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• Rojas Joseph

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS – ÁREA DE MATEMÁTICAS - TALLER CONJUNTO DE CÁLCULO VECTORIAL

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D M

A

Para tener en cuenta: Al resolver los ejercicios de este taller, incluya todo el procedimiento en orden, exprese claramente su estrategia de solución, explique, argumente y concluya. Resalte y numere los resultados parciales importantes. Escriba preferiblemente en tinta y sobre una hoja de examen. El docente puede solicitar la sustentación parcial o total de la prueba dentro de los próximos 5 días hábiles. Además, tener en cuenta los Artículos 97 a 104 de la Reforma del Reglamento General Disciplinario de la USTA.

Instrucciones Apreciado estudiante. A continuación, encontrará una serie de ejercicios y/o problemas de las unidades temáticas que se abordarán en el curso, junto con las competencias que usted debe desarrollar en cada una de éstas. Para cada unidad temática se proponen ejercicios elaborados por algunos docentes del área y otros tomados y/o adaptados de los textos guía de la asignatura, que usted debe desarrollar. Estos ejercicios deben ser entregados y sustentados de acuerdo a las indicaciones que le haga su profesor.

UNIDAD TEMATICA 1. Superficies cuadráticas, coordenadas cilíndricas, esféricas y rectangulares. Competencias  Diferencia y grafica las superficies cuadráticas.  Caracteriza las superficies cuadráticas mediante trazas.  Utiliza los diferentes tipos de sistemas de representación, rectangular, cilíndrico y esférico para representar puntos y superficies.  Determina ecuaciones de rectas y planos en el espacio.  Construye la gráfica de una curva plana en forma paramétrica. 1. Calcular y representar gráficamente el vértice y raíces de las siguientes parábolas. 1 a. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑏. 𝑔(𝑡) = 𝑡 2 − 2𝑡 − 15 𝑐. ℎ(𝑠) = 5𝑠 2 − 53𝑠 − 22 2. Utilice procesos algebraicos para hallar la ecuación canónica de las siguientes elipses. Realice la representación geométrica en cada uno de los casos, (ubicar el centro, vértices y focos). a. 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0 𝑐. 2𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 8𝑦 = −16 b. 3𝑥 2 + 12𝑥 + 5𝑦 2 − 3 = 0 𝑑. 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 9 3. Utilice procesos algebraicos para hallar la ecuación canónica de las siguientes hipérbolas. Realice la representación geométrica en cada uno de los casos, (ubicar el centro, vértices y focos). a. 4𝑥 2 − 𝑦 2 − 24𝑥 + 32 = 0 𝑐. 2𝑥 2 − 3𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 = 7 b.

𝑥2 −

𝑦2 4

− 3𝑦 = 10

𝑑. 30𝑥 + 14𝑦 + 20 = 𝑦 2 − 3𝑥 2

4. La aplicación que sigue fue desarrollada en la segunda Guerra Mundial. Muestra cómo utilizar las propiedades de las hipérbolas en el radar o en otros sistemas de detección de hoy en día. Dos micrófonos están separados 2km, graban una explosión. El sonido llego al micrófono A 5 segundos antes que al B. Dónde ocurrió la explosión. 2 5. El primer satélite artificial de la Tierra fue el Sputnik I (puesto en órbita por la URSS en 1957). Su máxima altura sobre la superficie terrestre fue de 985km y la mínima de 205km. Hallar la excentricidad de su órbita.

1 2

Ejercicios 1, 2 y 3 propuestos por CARRILLO, Alberto. Profesor de Matemáticas. Departamento de Ciencias Básicas. USTA Tunja. 2018. Ejercicios 4 y 5 modificado del CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA vol 2. Larson, Hostetler y Edwars.Mc Graw Hill. España 1995, p798.

