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• David Quevedo

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UNIDAD EDUCATIVA “ISABEL DE GODIN”

BACHILLERATO INTERNACIONAL

Estudiante: Joseth Guzmán

Lcdo. Tema: Análisis cinemático en la vida real mediante la aplicación del cálculo diferencial e integral

2018 – 2019

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Tabla de Contenidos

1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………. 3 2. INTERPRESTACION DE LA DERIVADA………………………………………. 4 2.1 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA……………… 4 2.2 INTERPRETACION FISICA DE LA DERIVADA…………………………. 5 3. INTERPRETACION DE LA INTEGRAL…………………………………………… 7 4. DEDUCCION DE LAS ECUACIONES DE LA CINEMATICA MEDIANTE EL CALCULO DIFERENCIAL …………………………………………………………… 8 5. SOLUCION DE LOS PROBLEMAS PLANTEADOS …………………………. 10 5.1 ANALISIS DE UN JUEGO DE BASQUET LA VIDA REAL ………….. 10 5.2 ANALISIS DE UN ACCIDENTE ……………………………………………

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6. CONCLUSIÓN…………………………………………………………………………

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7. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………..….

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Tema: Análisis cinemático en la vida real mediante la aplicación del cálculo diferencial e integral. ¿Se podrá calcular el ángulo de lanzamiento de una pelota de básquet aplicando una integral o una derivada? A menudo el estudiante colegial cuando recibe la materia de cálculo siempre se hace la pregunta ¿me servirá esto en la vida real? Cuando se está transmitiendo un partido de baloncesto por TV probablemente la pregunta más común sea ¿cuál será el ángulo más indicado para lanzar el balón? O ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en llegar caer al suelo una vez que haya hecho la canasta? o simplemente ¿cuál fue la velocidad del jugador si se demoró 3 segundos en llegar al aro rival?, en fin, Bueno en realidad lo ideal es que los jugadores sepan algo de física, pero de tanto practicar ya tienen el tino en la muñeca, sin embargo, con ayuda de las ecuaciones de Newton este proceso es muy sencillo. Las ecuaciones de newton parten de un análisis del cálculo diferencial e integral. Isaac Newton y Gottfried Leibniz crearon un método algo complejo pero muy eficaz, capaz de solucionar problemas como son el movimiento de los cuerpos, análisis del punto máximo entre otros, este método es el cálculo diferencial e integral. Haciendo un análisis del cálculo, se puede decir que tiene muchas aplicaciones entre las más destacadas están: 

Sirve para determinar la cantidad de material de alguna superficie curva



Útil para determinar la longitud de un cable de alimentación eléctrica



Tasa de crecimiento de un cultivo bacteriano

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

Análisis de movimiento de los cuerpos



Cálculo del centro de masa de un cuerpo



Las compañías usan a la derivada para reducir al mínimo los pagos tomando en cuenta la tasa de interés

ANÁLISIS DE LA DERIVADA APLICADA AL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS  INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Figura 1. Interpretación geométrica de la derivada Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. ∆𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎) ℎ→0 ℎ

𝑡𝑎𝑛𝛽 = lim

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Figura 2. Pendiente de una curva La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. 𝑚𝑡 = 𝑓 ′ (𝑎)

 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (𝛥𝑒) y el tiempo transcurrido (𝛥𝑡).

𝑉𝑚 =

∆𝑒 ∆𝑡

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Figura 3. Velocidad media Velocidad instantánea ∆𝑒 𝑑𝑥 = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 lim

Figura 4. Velocidad instantánea Para el cálculo de las aceleraciones se toman las ecuaciones de las velocidades y se las deriva.

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Para solucionar el problema planteado al inicio de la introducción se analizará por completo al movimiento rectilíneo desde el punto de vista del cálculo diferencial e integral.

ANÁLISIS DE LA INTEGRAL APLICADA AL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS Como toda operación tiene su inversa, la derivada no es la excepción. La integración es la operación contraria a la derivada. Al igual que la derivada existen reglas de integración que si se practica lo suficiente se puede aprender con facilidad. Además, para realizar una integral hay diferentes procesos llamados procesos de integración los más conocidos son: 

Por partes



Fracciones parciales



Por sustitución trigonométrica



Cambio de variable

Si se quiere interpretar a la integral se le puede considerar como el área bajo una curva definida. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE LOS CUERPOS CON AYUDA DEL CÁLCULO -

Movimiento rectilíneo

El movimiento rectilíneo se da cuando una partícula se desplaza en una trayectoria recta.

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El movimiento rectilíneo se puede presentar de dos formas cuando la aceleración es cero y cuando la aceleración es diferente de cero. Para ambos casos es útil el cálculo diferencial. Se sabe con anterioridad que el MRU tiene 𝑎 = 0 y que MRUV 𝑎 ≠ 0 DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO Cuando se inicia el estudio de la cinemática los profesores escriben las ecuaciones que se aplican en dicho movimiento, pero es interesante entender los diferentes movimientos mediante la aplicación de las derivadas e integrales. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO Como anteriormente se entendió el análisis de la derivada físicamente se obtiene que: 𝑎=

𝑣=

𝑑𝑣

a.

𝑑𝑡

𝑑𝑥

b.

𝑑𝑡

Estas dos ecuaciones son las necesarias para entender el fenómeno del movimiento de los cuerpos Si a la ecuación a. la resolvemos obtenemos lo siguiente 𝑎𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 𝑡

𝑣

∫ 𝑎𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑣 0

𝑣𝑜

Si la aceleración es constante y diferente de cero sale de la integral 𝑣 − 𝑣𝑜 = 𝑎𝑡

c.

