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´ INGENIER´IA FLUIDOMECANICA

III Marcos Vera Coello Immaculada Iglesias Estrad´e Antonio L. S´anchez P´erez Dpto. de Ingenier´ıa T´ermica y de Fluidos Universidad Carlos III de Madrid

Carlos Mart´ınez Baz´an Dpto. de Ingenier´ıa Mec´anica y Minera Universidad de Jaen

´ Indice ´ Indice

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1 Introducci´on 1.1 S´olidos, l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hip´otesis de medio continuo: part´ıcula fluida . . 1.3 Densidad, velocidad y energ´ıa interna . . . . . . 1.4 Equilibrio termodin´amico local . . . . . . . . . . 1.5 Variables y relaciones termodin´amicas de inter´es

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1 1 3 6 7 8

2 Fluidost´atica 2.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Fuerzas de volumen o fuerzas m´asicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Concepto de presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Presi´on en un punto: Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Resultante de las fuerzas de presi´on sobre una part´ıcula fluida . . 2.4 Distribuci´on de presiones en un fluido en reposo . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Ecuaci´on general de la fluidost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Condici´on de compatibilidad para las fuerzas m´asicas . . . . . . . 2.4.3 Isobaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Ejemplos de inter´es pr´actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fluidost´atica de l´ıquidos: Aplicaciones a la medida de presi´on . . . . . . 2.5.1 El bar´ometro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 El man´ometro en U abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 El man´ometro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Presi´on absoluta, manom´etrica y de vac´ıo . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fluidost´atica de gases: atm´osfera est´andar . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Atm´osfera isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Atm´osfera est´andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Fuerza de presi´on sobre una superficie curva arbitraria . . . . . . 2.8 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes: El Principio de Arqu´ımedes 2.8.1 Cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . .

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11 11 11 12 14 15 16 17 18 18 19 20 20 23 23 24 25 27 27 28 28 30 30 35 36 36 39 40

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´ INDICE 2.9.1 Equilibrio y estabilidad de traslaci´on . 2.9.2 Equilibrio y estabilidad de rotaci´on . 2.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 tubo-U . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 deposito-tres-fluidos . . . . . . . . . 2.10.3 compuerta-L . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 compuerta-inclinada . . . . . . . . . 2.10.5 tronco . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.6 cubo-flotacion . . . . . . . . . . . .

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3 Cinem´atica 3.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana . . . . . 3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso 3.3 Trayectorias y sendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 L´ıneas, superficies y vol´umenes fluidos . . . . . . . . . 3.5 L´ıneas, superficies y tubos de corriente . . . . . . . . . . 3.6 L´ıneas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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40 40 43 43 44 46 49 51 55

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56 56 56 56 57 57 58 58

4 Leyes de Conservaci´on en el Movimiento de los Fluidos 4.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Leyes de la mec´anica aplicadas a vol´umenes fluidos . 4.2.1 El principio de conservaci´on de la masa . . . 4.2.2 La segunda ley de Newton . . . . . . . . . . 4.2.3 El primer principio de la termodin´amica . . . 4.3 Vol´umenes fluidos y vol´umenes de control . . . . . . 4.4 Flujo convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . .

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60 60 60 61 61 61 62 62 63

5 Ecuaci´on de la continuidad 5.1 Ecuaci´on de conservaci´on de la masa . . . . . . . . . 5.2 Gasto m´asico y caudal . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Aproximaci´on unidimensional a los t´erminos de flujo 5.4 Algunos ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Movimiento en una boquilla . . . . . . . . . 5.4.2 Descarga de un dep´osito de gas . . . . . . . 5.4.3 Descarga de un dep´osito de l´ıquido . . . . .

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67 67 67 68 68 68 70 71

6 Ecuaci´on de la cantidad de movimiento 6.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . 6.2 Esfuerzos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecuaci´on de la cantidad de movimiento . . . . . 6.4 Fuerzas y momentos sobre cuerpos sumergidos . 6.5 Ejemplos de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Movimiento de un l´ıquido en una boquilla 6.5.2 Movimiento de un gas en una codo . . . 6.6 Ecuaci´on del momento cin´etico . . . . . . . . . .

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73 73 74 75 76 77 77 79 82

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´ INDICE 6.7

iii La ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Flujo estacionario ideal de un l´ıquido en un tubo de corriente 6.7.2 Vaciado de un dep´osito de l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Ecuaci´on de la energ´ıa 7.1 Variaci´on de la energ´ıa en un volumen fluido . . . . . . . 7.1.1 Trabajo de las fuerzas m´asicas. Energ´ıa potencial. 7.1.2 Trabajo de las fuerzas de superficie . . . . . . . 7.1.3 Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . . 7.3 Balance energ´etico en m´aquinas de fluidos . . . . . . . . 8 An´alisis de problemas fluidomec´anicos ´ 8.1 Alabe en una corriente uniforme . . . . . . . . . . . . . 8.2 Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa . . . . . . . 8.3 Turbom´aquina axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Bomba centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Aspersor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Salto hidr´aulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Chorro plano incidiendo sobre una placa plana articulada

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85 85 87 89 90

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92 92 93 94 94 95 96

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100 100 104 109 113 118 122 126 128

9 An´alisis dimensional 9.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Desarrollo hist´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Un primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Algunas definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Teorema Π o de V aschy − Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Enunciado y demostraci´on mediante un caso pr´actico . . . . . . . . . . 9.2.2 Determinaci´on de los grupos adimensionales Π . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Dependencia param´etrica de la soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Adimensionalizaci´on de las leyes de conservaci´on . . . . . . . . . . . 9.2.5 Selecci´on de los par´ametros con dimensiones independientes . . . . . . 9.3 Los n´umeros adimensionales como relaci´on entre los distintos t´erminos de las leyes de conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Semejanza f´ısica y ensayo de modelos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 El teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 An´alisis de Taylor de una explosi´on nuclear . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Ensayos hidr´aulicos: semejanza total y parcial . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.6 Ensayos en t´unel aerodin´amico compresible . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.7 Actuaciones de una turbina e´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 132 132 132 133 135 140 140 143 144 147 149 151 152 154 154 155 157 157 160 161 162

´ INDICE

iv 9.5.8

Semejanza en m´aquinas hidr´aulicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10 Flujo Turbulento en conductos 10.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Flujo Laminar y flujo turbulento: experimento de Reynolds. . . . . . . 10.3 Flujo desarrollado y longitud de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 P´erdidas de carga primarias en conductos . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Ejemplos de c´alculo de las p´erdidas de carga primarias en conductos. . 10.5.1 Primer ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.3 Tercer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4 Cuarto ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 P´erdidas Secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 P´erdidas de carga en la entrada a un conducto. . . . . . . . . . 10.6.2 P´erdidas de carga en expansiones y contracciones. . . . . . . 10.6.3 P´erdidas de carga en codos y curvas. . . . . . . . . . . . . . . 10.6.4 P´erdidas de carga en v´alvulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias

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Cap´ıtulo 1 Introducci´on 1.1 S´olidos, l´ıquidos y gases A nivel macrosc´opico, la principal diferencia entre s´olidos y fluidos estriba en su capacidad para deformarse (v´ease la figura 1.1). Los s´olidos se deforman poco. Ante la aplicaci´on de una fuerza exterior peque˜na, el s´olido responde con una deformaci´on peque˜na. Tal comportamiento es debido a que los s´olidos presentan una resistencia a la deformaci´on que es proporcional a la magnitud de dicha deformaci´on. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando se les aplica una fuerza de manera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una deformaci´on resulta no ser proporcional a la deformaci´on, sino a la velocidad a la que se produce e´ sta. Esta facilidad para deformarse queda patente en la capacidad de los fluidos para adaptarse a la forma del contenedor que los limita. ˥W

IJ ෰ G˥GW IOXLGR

G˥

IJ ෰ G˥ VµOLGR

Figura 1.1: Ante la aplicaci´on de una fuerza exterior, los s´olidos responden con una deformaci´on est´atica proporcional a la fuerza aplicada, mientras que los fluidos se deforman de forma indefinida, presentando una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad a la que se produce la deformaci´on. La diferencia entre l´ıquidos y gases es menos fundamental. Por una parte, la densidad de los l´ıquidos es t´ıpicamente mucho mayor que la de los gases, lo que influye de manera determinante en la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleraci´on dada. Por otra parte, la diferencia m´as importante entre las propiedades mec´anicas de ambos estados fluidos radica en su compresibilidad. Por ejemplo, la variaci´on de densidad que se produce al someter al fluido a una variaci´on de presi´on dada es mucho menor en el caso de los l´ıquidos que en el caso de los gases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad     ∂ρ ∂ρ  , (1.1) ∂p T,l ∂p T,g donde ρ, p y T representan la densidad, presi´on y temperatura, respectivamente. Para convencernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua. La

´ ´ 1.1. SOLIDOS, LIQUIDOS Y GASES experiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posible reducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad en el interior, mientras que el volumen del globo lleno de agua permanece pr´acticamente constante independientemente de la presi´on que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presi´on hasta 106 atm´osferas para reducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variaciones de temperatura, la variaci´on de densidad resultante en el caso de que el fluido sea un l´ıquido es despreciable comparada con la que observar´ıamos si el fluido fuese un gas. En vista de su baja compresibilidad, para una inmensa mayor´ıa de aplicaciones resulta una aproximaci´on adecuada el suponer que la densidad del l´ıquido es constante (hip´otesis de l´ıquido perfecto).

