• Author / Uploaded
• Jenrry Taboada

Citation preview

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial Boletín no 1

1. Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas y resolverlas: x a) (x cos (y/x) − ysen (y/x)) dx + x sen (y/x)dy = 0 Sol.: y = xArccos C ¯ ¯ b) 2xy 0 (x2 + y 2 ) = y(y 2 + 2x2 ) Sol.: ln ¯y2 /x¯ − (x2 /y 2 ) = C −y/x Sol.: ey/x = ln Cx2 C>0 c) xy 0 = y + 2xep Sol.: Arcsen(y/x) = ± ln |Cx| d) xdy − ydx = x2 − y 2 dx Sol.: cos(y/x) = ln |Cx| e) xy 0 sen (y/x) = −x + ysen (y/x) 2. Sea b 6= 0. Demostrar que la sustitución z = ax + by + c cambia la ecuación y 0 = f (ax + by + c) por otra de variables separables. Aplicar esta idea para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y0 = (x + y)2 b) y0 = sen2 (x − y − 1)

Sol.: y = tg (x + C) − x Sol.: x − y − 1 = Arctg (x + C)

3. Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y hallar su solución general: a) (y − x3 )dx + (x + y 3 )dy = 0 b) (y + y cos xy)dx + (x + x cos xy)dy = 0 2x − sen y c) y 0 = x cos y d) (sen x sen y − xey )dy = (ey + cos x cos y)dx −2x(3y2 + 2x2 ) e) y 0 = 3y(y + 2x2 )

Sol.: 4xy − x4 + y 4 = C Sol.: xy + sen xy = C Sol.: x sen y − x2 = C

Sol.: xey + sen x cos y = C Sol.: 3x2 y 2 + x4 + y3 = C

4. Para las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar un factor integrante de la forma que se indica y encontrar en cada caso la solución general: a) (3x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0 b) (x4 ln x − 2xy 3 )dx + 3x2 y 2 dy = 0 y c) y 0 = x − y2 − 1 0 d) y cos x + 3 = 2y sen x

µ(y) µ(x)

e) (x + y) dx + x log xdy = 0

µ(x)

f ) (x + 3x3 y4 )dy + ydx = 0 g) (2y2 + 4x2 y)dx + (4xy + 3x3 )dy = 0 h) xdx + ydy + x(xdy − ydx) = 0 2 2 i) (x ¶ − xdy = 0 µ +x y + y)dx e − tg y dx + dy = 0 j) cos y

µ(xp y p ) µ(xp y q ) µ(x2 + y 2 ) µ(x2 + y 2 )

µ(y) µ(x)

µ(x, y) = f (x) cos y 1

Sol.: y 2 − x2 = Cy 3 Sol.: y 3 + x3 (ln x − 1) = Cx2 Sol.: y 2 + x − 1 = Cy

Sol.: 3sen x + y cos2 x = C C −x Sol.: y = log x Sol.: 3x2 y4 − 1 = Cx2 y2 Sol.: p x2 y 4 + x4 y 3 = C Sol.: x2 + y 2 = C(1 − y) Sol.: x − Arctg (y/x) = C Sol.: x + e−x sen y = C

5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: a) xdy + (y − xex )dx = 0 b) xy 0 + y = x2 cos x c) (1 + x2 )dy + 2xydx = ctgxdx d) y 0 − 2y/x = x2 sen3x

Sol.: Sol.: Sol.: Sol.:

y = [ex (x − 1) + C]/x y = [(x2 − 2)/x] sen x + 2 cos x + C/x y = [ln |sen x| + C]/(1 + x2 ) 3y + x2 cos 3x = Cx2

6. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas: a) x2 + (y − C)2 = C 2 b) x3 = y 2 (a − x) c) y 2 = 2Cx + C 2

Sol.: (x − C)2 + y2 = C 2 Sol.: 2x2 + y 2 = C(x2 + y2 )2 Sol.: la misma familia de curvas

7. Hallar la solución general, en el intervalo (0, +∞), de la ecuación diferencial xy0 + (1 − x)y = e2x utilizando el método de variación de la constante.

Sol.: y(x) =

ex x (e + c) , x > 0. x

8. Se considera el problema de valor inicial ( ¡ ¢ y 2 + 2xy dx − x2 dy = 0, y(2) = 0, (a) Justificar, sin resolver la ecuación diferencial, si el problema de valor inicial tiene solución única en algún intervalo. (b) Encontrar un factor integrante del tipo µ = µ(y) para la ecuación diferencial. (c) Resolver la ecuación diferencial, indicando los posibles métodos y eligiendo sólo uno de ellos. (d) La función y = 0, ¿es solución de la ecuación?, ¿qué clase de solución? (e) Resolver el problema de valor inicial. Sol. (b) µ(y) =

1 . y2

(c) y(x) =

x2 . c−x

(f) y(x) = 0.