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6. Complete la siguiente tabla y represente gráficamente los siguientes puntos. 3 COORDENADAS RECTANGULARES 𝑃(2, −1,3)

COORDENADAS CILÍNDRICAS

COORDENADAS ESFÉRICAS

𝜋 𝑅 (3, , 1) 6 𝑆(12, 𝜋, 3)

𝜋 𝜋 𝑄 (2, , ) 4 3

𝑇(0, −3,2) 𝑈 (5, 𝜋,

4𝜋 ) 3

7. Identifique y realice un bosquejo de la superficie que representa las siguientes expresiones. a. 𝑧 = 2𝑟 2 𝑑. 𝑟 = 3𝑠𝑖𝑛𝜃 b. 𝑟 2 + 𝑧 2 = 36 𝑒. 𝜌 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 2 (𝑠𝑒𝑛2 2 2 c. 𝜌 𝜑𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑) = 9 𝑓. 𝜌2 − 6𝜌 + 8 = 0 8. Graficar e identifique las siguientes superficies cuadrática ayudándose de un visualizador grafico como geogebra en 3D, wólfram mathematica entre otros. Represente las trazas de las mismas en el plano cartesiano. a. 16𝑥 2 + 32𝑦 2 + 9𝑧 2 + 32𝑥 − 64𝑦 − 18𝑧 = 87 b. 6𝑥 2 − 9𝑦 2 + 𝑧 2 − 12 = 0 c. 4𝑥 2 − 𝑦 2 − 8𝑧 2 − 25 = 0 d. 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑧 2 53 e. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 − 2𝑦+𝑧 2 − 8𝑧 = − 4 9. Solve the following plans and express the solution in the suggested way. a. b. c. d.

3

𝜋1 : 5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 ; 𝜋2 : −7𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 − 3 = 0 𝑆𝑜𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑦 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝜋1 : 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3 ; 𝜋2 : 8𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = −6 𝑆𝑜𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝜋1 : −𝑥 + 9𝑦 + 6𝑧 = 10 ; 𝜋2 : 5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 11 = 0 𝑆𝑜𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑦 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝜋1 : 5𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 1 ; 𝜋2 : −7𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0 𝑆𝑜𝑙 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

Ejercicios 6, 7, 8 y 9 propuestos por CARRILLO, Alberto. Profesor de Matemáticas. Departamento de Ciencias Básicas. USTA Tunja. 2018.

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UNIDAD TEMATICA 2. Funciones Vectoriales. Competencias  Analiza gráficas de curvas de funciones vectoriales en el espacio.  Determina los parámetros que definen una curva vectorial en el espacio.  Calcula límites, derivadas e integrales de funciones vectoriales.  Resuelve problemas de aplicación donde utiliza las funciones vectoriales en dos y tres dimensiones. 1. Find the domain of the following vector functions4 𝑡 2 +3𝑡−1 , √4𝑡 2 √4𝑡+1 2 𝑡 𝑡 3𝑖 − 𝑗 sin 𝑡

a. 𝑟(𝑡) = 〈 b. 𝑤(𝑡) =

4−𝑡

− 9, 𝑒 2𝑡 〉

1

𝑐. 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 +7𝑡+10 𝑖 + ln 𝑡 𝑗 − cos 𝑡𝑘 𝑑. 𝑟(𝑡) = 〈√4𝑡 − 6, √16 − 𝑡 2 , tan 𝑡〉

2. Realizar la gráfica de las siguientes funciones vectoriales, ayudado de un software matemático como (derive, wólfram mathematica, entre otros). Indique la dirección en la cual aumenta. a. 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡 2 𝑗 + 𝑡 3 𝑗 𝑑. 𝑠(𝑡) = 𝑒 𝑡 𝑖 + √𝑡 + 1𝑘 b. 𝑤(𝑡) = 〈𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡〉 𝑒. 𝑟(𝑡) = ln 𝑡𝑖 − 2𝑡 𝑗 − 𝑡𝑘 3 𝑡 c. 𝑠(𝑡) = 〈3𝑡, 4𝑡 , 𝑒 〉 3. The following vector functions represent the movement of objects in space. Find the velocity vector and the speed for the indicated t value. 𝜋

a. 𝑟(𝑡) = 2𝑡𝑖 + 𝑡 2 𝑗 − 𝑡 3 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1 b.