G

)

)

)

5HSXOVLµQ G

G $WUDFFLµQ

/¯TXLGRV

*DVHV

Figura 1.2: Representaci´on esquem´atica de la fuerza que se ejerce entre dos mol´eculas el´ectricamente neutras que no forman enlace qu´ımico como funci´on de la distancia entre sus centros. Todas las propiedades macrosc´opicas vistas anteriormente son resultado de la distinta estructura microsc´opica que presentan s´olidos, l´ıquidos y gases. Para entenderlo, hay que tener en cuenta que la fuerza que se ejerce entre dos mol´eculas es funci´on de la distancia entre sus centros, d, de acuerdo a la ley esquematizada en el gr´afico de la figura 1.2. Cuando dicha distancia se hace muy peque˜na, las mol´eculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandes de d aparece una fuerza de atracci´on que disminuye con la distancia. Existe un valor cr´ıtico de la distancia d = d0 para el que la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde a una posici´on de equilibrio estable para el sistema de dos mol´eculas considerado, suele tener un valor en torno a 3 × 10−10 m. Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ, y de su masa molecular, W , es f´acil calcular la distancia media, d, entre los centros de las mol´eculas  1/3 W peso 1 mol´ecula W/NA ⇒ d= ≡ (1.2) ρ= d3 volumen ocupado por 1 mol´ecula ρNA donde NA = 6,023 × 1023 mol´eculas/mol es el n´umero de Avogadro (v´ease la figura 1.3). El c´alculo revela que para el caso de gases a presi´on y temperatura ambiente d  10d0 (por ejemplo, para el aire se tiene ρ  1,2 kg/m3, W  29 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemos d  3,4 × 10−9 m), mientras las mol´eculas de s´olidos y l´ıquidos est´an mucho m´as pr´oximas, a 2

´ ´ 1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA

1/3

§ W · d= ¨ ¸ © ȡNA ¹

d

Figura 1.3: En promedio, el volumen ocupado por una mol´ecula es un cubo de lado d, donde d representa la distancia intermolecular media. Conocida la densidad del fluido, ρ, y su masa molecular, W , es f´acil estimar el valor de d.

distancias d  d0 (por ejemplo, para el agua o el hielo se tiene ρ  103 kg/m3, W  18 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemos d  3,1 × 10−10 m). Las mol´eculas de los gases, por tanto, experimentan fuerzas de atracci´on muy d´ebiles en su movimiento, de forma que en primera aproximaci´on podemos suponer que se mueven libremente, interaccionando u´ nicamente a trav´es de las colisiones que sufren entre ellas. Esta estructura explica la alta compresibilidad de los gases (sus mol´eculas pueden acercarse m´as, aumentando la densidad del medio, con relativa facilidad), as´ı como su capacidad para deformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio disponible. En el caso de s´olidos y l´ıquidos, por el contrario, las fuerzas entre las mol´eculas son muy importantes. La fuerza de repulsi´on evita que las mol´eculas puedan estar m´as pr´oximas de lo que est´an, lo cual explica la baja compresibilidad de l´ıquidos y s´olidos. Su distinta capacidad de deformaci´on se debe a que, a pesar de su proximidad, las mol´eculas de los l´ıquidos se desplazan unas respecto a otras con relativa facilidad, mientras que la posici´on relativa de las mol´eculas de los s´olidos permanece fija. Cabe mencionar que, a veces, no resulta f´acil categorizar a una sustancia como s´olido o l´ıquido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura durante un tiempo suficientemente largo acabar´a comport´andose como un s´olido el´astico, caracter´ıstica que perder´a cuando la agitamos violentamente. En todo caso, la inmensa mayor´ıa de los fluidos que aparecen en los problemas ingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a la caracterizaci´on como gases o l´ıquidos expuesta en los p´arrafos anteriores, y que se resume gr´aficamente en la figura 1.4.

1.2 Hip´otesis de medio continuo: part´ıcula fluida Hay dos caracter´ısticas que complican el an´alisis del movimiento fluido. Por un lado, la materia en los fluidos est´a distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las mol´eculas de los gases est´an separadas por grandes espacios vac´ıos. Incluso para los l´ıquidos, cuyas mol´eculas est´an empaquetadas a una corta distancia, la distribuci´on de la masa es tambi´en discreta, al encontrarse esta concentrada en los n´ucleos de los a´ tomos. Por otro lado, resulta in´util intentar estudiar la din´amica de un fluido a partir del estudio de la din´amica de cada uno de sus componentes a nivel microsc´opico. Por ejemplo, en una primera aproximaci´on al estudio de los gases monoat´omicos, parecer´ıa adecuado aplicar las leyes de conservaci´on de la cantidad de movimiento a cada una de las mol´eculas que forman el gas. Como el movimiento de cada mol´ecula influye en las dem´as a trav´es de los choques que se producen entre ellas, la resoluci´on del problema conllevar´ıa la integraci´on de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que podr´ıan en principio resolverse para determinar la evoluci´on de la posici´on de cada una de las mol´eculas con el tiempo (y su velocidad por derivaci´on directa). Este an´alisis, aparentemente sencillo, resulta imposible de llevar a la pr´actica debido al gran n´umero de mol´eculas que 3

´ ´ 1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA d0 ป 3-4 Å

*DVHV ದ GaG

d

ವ %DMDGHQVLGDG ವ $OWDFRPSUHVLELOLGDG ವ 2FXSDQWRGRHOHVSDFLRGLVSRQLEOH

/¯TXLGRV ದ GaG ವ $OWDGHQVLGDG ವ %DMDFRPSUHVLELOLGDG ವ )RUPDQVXSHUILFLHVOLEUHV

Figura 1.4: Las diferencias en las propiedades macrosc´opicas de l´ıquidos y gases son resultado de la distinta estructura microsc´opica que presentan ambos.

componen el fluido (1016 en un mm3 de aire y muchas m´as en un mm3 de agua). Incluso aunque tal c´alculo fuera posible, no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo, la posici´on y velocidad de cada una de las mol´eculas de agua que circulan por el interior de una bomba para determinar la relaci´on entre la potencia de e´ sta y el caudal. Claramente, estas consideraciones nos llevan a tomar un punto de vista distinto en el an´alisis de los movimientos fluidos. En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes que se describ´ıan con pocos grados de libertad. Por ejemplo, en el estudio de la evoluci´on de un gas que se encuentra en el interior de un contenedor, la termodin´amica hac´ıa uso de la densidad definida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mec´anica describ´ıamos el movimiento del s´olido r´ıgido con dos u´ nicos vectores: el vector velocidad y el vector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosas no son tan sencillas. As´ı, gracias a las part´ıculas de polvo suspendidas en el aire, todos hemos observado el movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigual de nuestro dormitorio. Claramente, un solo vector velocidad no es suficiente para describir el campo fluido que se establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que se observan variaciones espaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorrer en un campo fluido para ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo que denominamos longitud macrosc´opica caracter´ıstica de dicho campo fluido, L. Por ejemplo, para el movimiento en nuestra habitaci´on, es suficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cm para ver variaciones apreciables de la velocidad (part´ıculas de polvo subiendo y bajando). Lo que si parece claro en relaci´on con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describir el campo de velocidades con bastante fiabilidad bastar´ıa dar la velocidad en puntos separados 1 cm (1 mm si quisi´eramos ser muy precisos). Uno se pregunta si es posible entonces estudiar el campo fluido dividi´endolo en peque˜nas parcelas, llamadas part´ıculas fluidas, con respecto a las cuales definir´ıamos los conceptos de velocidad, densidad, etc. Cada part´ıcula fluida estar´ıa centrada en una posici´on x¯, y su tama˜no deber´ıa ser m´as peque˜no que la longitud macrosc´opica caracter´ıstica de nuestro campo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedades de cada part´ıcula fluida en un cierto instante fuera suficiente para una descripci´on precisa del 4

´ ´ 1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA campo fluido (velocidad, densidad, etc) en funci´on de la posici´on, x¯, y del tiempo, t. El suponer que podemos describir las variables fluidas como funciones continuas de x¯ y de t es lo que se denomina hip´otesis del medio continuo, que es utilizada tambi´en en el estudio de la elasticidad y resistencia de materiales. Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de un gas. Siguiendo la definici´on que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcular la densidad de una part´ı cula fluida de volumen δV centrada en una posici´on x¯ de acuerdo a  ρ = mi /δV , donde mi es la masa de todas las mol´eculas situadas en el interior de la part´ıcula fluida considerada. Para que la descripci´on que proponemos tenga sentido, el valor de ρ debe ser independiente de δV , de manera que en un instante determinado t podamos asignar a la posici´on x¯ un valor un´ı voco de ρ(¯ x, t). El rango de δV en que esto es posible se hace patente al representar el valor de mi /δV como funci´on del tama˜no de la part´ıcula fluida (δV )1/3 , tal y como se ve en la figura 1.5.

d

d pa cuando p < pa

Insistimos en que la presi´on manom´etrica y de vac´ıo est´an referidas a la presi´on atmosf´erica local, que no tiene por que coincidir con la presi´on atmosf´erica a nivel del mar en condiciones est´andar (1 atm = 101325 Pa). Por ejemplo, si una medida de presi´on se realiza en un lugar y momento en que la presi´on atmosf´erica es de pa = 90000 Pa (porque, por ejemplo, estamos a cierta altura sobre el nivel del mar, o la medida se realiza en un d´ıa de bajas presiones) y se obtiene una medida de p = 120000 Pa, la presi´on manom´etrica ser´a en este caso de pman = p − pa = 30000 Pa.

