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• Fabian Castañeda

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

TRABAJO COLABORATIVO

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

ALGEBRA LINEAL

APLICACIÓN DE MATRICES - MENSAJES OCULTOS

PROFESOR: VICTOR SERRANO

GRUPO 2: JAMIOY TISOY LUZ MILA - 1821981488 ALVAREZ GARCIA MATEO - 1810660157 PINZON CALDAS SERGIO ORLANDO - 1811027957 CASTAÑEDA AREVALO FABIAN LEONARDO - 1821981302

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BASICAS SEPTIEMBRE 2018 1

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Contenido Introducción ............................................................................................................................ 3 Objetivos................................................................................................................................. 4 Actividad 1 .......................................................................................................................... 5 Actividad 2 .......................................................................................................................... 9 Conclusiones......................................................................................................................... 12

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Introducción

MENSAJES OCULTOS Y MATRICES

Esta aplicación de las matrices pertenece al campo de la Criptografía. El sistema de Hill (Cifrado Hill) es una de las diversas técnicas para encriptar y descifrar mensajes, que desde épocas remotas hasta en la actualidad ha permitido salvaguardar información. El cifrado de Hill fue inventado por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929. Es un sistema criptográfico de sustitución polialfabético, es decir, un mismo signo, en este caso una misma letra, puede ser representado en un mismo mensaje con más de un carácter.

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Objetivos

1. Identificar los conceptos y procesos del álgebra lineal involucrados en un sistema de cifrado y descifrado de mensajes. 2. Utilizar apropiadamente procedimientos para cifrar y descifrar mensajes. 3. Transferir adecuadamente las ideas o conceptos del álgebra lineal a un contexto particular, para resolver situaciones problema.

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Actividad 1

Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave (

1 −4 ) y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo 0 1

“_” representa el espacio entre las palabras). A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z _ . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Para encriptar una palabra o frase. Según la tabla de valores se debe encriptar una palabra basados en una matriz de números, los cuales al final de la operación nos dan un código que al realizar una operación a la matriz de modo inversa nos debe dar el mensaje. 1. Los números que corresponden en el alfabeto para cada letra son: D 3

E 4

D 3

I 8

C 2

A 0

C 2

I O N 8 15 13

Luego nuestros números correspondientes del alfabeto para nuestra palabra a codificar se multiplican por nuestra matriz codificadora que en este caso es:

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Se realizan las operaciones:

Usando el mod29 (0-28 números enteros, bien sean letras, signos o números), los números mayores a 28 iniciarían nuevamente el ciclo desde cero.

Ejemplo: el numero 29=0, 30=1, 31=2 y así sucesivamente. En el caso de los negativos se aplica la misma teoría pero retrocediendo, en donde -1 sería igual a 28, -2=27, -3=26, etc.

Finalmente el mensaje encriptado quedaría así: P -13

E A 4 -29

I 8

C 2

A . 0 -30

I 8

U N -37 13

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Para desencriptar una palabra o frase. 2. Ahora descifraremos el mensaje partiendo del encriptado: -13, 4, -29, 8, 2, 0,-30, 8,-37, 13, Recuérdese que la matriz de codificación utilizada en el ejercicio anterior fue:

La matriz de codificación es de orden 2x2, entonces C1, C2,…Cm son de orden 2x1. Por otro lado, tenemos 10 números, esto quiere decir que hay 5 matrices de orden 2x1:

Realizando el cálculo de la matriz inversa, se obtiene:

Con la inversa de la matriz de codificación se calcula:

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Y de esta manera se recupera el mensaje de nuevo.

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Actividad 2

Suponga que se intercepta el mensaje

HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH

Junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave 4 (5 2

2 1 3 2) 1 1

La misión es: a. Descifrar tal mensaje. b. Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.

1. La matriz de codificación es de orden 3x3, entonces B1, B2,…Bm son de orden 3x1. Por otro lado, tenemos 30 números, esto quiere decir que hay 10 matrices de orden 3x1:

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2. Al realizar el cálculo de la matriz inversa, se obtiene:

3. A continuación calculamos

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Finalmente el mensaje encriptado sería: 4 E

-18 27 L -

4 E

-5 X

8 I

20 -43 27 32 -83 45 33 -74 32 4 -2 3 T O D E P E N D E - D

4 -18 27 4 -10 5 21 -25 -11 -3 15 -2 E L - E S F U E R Z O -

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Conclusiones

Se puede concluir que la matriz Codificadora será una matriz cuadrada A si todas sus componentes son enteros con determinante 1 o -1 para que se cumpla que y se pueda llevar a cabo el proceso de encriptación y descifrado.

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