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• Ignacio Hernández

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SOLUCIÓN DE EXAMEN En una fábrica de enlatados, las líneas de ensamble I, II Y III representan el 50%, 30%, 20% de la producción total. Si se sella inadecuadamente el 0.4% de las latas de la línea de ensamble I y los porcentajes correspondientes de las líneas de ensamble II y III son 0.6% y 1.2%, ¿cuál es la probabilidad de que? a) Una lata producida en esta fábrica de conservas este mal sellada. b) Una lata mal sellada provenga de la línea de ensamble I Solución a) E1, E2,E3 P (E1)= 0.50 P (E2)= 0.30 P (E3)= 0.20 1.00 Lin I= (0.50) (0.004)= 0.002 Lin II= (0.30) (0.006)= 0.0018 Lin III= (0.20) (0.012)= 0.0024 0.0062 b) Lin I= 0.002/0.00062=0.32 = 32% Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolas al azar sin reposición. Determine la probabilidad de que: a) b) c) d)

Las 3 bolas sean rojas Las 3 bolas sean blancas 2 sean rojas y 1 blanca Una de cada color

Solución 8

7

6

14

20 19 18 3 2 1

285 1

20 19 18 8 7 3

1140 7

20 19 18 8 3 9

285 3

20 19 18

95

a) P( * * ) = b) P( * * ) = c) P( * * ) = d) P( * * ) =

= 0.0491 = 0.00087

= 0.0246

= 0.0315

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta con el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli Independientes entre sí, con una probabilidad fija P de ocurrencia de éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es solo, dos resultados son posibles. Uno de estos se denomina “éxito” y tiene una probabilidad de ocurrencia P y al otro, “fracaso” con una probabilidad de q= 1 - P En la distribución binomial al anterior experimento se repiten n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos para n=1, la binomial se convierte de hecho en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y P: la distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística. Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad de resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir solo dos categorías (las que se le denomina éxito y fracaso). La probabilidad de ambas probabilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denota como p y q o P y 1-P). Se designa como x a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos. Cuando se dan estas circunstancias se dice que la variable x sigue una distribución de probabilidad binomial. Factorial de un número. 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 4!= 4x3x2x1 = 24 2!= 2x1 = 2 Número combinatorio

(53 ) (73 )

5!

=

3!∗(5−3)! 7!

=

3!∗(7−3)!

5𝑥4𝑥3!

20

3!∗2!

2

=

= 10

7𝑥6𝑥5𝑥4!

210

3!∗4!

6

=

= 35

Distribución Binomial 1. El resultado se repite n veces. 2. Solamente tiene 2 resultados. 3. La resultante es constante, no puede variar. P(x=r) = (𝑛 𝑟)

Pr * qn-r

x= variable aleatoria. r= valor que toma la variable. n= número de veces que se repite. Ejercicio: En una fábrica de focos el 5% sale con defectos. Determinar la probabilidad de que una muestra de 12 se encuentra 2 bombillas defectuosas. P= probabilidad de sacar bombillas defectuosas. x= número de bombillas defectuosas. r= 2 n=.12 P= 5/100= 0.05 q= 1-P = 1-0.05 q= 0.95 12 P(x=2) = (2 )

= =

12!

0.052 * 0.9512-2

* 0.052 * 0.9510

2!∗(12−2)!

12𝑥11𝑥10! 2!∗10!

* 0.052 * 0.9510

=0.0988