2.6 Fluidost´atica de gases: Distribuci´on de presiones en la atm´osfera est´andar La ecuaci´on general de la fluidost´atica (2.25) aplicada a un gas perfecto en reposo en un sistema de referencia inercial toma la forma p − ∇p + ρ¯ g = −∇p + g¯ = 0, (2.60) Rg T donde se ha utilizado la ecuaci´on de estado de los gases perfectos (p = ρRg T ) para tener en cuenta las variaciones de densidad debidas a los cambios de presi´on o temperatura. Por ser la 27

´ ´ ´ 2.6. FLUIDOSTATICA DE GASES: ATMOSFERA ESTANDAR gravedad g¯ = −g¯ ez la u´ nica fuerza m´asica, podemos escribir ∂p ∂p = =0 ∂x ∂y o bien

→

p = p(z)

→

g dp + dz = 0, p Rg T

−

dp p − g = 0, dz Rg T

(2.61)

(2.62)

ecuaci´on que relaciona la variaciones de presi´on, p, con las variaciones de altura, z, en un gas perfecto sometido a la acci´on de la gravedad. En la ecuaci´on anterior, la aceleraci´on de la gravedad g y la constante del gas Rg toman valores fijos, mientras que la temperatura podr´ıa, en principio, variar con la altura. As´ı pues, antes de integrar la Ec. (2.62) es preciso especificar la ley T = T (z).

2.6.1 Atm´osfera isoterma Si suponemos que la temperatura es constante, T = T0 , como ocurre, por ejemplo, en la atm´osfera terrestre cerca de la superficie, podemos integrar la Ec. (2.62)   g dp + dz = 0, (2.63) p Rg T0 para obtener ln p +

g z = cte. Rg T0

(2.64)

Particularizando esta ecuaci´on en z = 0, donde supondremos conocido el valor de la presi´on, p = p0 , obtenemos el valor de la constante (cte = ln p0 ) que, sustituida en (2.64), proporciona la ley para la presi´on en funci´on de la altura en un gas isotermo   g z . (2.65) p = p0 exp − Rg T0 Como puede verse, en un gas isotermo la presi´on cae exponencialmente con la altura, con una distancia caracter´ıstica de decaimiento Δz ∼ Rg T0 /g ≈ 8,4 km para T0 = 288K.

2.6.2 Atm´osfera est´andar Aunque cerca de la superficie terrestre la aproximaci´on de atm´osfera isoterma resulta apropiada, para determinar correctamente la distribuci´on de presi´on atmosf´erica hay que tener en cuenta que la temperatura atmosf´erica disminuye linealmente desde la superficie hasta una altura de aproximadamente 11000 m (troposfera), se mantiene constante entre los 11000 y los 20000 m (estratosfera), y vuelve a aumentar por encima de los 20000 m. Matem´aticamente, la ley que expresa la variaci´on de la temperatura con la altura se puede escribir en la forma T0 − Bz 0 < z < 11000 m, T = (2.66) T1 11000 < z < 20000 m, donde T0 es la temperatura a nivel del mar (z = 0), B es el gradiente t´ermico en la troposfera, i.e. la velocidad a la que decae la temperatura con la altura, y T1 es la temperatura de la estratosfera. 28

´ ´ ´ 2.6. FLUIDOSTATICA DE GASES: ATMOSFERA ESTANDAR 20 18 16 14

z (km)

12 10 39%

8 6 4

69%

2

84% 94%

0

0

0.2

0.4 0.6 p (atm)

0.8

1 −60

−40

−20 T (ºC)

0

20 0

0.5 1 3 ρ (kg/m )

1.5

Figura 2.10: Distribuci´on de (a) temperatura, (b) presi´on y (c) densidad en la atm´osfera est´andar. L´ınea roja: troposfera (0 < z < 11 km), l´ınea azul: estratosfera (11 < z < 20 km).

Los valores de T0 y B var´ıan ligeramente de un d´ıa a otro y de un lugar a otro, pero existe un acuerdo internacional por el que se definen los valores est´andar: T0 = 288,16 K y B = 0,00650 K/m ≡ 6,5 K/km, lo que conduce al valor T1 = 288,16 − 6,5 · 11 = 216,66 K ≡ −56,5o C. En la figura 2.10(a) se representa la variaci´on de temperatura con la altura en dicha atm´osfera est´andar. Introduciendo esta expresi´on para la variaci´on de la temperatura con la altura en la Ec. (2.62) resulta   dp dz g =− (2.67) p Rg T0 − Bz que se puede integrar f´acilmente para dar ln p −

g ln(T0 − Bz) = cte Rg B

(2.68)

El valor de la constante de integraci´on se puede obtener particularizando esta expresi´on a nivel del mar, z = 0, donde la presi´on atmosf´erica, p = pa , es conocida. De este modo tenemos cte = ln pa −

g ln T0 Rg B

(2.69)

Finalmente, sustituyendo este valor en (2.68) obtenemos la distribuci´on de presiones en la atm´osfera est´andar   g Bz Rg B 0 < z < 11000 m (2.70a) p = pa 1 − T0 donde z representa la altura sobre el nivel del mar. Por encima de los 11000 m se debe utilizar 29

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS la Ec. (2.65) escrita en la forma  p = pa

B · 11000 1− T  0

 R gB g



  g exp − (z − 11000) Rg T1

p11 km

11000 < z < 20000 m (2.70b) Las Figs. 2.10(b) y (c) ilustran, respectivamente, la variaci´on de la presi´on con la altura y la correspondiente variaci´on en la densidad del aire con la altura en la atm´osfera est´andar, esta u´ ltima calculada utilizando las leyes (2.66) y (2.70) junto con la ley de los gases ideales, ρ = p/(Rg T ). En la figura 2.10(c) se indica el valor de la densidad del aire a cuatro alturas distintas elegidas con fines puramente ilustrativos. La primera l´ınea corresponde a la altura media de Madrid (650 m), la segunda representa la altura del puerto de Navacerrada (1780 m), la tercera la altura del Teide (3718), y la cuarta la del Everest (8848 m). Se observa que la densidad atmosf´erica disminuye apreciablemente con la altura, de modo que en el techo del mundo la densidad del aire es un 39 % de la densidad atmosf´erica a nivel del mar. A dicha altura un volumen de aire dado contiene tan s´olo un 39 % del ox´ıgeno que contendr´ıa a nivel del mar, lo que puede llegar a provocar la muerte por asfixia en pocas horas.

2.7 C´alculo de fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas 2.7.1 Fuerzas sobre superficies planas El dise˜no de estructuras de contenci´on requiere el c´alculo de las fuerzas hidrost´aticas sobre las superficies s´olidas en contacto con el fluido. Estas fuerzas est´an relacionadas con el efecto del peso del fluido sobre las superficies que lo contienen. Por ejemplo, el l´ıquido contenido en el dep´osito de la izquierda de la figura 2.11, con una base plana y horizontal de a´ rea A, ejercer´a una fuerza vertical hacia abajo en el fondo del dep´osito igual a F¯l→fondo = −(pa + ρgh)A¯ ez , donde pa es la presi´on atmosf´erica, ρ es la densidad del l´ıquido y h la altura de agua. Si el dep´osito se inclina y el fondo deja de estar horizontal, como ocurre en el dep´osito de la derecha, se requerir´an c´alculos adicionales para determinar las componentes de la fuerza. En particular, si consideramos un l´ıquido de densidad constante sometido a la acci´on de la gravedad, la Ec. (2.31) nos dice que la presi´on sobre cualquier superficie sumergida var´ıa linealmente con la profundidad. De acuerdo con la Ec. (2.17), el c´alculo de la resultante de las fuerzas de presi´on sobre superficies planas exige, por tanto, la integraci´on de una funci´on lineal. Como veremos a continuaci´on, la complejidad de este tipo de integrales es m´ınima cuando la forma geom´etrica de la superficie es sencilla, y se reduce al c´alculo de la posici´on del centro de gravedad de la superficie cuando la forma de esta es m´as compleja. Fuerzas y momentos sobre una placa plana rectangular vertical Con fines ilustrativos, comenzaremos por calcular la fuerza ejercida por un l´ıquido en reposo sobre una placa plana rectangular, de altura h y anchura b perpendicular al papel, en posici´on vertical como muestra la figura 2.12. Tomando el origen de z en la base de la placa, la distribuci´on de presiones puede 30

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

g¯

pa

?

6

z

n ¯

n ¯

h

6

6

 ?

A 

?

