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• Manuel

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Contenido Introducción ......................................................................................................... 2 EVIDENCIA #1 ........................................................................................................ 3 Concepto de límite de una función de variable real ............................................. 4 Propiedades básicas de los límites ...................................................................... 4 Cálculo de límites usando propiedades ............................................................... 6 Calculo de límites indeterminados (casos de factorización) ................................ 9 Limites laterales ................................................................................................. 20 Limites infinitos .................................................................................................. 22 EVIDENCIA #2 ...................................................................................................... 27 EVIDENCIA #3 ...................................................................................................... 28 Ejercicios diversos de límites ............................................................................. 29 Conclusión ......................................................................................................... 38 Bibliografía ......................................................................................................... 39

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Introducción El siguiente trabajo muestra todos los contenidos de la materia de Cálculo Diferencial en la Unidad 3 que lleva por título “Límites”. Durante toda esta unidad, se abordaron distintos temas que van desde ideas teóricas hasta aspectos prácticos. El documento que se verá a continuación funge como “portafolio de evidencias” de la materia en cuestión, y este se divide en tres apartados, correspondientes a las 3 evidencias realizadas este bloque, dos teóricas y otra práctica. La primera evidencia nos muestra todos los aspectos teóricos de la Unidad 3, con temas diversos como el concepto de límite, las propiedades básicas de los límites, el cálculo de ellos usando sus propiedades, los casos de límites indeterminados en donde hay factorización, racionalización y división sintética, y los límites laterales e infinitos. La segunda evidencia es el capítulo 2 completo del libro de Cálculo diferencial e integral del Colegio Nacional de Matemáticas (CONAMAT), el cual habla sobre límites. Contiene cientos de ejemplos y ejercicios que explican de manera fácil y detallada, todo acerca de los límites. La tercera evidencia son 20 ejercicios de límites, en donde podemos observar todo tipo de casos de indeterminación y en los cuales hay que aplicar una factorización, una división sintética o una racionalización para resolverlos. Cabe mencionar que en cada ejercicio se aplica las propiedades de los límites, sustentando así nuestro resultado. Como se puede apreciar, este bloque es sumamente interesante y tiene diversos contenidos que nos encaminan con la temática del Calculo Diferencial. Espero que este trabajo sea del agrado del lector, que refleje lo importante que son los temas de esta asignatura y lo interesante que son estos. .

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EVIDENCIA #1 CON FECHA DEL 12 DE DICIEMBRE DE 2018

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Concepto de límite de una función de variable real La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito). Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x → a+) y límite por la izquierda (x→ a-). Por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x0 = 2. x

f(x)

x

f(x)

1,9

3,61

2,1

4.41

1,99

3,9601

2,01

4,0401

1,999

3,996001

2,001

4,004001

...

...

...

...

↓

↓

↓

↓

2

4

2

4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4. Ese es su límite cuando tiende a 2: 4.

Propiedades básicas de los límites Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denomina álgebra de los límites. 4

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante. Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único.

Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.

Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites.

Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites.

Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante.

Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.

Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.

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Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente:

Propiedad de la función exponencial: el límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente:

Propiedad de la función potencial exponencial: el límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones:

Propiedad de la raíz: el límite de una raíz, es la raíz del límite:

Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.

Cálculo de límites usando propiedades En el cálculo de límites, hay que tener en primer lugar las propiedades de los límites. Tenemos a continuación una tabla con operaciones cuando el cálculo se efectúa con valores de límites de ∞ o con un número, incluido el 0. Estos cálculos son sobre el valor del límite, no se trata de operaciones con números, porque ∞ no lo es. Cuando los signos son evidentes, se omiten. (En las líneas con dos ±, debe entenderse que o se usa el + en los dos casos o el – también en ambos). 6

El primer paso para intentar resolver un límite cuando la variable x tiende al valor a consiste en substituir directamente la variable x por el valor del límite a. Entonces ver el resultado, sin otra consideración. Es decir, que en una función de tipo usual, como en una función continua, y está definida en el entorno del límite a, lo esperable es que directamente sea:

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Como es este caso:

En cambio, no existe este límite:

Y es que la función no está definida en el entorno de -3, porque -3 no está en el campo de existencia de la función, el cual está restringido al subconjunto de los reales positivos. Si en esa substitución se llega a un caso de indeterminación, se tratará de resolver según el tipo de indeterminación de que se trate, como veremos más adelante. Pongamos más ejemplos de límites:

https://ekuatio.com/limites-de-funciones-que-son-y-como-se-resuelven-limiteslaterales/ https://es.wikiversity.org/wiki/C%C3%A1lculo_y_an%C3%A1lisis_matem%C3%A1t ico/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n/Definici%C3%B3n_de_l%C3%ADmit e https://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html

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Calculo de límites indeterminados (casos de factorización) Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

0

En este apartado, vamos a resolver ejercicios que sean 0 En primer lugar, hay que destacar que no sabemos si el límite será determinado o indeterminado y en el caso de que sea indeterminado, no sabemos de qué indeterminación se tratará. Por tanto, el primer paso para resolver cualquier límite es sustituir la x por el número al que tienda y ver qué resultado obtenemos. Supongamos que después de sustituir y operar llegamos al resultado 0/0, que es una indeterminación. A partir de este punto, para resolver las indeterminaciones del tipo cero entre cero hay que seguir el siguiente procedimiento: 1. Se descomponen en factores los polinomios del numerador y del denominador. 2. Sustituimos los polinomios en el límite por su descomposición en factores. 3. Se eliminan los factores que se repitan en el numerador y en el denominador. De esta forma se elimina la indeterminación 4. Se vuelve a sustituir la x por el número al que tienda, llegando a una solución determinada. La mayor dificultad de este procedimiento radica en la descomposición de los polinomios en factores, por lo que debes tener muy claro cómo descomponer polinomios, así como dominar los productos notables, cómo sacar factor común, el método de Ruffini, etc. Es importante el buen manejo de la factorización para poder continuar. Vamos a resolver unos cuantos ejemplos paso a paso de límites con indeterminación 0/0 para que puedas aprender a resolverlos.

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En esta ocasión, nos vamos a centrar en el procedimiento de resolución de límite, sin llegar a profundizar demasiado en cada paso, para que se tenga sobre todo una visión general. Vamos con el primer ejemplo:

En primer lugar, sustituimos la x por el 3 para resolver el límite y nos da como resultado la indeterminación cero entre cero:

Por tanto, vamos a descomponer en factores los polinomios del numerador y del denominador. El polinomio del numerador se trata de un producto notable, por lo que su descomposición es:

El polinomio del denominador no se puede descomponer, ya que ya es de grado 1 y por tanto, ya está reducido al máximo, por lo que se queda igual. Sustituyo el polinomio del numerador por su descomposición en factores y queda:

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El factor (x-3) está repetido en el numerador y en el denominador por lo que lo puedo eliminar:

Quedando de la siguiente forma:

Una vez hemos eliminado los factores repetidos, la indeterminación también se ha eliminado, por lo que podemos volver a sustituir la x por el 3 y llegar a la solución de límite:

Vamos a resolver otro ejemplo:

Sustituimos la x por el 2 y operamos. Llegamos a la indeterminación 0/0:

En este caso, ambos polinomios son de grado 2, por lo que se pueden descomponer en factores. Los descomponemos y nos queda:

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Sustituimos los polinomios por su descomposición en factores:

Y eliminamos los factores que se repiten en el numerador y en el denominador, que en este caso es el factor (x-2):

Al eliminarlo nos queda:

Volvemos a sustituir la x por el 2 y operamos. La indeterminación ha desaparecido y llegamos al resultado final:

Vamos a resolver un último ejemplo:

Sustituimos la x por el 0 y operamos. El resultado es una indeterminación cero entre cero:

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Pasamos a descomponer los polinomios en factores. A veces, no es necesario descomponer el polinomio en factores de grado 1 o irreducibles. Lo que pretendemos conseguir al descomponerlos es encontrar un factor que se repita arriba y abajo para eliminarlo y que desaparezca la indeterminación Por eso, esta vez, vemos que podemos sacar factor común a la x en ambos polinomios:

Y por tanto, es la x el factor que eliminamos en el numerador y en el denominador, por lo que no es necesario seguir descomponiendo el factor de grado 3, que nos ha quedado en el denominador:

Al eliminar la x del numerador y del denominador nos queda:

Que volvemos a sustituir la x por cero y llegamos al resultado final:

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Como se comentaba al principio, aunque el procedimiento de resolución es el mismo, cada límite tiene sus detalles y hay que estar preparado con una buena base matemática para poder descomponer cualquier polinomio, ya que es la diferencia entre ellos. Otra forma de factorización es a través de la división sintética Este método se aplica a polinomios de una sola variable que se caracterizan por anularse para algunos de los divisores de su término independiente afectado de doble signo, o alguna combinación. Ejemplo: Factorizar

Solución:

Los números de prueba son: de la siguiente formula:

. , los cuales se sacan a partir

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑥 0 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 Los números fraccionarios tienen como numerador los divisores del término independiente y como de nominador los divisores del coeficiente del término de mayor grado. Con todos nuestros números de prueba procederemos a realizar nuestra división sintética: Paso 1: Establezca la división sintética colocando los coeficientes del dividendo y el valor de -1 para empezar: -1

2

1

-9 14

-4

4

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

-1 2

1

-9 -4

4

↓ 2 Paso 3 Multiplique -1 por el coeficiente principal 8. -1 2

1

-9 -4

↓

-2

4

2 Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna. -1

2

1

↓

-2

2

-1

-9

-4

4

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al último término. -1

2

1

-9

-4

4

↓

-2

1

8

-4

2

-1

-8

4

0

Así se debe hacer con todos los números de prueba hasta que en alguno, el último resultado sea 0. En este este caso, no hay necesidad de hacer esto con los demás números ya que de inmediato nos dio 0. Una vez que nos dé 0, sustituimos los resultados con la variable x, empezando con un exponente más abajo del de nuestra función y siendo multiplicado por “x” ± el número de prueba que ocupamos). Quedaría algo así:

𝑃 (𝑥 ): (𝑥 + 1)(2𝑥 3 − 𝑥 2 − 8𝑥 + 4) 15

Fue x +1 ya que x = -1, por lo que x+1=0. Nuestra función sigue sin estar factorizada completamente ya que el primer factor todavía puede descomponerse aún más, por lo que aplicamos el mismo método pero solo con ese factor. Sus números de prueba serian: seria el -2: -2

, y el número que nos daría cero

2

-1

-8

4

↓

-4

10

-4

2

-5

2

0

Después de la división se obtiene:

El trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 resultante, también fue descompuesto y la expresión esta finalmente factorizada. Ahora vamos con límites en los que hay que aplicar racionalización Muchas veces, los límites con indeterminación 0/0 tienen raíces y en estos casos no es posible factorizar los polinomios para eliminar el mismo factor del numerador y del denominador. En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del binomio donde esté la raíz. Por ejemplo:

Sustituimos la x por el 1 y nos da como resultado la indeterminación cero entre cero:

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En este caso, la raíz la tenemos en el denominador, por tanto, de ese binomio será el conjugado por el que tendremos que multiplicar el numerador y el denominador:

En el denominador nos ha quedado una suma por diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:

Y en el numerador, tenemos un factor de grado 2 que es una diferencia de cuadrados, que podemos descomponer como suma por diferencia:

Y de esta forma, el factor (x-1) lo podemos eliminar del numerador y del denominador:

Y nos queda:

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Ahora ya podemos sustituir la x por el 1 y llegamos a la solución, ya que hemos eliminado la indeterminación:

Vamos a ver otro ejemplo:

Sustituimos la x por el 3 y llegamos al resultado de cero entre cero:

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del binomio del numerador:

En el numerador nos queda una suma por diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:

En el denominador tenemos el binomio (x²-9), que es una diferencia de cuadrados y podemos ponerlo como una suma por diferencia:

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Al tenerlo así, podemos eliminar el factor (x-3):

Y nos queda:

Volvemos a sustituir la x por el 3 y llegamos a la solución del límite:

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Limites laterales En la definición de límite de una función en un punto decíamos que era el valor al que se aproximaba la función f(x) cuando la x se acercaba a a. Pero a a, siempre que sea un valor finito, podemos acercarnos por la izquierda, esto es, tomando valores menores que a, o por la derecha, es decir, tomando valores mayores que a. Los límites laterales contemplan precisamente estas dos posibilidades.

A la izquierda, en 1, concepto y notación del límite por la izquierda. Observa que, a medida que tomamos valores próximos a a, pero menores que este (fondo verde claro), los correspondientes valores de f(x), en rojo, se aproximan a Li. Decimos que Li es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la izquierda. En 2, el concepto y notación del límite por la derecha. A medida que tomamos valores próximos a a, pero mayores que este (fondo verde oscuro), los correspondientes valores de f(x) se aproximan a Ld. Decimos que Ld es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la derecha.