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Esta ecuación es útil cuando la aceleración sea constante y la incógnita sea la velocidad. Para hallar la otra ecuación reemplazamos c. en b. 𝑣𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑡

𝑥

∫ (𝑎𝑡 + 𝑣𝑜)𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑥 0

𝑥𝑜

𝑥 − 𝑥𝑜 =

1 2 𝑎𝑡 + 𝑣𝑜𝑡 2

Para demostrar la última ecuación del movimiento en función de la aceleración y del desplazamiento se realiza un artificio matemático es cual es: De las ecuaciones a y b despejamos dt y las igualamos y asi obtenemos

𝑎= 𝑥

𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣

∫ 𝑎𝑑𝑥 = ∫ 𝑣𝑑𝑣 0

𝑣𝑜

𝑣 2 = 𝑣𝑜2 + 2𝑎𝑥 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME Para deducir las ecuaciones se ocupan las mismas ecuaciones a. y b. con diferentes condiciones. 𝑎𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 Como 𝑎 = 0 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒

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Mediante este análisis se comprueba que la velocidad es constante en el movimiento rectilíneo uniforme. De la ecuación b se obtiene 𝑣𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑣𝑡 Estas ecuaciones obtenidas sirven únicamente cuando el movimiento tiene aceleración constante o cuando la aceleración es cero, sin embargo, existe otro movimiento cuando la aceleración es variable y es allí cuando al problema se lo debe resolver por el método de las derivadas sin embargo este caso es la vida real no se da debido a que todos los cuerpos tienen aceleración constante o aceleración cero. RESOLUCION DEL PROBLEMA PLANTEADO MEDIANTE CALCULO INTEGRAL Problemas planteados: -

Cálculo del ángulo de lanzamiento de una pelota de básquet

-

Caída de una persona desde un edificio en construcción

CASO 1 Como se mencionó al inicio de este ensayo los jugadores de la NBA tienen muchas horas de entrenamiento para poder realizar esas grandiosas jugadas como son los aros de 3 puntos. El estudio del movimiento comienza de la siguiente manera estamos conscientes de que el movimiento describe una trayectoria parabólica y recordando lo que se ha estudiado es movimiento parabólico se divide en 2 tipos de movimientos, el movimiento en x y

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movimiento en y, el movimiento en x es MRU ya que ahí no actúa la gravedad y el movimiento en y es MRUV ya que la gravedad actúa hacia abajo. En la televisión se presentó el siguiente caso un jugador de la NBA lanzó un tiro libre lanzando la pelota a 5m/s. Las dimensiones de la cancha son las mostradas en el gráfico. Determine si la pelota entró o no en el aro, considere 𝜃 = 50°.

y

x

RESOLUCIÓN Análisis en y 𝑎𝑦 = −𝑔 −𝑔𝑡 = 𝑉𝑦 − 𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑉𝑦 = −𝑔𝑡 + 𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛𝜃 1 𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡 − 𝑔𝑡 2 = 𝑌 − 𝑌𝑜 2

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Análisis en x 𝑎𝑥 = 0 𝑉𝑥 = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑋 − 𝑋𝑜 = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡

1 𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛𝜃𝑡 − 𝑔𝑡 2 = 𝑌 − 𝑌𝑜 2 1

10 − 7 = 𝑉𝑜𝑆𝑒𝑛50° − 2 (32.2)𝑡 a.

𝑋 − 𝑋𝑜 = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡 13.75 − 0 = 𝑉𝑜𝐶𝑜𝑠50°𝑡

b.

Resolviendo el sistema de ecuaciones a. y b. Se obtiene que la velocidad necesaria para que no falle el tiro libre es de 22.67 ft/s lo que es equivalente a 6.7 m/s. como conclusión se puede decir que el jugador falló el tiro libre ya que lanzó el balón a 5 m/s.

CASO 2

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Este caso se presentó en la ciudad de Guayaquil, un niño cayó desde un edificio de 3 pisos (12 m) y la madre se encontraba en el segundo piso (8 m) si el niño de 5 años pesaba 18 kg aproximadamente y la madre llegó a la ventana 1.5 segundos después de escuchar a su hijo gritar, ¿la madre le alcanzó a agarrar al niño que caía? 1 ℎ = 𝑔𝑡 2 + 𝑣𝑜𝑡 2 1 ℎ = (9.81)𝑡 2 2 Se quiere saber cuanto tarda en pasar por la segunda ventana se hace el cálculo matemático con 4 m 1 4 = (9.81)𝑡 2 2 𝑡 = 0.9𝑠 El niño pasa por la ventana donde está su madre a los 0.9 s así que la madre no alcanza a salvar a su hijo. CONCLUSIÓN El cálculo diferencial e integral son fundamentales en la vida del ingeniero y de cualquier persona ya que mediante la correcta interpretación de las condiciones se pueden deducir las diferentes ecuaciones como se presentó en los dos casos anteriores. Otros casos en los que se ocupa el cálculo son en la demostración de la ecuación fundamental de la hidrostática y también en la transferencia de calor, en fin, tiene muchísimas utilidades, por el momento se determinó el tiempo y velocidades.

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BIBLIOGRAFÍA McKelvey J. (1817). Física para Ciencia e Ingeniería. Harper & Row Latinoamericana. Paredes J. (2000). Texto Básico de Física I. ESPOCH Gulatti S. ¿What is the application of differential equations in our every day life?. https://www.quora.com/What-is-the-application-of-differential-equations-in-our-everyday-life