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INGENIERÍA CIVIL

UNASAM

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

“CURVA DE TENDENCIA DEL CAUDAL DEL RÍO SANTA APROXIMADO CON EL METODO INTERPOLANTE DE NEWTON”

AUTORES: FIGUEROA CELESTINO Leonardo Fabio PÉREZ ARANDA Gabriela Marina RAMÍREZ PALMA Bill Joel Jesús ROBLES GRANADOS Jean Alexander

PERÚ – ANCASH – HUARAZ 2017

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RESUMEN PALABRAS CLAVES

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ABSTRACT KEY WORDS

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INDICE

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I.

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INTRODUCCION

ASPECTOS CONCEPTUALES 2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2.1.1. PLANTEAMIENTO O DEFINICIÓN DEL PROBLEMA El calentamiento global origina una acumulación de gases que son los causantes de los cambios atmosféricos en nuestro planeta y que en nuestra región trae como consecuencia la desglaciación de nuestros nevados. El calentamiento global afecta tanto a nuestra región que muchas veces es imprescindible las lluvias y por tanto genera un excesivo incremento del caudal del río Santa que muchas veces no es tan fácil de analizar.

2.1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ¿Se podrá determinar las curvas de tendencia del caudal del rio santa, utilizando el método polinomio interpolante de Newton? ¿Será fáctible el método polinomio interpolante Newton para predecir el crecimiento del caudal y evitar futuros desastres? 2.2. OBJETIVOS 2.2.1. GENERAL Generar una curva de tendencia del crecimiento del caudal usando un software (Matlab). 2.2.2. ESPECÍFICOS -

Determinar durante qué meses del año el caudal del rio Santa es mayor, en que me proporción y en que tramos de su recorrido.

-

Comparar el crecimiento del caudal de los últimos años hasta la actualidad.

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-

En base a la curva de tendencia predecir el caudal del rio Santa en los próximos años.

2.3. JUSTIFICACIÓN Mediante un modelo matemático, conocer la variación del caudal del rio Santa durante el transcurso del año, para poder prevenir de una u otra forma posibles desbordes del rio y los desastres que pudiera ocasionar. 2.5. HIPÓTESIS Con el método de interpolante de newton podemos inducir la curva de tendencia del caudal del rio Santa, ya que podemos evitar los errores al poder ser detectados fácilmente, obteniéndose así una precisión concreta.

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II.

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BASES TEORICAS 2.4. BASES TEÓRICAS 2.4.1. ANTECEDENTES •

La superficie de la tierra se ha estado calentado de manera anormal durante los últimos años, como producto del incremento de los llamados gases de efecto invernadero en la atmósfera. Como todos percibimos, este aumento de temperatura causa cambios en los regímenes climáticos, modificando los patrones atmosféricos, lo que a su vez genera consecuencias de todo tipo como lluvias torrenciales. Esto produce en el caudal del río Santa incrementos descomunales en épocas del año que antes parecían improvistas afectando duramente a los lugares aledaños al río. Vemos que cuanto más tiempo pasa, las condiciones atmosféricas van cambiando considerablemente y también los factores que intervienen en el desarrollo y el equilibrio de los seres que rodean al ser humano incluyéndole a él como principal afectado y causante de que esta situación, que amenaza con la vida en el planeta de una manera radical y sin vuelta atrás.

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Debido a las lluvias que se presentaron en las zonas altas de la cuenca, se incrementó del caudal del río Santa en febrero del año 2016. En la estación hidrométrica Condorcerro, el río Santa registró un incremento significativo de su caudal, encontrándose para el jueves 04 de febrero del 2016 hasta las 16:00 horas con un valor promedio de 368 m3/s, lo que representa una anomalía de +41%. En virtud a esto, se encuentra en un nivel de Alerta Amarilla. Debido a esta situación se invocó a las autoridades tomar las previsiones del caso ante un eventual incremento en el caudal del río. Los primeros días del año 2012, mediante un informe técnico, la Plataforma Provincial de Defensa Civil alertó de la amenaza de desborde por el incremento del caudal del río Santa, así lo aseguró el secretario de Indeci Chimbote, arquitecto Norman Chávez Miranda. Precisó que en los meses de noviembre y diciembre del año pasado realizaron inspecciones oculares en las riberas

