑒 −𝑘𝑡 = 𝑒 −𝑘𝑡 ∫ 𝑒 𝑘𝑡 [𝑘𝑀(𝑡) + 𝐻(𝑡) + 𝑈(𝑡)] 𝑑𝑡 + 𝐶

Ejemplos: Aplicando Solo la Ley de Enfriamiento de Newton 1. Una esfera de cobre se calienta hasta una temperatura de 100°C. Después, en el tiempo 𝑡 = 0 , se coloca en agua que se mantiene a una temperatura de 30°C. Al término de 3 minutos la temperatura de la esfera se reduce a 70°C. Encontrar el tiempo en el que la temperatura de la esfera se reduce a 31°C. Solución a) Primer paso. Modelado 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 30) 𝑑𝑡 b) Segundo paso. Solución general 𝑑𝑇 𝑑𝑇 = 𝑘𝑑𝑡 → ∫ = ∫ 𝑘𝑑𝑡 → ln|𝑇 − 30| = 𝑘𝑡 + 𝑐 (𝑇 − 30) (𝑇 − 30) 𝑒 ln|𝑇−30| = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐 → 𝑇 − 30 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑒 𝑐 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 → 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 + 30

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c) Tercer paso. Solución particular 𝑡 = 0 → 𝑇 = 100 𝑇(0) = 𝐶𝑒 𝑘0 + 30 = 100 → 𝑇(𝑡) = 70𝑒 𝑘𝑡 + 30 d) Cuarto paso. Determinación de k y de la respuesta 1 70 − 30 𝑇(3) = 𝐶𝑒 3𝑘 + 30 = 70 → 𝑘 = ln | | = −0.1865 3 70 El Valor negativo de 𝑘 hace que

𝑑𝑇 𝑑𝑡

sea negativa, como debería ser el caso, ya

que el valor de 𝑇 debe disminuir. Entonces la respuesta se obtiene de: 𝑇(𝑡) = 70𝑒 −0.1865𝑡 + 30 = 31 −0.1865𝑡 = ln

1 70

𝑡 = 22.78 Por lo tanto, la respuesta es que la esfera alcanza la temperatura de 31°C después de aproximadamente 23 minutos. e) Quinto paso. Comprobación Vemos que la ecuación que obtuvimos después del modelado, osea en la solución general, satisface a los tres casos ya mencionados en el ejemplo. Aplicando el Modelo de Calentamiento y Enfriamiento de Edificios 2. Determinar la temperatura del edificio 𝑇(𝑡) si la razón de calentamiento adicional 𝐻(𝑡) es igual a la constante 𝐻𝑜 , no hay calentamiento ni enfriamiento (𝑈(𝑡) = 0) y la temperatura exterior 𝑀 varía como una onda senoidal en un periodo de 24 horas, con un mínimo en 𝑡 = 0 (medianoche) y un máximo en 𝑡 = 12 (mediodía). Es decir, 𝑀(𝑡) = 𝑀0 − 𝐵 cos 𝜔𝑡 Donde 𝐵 es una constante positiva, 𝑀0 es la temperatura exterior promedio y 𝜔 =

2𝜋 24

𝜋

= 12 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠⁄ℎ𝑜𝑟𝑎 . (Esto podría ocurrir durante

primavera o el otoño cuando no hay calefactor o aire acondicionado). Solución a) Primer paso. Encontrar 𝑄(𝑡) 𝑄(𝑡) = 𝑘(𝑀0 − 𝐵 cos 𝜔𝑡) + 𝐻0 ,

𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐵0 = 𝑀0 +

𝐻0 𝑘

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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑄(𝑡) = 𝑘(𝑀0 − 𝐵 cos 𝜔𝑡),

b) Segundo paso. 𝑘𝐵0 representa el valor promedio diario de 𝑄(𝑡), es decir: 𝑘𝐵0 =

1 24 ∫ 𝑄(𝑡)𝑑𝑡. 24 0

c) Tercer paso. 𝑄(𝑡) se sustituye en la ecuación de la temperatura. El resultado después de integrar por partes es: 𝑇(𝑡) = 𝑒 −𝑘𝑡 ∫ 𝑒 𝑘𝑡 (𝑘𝐵0 − 𝑘𝐵 cos 𝜔𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶 𝑇(𝑡) = 𝐵0 − 𝐵𝐹(𝑡) + 𝐶𝑒 −𝑘𝑡 Donde 𝜔 cos 𝜔𝑡 + ( ) sin 𝜔𝑡 𝑘 𝐹(𝑡) = 𝜔 2 1+( ) 𝑘 Elegimos la constante 𝐶 de modo que en medianoche 𝑡 = 0, el valor de temperatura 𝑇 sea igual a cierta temperatura inicial 𝑇0 . Así, 𝐵 𝐶 = 𝑇0 − 𝐵0 + 𝐵𝐹(0) = 𝑇0 − 𝐵0 + . 𝜔 2 1+( ) 𝑘 Se observa que en el tercer término del tercer paso que implica a la constante C tiende a cero de manera exponencial. El término constante 𝐵0 es igual a 𝑀0 +

𝐻0 𝑘

y representa la temperatura promedio

diaria dentro del edificio (despreciando el término exponencial). Cuando no hay una relación de calentamiento adicional dentro del edificio (𝐻0 = 0), esta temperatura promedio es igual a la temperatura exterior promedio 𝑀0 . El término 𝐵𝐹(𝑡) representa la variación senoidal de la temperatura dentro del edificio correspondiente a la variación de la temperatura en el exterior. Como 𝐹(𝑡) se puede escribir en la forma: 1

