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CORPORACION UNIVERSITARIA DE ASTURIAS NEGOCIOS INTERNACIONALES CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

JORGE EDUARDO MEDINA OSORIO

TULUÁ VALLE 2019 1

UNIDAD 2 Preguntas dinamizadoras Resuelvan las siguientes integrales:

1- ∫x4x2+1dx u=4x2+1 ⟶ dx=18xdu =18∫1udu ∫1udu Esta es una integral estándar: =ln(u) 18∫1udu =ln(u)8 u=4x2+1: =ln(4x2+1)8 El problema está resuelto: ∫x4x2+1dx =ln(4x2+1)8+C

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2- ∫(1x2+2x+2+x)dx =∫1x2+2x+2dx+∫xdx ∫1x2+2x+2dx =∫1(x+1)2+1dx u=x+1 ⟶ dx=du =∫1u2+1du Esta es una integral estándar: =arctan(u) u=x+1: =arctan(x+1) ∫xdx Aplica la regla de la potencia: ∫xndx=xn+1n+1 con n=1: =x22 ∫1x2+2x+2dx+∫xdx =arctan(x+1)+x22 El problema está resuelto: ∫(1x2+2x+2+x)dx =arctan(x+1)+x22+C

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3- ∫cot(x)dx =∫cos(x)sin(x)dx u=sin(x) ⟶ dx=1cos(x)du =∫1udu Esta es una integral estándar: =ln(u) =sin(x): =ln(sin(x)) El problema está resuelto. Aplica la función de valor absoluto a los argumentos de funciones logarítmicas con el fin de extender el domino de la antiderivada: ∫cot(x)dx =ln(|sin(x)|)+C

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4-∫1(2x+1)2+1dx

u=2x+1 ⟶ dx=12du =12∫1u2+1du ∫1u2+1du Esta es una integral estándar: =arctan(u) 12∫1u2+1du =arctan(u)2 u=2x+1: =arctan(2x+1)2 El problema está resuelto: ∫1(2x+1)2+1dx =arctan(2x+1)2+C

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5- ∫xx4+4dx u=x22 ⟶ dx=1xdu =∫14u2+4du Simplifica:

=14∫1u2+1du ∫1u2+1du Esta es una integral estándar:

=arctan(u) 14∫1u2+1du =arctan(u)4 u=x22: =arctan(x22)4 El problema está resuelto:

∫xx4+4dx =arctan(x22)4+C

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6- ∫1√ 1−(2x+1)2 dx u=2x+1 ⟶ dx=12du =12∫1√ 1−u2 du ∫1√ 1−u2 du Esta es una integral estándar:

=arcsin(u) 12∫1√ 1−u2 du =arcsin(u)2 u=2x+1: =arcsin(2x+1)2 El problema está resuelto:

∫1√ 1−(2x+1)2 dx =arcsin(2x+1)2+C

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7- ∫x√1−x4 dx u=x2 ⟶ dx=12xdu =12∫1√ 1−u2 du ∫1√ 1−u2 du Esta es una integral estándar:

=arcsin(u) 12∫1√ 1−u2 du =arcsin(u)2 u=x2: =arcsin(x2)2 El problema está resuelto:

∫x√1−x4 dx =arcsin(x2)2+C

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8- ∫x√9−x4 dx u=x23 ⟶ dx=32xdu =∫32√ 9−9u2 du Simplifica: =12∫1√ 1−u2 du ∫1√ 1−u2 du Esta es una integral estándar: =arcsin(u) 12∫1√ 1−u2 du =arcsin(u)2 u=x23: =arcsin(x23)2 El problema está resuelto: ∫x√9−x4dx =arcsin(x23)2+C

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9- ∫x√ 1−x2 dx u=1−x2 ⟶ dx=−12xdu =−12∫1√ u du ∫1√ u du Se aplica la regla de la potencia: ∫undu=un+1n+1 con n=−12: =2√ u −12∫1√ u du =−√ u u=1−x2: =−√ 1−x2 El problema está resuelto: ∫x√ 1−x2 dx =−√ 1−x2 +C

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