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2.3. FUNCIONES 

Los objetos fundamentales con los que trata el cálculo son las funciones.



Surgen siempre de una cantidad que depende de otra. 

Por ejemplo en área de un círculo depende de su radio.



La aceleración vertical a del suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t. La figura muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un valor de t la gráfica proporciona un valor correspondiente de a.

2.4. CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

P(t) es la población humana del mundo en el tiempo t. Vamos a medir t, así que t = 0 se corresponde con el año 1900. La tabla de valores de la población mundial proporciona una representación adecuada de esta función. Si se grafican estos valores, obtenemos la gráfica (llamada gráfica de dispersión). También es una representación útil porque la gráfica nos permite disponer de todos los datos a la vez. ¿Qué pasa con una fórmula? Por supuesto, es imposible concebir una fórmula explícita que proporcione la población humana exacta P(t) en cualquier tiempo t. Pero es posible encontrar una expresión para una función que se aproxime a P(t)?. Si, utilizando los métodos de aproximación

Investigar sobre aplicaciones de la función escalón (entero mayor o entero menor).

Ejercicio:

1.

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a.

b.

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d.

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a.

d.

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c.

f.

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2.5. MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES:  Modelo matemático: es una descripción matemática (puede ser por medio de una función o ecuación) de un fenómeno real como el tamaño de una población, la velocidad de un objeto que cae, etc.  El propósito de un modelo es comprender el fenómeno y talvez hacer predicciones sobre su comportamiento futuro. Etiquetar variables dependientes e independientes, usar conocimientos de física, recolección de datos, etc.

Aplicar conocimientos matemáticos del cálculo.

Interpretar las conclusiones matemáticas como información sobre el fenómeno original del mundo real para hacer conclusiones o predicciones.

Poner a prueba las predicciones comparando contra nuevos datos reales.

Como se aprecia desde los años 1990 al 2005 los puntos se alejan mucho de la línea. Un mejor modelo lineal se consigue con un procedimiento estadístico llamado regresión lineal y se puede utilizar programas de computador para obtenerlo.

Las funciones polinomiales se utilizan comúnmente para modelar diversas cantidades que se producen en la ciencias naturales y sociales.

El modelo lineal no es adecuado puesto que al graficar se ajusta más a un modelo cuadrático. Con el método de mínimos cuadrados podemos obtener la ecuación.

Es una hipérbola con los ejes coordenados como asíntotas

Casi siempre utilizan las medidas en radianes y son funciones periódicas con periodo 2

EJERCICIO:

2.6. Nuevas funciones a partir de funciones viejas: Transformaciones gráficas Una vez conocidas las funciones básicas brevemente, formaremos nuevas funciones aplicando transformaciones a las gráficas básicas como: desplazamientos, estiramientos, compresiones, y combinaciones entre estas transformaciones. También combinar funciones.

Dos funciones f(x) con dominio A y g(x) con dominio B, se pueden combinar de la siguiente forma:

EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMACIONES GRÁFICAS:

Ejercicios sobre composiciones:

2.7. Calculadoras graficadoras y computadoras Las calculadoras graficadoras y las computadoras pueden dar gráficas muy precisas de las funciones. Pero veremos que sólo a través del uso del Cálculo podemos estar seguros de que hemos descubierto todos los aspectos interesantes de una gráfica. Una calculadora graficadora o una computadora muestran una parte de la gráfica de una función en una ventana rectangular de visualización o pantalla de visualización, a la que nos referimos como un rectángulo de vista

Hay que elegir con cuidado el rectángulo de vista para ver lo que necesitamos y no causar errores de estimación en nuestros valores o formas. De esta forma nuestros datos o imágenes se encuentran en un rectángulo de dimensiones:

Ejercicios

2.8. Funciones exponenciales, inversas y logaritmos:

ALGUNAS CARACTERISTICAS IMPORTANTES

Decrece

Constante

Reflexión

Creciente

Ejercicio:

Ejemplo:

Es una función que crece muy rápido, veamos:

Investigue como realizar regresiones lineales en MATLAB (o MAPLE) y en EXCELL para realizar el siguiente ejercicio:

En la tabla se muestra los resultados de un estudio de bacterias realizados por un biólogo. Primero esta el número de bacterias en función del tiempo. = . Pero luego decide investigar el tiempo requerido para que la población alcance distintos niveles. = . “función inversa”

Primero graficamos:

Relejamos respecto a la recta y=x

Evidenciemos el crecimiento lento de la función logaritmo natural:

No podemos encontrar la inversa de una función trigonométrica directamente, puesto que no son funciones “uno a uno”. Para solucionar esto restringimos el dominio de la función:

FIN DEL CAPITULO 2