𝑑. 𝑠(𝑡) = sin 𝑡𝑖 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 𝑡𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 3

𝑤(𝑡) = 〈ln √3𝑡 − 1, 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡, 𝑐𝑜𝑡 4 𝑡〉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1

c. 𝑟(𝑡) = 〈𝑡𝑎𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑐𝑡, 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡〉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 =

5𝜋 6

𝑒. 𝑟(𝑡) =

𝑡 3 +4𝑡

𝑖 + 3𝑡−1 𝑗 + 𝑡𝑎𝑛3 𝑡𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0

√5𝑡+1 3𝑡−1

𝑓. 𝑤(𝑡) = 4

1

𝑖 − 𝑒 5𝑡+1 𝑗 − 𝑡 −3 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 2

4. Hallar el límite de las siguientes funciones vectoriales. 5 a. lim〈𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑙𝑛𝑡〉 𝑡→0

𝑡−1

b. lim 〈𝑒 −𝑡 , 𝑡+1 , arctan 𝑡〉 𝑡→∞

sin 𝑡 𝑡 𝑖 + tan 𝑡𝑗 − cos 𝑡−1 𝑘} 𝑡 3 4 √𝑡 +27𝑡 6 ln 𝑡 lim { 4𝑡 2+6𝑡−2 𝑖 + 2𝑡 3+1 𝑗} 𝑡→∞

lim { 𝑡→0

5. Calcule y represente gráficamente el vector posición y tangencial en las siguientes funciones vectoriales. a. 𝑟(𝑡) = 𝑒 𝑡 𝑖 + √𝑡𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 2 b. 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 𝑖 + 𝑡 3 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1 𝜋 c. 𝑤(𝑡) = (1 − 𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑖 − cos 𝑡𝑗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 2 d. 𝑟(𝑡) = sin 𝑡𝑗 + √𝑡𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 𝜋 6. Hallar el vector normal y binormal en las siguientes funciones vectoriales. a. 𝑠(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑗 + 2𝑡𝑘 b. 𝑟(𝑡) = 2𝑡𝑖 − 𝑡 2 𝑗 + 𝑡𝑘 c. 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡 2 𝑗 + 𝑡 3 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1 𝜋 d. 𝑤(𝑡) = 〈sin 2𝑡, cos 2𝑡, 𝑡〉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 4 4 5

Ejercicios 1, 2, 3 y 4 propuestos por CARRILLO, Alberto. Profesor de Matemáticas. Departamento de Ciencias Básicas. USTA Tunja. 2018. Ejercicios 4, 5 y 6 modificado del CALCULO MULTIVARIABLE. STEWART, J. Thomson Learning. Mexico 2002, p842 a p857.

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7. Find the curve length of the following vector functions6 a. 𝑠(𝑡) = 2𝑠𝑖𝑛𝑡𝑖 + 3𝑡𝑗 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑘; 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. b. 𝑟(𝑡) = 3𝑡 2 𝑖 + 5𝑡𝑘 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 0 ≤ 𝑡 ≤ 5. c. 𝑤(𝑡) = 〈𝑡, 𝑡 2 〉 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 2 ≤ 𝑡 ≤ 8. 8. Analyze the curvature of the following vector functions. a. 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 𝑖 + 2𝑡𝑗 + k b. 𝑟(𝑡) = 〈𝑡, √𝑡, 𝑡 2 〉

𝑐. 𝑟(𝑡) = 〈𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑡, 4𝑡〉 3 𝑑. 𝑤(𝑡) = √𝑡𝑖 + √𝑡 𝑗