𝜔 2 2 𝐹(𝑡) = [1 + ( ) ] cos(𝜔𝑡 − 𝜙) 𝑘 Donde tan 𝜙 = 𝜔⁄𝑘, la variación senoidal dentro del edificio se retrasa con respecto de la variación en el exterior por 𝜙⁄𝜔 horas. Además, la magnitud de la variación dentro del edificio es 1

𝜔 2 2

ligeramente menor, por un factor de [1 + ( 𝑘 ) ] , que la variación en el exterior. La frecuencia angular de variación 𝜔 es 2𝜋⁄24 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠⁄ℎ𝑜𝑟𝑎 (que es aproximadamente 1⁄4). Los valores usuales

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para la razón adimensional 𝜔⁄𝑘 están entre 1⁄2 y 1. Para este rango el retraso entre la temperatura interior y la exterior es aproximadamente de 1.8 a 3 horas y la magnitud de la variación interior está entre 89% y 71% de la variación en el exterior.

Figura 1: Variación de temperatura dentro y fuera del edificio sin calefacción

La figura 1 muestra la variación senoidal de 24 horas de la temperatura exterior para un día moderado típico así como las variaciones de temperatura dentro del edificio para una relación adimensional 𝜔⁄𝑘 de la unidad, que corresponde a una constante de tiempo 1⁄𝑘 de aproximadamente 4 horas. Al trazar esta última curva, hemos supuesto que el término exponencial ha desaparecido.

3. Ejercicio 3 Supóngase que el edificio del ejemplo anterior se instala un termostato sencillo que se utiliza para comparar la temperatura real dentro del edificio con una temperatura deseada 𝑇𝐷 . Si la temperatura real es menor que la temperatura deseada, el calefactor empieza a funcionar y en caso contrario se desconecta. Si la temperatura real es mayor que la temperatura deseada, el aire acondicionado comienza a enfriar y en caso contrario se desconecta. Si la cantidad de calentamiento o enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura; es decir:

𝑈(𝑡) = 𝐾𝑈 [𝑇𝐷 − 𝑇(𝑡)]

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Donde 𝐾𝑈 es la constante de proporcionalidad (positiva), determinar

𝑇(𝑡). Solución Si el control proporcional 𝑈(𝑡) se sustituye directamente en la ecuación diferencial para la temperatura del edificio, obtenemos:

𝑑𝑇 (𝑡) = 𝑘[𝑀(𝑡) − 𝑇(𝑡)] + 𝐻(𝑡) + 𝑈(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 (𝑡) = 𝑘[𝑀(𝑡) − 𝑇(𝑡)] + 𝐻(𝑡) + 𝐾𝑈 [𝑇𝐷 − 𝑇(𝑡)] 𝑑𝑡

Al comparar esta ecuación con la ecuación diferencial de primer orden:

𝑑𝑇 (𝑡) + 𝑃(𝑡)𝑇(𝑡) = 𝑄(𝑡) 𝑑𝑡 Vemos que para este ejemplo, la cantidad de P es igual a 𝑘 + 𝐾𝑈 , mientras que la cantidad de 𝑄(𝑡) que representa la función de forzamiento incluye a la temperatura deseada 𝑇𝐷 , es decir:

𝑃 = 𝑘 + 𝐾𝑈 𝑄(𝑡) = 𝑘𝑀(𝑡) + 𝐻(𝑡) + 𝐾𝑈 𝑇𝐷 Cuando la razón de calentamiento adicional es una constante 𝐻0 y la temperatura exterior M varía como una onda senoidal sobre un periodo de 24 horas de la misma forma que en el ejemplo 2, la función de forzamiento es:

𝑄(𝑡) = 𝑘(𝑀0 − 𝐵 cos 𝜔𝑡) + 𝐻0 + 𝐾𝑈 𝑇𝐷 La función 𝑄(𝑡) tiene un término constante y un término coseno. 𝑄(𝑡) = 𝐾1 (𝐵2 − 𝐵1 cos 𝜔𝑡)

𝜔= 𝐵2 =

2𝜋 24

=

𝜋 12

𝐾𝑈 𝑇𝐷 +𝑘𝑀0 +𝐻0 𝐾1

𝐾1 = 𝑘 + 𝐾𝑈 𝐵1 =

𝐵𝐾 𝐾1

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Las expresiones para la constante P y la función de forzamiento 𝑄(𝑡) = 𝑘(𝑀0 − 𝐵 cos 𝜔𝑡) + 𝐻0 + 𝐾𝑈 𝑇𝐷 son iguales a las expresiones del ejemplo 2, excepto que las constantes 𝐾, 𝐵0 𝑦 𝐵 se reemplazan, respectivamente, por las constantes 𝐾1 , 𝐵2 𝑦 𝐵1. Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial será la misma que la solución de la temperatura del ejemplo 2, excepto que se modifican los tres términos constantes. Así:

𝑇(𝑡) = 𝐵2 − 𝐵1 𝐹1 (𝑡) + 𝐶𝑒 −𝐾1 𝑡 Donde

𝜔 sin 𝜔𝑡 𝐾1 ) 𝜔 2 1+( ) 𝐾1

cos 𝜔𝑡 + ( 𝐹1 (𝑡) =

Eligimos la constante C de modo que en el instante 𝑡 = 0 el valor de la temperatura T es igual a 𝑇0 . Así

𝐶 = 𝑇0 − 𝐵2 + 𝐵1 𝐹1 (0)

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BIBLIOGRAFÍA  R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider, (2005), Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Pearson Educación.  Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, (2006), Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, International Thomson.