 F¯l→fondo = − p(¯ x)¯ ndσ

n F¯l→fondo = −pfondo A¯ = −(pa + ρgh)Ak¯

Figura 2.11: Fuerza ejercida sobre el fondo de un dep´osito por el l´ıquido contenido en el mismo cuando el fondo est´a horizontal (izquierda) e inclinado (derecha). Cuando la superficie sobre la que queremos calcular la fuerza no es horizontal, la presi´on var´ıa de unos puntos a otros y la fuerza se determina mediante una integral extendida a toda la superficie.

escribirse en la forma p + ρgz = p0 + ρgh ≡ cte

→

p(z) = p0 + ρg(h − z)

(2.71)

donde p0 representa la presi´on en el punto m´as alto de la placa (z = h). Como se indic´o m´as arriba, la presi´on crece linealmente con la profundidad desde este valor hasta su valor m´aximo (p0 + ρgh) en la base de la placa (z = 0). El campo de presiones sobre la placa resulta as´ı de la superposici´on de una distribuci´on de presi´on constante, p0 , a la que llamaremos distribuci´on I, y una distribuci´on de presi´on triangular, ρg(h − z), a la que llamaremos distribuci´ on II.  ¯ La fuerza ejercida por el l´ıquido sobre el lado derecho de la placa, F = − p(z)¯ ndσ = F e¯x , vendr´a dada por la suma de las resultantes de presi´on de las distribuciones I y II,  h  p(z)dσ = [p0 + ρg(h − z)]b dz F = A 0  h  h (2.72) p0 b dz + ρg(h − z)b dz = 0

0

ρgh hb = FI + FII = p0 hb + 2 mientras que el momento respecto a la base de la placa (punto 0) se puede expresar en la forma 



M0 =



h

h

p0 z b dz + ρg(h − z)zb dz 0 0  2  2 h h z3 hz z − b + ρg b = p0 2 0 2 3 0 h3 h2 h h = p0 b + ρg b = FI + FII 2 6 2 3

p(z)zdσ = A

31

(2.73)

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS -

6

-

h

p(z)

?

-

-

n ¯ 

-

-

-

p0

-

6

0

-

x

?

p0

n ¯ 

-

FI

6

-

zCP

z

dσ

-

F

6

-

n ¯ 

dσ = bdz

-

-

-

ρgh

-

-

h/2

-

?

-

dσ FII

6

-

h/3

-

?

ρgh

Figura 2.12: Distribuci´on de presi´on sobre una placa plana rectangular en posici´on vertical, de altura h y anchura b en la direcci´on perpendicular al dibujo. Tal y como se ha representado, la distribuci´on general se puede descomponer en una distribuci´on de presi´on uniforme (I) y una distribuci´on de presi´on lineal (II), cuyas resultantes, FI = p0 hb y FII = (ρgh/2)hb, act´uan en el centro de la placa y a un tercio de la altura de la misma, respectivamente.

¯ 0 = M0 e¯y ). donde el momento se toma positivo en sentido horario (M Una vez calculada la resultante y el momento de las fuerzas de presi´on resulta sencillo calcular la posici´on zCP del centro de presiones, definido como el punto de acci´on de la resultante de las fuerzas de presi´on. Para ello basta imponer que el momento M0 debe ser igual al momento zCP F de la resultante F respecto al punto 0, es decir M0 = zCP F

→

zCP =

p0 hb h2 + p0 hb +

ρgh hb h3 2 ρgh hb 2

=

1 2

ρgh 1 2p0 3 + ρgh 2p0

+

1

h=

1 2

+ Λ 13 h 1+Λ

(2.74)

donde se observa que zCP /h depende s´olo del par´ametro Λ = (ρgh/2)/p0, que representa el cociente entre la presi´on media de la distribuci´on lineal, ρgh/2, y la presi´on media de la distribuci´on uniforme, p0 , siendo l´ım zCP =

Λ→0

h , 2

l´ım zCP =

Λ→∞

h , 3

(2.75)

De acuerdo con la definici´on dada en (2.74), las Ecs. (2.72) y (2.73) muestran que la reI sultante de la distribuci´on uniforme act´ua en el punto medio de la placa, zCP = h/2, mientras II que la resultante de la distribuci´on lineal act´ua a un tercio de la altura de la placa, zCP = h/3. Esto permite explicar el significado f´ısico de los l´ımites Λ → 0 y Λ → ∞: cuando Λ → 0 (ρgh  p0 ) las variaciones de presi´on debidas a la distribuci´on lineal son despreciables frente a la presi´on uniforme p0 y la distribuci´on de presiones puede aproximarse por el valor constante p0 , cuya resultante act´ua en el punto medio de la placa. Lo contrario ocurre cuando Λ → ∞ (ρgh  p0 ) en cuyo caso podemos despreciar la presi´on uniforme p0 frente a las variaciones de presi´on debidas a la distribuci´on lineal, cuya resultante act´ua en este caso en el punto h/3. N´otese que para un fluido dado (ρ) y una compuerta de geometr´ıa dada (h) el valor de Λ s´olo puede cambiar debido a las variaciones de la presi´on p0 en el punto superior de la compuerta. De este modo, para una compuerta situada en la pared de un dep´osito, al aumentar el nivel de l´ıquido en el dep´osito aumentar´a el valor de p0 y por tanto disminuir´a el valor de Λ, desplaz´andose el centro de presiones de la compuerta hacia arriba, sin llegar nunca a superar el punto medio de la placa. 32

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS Se deja como ejercicio al lector demostrar que para una placa rectangular inclinada un a´ ngulo 0 ≤ θ ≤ π/2 respecto a la horizontal (θ = 0: placa horizontal, θ = π/2: placa vertical) los resultados anteriores se mantienen sin m´as que cambiar g por g sen θ. Fuerzas y momentos sobre una placa plana sumergida de forma arbitraria En esta secci´on vamos a generalizar los resultados para el c´alculo de fuerzas y momentos sobre placas planas al caso m´as general posible. La figura 2.13 muestra una placa plana de forma arbitraria sumergida completamente en un l´ıquido. La placa forma un a´ ngulo θ con la horizontal, de forma que su profundidad var´ıa de un punto a otro. De acuerdo con la expresi´on general para el c´alculo de fuerzas sobre superficies sumergidas, la fuerza hidrost´atica total sobre la cara superior Σ de la placa, de orientaci´on normal n ¯ , viene dada por  F¯ = − p(z)¯ n dσ = −F n ¯ (2.76) Σ

cuyo m´odulo se puede escribir en la forma   F¯ = (pa − ρgz) dσ = pa A − ρg z dσ = (pa − ρgzCG )A = pCG A Σ

(2.77)

Σ

 utilizando la definici´on del centro de gravedad de una superficie plana zCG = (1/A) Σ zdσ. En resumen, la fuerza que se ejerce sobre una placa plana de forma arbitraria sumergida en un fluido en reposo de densidad uniforme es igual a la presi´on que hay en el centro de gravedad, CG, de la superficie, o centroide, multiplicada por el a´ rea de la misma, independientemente de la forma de la placa o del a´ ngulo de inclinaci´on θ. Debido al incremento de la presi´on con la profundidad, el punto de actuaci´on de la fuerza resultante F no se encuentra en el centroide, sino m´as abajo, hacia la zona de presiones m´as elevadas. Su l´ınea de acci´on pasar´a por el centro de presiones, CP, de la placa, como se indica en la Figura 2.13. Para calcular la posici´on del centro de presiones, definimos un sistema de coordenadas (ξ, η) sobre el plano de la placa con origen en el centroide. Para hallar las coordenadas (ξCP , ηCP ) del centro de presiones debemos integrar los momentos de todas las fuerzas elementales p dσ respecto al centro de gravedad e igualar el resultado al momento de la resultante F respecto a ese punto. Por ejemplo, para calcular ηCP , haremos    η p dσ = η (pCG − ρgη sin θ) ηdσ = −ρg sin θ η 2 dσ = −ρg sin θIξξ F ηCP = Σ

Σ

(2.78)

donde hemos expresado la presi´on en funci´on de η utilizando la igualdad p + ρgz = pCG + ρgzCG → p = pCG − ρg(z − zCG ) = pCG − ρgη sin θ (2.79)  2 e Iξξ = σ η dσ > 0 representa el momento de inercia del a´ rea de la placa  respecto a su eje central x, calculado en el plano de la placa. N´otese que en (2.78) el t´ermino Σ ηpCG dσ se anula por definici´on de centro de gravedad. Sustituyendo F por su valor, resulta ηCP = −ρg sin θ

Iξξ pCG A

(2.80)

El signo negativo de esta ecuaci´on muestra que la posici´on del CP est´a por debajo del centro de gravedad, a una profundidad mayor y, a diferencia de F , s´ı depende del a´ ngulo de inclinaci´on θ. Si ponemos la placa a profundidades mayores, ηCP se acerca al centro de gravedad, ya que todos los factores de la Ec. (2.80) permanecen constantes, excepto pCG , que aumenta. 33

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS z 6

gas

p = pa θ

l´ıquido F¯ = −pCGA¯ n

?

g¯

Σ n ¯

U

K

CG CP

* η

U ξ

A

Figura 2.13: Superficie plana de forma arbitraria sumergida en un l´ıquido en reposo, indicando la posici´on del centro de gravedad, CG, de la superficie, o centroide, y del centro de presiones, CP, definido como el punto de actuaci´on de la resultante de las fuerzas de presi´on (el punto respecto al cual la distribuci´on de presiones da momento nulo). En general, el centro de gravedad y el centro de presiones no coinciden, salvo que la superficie sea horizontal, en cuyo caso la resultante de fuerzas de presi´on act´ua precisamente en el centro de gravedad de la superficie. La determinaci´on de ξCP es completamente an´aloga y proporciona ξCP = −ρg sin θ