9. Resolver los siguientes problemas. 7 a. La aceleración de un objeto está dada por la función vectorial 𝑎(𝑡) = 2𝑡 𝑖 + sin 𝑡𝑘, determine el modelo que describe el desplazamiento del objeto si se sabe que su velocidad es 𝑣〈1,0,3〉 y su posición inicial es 𝑟〈0,2,1〉. b. Un proyectil se dispara con un ángulo de elevación 𝛼 = 40° y una velocidad inicial de 85𝑚/𝑠. Depreciando la resistencia del are, la única fuerza externa se debe a la gravedad, encuentre la función de posición del proyectil. Sí 𝛼 = 50°, cuál es la distancia recorrida cuando t=5seg. c. La función vectorial 𝑟(𝑡) = 2𝑠𝑖𝑛𝑡𝑖 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 𝑡 2 𝑘 da la posición de un cuerpo en movimiento en términos del tiempo t. Encuentre la rapidez del cuerpo y su dirección “”vector tangencial” cuando t=3. En qué momento de tiempo, los vectores de velocidad y aceleración son ortogonales. d. Hallar la función de posición de una partícula, a partir de su modelo vectorial de velocidad y posición 𝑑𝑟(𝑡) 4𝑡−1 inicial. La velocidad de la partícula está dada por = 𝑒 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + √4 + 9𝑡 2 𝑗 − 2 𝑘 y su 𝑑𝑡 𝑡 +8𝑡+12 posición inicial es 𝑟(0) = 2𝑖 + 4𝑘. e. Hallar el ángulo formado por las funciones vectoriales 𝑟(𝑡) = (2𝑡 + 1)𝑖 + 𝑙𝑛𝑡𝑗 𝑦 𝑠(𝑡) = 〈𝑡 2 , ln 𝑡〉. En el punto en donde se intersectan. Tener presente que el ángulo formado por dos funciones vectoriales en un punto de intersección es el formado por sus vectores tangenciales en el mismo punto.

6 7

Ejercicios 7 y 8 modificado del CALCULO MULTIVARIABLE. STEWART, J. Thomson Learning. Mexico 2002, p856. Ejercicio 9 propuestos por CARRILLO, Alberto. Profesor de Matemáticas. Departamento de Ciencias Básicas. USTA Tunja. 2018.

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UNIDAD TEMATICA 3. Funciones de varias variables. Competencias  Calcula, grafica e interpreta las curvas o superficies de nivel y reconoce la importancia de ellas en el modelamiento de situaciones reales.  Calcula y grafica el dominio de una función en dos variables independientes.  Demuestra la existencia de un límite en varias variables.  Resuelve límites de funciones de varias variables a través de operaciones algebraicas.  Describe el comportamiento de funciones de varias variables a partir del estudio de límites. ´ 1. Hallar y graficar el dominio de las siguientes funciones en dos variables independientes.8 √3𝑥+𝑦

𝑥+𝑦

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥−𝑦2 )

𝑑. 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑦

𝑔. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 +5𝑦

b. 𝑧 =

𝑒. 𝑓(𝑥, 𝑡) = √5𝑡 − 3𝑥 − 1

ℎ. 𝑔(𝑥, 𝑦) = √49 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑥𝑦 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥

c. 𝑔(𝑥, 𝑦) = √64 − 9𝑥 2 − 𝑦 2

𝑓. ℎ(𝑥, 𝑡) =

𝑦 4 5𝑡 +2

𝑖. 𝑧 = tan 𝑥𝑦

2. Graph the following functions in two independent variables, supported by mathematical software. . a. 𝑔(𝑥, 𝑦) = −3𝑥 − 5𝑦 + 4 𝑑. 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 𝑔. 𝑧 = √𝑥 + √𝑦 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √36 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑒. ℎ(𝑠, 𝑡) = 3𝑠 2 − 𝑡 2 ℎ. 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑡 − 𝑥 2 c. 𝑤 = −√25 − 4𝑥 2 − 9𝑦 2 𝑓. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1 3. Relacione la función con su grafica (marcada I – VI). De razones para su elección. Ayúdese de software matemático dinámico. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑥| + |𝑦| 𝑑. 𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑥𝑦| 1 b. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑒. 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 − 𝑦 2 )2 2 2 1+𝑥 +𝑦

c.