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del río Santa y Lacramarca, comprobando que en varios tramos del río Santa, este presentaba arenamiento y ausencia de defensa ribereña. Chávez Miranda agregó que se hace necesario que en temporadas de baja se puede realizar labores de descolmatación en el valle de Santa y en Lacramarca. Hoy el caudal está bajo, a retornado a su nivel normal; podría ejecutarse algunos trabajos. La región podría apoyar con maquinaria pesada y personal, mientras los municipios cubrirían los gastos de combustible. 2.4.2. MARCO TEÓRICO 2.4.2.1. UBICACIÓN Y EXTENSIÓN: El río Santa es una corriente de recorrido corto de la vertiente del Pacífico, localizado en los andes norcentrales del Perú, con un pequeño recorrido en la región Ancash. Nace en la laguna Conococha a 4050 msnm y atraviesa el Callejón de Huaylas de sur a norte continuando en el nudo cordillerano del Cañón del Pato, ya en el tramo final recorre por los límites de la Libertad, desembocando en el Océano Pacífico después de un total de 347 km de recorrido. 2.4.2.2. CAUDAL DEL RÍO SANTA El caudal del río Santa depende de las precipitaciones que ocurre en su cuenca alta, además del aporte de 23 ríos que provienen del deshielo de 457 glaciares de la cordillera Blanca, lo que contribuye a tener y mantener una considerable descarga aún en épocas de estiaje lo cual hace del rio Santa uno de los más regulares de la costa peruana. Son cuatro las centrales hidroeléctricas que están ubicados a lo largo del río entre la cordillera Blanca y la franja costera. Uno de los impactos más dramáticos del calentamiento global es el retroceso acelerado de los glaciares y como consecuencia el aumento del nivel de agua regular en el río. 2.4.2.3. CARACTERÍSTICAS DE LOS PARÁMETROS CLIMATOLÓGICOS • Precipitación Pluvial:

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Según la distribución espacial de la precipitación, la cuenca puede ser dividida en dos sectores: - La cuenca “seca”, comprendida desde el nivel del mar a los 1800 msnm; en donde el caudal no se ve afectado ya que la precipitación pluvial es menor. - El otro sector corresponde a la denominada cuenca “húmeda” comprendida entre los 1800 msnm hasta los 1400 msnm, presentándose en este trama la mayor precipitación pluvial. En cuanto a la variación del ciclo hidrológico debe indicarse que existe una marcada variación pluvial intermensual, presentándose las mayores precipitaciones (80%) durante el periodo comprendido entre los meses de enero y marzo. • Temperatura: Estudios efectuados por la ONERM dentro de la cuenca del río Santa han permitido establecer variaciones medias anuales que van desde los 20°C en la costa hasta los 6°C en las partes más altas. En el sector comprendido entre los 2800 y 3700 msnm se han estimado un valor promedio de 10°C y la temperatura entre los 3700 y 4200 msnm es de 4°C (gracias a la información de las estaciones meteorológicas Conococha y Parón). • Humedad Relativa: En términos generales en la costa en mayor (81%) mientras que en la sierra es de 61%. • Comportamiento Estacional: El río Santa descarga el 76% de su volumen anual durante el periodo de avenidas, y solo el 15 % durante el periodo de estiaje, el 9% de agua restante corresponde al proceso de transición.

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III.

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MATERIALES Y MÉTODOS 3.1.

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 3.1.1. TIPO DE ESTUDIO

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3.1.1.1.

Descriptivo Los recientes fenómenos geográficos, y en especial los fenómenos climáticos, afectaron de sobremanera la parte norte de nuestro país. Se considera que este Fenómeno del Niño fue el primero en intensidad con respecto a los años que se llevan registro. Las inundaciones fueron un factor determinante en el efecto que tuvo este fenómeno sobre el territorio nacional. Es por ello que se volvió a considerar como prioridad, el estudio de los caudales de los ríos de la cuenca hidrográfica del océano Pacífico. Una caracterización sobre estos caudales implicaría un menor o nulo gasto en la reconstrucción de las zonas aledañas a los ríos. El presente estudio tiene entre uno de sus objetivos caracterizar y especificar ciertas propiedades del caudal del río Santa que será sometido para este fin, a análisis.

3.1.1.2.

Explicativo Explica una posible causa, por qué y en qué condiciones ocurre un fenómeno, o por qué dos o más variables están relacionadas. En este caso nuestra curva de tendencia será llevada a análisis para dicho fin.

3.1.1.3.