Iξη pCG A

(2.81)

 donde ahora Iξη = Σ ξη dσ ≷ 0 es el producto de inercia de la placa calculado en el plano de la placa con respecto a ejes que pasan por el centro de gravedad. N´otese que si Iξη = 0, lo que suele implicar simetr´ıa de la placa respecto al eje η, tenemos ξCP = 0 y el centro de presiones est´a inmediatamente debajo del centroide, sobre el eje η. Por otro lado, las Ecs. (2.80) y (2.81) permiten concluir que para una superficie horizontal, θ = 0, la posici´on del CP coincide con la del CG. En muchos casos la presi´on ambiente pa se desprecia porque act´ua en ambos lados de la placa. Por ejemplo, cuando el otro lado de la placa es la cara interior del casco de un barco o la cara seca de una compuerta o presa. En este caso pCG = ρghCG , donde hCG = −ZCG representa la profundidad del centro de gravedad de la placa, y el centro de presiones resulta independiente de la densidad del fluido F = ρg hCG A,

ηCP = −

Iξξ sin θ , hCG A

ξCP = −

Iξη sin θ . hCG A

(2.82)

Pese a la generalidad de las expresiones anteriores, su utilizaci´on pr´actica requiere conocer los valores de los momentos y productos de inercia de las superficies consideradas en cada caso. 34

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS F¯V F¯f→c

n ¯

F¯f→c

Σh

Σv n ¯

n ¯

¯ W

F¯H

n ¯

Σc Σc

n ¯

F¯c→f = −F¯f→c Figura 2.14: Calculo de la fuerza, F¯f→c , ejercida por un fluido en reposo sobre una superficie curva. Se deja como ejercicio al lector comprobar que la posici´on del centro de presiones de la placa plana vertical considerada en el apartado anterior, dada por la Ec. (2.74), se puede obtener tambi´en utilizando las expresiones generales (2.80) y (2.81).

2.7.2 Fuerza de presi´on sobre una superficie curva arbitraria La resultante de las fuerzas de presi´on sobre una superficie curva arbitraria Σc como la que se indica en el lado izquierdo de la figura 2.14 viene dada por la integral extendida a toda la superficie de las fuerzas elementales de presi´on que act´uan sobre cada elemento de a´ rea  ¯ p(¯ x)¯ n dσ (2.83) Ff→c = − Σc

donde n ¯ es el vector normal unitario perpendicular a la superficie, que, de acuerdo con la notaci´on habitual, apunta hacia el l´ıquido si queremos calcular la fuerza que el l´ıquido ejerce sobre el s´olido. En general, el c´alculo de esta integral es complicado. Las fuerzas elementales de presi´on, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, var´ıan en direcci´on a lo largo de esta, lo que se traduce en que, adem´as de la propia presi´on, el vector normal n ¯ tambi´en var´ıa. No obstante, si la superficie tiene una forma geom´etrica simple (p.ej., un cilindro, un paraboloide, una secci´on de esfera, etc.) el c´alculo de la integral (2.83) puede abordarse sin demasiados problemas. Veremos a continuaci´on que existe, sin embargo, una forma m´as sencilla de determinar la resultante de las fuerzas de presi´on sobre una superficie curva. El m´etodo alternativo consiste en establecer el equilibrio de fuerzas para un volumen V de fluido delimitado por una superficie Σ compuesta por la superficie curva en cuesti´on, Σc , y dos superficies planas, una horizontal, Σh , y otra vertical, Σv , definidas como se muestra en el lado derecho de la figura 2.14. Escribiendo la ecuaci´on fundamental de la fluidost´atica en forma integral para dicho volumen de fluido tenemos   − p(¯ x)¯ ndσ + ρ¯ g dV = 0 (2.84) Σ

V

35

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES donde n ¯ representa la normal exterior, que ahora en Σc apunta hacia el s´olido. En la ecuaci´on anterior, la integral de volumen representa el peso del fluido contenido en el volumen conside¯ = −W e¯z = −ρV g¯ ez , mientras que la integral de superficie puede descomponerse en rado, W tres contribuciones, correspondientes a la superficies Σc , Σv y Σh . Esto nos permite escribir la ecuaci´on (2.84) en la forma  ¯ =0 p(¯ x)¯ ndσ + F¯H + F¯V + W (2.85) − Σc



 x)¯ ndσ y F¯V = − Σh p(¯ x)¯ ndσ representan las resultantes de las fuerzas donde F¯H = − Σv p(¯ depresi´on sobre las superficies vertical y horizontal, respectivamente, mientras que la integral − Σc p(¯ x)¯ ndσ que aparece en (2.85) representa la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el fluido, pues en este caso n ¯ apunta hacia el cuerpo. Por la ley de acci´on y reacci´on, esta fuerza debe ser igual a la fuerza que el fluido ejerce sobre el cuerpo cambiada de signo, lo que finalmente nos permite escribir  ¯ ¯ ¯ Ff→c = −Fc→f = p(¯ x)¯ ndσ = F¯H + F¯V + W (2.86) Σc

El c´alculo de la fuerza que sufre la superficie s´olida curva Σc queda as´ı reducido al c´alculo del ¯ del fluido contenido en el volumen V y de las fuerzas de presi´on, F¯H y F¯V , que act´uan peso W sobre las superficies vertical y horizontal respectivamente, cuya obtenci´on suele resultar mucho m´as sencilla que el c´alculo directo de la integral (2.83). Observando la direcci´on de las distintas componentes de la fuerza en la Ec. (2.86) podemos concluir que la componente horizontal de la fuerza ejercida sobre la superficie curva es igual a la fuerza F¯H ejercida sobre el a´ rea plana Σv formada por la proyecci´on de Σc sobre un plano ¯ del vertical, mientras que la componente vertical es igual en magnitud y direcci´on al peso W volumen fluido V m´as la fuerza F¯V ejercida sobre la superficie plana horizontal Σh .

2.8 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes: El Principio de Arqu´ımedes El incremento de la presi´on con la profundidad en un fluido en reposo provoca la aparici´on de una fuerza neta vertical sobre cualquier objeto sumergido en el fluido. Esta fuerza neta debida a la distribuci´on de presiones hidrost´atica se denomina fuerza de flotabilidad (o flotaci´on), y se puede escribir en la forma  ¯ FF = − p(¯ x)¯ n dσ (2.87) Σ

donde n ¯ denota la normal exterior y la integral se extiende a toda la superficie Σ del cuerpo. El principio de Arqu´ımedes define la magnitud y la direcci´on de esta fuerza al establecer que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotaci´on vertical hacia arriba cuyo m´odulo es igual al peso del fluido que desaloja. A continuaci´on utilizaremos los conocimientos de fluidost´atica adquiridos en este cap´ıtulo para demostrar este principio.

2.8.1 Cuerpos sumergidos Consideremos el cuerpo completamente sumergido que se muestra en la figura 2.15a. Para evaluar la fuerza de flotaci´on dada por la Ec. (2.87) podemos aprovechar el hecho de que en 36

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES

pa

z

g¯

pa

z

g¯ F¯F

Fluido desalojado V 0

0

Cuerpo

C

x¯0 Σ

Σ x¯C −W e¯z

(a)

(b)

Figura 2.15: Para calcular la resultante de fuerzas y momentos que act´ua sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido en reposo (a) resulta conveniente considerar el equilibrio mec´anico del volumen de fluido desalojado por el cuerpo (b).

un fluido en reposo la distribuci´on de presiones es exclusivamente funci´on de la posici´on, por lo que el valor de la presi´on sobre la superficie que delimita el objeto no est´a afectada por la presencia del objeto. Supongamos por tanto que el objeto no estuviera presente, de modo que el volumen ocupado por el objeto pasara a estar lleno de fluido como muestra la figura 2.15b. A este volumen de fluido le llamaremos volumen desalojado, y supondremos que tiene la misma distribuci´on vertical de densidades que el fluido circundante. En estas condiciones, la distribuci´on de presi´on sobre la superficie del fluido desalojado ser´a id´entica a la que experimentar´ıa el objeto, lo que nos permite concluir que la fuerza de flotaci´on que sufre el objeto vendr´a dada por la resultante de las fuerzas de presi´on que act´ua sobre el volumen desalojado. Aplicando la ecuaci´on fundamental de la fluidost´atica al volumen de fluido desalojado    ¯ =0 F¯ = − p(¯ x)¯ ndσ + ρ¯ g dV = F¯F + W (2.88) Σ V  

F¯F

podemos evaluar la resultante de las fuerzas de presi´on que act´ua sobre e´ l y, por tanto, la fuerza de flotaci´on experimentada por el cuerpo   ¯ ¯ = W e¯z FF = − p(¯ x)¯ ndσ = − ρ¯ g dV = −W (2.89) Σ

V

¯ = −W e¯z representa el peso del fluido desalojado. Obs´ervese que este resultado, que donde W es aplicable independientemente de la distribuci´on de densidades en el fluido, constituye la demostraci´on matem´atica del principio de Arqu´ımedes: la resultante de las fuerzas de presi´on sobre un cuerpo sumergido en reposo (fuerza de flotaci´on), es una fuerza vertical hacia arriba cuyo m´odulo es igual al peso del fluido desalojado. El mismo resultado puede obtenerse utilizando el teorema de Gauss para expresar la integral de superficie que aparece en 37

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES (2.89) como una integral de volumen del gradiente de presi´on    (2.27) p(¯ x)¯ ndσ = ∇pdV = ρ¯ g dV Σ