8

ℎ(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2

𝑓. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛(|𝑥| + |𝑦|)

Ejercicios 1 ,2 y 3 tomado y modificado del CALCULO MULTIVARIABLE. STEWART, J. Thomson Learning. Mexico 2002, p884 y p885.

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4. Relacione la función con su grafica (marcada A a F) y con su mapa de curvas de nivel (mapas marcados de I a VI) Dé razones para su elección. 9

9

Ejercicios 4 y 5 modificado y tomado del CALCULO MULTIVARIABLE. STEWART, J. Thomson Learning. Mexico 2002, p885 y p886.

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5. Hallar y representar las curvas de nivel de las siguientes funciones en dos variables independientes. a. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 3𝑦 − 1 𝑒. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 4𝑦 2 b. ℎ(𝑥, 𝑦) = √64 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑓. 𝑧 = 𝑡 𝑙𝑛 𝑦 c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒 𝑥 𝑔. 𝑓(𝑥, 𝑡) = 9𝑥 2 − 4𝑡 2 𝑥−𝑦 d. ℎ(𝑥, 𝑦) = √36 − 9𝑥 2 − 16𝑦 2 ℎ. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦

6. Calculate. 10 a. b. c. d.

3𝑥 2 +12𝑦3 2 −5𝑥𝑦+4𝑦 3 𝑥 (𝑥,𝑦)→(0,0) 4𝑥 2 𝑦 lim 𝑥 2+𝑦2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥𝑦−2𝑦 lim (𝑥,𝑦)→(2,0) 𝑥 2 +𝑦 2 −4𝑥+4 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑥𝑧 lim (𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0) 𝑥 2 +𝑦2 +𝑧 2

lim

𝑒. 𝑓.

sin(𝑥+𝑦) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥+𝑦 𝑥 2 +𝑦 2

lim

lim

(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥 2 +𝑦 2 +1−1 𝑥 3 −𝑦 3 𝑔. lim (𝑥−𝑦)3 (𝑥,𝑦)→(0,0) ln(𝑥+𝑦+1) ℎ. lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2

7. Resolver los siguientes problemas. a. Una placa metálica ubicada en el plano xy, tiene temperatura T(x,y) en el punto (x,y). Las curvas de nivel de T se denominan isotermas porque en todos los puntos de una isoterma la temperatura es la misma. Trace algunas isotermas si la función de temperatura está dada por:

10

Ejercicios 6 y 7 tomado y modificado del CALCULO 2 DE VARIAS VARIABLES. LARSON, R. McGraw Hill. México 2010, p896 a p905.

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𝑇(𝑥, 𝑦) = 100⁄(1+𝑥 2

+ 2𝑦 2 ) b. Realice un bosquejo aproximado de un mapa de contorno par la función cuya grafica se ilustra.

c. Un fabricante de juguetes estima que su función de producción está dada por 𝑃(𝑥, 𝑦) = 110𝑥 0,64 𝑦 0,36, donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de unidades de capital. Comparar el nivel de producción cuando x=500, y=700, respecto a x=600, y=600. d. En el 2009 se efectuo una inversión de 100 dolares al 6% de interés compuesto anual. Suponemos que el inversor paga una tasa de impuesto R y que la tasa de inflación anual es I. en el 2019, el valor V de la inversión en dólares constantes de 2009 es: 1 + 0,06(1 − 𝑅) 10 𝑉(𝐼, 𝑅) = 1000 [ ] 1+𝐼 Utilice esta función en dos variables independientes para completar la siguiente tabla y analizarla.

e. De acuerdo con la ley de los gases ideales PV =kT, donde P es la presión, V es el volumen, T es la temperatura en grados Kelvins y k es una constante de proporcionalidad. Un tanque contiene 2000 pulgadas cubicas de nitrógeno a una presión de 26 libras por pulgada cuadrada y una temperatura de 300oK. Determine el valor de k. Exprese P como función de V y T y describa las curvas de nivel. f.