Evaluativo Trabajaremos con criterios claros y específicos que garanticen el éxito del proceso, generalmente reuniendo información, pruebas y testimonios de diverso tipo. Una fuente muy certera o una basada en el estudio de nuestra muestra, caudal del río Santa, hacen que en cierta medida estemos garantizando la viabilidad del proyecto.

3.1.1.4.

Predictivo

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Anuncia el comportamiento futuro de dos o más variables. Nos basamos en los estudios de correlación que miden si dos o más variables están conectadas y en función del grado y del tipo de relación establecer su comportamiento futuro. Es decir, podremos en cierto grado predecir fenómenos a corto o largo plazo. 3.1.1.5.

Tecnológico El uso de recursos tecnológicos, en este caso informáticos, ayudan de sobremanera a cumplir los objetivos del proyecto. La curva de tendencia u otros procesos no serían posibles sin el uso de programas que nos faciliten los pasos o procedimientos.

3.1.1.6.

Aplicado El proyecto tiene como objetivo brindar soluciones no solo a nivel teórico, sino también a nivel aplicado, en la vida cotidiana. En este caso el estudio o proyecto puede llevarse como referencia a las municipalidades a lo largo de la cuenca del río Santa. Pueden usarse como un antecedente para los proyectos de descolmatación y defensa ribereña.

3.1.2. POBLACIÓN O UNIVERSO Datos de la variación anual del caudal de los ríos de la cuenca del océano Pacífico proporcionados por la Autoridad Nacional del Agua. 3.1.3. UNIDAD DE ANÁLISIS Y MUESTRA Datos de la variación anual del caudal del río Santa proporcionados por la Autoridad Nacional del Agua. 3.1.4. INSTRUMENTOS DE RECOPILACIÓN DE DATOS - Recojo de datos de la variación anual del caudal del río Santa proporcionados por la Autoridad Nacional del Agua. Los datos de la variación anual del caudal del río Santa proporcionados por la Autoridad Nacional del Agua son obtenidos a través de su plataforma web. Cabe indicar que los datos obtenidos son fiables ya

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que la Autoridad Nacional del Agua es la entidad encargada de llevar estos estudios. - Determinación de un modelo matemático para la elaboración de una curva de tendencia del caudal de río Santa. El modelo matemático fue definido luego de un análisis entre los integrantes del grupo. Cabe señalar que 3 de los 4 integrantes plantearon el mismo modelo que se usará en este proceso. - Creación de un programa en el software Matlab para un mejor procesamiento de datos y obtención de la curva de tendencia del caudal de río Santa. El programa fue creado teniendo en cuenta las diversas características y las variables oficiales de la Autoridad Nacional de Agua para una mejor obtención de resultados. 3.2.

ASPECTO TECNICO ADMINISTRATIVO 3.2.1. RECURSOS REQUERIDOS - Se hizo necesario por cada uno de los integrantes la dedicación de 2 horas semanales en promedio para el presente trabajo. - Se utilizaron laptops, computadoras, impresoras, y el acceso a internet de distintos medios. - Se utilizaron programas como el Excel y matlab para cálculos y diseños. - Se revisaron trabajos de la red, tanto del grupo de estudio y trabajos colgados en la red, se hizo de utilidad la biblioteca para la lectura de libros y proyectos referidos al presente trabajo. 3.2.2. CRONOGRAMA DE TRABAJO 3.2.3. TODO PROYECTO DEBE INCORPORAR NECESARIAMENTE UN PLAN DE CAPACITACIÓN AL EQUIPO DE INVESTIGADORES EN EL PROBLEMA OBJETO DE ESTUDIO, DE SER PRIORITARIO ANTES DEL PERIODO DE EJECUCIÓN.

3.3.

MATERIALES Y DATOS 3.3.1.

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PROGRAMA CREADO EN MATLAB

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function y=internewton(X,Y) n=length(X); x=sym('x'); d=zeros(n); d(:,1)=Y'; for j=2:n for i=j:n d(i,j)=(d(i,j-1)-d(i-1,j1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end a=d(1,1); y=0; p=1; for i=1:n-1 p=p*(x-X(i)); y=y+d(i+1,i+1)*(p); end polnew=a+y polnew=expand(polnew); pretty(polnew); hold on; grid on; ezplot(polnew,[X(1) X(n)]); axis([0 13 -1200 1300]) title('CURVA DE TENDENCIA DEL CAUDAL DEL RIO SANTA'); hold on plot(X,Y,'g*') 3.3.2. DATOS DEL ANA Los datos se encuentran en:  Anexo 01 Datos recolectados de la Autoridad Nacional del Agua. 