V

(2.90)

V

donde en la u´ ltima igualdad se ha utilizado la ecuaci´on fundamental de la fluidost´atica (2.27) para expresar el gradiente de presi´on ∇p como el producto ρ¯ g. Para calcular el punto de aplicaci´on de la fuerza de flotaci´on, al que se denomina centro de flotaci´on C, establecemos el equilibrio de momentos para el volumen de fluido desalojado respecto a un punto 0 arbitrario    ¯ M0 = − (¯ x − x¯0 ) ∧ p(¯ x)¯ ndσ + (¯ x − x¯0 ) ∧ ρ¯ g dV Σ V  

¯ 0,F M

¯ = 0 (2.91) ¯ 0,F + (¯ xC − x¯0 ) ∧ W =M ¯ 0,F es el momento total que las fuerzas de presi´on que act´uan sobre el cuerpo ejercen donde M respecto al punto 0 y x¯C denota la posici´on del centro de gravedad del fluido desalojado2 . Usando (2.89) y (2.91), el momento total puede escribirse en la forma ¯ 0,F = −(¯ ¯ = (¯ M xC − x¯0 ) ∧ W xC − x¯0 ) ∧ F¯F

(2.92)

lo que muestra que el punto de aplicaci´on de la fuerza de flotaci´on es precisamente el centro de gravedad del fluido desalojado x¯C . En efecto, tomando x¯0 ≡ x¯C en (2.92) se comprueba que el momento total de las fuerzas de presi´on respecto a este punto es id´enticamente nulo. En el caso particular de un fluido de densidad ρ uniforme, el peso del fluido desalojado se puede expresar como el producto ρV g, lo que nos permite escribir F¯F = ρgV e¯z .

(2.93)

En este caso el centro de flotaci´on C se sit´ua en el centro de volumen del cuerpo (o centroide), que s´olo coincide con el centro de gravedad si el cuerpo tiene densidad uniforme. Si por el contrario el cuerpo tiene densidad variable el centro de flotaci´on no tiene por qu´e coincidir con el centro de gravedad del cuerpo, lo que puede dar lugar a la aparici´on de momentos desequilibrados si el peso del cuerpo y la fuerza de flotaci´on no tienen la misma l´ınea de acci´on (v´eanse, por ejemplo, la figura 2.17 y la discusi´on de la secci´on 2.9.2 sobre estabilidad de cuerpos sumergidos). La Ec. (2.93) se puede generalizar al caso de fluidos estratificados sumando las contribuciones de cada capa de fluido de densidad ρi constante desalojada por el cuerpo  ρi gVi e¯z (2.94) F¯F = i 2

N´otese que la linealidad de los operadores integral y producto vectorial permite escribir el momento de las fuerzas m´asicas en (2.91) como sigue      ¯ (¯ x−x ¯0 ) ∧ ρ¯ gdV = (¯ x−x ¯0 )ρdV ∧ g¯ = (¯ x − x¯0 )dM ∧ g¯ = (¯ xC − x¯0 )M ∧ g¯ = (¯ xC − x ¯0 ) ∧ W V

V

V

  dondeρdV ≡ dM representa un diferencial de masa, x¯C = V x ¯dM /M la posici´on del centro de gravedad, ¯ = M g¯ el peso, todos ellos del fluido desalojado. M = V dM la masa y W

38

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

60

g¯

60 50

50

¯ cuerpo W

40

40

CG

30

30

C

20

20

F¯F

10 0 0

100

10

20

30

40

10

50

60

70

80

90

0 100

Figura 2.16: En un cuerpo flotante en equilibrio la fuerza de flotaci´on F¯F no s´olo equilibra el peso

¯ cuerpo , sino que debe estar aplicada en la misma l´ınea vertical. El volumen de l´ıquido del cuerpo W desplazado corresponde a la regi´on sombreada.

donde Vi representa el volumen desalojado de fluido i. Cada capa desalojada tendr´a su propio centro de volumen y habr´a que sumar los momentos de las distintas fuerzas para encontrar el centro de flotaci´on del cuerpo. Como la densidad de los l´ıquidos es relativamente alta, resulta f´acil identificar sus fuerzas de flotaci´on. Los gases tambi´en ejercen fuerzas an´alogas en los cuerpos sumergidos en ellos, solo que de una magnitud mucho menor. Por ejemplo, los seres humanos tienen una densidad media de 950 kg/m3. El volumen de una persona de 80 kg de peso es, por tanto, de 0,084 m3 . Sin embargo, cuando medimos el peso de una persona estamos despreciando la flotaci´on producida por el aire ambiente. En condiciones normales, la densidad del aire es de 1,2 kg/m3 y, por tanto, la fuerza de flotaci´on es de 1,2 kg/m3 · 0,084 m3  0,1 kg. Si se midiera el peso de una persona en el vac´ıo, en ausencia de fuerza de flotaci´on, el peso aumentar´ıa en 0,1 kg. En el caso de globos y dirigibles, la fuerza de flotaci´on no s´olo no es despreciable, sino que es el factor dominante en el dise˜no. Muchos otros fen´omenos, como la convecci´on natural del calor y las corrientes verticales en los oc´eanos, dependen tambi´en de fuerzas de flotaci´on que, pese a ser muy peque˜nas en valor absoluto, juegan un papel muy importante.

2.8.2 Cuerpos flotantes Los resultados del apartado anterior valen tambi´en para cuerpos parcialmente sumergidos (o flotantes). Los cuerpos flotantes constituyen un caso algo especial, ya que s´olo una fracci´on de su volumen total est´a sumergida, permaneciendo el resto por encima de la superficie libre. En este caso el volumen desalojado no coincide con el volumen del cuerpo, como se ilustra en la figura 2.16, donde el volumen desalojado aparece sombreado, por lo que la Ec. (2.93) se modifica ligeramente y queda F¯F = ρgVdesalojado e¯z . (2.95) N´otese que en (2.95) se ha despreciado la fuerza de flotaci´on debida al aire desplazado, cuya contribuci´on a la fuerza total ser´a peque˜na, aunque deber´ıa incluirse tal y como se indica en la Ec. (2.94) si quisi´eramos ser rigurosos. Como se discutir´a en la secci´on 2.9 la fuerza de flotaci´on no s´olo equilibra el peso, sino que debe estar aplicada en la misma l´ınea vertical, ya que en equilibrio est´atico no puede haber momentos desequilibrados. 39

2.9. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES

2.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes 2.9.1 Equilibrio y estabilidad de traslaci´on Cuerpos sumergidos De acuerdo con el principio de Arqu´ımedes, la fuerza neta que act´ua sobre un cuerpo de volumen V y masa M sumergido en un fluido en reposo de densidad ρ viene dada por  F¯ = ρgV e¯z − ρs V g¯ ez = (ρ − ρs )gV e¯z (2.96) donde ρs = M/V representa la densidad media del cuerpo. En el caso de un cuerpo libre, el cuerpo se mantendr´a en reposo cuando la fuerza de flotaci´on sea exactamente igual al peso, ρs = ρ. En estos casos el cuerpo tendr´a flotabilidad neutra y permanecer´a en el punto en el que se le sumerja. Si por el contrario la fuerza de flotaci´on es mayor que el peso (flotabilidad positiva, ρs < ρ) el objeto subir´a hasta alcanzar la superficie, mientras que si es menor (flotabilidad negativa, ρs > ρ) el objeto se hundir´a, deteni´endose solo al alcanzar el fondo. En mec´anica de fluidos experimental se suelen utilizar peque˜nas part´ıculas con flotabilidad neutra para visualizar los flujos, mientras que en investigaci´on oceanogr´afica se emplean boyas de flotabilidad neutra que se arrojan por el costado del barco y se hunden hasta que encuentra agua de su misma densidad, con lo que la boya se desplaza y sus movimientos permiten seguir las corrientes oce´anicas. Finalmente, un submarino puede adquirir flotabilidad negativa, neutra o positiva al bombear agua hacia dentro o hacia fuera de los tanques de lastre. Cuerpos flotantes En un cuerpo flotante (ρs < ρ) la fuerza de flotaci´on debe equilibrar exactamente el peso del cuerpo  F¯ = ρgVdesalojado e¯z − ρs V g¯ ez = (ρVdesalojado − ρs V )g e¯z = 0 (2.97) lo que conduce a la siguiente igualdad Vdesalojado ρs = α∗, o no haber ninguna si Λ > Λ∗ = 0,385. Para determinar cu´al de las dos soluciones α1 o α2 corresponde al equilibrio real, hay que considerar la estabilidad de sendas posiciones de equilibrio. Esto es, ver qu´e ocurre ante una

50

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS

0.5

α∗ = 54.7◦

sen2 α cos α

0.4

Λ∗ = 0.385

0.3

Λ 0.2

0.1

α1 0

0

10

20

30

α2 40

α(◦ )

50

60

70

80

90

Figura 2.25: Representaci´on de la funci´on sen2 α cos α para valores 0 ≤ α ≤ 90. peque˜na perturbaci´on en α: si el momento resultante tiende a restaurar la posici´on de equilibrio, tenemos que el equilibrio es estable; si, por el contrario, el momento resultante tiende a aumentar la perturbaci´on, el equilibrio es inestable. Comprobamos que el sentido del momento resultante en la expresi´on (2.141) depende del signo de f (α) = Λ − sen2 α cos α. Consideramos ahora las dos soluciones: • Si aumentamos ligeramente el a´ ngulo α1 manteniendo el valor del par´ametro Λ, entonces f (α) se hace negativo y el momento resultante es en sentido antihorario, tendiendo a restablecer la posici´on de equilibrio en α1 . Tambi´en aparece un momento restaurador si disminuimos ligeramente el a´ ngulo α1 . El a´ ngulo α1 corresponde, por tanto, a una posici´on de equilibrio estable. • Si aumentamos ligeramente el a´ ngulo α2 manteniendo el valor del par´ametro Λ, entonces f (α) se hace positivo y el momento resultante es en sentido horario, tendiendo a alejar el sistema de la posici´on de equilibrio en α2 . Tambi´en aparece un momento desequilibrante si disminuimos ligeramente el a´ ngulo α2 . El a´ ngulo α2 corresponde, por tanto, a una posici´on de equilibrio inestable.   Debemos notar que existe un valor m´ınimo del a´ ngulo αmin = arcsen H para que la L compuerta no quede totalmente sumergida. Luego tambi´en existe un valor Λmin para que exista una posici´on de equilibrio estable.