Los meteorólogos miden la presión atmosférica en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapas climáticos en los que se muestran las curvas de presión atmosférica constante (isobaras) ver la figura. En el mapa, cuanto más juntas están las isobaras mayor es la velocidad del viento. Asociar los puntos A,B y C con a) la mayor presión, b) la menor presión y c) la mayor velocidad del viento.

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g. Un tanque de propano se constituye soldando hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Exprese el volumen V del tanque en función de r y l donde r es el radio del cilindro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro.

UNIDAD TEMATICA 4. Derivadas parciales e integrales múltiples. Competencias  Utiliza y aplica las reglas de diferenciación para hallar derivadas parciales.  Soluciona problemas de aplicación en los que se utilicen las derivadas parciales.  Establece las diferencias para utilizar la regla de la cadena dependiendo de la cantidad de variables que intervengan.  Utiliza las derivadas parciales para calcular el plano tangente a un punto o a una recta.  Utiliza el criterio de segunda derivada para determinar los puntos críticos, y establecer si son máximos, mínimos o puntos de ensilladura.  Interpreta plantea y soluciona problemas en los que se requiere el uso de máximos y mínimos.  El estudiante plantea y resuelve problemas de optimización de funciones de varias variables.  Diferencia los tipos de regiones para plantear y resolver integrales dobles.  Plantea y resuelve integrales dobles y triples para calcular el volumen de una región sólida. 1.

Calculate the partial derivatives indicated in each case11 a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑥+𝑦 − 2𝑥𝑦 ;

11

𝑑𝑓 𝑦 𝑓𝑦 𝑑𝑥

𝑒. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥 2 − 𝑦) + ln(𝑥𝑦); 𝑔𝑥𝑦 𝑦 𝑔𝑦𝑥

Ejercicios 1,2 y 3 tomado y modificado del CALCULO 2 DE VARIAS VARIABLES. LARSON, R. McGraw Hill. México 2010, p914.

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b. ℎ(𝑥, 𝑦) =

𝑥𝑦−3𝑥 ; 𝑥 2 +𝑦 2

𝑓. 𝑧 = √𝑥 3 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 2 , 𝑧𝑥 𝑦 𝑧𝑦

ℎ𝑥 𝑦 ℎ𝑦

𝑠

c. 𝑓(𝑠, 𝑡) = √𝑡 + 𝑠 𝑡 ; 𝑓𝑠 𝑦 𝑓𝑡 d. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 −3 + 4𝑥 4 𝑦 − 2𝑥𝑦;

𝑔. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥𝑦) − 𝑒 𝑥𝑦 ; ℎ𝑥𝑦 𝑦 𝑑 2 𝑔(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦

2. Evaluate fx and fy at the given point. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 sin 𝑦; (1, 𝜋) 𝜋 𝜋 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥 − 𝑦 2 ) ; ( 3 , 6 ) c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑦; (1, −1)

𝑥−𝑦

ℎ. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥+4𝑦 ;

𝑑2 ℎ 𝑑𝑦 2

𝑑𝑓(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦

𝑑. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 2 − 𝑦 2 ; (1,1) 𝑥𝑦 −1 𝑒. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 ; (1, 2 ) cot 𝑥

𝜋 3𝜋 ) 5

𝑓. 𝑓(𝑥, 𝑦) = csc 𝑦 ; ( 8 ,

3. Solve the following problems a. Una corporación farmacéutica tiene dos plantas que producen la misma medicina. Si p y q son los números de unidades producidas en la planta 1 y en la planta 2, respectivamente, entonces el ingreso total del producto está dado por el modelo multivariado 𝑅 = 200𝑝 + 200𝑞 − 4𝑝2 − 8𝑝𝑞 − 4𝑞 2. Cuando 𝑑𝑅 p=4 y q=12, encontrar a) el ingreso marginal para la planta 1, es decir , y el ingreso marginal para la planta 2 es decir