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Pongamos un ejemplo para ver cómo se resuelven:

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4 . El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

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Limites infinitos Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito (límites al infinito). Veamos un caso, con un límite infinito en la siguiente función:

Su límite cuando la variable tiende a 2 es:

Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a 2, tanto acercándonos por su izquierda como por su derecha, como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a +∞:

Visto en esta gráfica:

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Unas funciones con un límite infinito pueden crecer más rápidamente que otras, conforme la variable x se acerca al valor del límite. Decimos que hay diferentes órdenes de infinito, según su rapidez en acercarse a él. Comparación de órdenes de infinito en infinitos fundamentales, ordenados de mayor a menor. Para eso, veamos estas gráficas:

Sus órdenes de infinito, de mayor a menor:

Pondremos ahora las denominaciones de las funciones fundamentales, ordenadas. Potencial exponencial > exponencial > potencial > logarítmica. O, lo que es lo mismo:

Una función f(x) puede tener un límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice entonces que f(x) diverge a infinito. Esto puede ocurrir cuando la variable x tienda a un valor finito a o también cuando x tienda al infinito. Veamos los tipos que se pueden presentar. 23

Hay distintos tipos de límites infinitos: Límite = +∞ cuando x → a Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) > f(a). Como se ve en la figura:

Límite = -∞ cuando x → a Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) < f(a). Como se ve en la figura:

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Límite = +∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).

Límite = +∞ cuando x → -∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).

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Límite = -∞ cuando x → +∞ Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) < f(a).

Límite = -∞ cuando x → -∞ Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) < f(a).

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EVIDENCIA #2 CON FECHA DEL 13 DE DICIEMBRE DE 2018 La evidencia #2 es el Capítulo 2 del libro de “Cálculo diferencial e integral” escrito por el Colegio Nacional de Matemáticas (CONAMAT), que lleva por nombre Límites. Es por ello que la numeración de las hojas no va de acuerdo con la numeración de este portafolio, por lo que a continuación se presenta un pequeño índice de los temas de este capítulo, con la numeración del libro de CONAMAT. Definición intuitiva de límite – Pág. 56 Definición formal de límite – Pág. 60 Teoremas – Pág. 62 Limites cuando x tiende al infinito – Pág. 70 Asíntotas horizontales - Pág. 72 Asíntotas oblicuas – Pág. 74 Límites laterales – Pág. 77 Límites de funciones trigonométricas – Pág. 80

La numeración de este trabajo vuelve a la normalidad al iniciar la evidencia #3.

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EVIDENCIA #3 CON FECHA DEL 14 DE ENERO DE 2019

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Ejercicios diversos de límites

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Conclusión Después de ver todos los temas de la Unidad 3, como estudiante tengo la curiosidad y el entusiasmo de ver que sigue en esta materia. Esta tercera unidad nos enseñó de todo: tanto la parte teórica de límites como la parte práctica de resolverlos y encontrar un método para eliminar la indeterminación; todo fue sumamente interesante y me deja con varios conocimientos nuevos con los cuales seguiré avanzando. Uno de los temas nuevos que aprendí fue el de las propiedades de los límites ya que aunque en el bachillerato ya había visto este tema, no sabía que se tenía que aplicar estas propiedades para darle un cierto sustento a nuestra respuesta. También me sirvió para recordar todos los tipos de factorización que existen, así como el método para realizar una racionalización o una división sintética, algo que no es tan difícil pero es importante siempre recordar. Al trabajar con diferentes tipos de indeterminaciones, analizarlas y demás, me di cuenta de la gran variedad de métodos y resultados que nos podemos encontrar, los que más llamaron mi atención fueron las racionalizaciones dobles y un tipo de factorización para cualquier diferencia de raíces con el mismo radical, la cual viene en las copias de la evidencia 2, del libro de CONAMAT, ya que nunca la había visto. Como estudiante de Ingeniería Química, me agrada ver este tipo de temas ya que en futuro podré aplicarlos a mi carrera y entender, desde las bases, que significa cada uno de los resultados que yo obtenga. Espero que la próxima unidad sea igual o más interesante que esta. La unidad pasada dije lo mismo, y se cumplió. Yo como estudiante me comprometo a dar lo mejor de mí y estudiar mucho para esta materia.

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