2.10.5 tronco El tronco cil´ındrico de la figura 2.26, de di´ametro D y longitud b, reposa sobre el suelo separando dos l´ıquidos de densidades ρ1 y ρ2 respectivamente. El nivel del l´ıquido 1, a la izquierda del tronco, es h1 = D, mientras que el nivel del l´ıquido 2, a la derecha del tronco, es h2 = D/2. Se pide determinar la fuerza neta de los fluidos y la atm´osfera sobre el tronco.

51

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS aire, pa

g¯ z x

D

h1

h2

liq, ρ1

liq, ρ2

O Figura 2.26: Cilindro separando dos capas de l´ıquido.

Distribuci´on de presiones. La distribuci´on de presiones en cada l´ıquido se obtiene aplicando que p(z) + ρgz = cte y que la presi´on en la superficie libre es pa . As´ı, p1 (z) = pa + ρ1 g(D − z) D p2 (z) = pa + ρ2 g( − z) 2

en el l´ıquido 1, en el l´ıquido 2,

(2.143) (2.144)

C´alculo de la fuerza. Escribimos a continuaci´on la expresi´on para la fuerza neta F¯cilindro sobre el cilindro. Con referencia a la figura 2.27, descomponemos la superficie del cilindro en tres superficies, seg´un el fluido con el que est´a en contacto,    ¯ Fcilindro = − p(z)¯ n dσ − p(z)¯ n dσ − pa n ¯ dσ (2.145) Σ1

Σ2

Σa

aire, pa Σa Σ1 Σ2

liq, ρ1

liq, ρ2

Figura 2.27: Superficie para el c´alculo de la fuerza sobre el cilindro. El vector n ¯ se define dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza. La expresi´on (2.145) puede escribirse de manera equivalente utilizando presiones manom´etri cas, puesto que podemos restar − Σ1 +Σ2 +Σa pa n ¯ dσ(= 0) sin alterar el resultado.   ¯ Fcilindro = − (p − pa )¯ n dσ − (p − pa )¯ n dσ (2.146) Σ1 Σ2    

F¯1

F¯2

Descomponemos as´ı la fuerza sobre el cilindro F¯cilindro en dos contribuciones F¯1 y F¯2 que calcularemos por separado aplicando la estrategia explicada en la secci´on 1.7.2. Para ello consideramos los dos vol´umenes fluidos de la figura 2.28. 52

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS aire, pa

F¯H1

Σ1 F¯H2

Σ2

liq, ρ1 ¯1 W F¯V1

liq, ρ2

¯2 W

F¯V2

Figura 2.28: Vol´umenes de fluido definidos para el c´alculo indirecto de las fuerzas F¯1 y F¯2 .

Aplicando la condici´on de equilibrio de fuerzas sobre el volumen V1 podemos obtener la fuerza F¯1 : ¯1 (2.147) F¯1 = −F¯cilindro→Σ1 = F¯H1 + F¯V1 + W donde la fuerzas F¯H1 y F¯V1 deben evaluarse con la presi´on manom´etrica del fluido 1. La fuerza F¯H1 corresponde a la fuerza (horizontal) que la presi´on manom´etrica del fluido 1 ejerce sobre la superficie vertical del volumen V1 . Calculamos su magnitud como la presi´on manom´etrica evaluada en el centro de la superficie por el a´ rea de la misma. La fuerza es normal a la superficie y act´ua en compresi´on, hacia la derecha: D F¯H1 = ρ1 g  Db e¯x

2 A

(2.148)

pCG

La fuerza F¯V1 corresponde a la fuerza (vertical) que la presi´on manom´etrica del fluido 1 ejerce sobre las superficies horizontales del volumen V1 . En la superficie horizontal superior, coindicente con la superficie libre del fluido 1, la presi´on manom´etrica es nula. Calculamos la fuerza sobre la superficial horizontal inferior, coincidente con el fondo: Db F¯V1 = ρ1 gD e¯z

   2 pCG

(2.149)

A

El peso del volumen V1 de fluido 1 es:  2   2 D πD π  D2b ¯ 1 = −ρ1 gV1 e¯z = −ρ1 g − e¯z W b e¯z = −ρ1 g 1 − 2 8 4 2

(2.150)

As´ı, la fuerza F¯1 queda:  D2b D2b π  D2b D2b  π  e¯x + ρ1 g e¯z − ρ1 g 1 − e¯z = ρ1 g F¯1 = ρ1 g e¯x + e¯z 2 2 4 2 2 4

(2.151)

La fuerza F¯1 tiene una componente horizontal positiva, hacia la derecha, y una componente vertical positiva, hacia arriba, que pod´ıamos haber calculado como la fuerza de flotaci´on, con el peso del volumen de l´ıquido 1 desplazado (volumen correspondiente al de medio cilindro). 53

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS Para calcular la fuerza F¯2 procedemos de igual manera con el volumen de fluido V2 . Aplicando la condici´on de equilibrio de fuerzas sobre el volumen V2 de la figura 2.28, ¯2 F¯2 = −F¯cilindro→Σ2 = F¯H2 + F¯V2 + W

(2.152)

donde la fuerzas F¯H2 y F¯V2 deben evaluarse con la presi´on manom´etrica del fluido 2. La fuerza F¯H2 corresponde a la fuerza (horizontal) que la presi´on manom´etrica del fluido 2 ejerce sobre la superficie vertical del volumen V2 . Calculamos su magnitud como la presi´on manom´etrica evaluada en el centro de la superficie por el a´ rea de la misma. La fuerza es normal a la superficie y act´ua en compresi´on, hacia la izquierda: D Db F¯H2 = − ρ2 g e¯x 2

4  pCG

(2.153)

A

La fuerza F¯V2 corresponde a la fuerza (vertical) que la presi´on manom´etrica del fluido 2 ejerce sobre la superficie horizontal del volumen V2 . Calculamos la fuerza sobre la superficial horizontal inferior, coincidente con el fondo: D Db F¯V2 = ρ2 g e¯z 2

2  pCG

(2.154)

A

El peso del volumen V2 de fluido 2 es:  2   2 D πD π  D2b ¯ − e¯z W2 = −ρ2 gV2 e¯z = −ρ2 g b e¯z = −ρ2 g 1 − 4 16 4 4

(2.155)

As´ı, la fuerza F¯2 queda:  D2b D2b π  D2b D2b  π  e¯x + ρ2 g e¯z − ρ2 g 1 − e¯z = ρ2 g F¯2 = −ρ2 g −¯ ex + e¯z 8 4 4 4 8 4

(2.156)

La fuerza F¯2 tiene una componente horizontal negativa, hacia la izquierda, y una componente vertical positiva, hacia arriba, que pod´ıamos haber calculado como la fuerza de flotaci´on, con el peso del volumen de l´ıquido 2 desplazado (volumen correspondiente al de un cuarto del cilindro). Finalmente, calculamos la fuerza F¯cilindro sumando las dos contribuciones calculadas: F¯cilindro = F¯1 + F¯2 D2b  π  D2b  π  e¯x + e¯z + ρ2 g −¯ ex + e¯z = ρ1 g 2 4 8 4     2 2 D b πD b ρ2 ρ2 g e¯x + ρ1 + g e¯z = ρ1 − 4 2 2 8

(2.157)

La componente x de la fuerza es positiva o negativa en funci´on de los valores relativos de las densidades ρ1 y ρ2 , mientras que la componente z de la fuerza es siempre positiva, actuando hacia arriba. Si el fluido 1 y el fluido 2 fueran el mismo, ρ1 = ρ2 = ρ, entonces,  3 π  2 ¯ Fcilindro = ρgD b e¯x + e¯z (2.158) 8 2 54

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS

2.10.6 cubo-flotacion Un bloque c´ubico de un material de densidad ρcubo flota en un l´ıquido 1 de densidad ρ1 . Se pide determinar la posici´on de equilibrio del bloque calculando la fracci´on ϕ de su volumen que queda sumergida. Si a continuaci´on, sobre el l´ıquido 1 se vierte un l´ıquido 2 de densidad ρ2 (< ρcubo ), ¿cu´al ser´a la nueva posici´on de equilibrio del bloque ϕ ? aire, pa aire, pa

liq, ρ2

ρcubo

ρcubo liq, ρ1

liq, ρ1

(a)

(b)

Figura 2.29: Bloque flotando (a) entre el l´ıquido 1 y el aire y (b) entre los l´ıquidos 1 y 2. La densidad del bloque tiene un valor intermedio a la de los dos l´ıquidos: ρ2 < ρcubo < ρ1 . La condici´on de equilibrio sobre el bloque impone que la fuerza de flotaci´on (o empuje) equilibra el peso del bloque. Calculamos en cada caso el empuje como el peso del volumen de fluido desplazado. En la situaci´on de la figura 2.29a, podemos despreciar el peso de aire desplazado. Si el volumen del bloque es V , el equilibrio de fuerzas verticales sobre el bloque es: − ρcubo gV + ρ1 gϕV = 0 (2.159) de donde, ϕ=

ρcubo ρ1

(2.160)

En la situaci´on de la figura 2.29b, calculamos el empuje como el peso de l´ıquido 1 desplazado m´as el peso del l´ıquido 2 desplazado. El equilibrio de fuerzas verticales sobre el bloque es: − ρcubo gV + ρ1 gϕV + ρ2 g(1 − ϕ )V = 0 (2.161) de donde, ϕ =

ρcubo − ρ2 ρ1 − ρ2

Teniendo en cuenta que ρ2 < ρcubo < ρ1 , se puede comprobar que ϕ < ϕ.