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Anexo 02 Datos con los que se aproximara la curva de tendencia .

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IV.

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RESULTADOS Y DISCUCIÓN Los resultados obtenidos en base al método de newton, programado en el software de Matlab nos producen graficas con sus respectivas funciones las cuales utilizaremos para calcular una curva del caudal en función del tiempo en general para futuras predicciones en distintos años. AÑO 2007 𝑓(𝑥) =

3884138849534003 × X11 143137708385304387 × 𝑋10 9325383222928621599 × 𝑋9 − + − 9223372036854775808 4611686018427387904 9223372036854775808

88337302428995999165 × 𝑋 8 2154810312926836060061 × 𝑋7 8840213660189445262961 × 𝑋 6 + − + 4611686018427387904 9223372036854775808 4611686018427387904 37120882723530805216084603 × 𝑋5 14073700700211690773586169 × 𝑋4 1169027383605585463460361 × 𝑋 3 − + − 3458764513820540928000 345876451382054092800 11529215046068469760 13516782379931547661385819 × 𝑋 2 14301891293197522908690511 × 𝑋 8204191228222177168971 + − 86469112845513523200 108086391056891904000 180143985094819840

AÑO 2008 𝑓(𝑥) =

6740681183572243 × X11 248813321767379291 × 𝑋10 16255701647454365839 × 𝑋9 − + − 36893488147419103232 18446744073709551616 36893488147419103232

173926879900425513792113 × 𝑋8 29849674573739185198384087 × 𝑋7 703999970021540001261301 × 𝑋6 + − + 20752587082923245568000 290536219160925437952000 830103483316929822720 39681401245027663957259693 × 𝑋5 378815047445023951133350567 × 𝑋4 475533124622183670150945241 × 𝑋3 − + − 8301034833169298227200 20752587082923245568000 10376293541461622784000 14781028602879657937114541 × 𝑋2 36830746508726920005257893 × 𝑋 75750797933950899788327 + − 207525870829232455680 605283789918594662400 3602879701896396800

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AÑO 2009 𝑓(𝑥) =

5696746067869897 × X11 209870741858074129 × 𝑋10 13670413950962022493 × 𝑋9 − + − 9223372036854775808 4611686018427387904 9223372036854775808

129486665345653854759 × 𝑋 8 4974991901287740815033809 × 𝑋7 14582210932918378545402343 × 𝑋6 + − + 4611686018427387904 14526810958046271897600 5188146770730811392000 32676240194881708445384023 × 𝑋5 62019308694213335960743937 × 𝑋4 77460773569887679143881311 × 𝑋3 − + − 2075258708292324556800 1037629354146162278400 518814677073081139200 299857831856132604396400543 × 𝑋 2 9940925076314527878004661 × 𝑋 61646775901722893307909 + − 1297036692682702848000 50440315826549555200 900719925474099200

AÑO 2010 𝑓(𝑥) = −

328056725064257 × X11 632013090564145 × 𝑋10 516207386774523191 × 𝑋9 + − + 18446744073709551616 576460752303423488 18446744073709551616

5369023341365009248273 × 𝑋 8 7716447265282266091309 × 𝑋 7 6219666241382141706091 × 𝑋6 − + + 14526810958046271897600 3228180212899171532800 5188146770730811392000

MÉTODOS NUMÉRICOS

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688826049299765860908137 × 𝑋 5 322911131596636770960133 × 𝑋 4 999501897307298693735869 × 𝑋3 − + − 6917529027641081856000 415051741658464911360 345876451382054092800 35215879391921120181587327 × 𝑋 2 9105686220462699477433903 × 𝑋 3970283359497286128081 + − 6052837899185946624000 1513209474796486656000 1801439850948198400

AÑO 2011 𝑓(𝑥) =

37216723414181 × X11 22031024782859127 × 𝑋10 720831525615275169 × 𝑋 9 − + − 72057594037927936 576460752303423488 576460752303423488

214453165847136973 × 𝑋8 84183518654064452761 × 𝑋7 521603028440532019307533 × 𝑋 6 + − + 9007199254740992 288230376151711744 216172782113783808000 981524155399084569049981 × 𝑋5 1127759039080223196850793 × 𝑋 4 1422745717122751194364451 × 𝑋3 − + − 72057594037927936000 21617278211378380800 10808639105689190400 1854999391457263866466403 × 𝑋 2 1196484049541506931936221 × 𝑋 3485353766020536828117 + − 9007199254740992000 6755399441055744000 56294995342131200