𝑑𝑅 . 𝑑𝑞

𝑑𝑝

b. El siguiente modelo matemático describe el comportamiento del costo de fabricación de dos tipos de sillas reclinables para oficina, sillas tipo 1 y sillas tipo 2.Calcular el costo marginal (𝑑𝐶⁄𝑑𝑥 , 𝑑𝐶⁄𝑑𝑦) cuando se produce x=40 ; y=70. 𝐶(𝑥, 𝑦) = 32,5√𝑥𝑦 + 185𝑥 + 203𝑦 + 995. c. Recientemente en el siglo XX se desarrolló una prueba de inteligencia llamada la prueba de StanfordBinet (más conocida como la prueba IQ).En esta prueba, una edad mental individual M es dividida entre la edad cronológica individual C, y el cociente se multiplica por 100. El resultado es el IQ 𝑀 individual. 𝐼𝑄(𝑀, 𝐶) = × 100. Hallar la derivada parcial IQ con respecto a M y con respecto a C. 𝐶 Evalué las derivadas parciales en el punto (15,18) e intérprete el resultado. 4. Hallar la derivada indicada en cada uno de los siguientes casos empleando la regla de la cadena. 12 𝑑𝑓 a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 5𝑥𝑦 − 𝑦 2 , 𝑥 = 𝑡 2 ; 𝑦 = 𝑒 𝑡 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 ⁄𝑑𝑡. 𝑑𝑔⁄ b. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 5𝑥, 𝑥 = (1 − 𝑡)3 ; 𝑦 = 𝑙𝑛(3𝑡 2 ), ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑡. 3 −2 𝑠 c. 𝑤 = 3𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑧, 𝑥 = 𝑠 ; 𝑦 = √8𝑠; 𝑧 = 2 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑤⁄𝑑𝑠. 3 d. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑠𝑖𝑛3 𝑦 + 𝑥𝑙𝑛 𝑦, 𝑥 = 𝑤 ; 𝑦 = 𝑒 𝑤 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑑ℎ⁄𝑑𝑤. e. 𝑧 = 𝑝𝑞 + 𝑞 𝑝 , 𝑝 = 𝑡 2 ; 𝑞 = √𝑡, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑧⁄𝑑𝑡. f. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎:  Suponga que se usa la siguiente función para modelar la demanda mensual de motocicletas: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 100 + 10√0,1𝑥 + 10 − 6 3√𝑦. En esta expresión x representa el precio (en dólares por galón) de gasolina de automóvil y la y representa el precio de venta (en dólares) de cada motocicleta. Además, suponga que el precio de la gasolina en t meses después de hoy será: 𝑥 = 𝜋𝑡

𝜋𝑡

2 + 0,2𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 ( 6 )Y que el precio de cada motocicleta será 𝑦 = 100 + 𝑡𝑠𝑖𝑛 ( 6 ) A qué velocidad estará cambiando la demanda mensual de bicicletas en 8 meses después de hoy.

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Ejercicio 4, 5, y 7 propuestos por CARRILLO, Alberto. Profesor de Matemáticas. Departamento de Ciencias Básicas. USTA Tunja. 2018.

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 Una ferretería vende dos marcas de pinturas látex. Las cifras de ventas indican que si la primera marca se vende a x dólares por galón y la segunda a y dólares por galón, la demanda de la primera marca será: 𝑄(𝑥, 𝑦) = 205 − 9𝑥 2 + 21𝑦 galones por mes. Se calcula que dentro de t meses el precio de la primera marca será 𝑥 = 5 + 0,03𝑡 dólares por galón y el precio de la segunda marca será 𝑦 = 5 + 0,4√𝑡 dólares por galón. Determine a que razón cambiara la demanda de la primera marca de pintura con respecto al tiempo dentro de dos trimestres. 5. Hallar una ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado. 𝑥𝑦 1 a. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1 (1,2,6) 𝑑. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 (1,1, 2) b. c.