9. Resuelve el problema de valor inicial ( ¡ ¢ 1 + x2 (dy − dx) = 2xydx y(0) = 1 determinando un factor integrante que dependa sólo de la variable x o de la variable y. ¢ ¡ Sol. y(x) = 1 + x2 (arctg x + 1) .

2

10. Razonar, sin resolver la ecuación diferencial, si tiene solución única el problema de valor inicial ⎧ p ⎨ dy = y + x2 + y 2 , x dx ⎩ y(1) = 0 y, posteriormente, si es posible, determinarla.

Sol.: y(x) =

x2 − 1 . 2

11. Consideremos el problema de valores iniciales y0 =

1 − xy , x2 − xy

y(x0 ) = y0 .

(a) ¿Para qué valores (x0 , y0 ) ∈ R2 podemos garantizar la existencia y unicidad de soluciones del problema de valores iniciales anterior? (b) Encontrar la solución para x0 = 1 e y0 = 2. (Sugerencia: búsquese un factor integrante adecuado). ª © y2 = 0. (b) log x − xy + Sol. (a) (x0 , y0 ) ∈ R2 : x0 (x0 − y0 ) 6= 0 2

12. Resolver, utilizando el método de variación de la constante, el problema de valor inicial 1 dy 2y − = x cos x, x dx x2

y

³π ´ 2

= 3,

indicando el intervalo de validez de la solución. ¶ µ 12 − π 2 2 + sen x , x > 0. Sol. y(x) = x π2 13. Encontrar la solución de la ecuación diferencial x2 (x − 1)y0 + 2x2 y = x + 1, que satisface la condición inicial y0 Sol. y(x) =

¡1¢ 2

= 0.

−7 x2 + 1 + . 4(x − 1)2 x(x − 1)2

14. Utilizando un factor integrante adecuado, resolver el problema de valor inicial dy y2 + 2yex + (y + ex ) = 0, 2 dx Sol. y 2 ex + 2ye2x + 1 = 0.

3

y(0) = −1.

15. Demostrar que toda ecuación de la forma yf (xy)dx + xg(xy)dy = 0, (donde f y g son funciones del producto xy) admite como factor integrante µ(x, y) =

1 . xy (f (xy) − g(xy))

16. ¿Es lineal la ecuación diferencial ordinaria y 0 + xy =

x ? En cualquier caso, resolverla utilizando y

el cambio de variable y2 = u. 2

Sol. y 2 (x) = 1 + ce−x . 17. Se denomina ecuación de Bernoulli a la ecuación diferencial dy = P (x)y + Q(x)yn dx Probar que el cambio de variable z = y1−n transforma esta ecuación diferencial en una ecuación diferencial lineal de primer orden. Utilízalo para resolver la ecuación xy 2 (xy0 + y) = a2 . ¿Qué ocurre si n = 1? r c 3a2 3 . + Sol. y(x) = x3 2x 18. Se denomina ecuación de Riccati a la ecuación diferencial y 0 = a(x)y 2 + b(x)y + c(x). (a) Probar que si yp es una solución particular de la ecuación de Riccati, el cambio de variable 1 y = yp + transforma la ecuación de Riccati en la ecuación lineal z z 0 = − (2a(x)yp + b(x)) z − a(x). (b) Sabiendo que yp = x es solución de la ecuación 2

2

2

y 0 = −ex y 2 + 2x(ex − 1)y + 1 + 2x2 − x2 ex , aplicar el apartado anterior para obtener todas sus soluciones. 2

Sol. (b) y(x) = x +

e−x . x+c

19. Supongamos que una bola de naftalina pierde volumen por sublimación con una rapidez proporcional a su superficie. Si inicialmente la bola tiene un diámetro de 2 cm y tres meses después su diámetro es de 1 cm, ¿Cuánto tiempo tardará en tener un diámetro de 1 mm? Sol: 5.7 meses

4

20. Un paracaidista cae desde un globo en reposo con respecto al suelo situado a una altura h del mismo. El peso del paracaidista más el del paracaidas es P. Sobre el paracaidas actúa una fuerza debida a la resistencia del aire, proporcional a la velocidad intantánea de caída (constante de proporcionalidad k > 0). Calcular dicha velocidad instantánea v(t) y la correspondiente posición x(t) con respecto al suelo. Suponer que la caída es vertical y que el paracaidas se ha abierto en el momento de saltar. µ ¶ ´ P P −kgt/P P P ³ −kgt/P x(t) = 1−e t+ e −h − Sol.: v(t) = k k kg kg 21. Un objeto de 5 kgf, se deja caer verticalmente desde gran altura. La resistencia que ofrece el aire, en el sistema internacional, está dada por 0.00533v 2 , siendo v la velocidad instantánea. Determinar: a) La velocidad en función del tiempo, b) La velocidad en función de la posición, c) La velocidad a los 153 m, d)La velocidad límite, e) La distancia recorrida al cabo de 10 segundos. p Sol. : a)v(t) = 95.88 th(0.10t) b)v(x) = 95.88 1 − e−0.002x c)50.58m/s