MÉTODOS NUMÉRICOS

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AÑO 2012 𝑓(𝑥) =

7438589655697171 × X11 282700419672119819 × 𝑋10 19029079235584085423 × 𝑋9 − + − 36893488147419103232 18446744073709551616 36893488147419103232

186617855897226683741 × 𝑋 8 12398039571055857252798941 × 𝑋7 22669049022077372939919389 × 𝑋6 + − + 18446744073709551616 96845406386975145984000 20752587082923245568000 88197745353451841862401707 × 𝑋5 104804608308559928233817563 × 𝑋4 75946638572004008006054001 × 𝑋3 − + − 13835058055282163712000 4150517416584649113600 1152921504606846976000 552322145439875954295805829 × 𝑋2 95239135446575386483008371 × 𝑋 121640748754599392418567 + − 5188146770730811392000 1008806316530991104000 3602879701896396800

AÑO 2013 𝑓(𝑥) =

6119356867188637 × X11 224614831243856997 × 𝑋10 14692219609960301185 × 𝑋9 − + − 73786976294838206464 36893488147419103232 73786976294838206464

141000265625471449491 × 𝑋 8 1319491376442348486999733 × 𝑋7 5593768403111927919093137 × 𝑋6 + − + 36893488147419103232 27670116110564327424000 13835058055282163712000 65358146028468587820706757 × 𝑋5 8694970664866376789419533 × 𝑋4 57439940987721819259223711 × 𝑋 3 − + − 27670116110564327424000 922337203685477580800 2305843009213693952000 141590172211207721962318777 × 𝑋 2 10664609704622549166795963 × 𝑋 19267898003846972455157 + − 3458764513820540928000 288230376151711744000 1441151880758558720

MÉTODOS NUMÉRICOS

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AÑO 2014 𝑓(𝑥) = −

1824826508753437 × X11 33568281176833669 × 𝑋10 4366566703165792999 × 𝑋 9 + − + 2305843009213693952 576460752303423488 2305843009213693952

41302204317497427035 × 𝑋8 176151905897725923763233 × 𝑋7 12908858339793269720227 × 𝑋6 − + − 1152921504606846976 403522526612396441600 3602879701896396800 3477571047959332218519491 × 𝑋 5 2210042069463213217813543 × 𝑋4 333832155576397607744947 × 𝑋3 + − + 172938225691027046400 28823037615171174400 1729382256910270464 2176817132864567688059641 × 𝑋2 3281801931323035698400111 × 𝑋 20641998942273346836943 − + 7205759403792793600 12610078956637388800 225179981368524800

AÑO 2015 𝑓(𝑥) = −

2135969859632697 × X11 39270943950707515 × 𝑋10 5103841990963361363 × 𝑋 9 + − + 4611686018427387904 1152921504606846976 4611686018427387904

48214109993375208127 × 𝑋8 1173053213530855840275 × 𝑋7 450388714217470558975153 × 𝑋6 − + − 2305843009213693952 4611686018427387904 216172782113783808000

MÉTODOS NUMÉRICOS

INGENIERÍA CIVIL

UNASAM

6725376360550662896811193 × 𝑋 5 307054914242472793709521 × 𝑋 4 3215565744959913578574829 × 𝑋3 + − + 576460752303423488000 6917529027641081856 28823037615171174400 12573826256443290312944929 × 𝑋 2 2711013879680931120630561 × 𝑋 23987851458036265230971 − + 72057594037927936000 18014398509481984000 450359962737049600

AÑO 2016 𝑓(𝑥) =

153298863160151 × X11 89483509487529779 × 𝑋10 2879217739372455437 × 𝑋 9 − + − 1152921504606846976 9223372036854775808 9223372036854775808

6717181656332181935 × 𝑋8 321837939875420809869 × 𝑋 7 1938298635341411358740593 × 𝑋6 + − + 1152921504606846976 4611686018427387904 3458764513820540928000 10580701393889752999114123 × 𝑋 5 3896861675963326802242657 × 𝑋4 4704983907589132724045999 × 𝑋 3 − + − 3458764513820540928000 345876451382054092800 172938225691027046400 17592799468226337497752409 × 𝑋 2 3642399859859407934425661 × 𝑋 2049622417773480160173 + − 432345564227567616000 108086391056891904000 180143985094819840