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 (2,1,3) 1 −1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 (−1,3, 3 )

𝑒. 𝑤 = 3𝑥 + 𝑦 − 2 (0,1, −1) 𝜋 𝑓. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 (sin 𝑦 + 1) (0, 2 , 2)

6. Hallar la derivada direccional de la función en P en dirección de v. 13 3 4 a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 4𝑥𝑦 + 9𝑦, 𝑃(1,2) 𝑣 = 5 𝑖 + 5 𝑗 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 𝑦 3 , 𝑃(4,3) 𝑣 = c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, 𝑃(0, −2) 𝑣 = 𝜋

√2 (𝑖 2

1 (𝑖 2

+ 𝑗)

+ √3𝑗)

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 sin 𝑦, 𝑃 (1, 2 ) 𝑣 = −𝑖 e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑃(3,4) 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗 7. Find the relative points (maximum, minimum and / or saddle points) of the following functions. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 2 + 2 𝑑. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4 + 𝑥 3 + 𝑦 3 − 5𝑥𝑦 3 2 b. ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 8𝑦 𝑒. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 + 2 c. 𝑔(𝑝, 𝑞) = 𝑝𝑞 − 3𝑞 + 𝑝 𝑓. ℎ(𝑠, 𝑡) = 𝑠 4 − 4𝑠 2 − 𝑡 3 + 5𝑡 8. Resolver los siguientes problemas de optimización. 14 a. Find the dimensions of the rectangular box with maximum volume, if the total surface area is given by 100cm2. b. Find three positive numbers whose sum is 120 and their product is minimum. c. Para la construcción del gasoducto en el pueblo “Mi País” se construirá un cilindro circular recto cerrado, el cual tendrá un volumen de 1000ft3, la parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta 1,5 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta 1,7 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de fabricación de 5 cilindros. d. Una piscina debe tener un volumen de 480 ft3. La parte inferior costara $5 por pie cuadrado para construir, y los lados y la parte superior costaran $3 por pie cuadrado para la construcción. Usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar las dimensiones de la piscina con esas especificaciones para que su costo sea mínimo. e. La temperatura de una placa de concreto de 13cm de ancho en cualquier punto (x,y) esta descrita por el modelo 𝑇(𝑥, 𝑦) = 4,1𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 1,1𝑦 2, donde x es el frente, y es el fondo de la placa. El dispositivo que mide la temperatura de la placa en cualquier punto hace un recorrido circular de radio

13 14

Ejercicios 6 tomado del CALCULO 2 DE VARIAS VARIABLES. LARSON, R. McGraw Hill. México 2010, p942. Ejercicio 8 y 9 modificado del CALCULO MULTIVARIABLE. STEWART, J. Thomson Learning. Mexico 2002, p948, p949 y p988.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS – ÁREA DE MATEMÁTICAS - TALLER CONJUNTO DE CÁLCULO VECTORIAL

5m con centro en (0,0). Cuáles son las temperaturas máximas y mínimas encontradas por el dispositivo. f.

La función de costo de producción de maquinaria para la construcción de una multinacional está dada por el modelo 𝑅(𝑝, 𝑞) = 𝑝3 𝑞 − 2𝑝𝑞 2 + 3 donde q es la mano de obra y p es la materia prima requerida. Si la inversión inicial es de 4 millones de dólares, y los costos de mano de hora son de 1’100.000 dólares mensuales y la materia prima cuesta 2,2 millones de dólares al mes. Cuál es el ingreso máximo alcanzado por la compañía. Cuánto dinero más se puede recibir si se cambia la inversión.

9. Calculate the value of the following multiple integrals . 3 1 5 2 a. ∫1 ∫0 (2 + 5𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑. ∫3 ∫−1(𝑥 2 + 𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 1

𝑥3

b. ∫0 ∫0 (𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 c.

𝑒. ∬𝐷 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝐴 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, −𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 }

∬𝐷 3𝑥√𝑦 2 − 𝑥𝑑𝐴 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)/0 ≤ 𝑦 ≤ 1; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦}

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002

Prof. José Alberto Carrillo Chaparro

Fecha de Elaboración o modificación 23 de enero 2019 (*)