d)95.88m/s

e)422.77m

22. Un objeto que pesa 500 kgf, se hunde en el agua partiendo del reposo. Sobre él actúa el agua con dos fuerzas, una su empuje hacia arriba de 100 kgf, y otra su resistencia que en kgf es numéricamente igual a 163v, donde la velocidad v está dada en m/s. Hallar la distancia recorrida al cabo de 5s y la velocidad límite. Sol.: 11.49m 2.45m/s 23. Un tanque se llena con 40 litros de salmuera que contiene 2.5kg de sal disueltos. Luego se introduce en el tanque, a razón de 8l/min., salmuera que contiene 0.4kg/l de sal, y la mezcla bien agitada, sale del tanque a la misma velocidad. Determinar: a) La cantidad de sal A(t) contenida en el tanque en cualquier momento, b) La cantidad de sal en el tanque a los diez minutos, y c) La cantidad de sal en el tanque al cabo de mucho tiempo. Sol.: a) A(t) = 16 − 13.5e−t/5

b) A(10) = 14.2kg

c) 16kg

24. Un tanque contiene 40l de salmuera con 0.8kg de sal disueltos. Luego se introduce salmuera con 0.15kg/l de sal a razón de 12l/min., y la mezcla bien agitada sale del tanque a razón de 16l/min. Determinar la cantidad de sal A(t) contenida en el tanque en cualquier instante y la concentración al cabo de diez minutos. Trazar las gráficas de la cantidad de sal y de la concentración frente al tiempo, e indicar los máximos en cada caso. Sol.: A(t) = 0.6(10 − t) − 0.00052(10 − t)4

0 ≤ t ≤ 10

C(10) = 0.15kg/l

25. Una fuente de tensión de v(t) = 200e−5t voltios se conecta en serie con una resistencia de 20Ω y un condensador de 104 µF. Suponiendo que la carga en el condensador es cero en el instante inicial, hallar dicha carga q(t) y la intensidad i(t) que recorre el circuito en un instante cualquiera. Demostrar que la carga alcanza un máximo, determinar éste, así como el tiempo necesario para i(t) = 10e−5t − 50te−5 alcanzarlo. Sol: q(t) = 10te−5t 5

26. Un objeto de masa m se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 . Se supone que el aire opone una resistencia proporcional a la velocidad. Se pide: a)Establecer la ecuación diferencial que rige la velocidad del objeto, y obtener la expresión de la velocidad v(t) a lo largo del tiempo. b) Determinar el tiempo tm que el objeto tarda en alcanzar la altura máxima, así como el valor de ésta. µ ¶ kv0 mg ³ mg ´ kt/m m + v0 − Sol.: a)v(t) = tm = − ln 1 − e k k k mg 27. Aplicar el método de Euler a los siguientes problemas de valor inicial. Ejecutar 10 pasos. Resolver el problema directamente y comparar con los valores reales. a) y 0 = y,

y (0) = 1,

c) y 0 + 5x4 y 2 = 0,

b) y 0 = y,

h = 0.1

y (0) = 1,

h = 0.1

y (0) = 1,

d) y 0 = (y + x)2 ,

h = 0.01

y (0) = 0,

h = 0.1

28. Usar el método de Euler para obtener una aproximación de los valores indicados usando h = 0.05. a) y 0 = 2y − 3y + 1, c) y0 = e−y ,

y (1) = 5,

y (0) = 0,

y (1.5)

b) y 0 = 1 + y 2 ,

y (0) = 0,

d) y 0 = (x − y)2 ,

y (0.5)

y (0.5)

y (0) = 0.5,

y (0.5)

29. Aplicar el método de Euler mejorado a los siguientes problemas de valor inicial. Ejecutar 10 pasos con h = 0.1. Resolver el problema directamente y comparar con los valores reales. a) y0 = y, c) y 0 = 1 + y 2 ,

b) y 0 + y tan x = sen2x,

y (0) = 1

d) y 0 = y − y2 ,

y (0) = 0

y (0) = 1

y (0) = 0.5

30. Repetir el ejercicio 2 usando el método de Euler mejorado. 31. Aplicar el método de Runge-Kutta a los siguientes problemas de valor inicial. Ejecutar 5 pasos con h = 0.2. Resolver el problema directamente y comparar con los valores reales. a) y 0 = xy, c)

y0

b) y0 = y − y 2 ,

y (0) = 1

¢ ¡ = 1 + x−1 y,

y (1) = e

d)

y0

1 = 2

µ

y x + x y

32. Repetir el ejercicio 2 usando el método de Runge-Kutta con h = 0.1.

6

y (0) = 0.5 ¶

,

y (2) = 2