MÉTODOS NUMÉRICOS

INGENIERÍA CIVIL

UNASAM

AÑO 2017 𝑓(𝑥) =

2641001518982555 × X 6 8521133018395794011 × 𝑋5 52475374044105589703 × 𝑋4 − + − 1125899906842624 140737488355328000 84442493013196800

270215713759439120759 × 𝑋3 89845187634457100099 × 𝑋2 1128757775057725504613 × 𝑋 + − + 84442493013196800 10555311626649600 105553116266496000 8807211283788071463 1759218604441600

Obtenidas las gráficas y funciones respectivas buscaremos la curva de tendencia para las demás graficas: GRÁFICAS SUPERPUESTAS

MÉTODOS NUMÉRICOS

INGENIERÍA CIVIL

UNASAM

FEBRERO

MARZO

ABRIL

MAYO

JUNIO

JULIO

AGOSTO

SETIEMBRE

OCTUBRE

NOVIEMBRE

DICIEMBRE

268.08

331.09

273.23

131.16

60.26

46.64

43.89

44.85

66.83

100.79

159.92

ENERO 204.13

PROMEDIO

AÑ O

Para la curva de tendencia del caudal con respecto al tiempo medido en meses, utilizaremos los siguientes datos promedios.

GRÁFICA PROMEDIO 𝑓(𝑥) =

4506172535209563 × X11 169330211726698407 × 𝑋10 11275293743192304495 × 𝑋9 − + − 73786976294838206464 36893488147419103232 73786976294838206464

109370821864446257109 × 𝑋8 2734791732402456261957 × 𝑋 7 12935913299206062679837481 × 𝑋 6 + − + 36893488147419103232 73786976294838206464 41505174165846491136000 9876950593348055879488927 × 𝑋5 2288257873200784903073635 × 𝑋 4 24043756102758867948025639 × 𝑋 3 − + − 5534023222112865484800 332041393326771929088 1383505805528216371200 279525127246965120397089221 × 𝑋 2 158296642607515312556459 × 𝑋 55737846025029985292839 + − 10376293541461622784000 6917529027641081856 7205759403792793600

MÉTODOS NUMÉRICOS

INGENIERÍA CIVIL

UNASAM

Del conjunto de gráficas podemos obtener los incrementos y descensos de caudal respecto a los meses del año. MES

TEMPORADA

ENERO

ALTA

FEBRERO

MUY ALTA

MARZO

EXTREMA ALTA

ABRIL

MUY ALTA

MAYO

REGULAR BAJA

JUNIO

MUY BAJA

JULIO

EXTREMA BAJA

AGOSTO

EXTREMA BAJA

SETIEMBRE

EXTREMA BAJA

OCTUBRE

MUY BAJA

NOVIEMBRE

REGULAR

DICIEMBRE

REGULAR ALTA

Comparando el cuadro anterior con nuestra curva promedio del caudal, observamos que coinciden en todos los puntos dados.

MÉTODOS NUMÉRICOS

INGENIERÍA CIVIL

V.

UNASAM

CONCLUISIONES  

  

Es viable aproximar una curva de tendencia con el método de newton. La curva promedio calculada se puede afirmar como una curva de tendencia de la intensidad de caudal del rio santa en todo el año. Nuestra curva puede ser utilizada para averiguar el caudal aproximado en cualquier fecha del año. En la curva calculada se observa las crecidas y caídas de los niveles de caudal para posibles estudios. Debido a los datos confiables de una buena fuente el trabajo cuenta con cálculos que pueden utilizarse.

MÉTODOS NUMÉRICOS

INGENIERÍA CIVIL

VI.

UNASAM

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS     

Asís López Maximiliano y Asís López Matlab. Primera edición. Lima. UPIG. Asís López Maximiliano y Asís López Matlab. Primera edición. Lima. UPIG. Asís López Maximiliano y Asís López Matlab. Primera edición. Lima. UPIG. Asís López Maximiliano y Asís López Matlab. Primera edición. Lima. UPIG. Asís López Maximiliano y Asís López Matlab. Primera edición. Lima. UPIG.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Efracio (2017). Matemática numérica con Efracio (2017). Matemática numérica con Efracio (2017). Matemática numérica con Efracio (2017). Matemática numérica con Efracio (2017). Matemática numérica con