55

(2.162)

Cap´ıtulo 3 Cinem´atica 3.1 Introducci´on 3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana Para describir el campo de velocidades en un fluido, es posible adoptar dos puntos de vista diferentes, que corresponden a las descripciones Euleriana y Lagrangiana. En la primera, se describe el campo de velocidades, v¯(¯ x, t), en funci´on de la posici´on x¯ y del tiempo t. En otras palabras, es como si en cada instante se diera la distribuci´on espacial de la velocidad (y de todas las dem´as variables fluidomec´anicas de inter´es) en todo el interior del campo fluido. Este punto de vista es an´alogo al que se utiliza, por ejemplo, en la descripci´on de los campos electromagn´eticos. Una forma alternativa de especificar la velocidad, que corresponde a la descripci´on Lagrangiana, consiste en estudiar el movimiento de cada una de las part´ıculas fluidas, cuya trayectoria x¯ = x¯T (¯ x0 , t)

(3.1)

es funci´on de la posici´on que ocupa en el instante inicial, x¯0 , y del tiempo. La velocidad y la aceleraci´on en esta descripci´on se obtienen por derivaci´on de las trayectorias de las part´ıculas fluidas de acuerdo a v¯ = ∂ x¯T /∂t y a ¯ = ∂ 2 x¯T /∂t2 . Esta aproximaci´on, que resulta apropiada en mec´anica para el estudio de la din´amica del punto, da lugar en mec´anica de fluidos a una formulaci´on compleja de las leyes de conservaci´on. Por lo tanto, aun cuando la descripci´on Lagrangiana puede resultar u´ til en el an´alisis de algunos problemas particulares, en lo que sigue utilizaremos la descripci´on Euleriana, que resulta m´as acorde con el estudio de los medios continuos.

3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso Decimos que un movimiento fluido es uniforme cuando no existen variaciones espaciales de las variables fluidas. As´ı, un campo de velocidad es uniforme si v¯ = v¯(t). De manera similar, decimos que un movimiento fluido es estacionario cuando no existen variaciones temporales de las variables fluidas. Diremos, por ejemplo, que el campo de velocidad es estacionario si v¯ = v¯(¯ x). En ocasiones, la estacionariedad de un movimiento depende del sistema de referencia 56

3.3. TRAYECTORIAS Y SENDAS que se considere. Por ejemplo, para estudiar el flujo alrededor de un cuerpo en movimiento, que es claramente no estacionario en ejes fijos al laboratorio, conviene adoptar un sistema de referencia viajando con el cuerpo, en el que el problema resulta ser estacionario. Un punto de remanso se define como un punto en que la velocidad es nula. Por lo tanto, dado el campo de velocidades v¯ = v¯(¯ x, t), los puntos de remanso han de satisfacer la ecuaci´on v¯(¯ x, t) = 0.

(3.2)

Claramente, los puntos de remanso dependen del sistema de referencia elegido.

3.3 Trayectorias y sendas En su movimiento, una part´ıcula fluida inicialmente situada en x¯ = x¯0 va variando su posici´on, que resulta ser por tanto funci´on del tiempo, tal y como se expresa en la Ec. 3.1. Conocido el campo de velocidades v¯(¯ x, t), esta ley de movimiento de la part´ıcula fluida, o trayectoria, se obtiene por integraci´on de d¯ x = v¯(¯ x, t) dt

(3.3)

con condiciones iniciales x¯ = x¯0 en t = t0 . Si desarrollamos esta ecuaci´on vectorial obtenemos las tres ecuaciones dy dz dx = u(¯ x, t), = v(¯ x, t), = w(¯ x, t) (3.4) dt dt dt que deben integrarse con condiciones iniciales x = x0 , y = y0 y z = z0 . La soluci´on del problema ser´ıa de la forma dada en la Ec. 3.1, que para el caso de coordenadas cartesianas rectangulares queda x = xT (x0 , y0 , z0 , t) y = yT (x0 , y0 , z0 , t) z = zT (x0 , y0 , z0 , t)

(3.5)

La trayectoria contiene la informaci´on referente al camino o senda que recorre cada part´ıcula fluida, as´ı como la rapidez con la que lo recorre. Las ecuaciones que describen la senda se pueden obtener a partir de la Ec. 3.1 sin m´as que eliminar el tiempo.

´ 3.4 L´ıneas, superficies y volumenes fluidos Siempre y cuando el campo de velocidad sea continuo, las part´ıculas fluidas que se encuentran en el instante inicial a lo largo de una l´ınea seguir´an formando una l´ınea en su movimiento posterior. La ecuaci´on para la evoluci´on de esta l´ınea fluida se obtiene particularizando la ecuaci´on para las trayectorias dada en Ec. 3.1 a aquellas part´ıculas fluidas que se encuentran en t = t0 a lo largo de la l´ınea inicial. An´alogamente, las part´ıculas fluidas que se encuentran inicialmente en una superficie contin´uan en su movimiento formando una superficie (superficie fluida) . Si la superficie fluida est´a inicialmente cerrada, se mantendr´a cerrada en su evoluci´on posterior. Al fluido limitado por dicha superficie fluida cerrada se le denomina volumen fluido, un concepto que nos ser´a u´ til en la aplicaci´on de los principios de conservaci´on que gobiernan el movimiento fluido. 57

´ 3.5. LINEAS, SUPERFICIES Y TUBOS DE CORRIENTE

3.5 L´ıneas, superficies y tubos de corriente Para un instante dado, se denominan l´ıneas de corriente a aquellas l´ıneas que son tangentes en cada uno de sus puntos al vector velocidad local. La condici´on de tangencia nos permite escribir las ecuaciones que determinan dichas l´ıneas de corriente dx dy dz = = u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)

(3.6)

Al elegir las dos constantes asociadas a la integraci´on de las dos ecuaciones diferenciales anteriores estamos identificando una l´ınea de corriente de entre la doble infinitud que existe para un instante determinado. Por ejemplo, uno podr´ıa en un problema dado identificar una l´ınea de corriente dando la posici´on (x0 , y0 ) del punto donde corta al plano horizontal. Notese que de la definici´on de l´ınea de corriente se desprende que sus puntos de intersecci´on son necesariamente puntos de remanso (que pasar´ıa si dos l´ıneas de corriente se cortaran en un punto de velocidad no nula?). Es importante recalcar que mientras las trayectorias contienen informaci´on de la evoluci´on temporal del flujo, las l´ıneas de corriente son representaciones instant´aneas del flujo: al calcular la trayectoria determinamos la evoluci´on temporal de la posici´on de una part´ıcula fluida, mientras que las l´ıneas de corriente se definen para un instante determinado, y son en principio diferentes al considerar dos instantes distintos. En relaci´on con las l´ıneas de corriente, existen otros dos conceptos que conviene definir. A la superficie formada por todas las l´ıneas de corriente que se apoyan en una l´ınea arbitraria se le denomina superficie de corriente. Si la l´ınea elegida es cerrada, la superficie formada ser´a un tubo de corriente.

3.6 L´ıneas de traza Las l´ıneas de traza se definen como las sendas de las part´ıculas fluidas que en el pasado pasaron por un mismo punto. Imaginemos un flujo en el que se inyectan peque˜nas burbujas siempre en el mismo punto y que estas burbujas siguen exactamente la trayectoria de las part´ıculas fluidas y van dejando una marca, una traza, all´ı por donde pasan. Las l´ıneas formadas por estas marcas ser´ıan las l´ıneas de traza. De lo visto anteriormente, queda claro que las l´ıneas de corriente, l´ıneas de traza y las sendas no coinciden en general. Existe, sin embargo, un caso particular en el que si lo hacen. Si el movimiento fluido es estacionario, v¯ = v¯(¯ x), entonces las l´ıneas de corriente, sendas y l´ıneas de traza coinciden. V´ease, por ejemplo, la Fig. 3.1.

58

´ 3.6. LINEAS DE TRAZA

(a)

(b) Figura 3.1: Flujo estacionario alrededor de un perfil aerodin´amico: (a) a bajos a´ ngulos de ataque el flujo es estacionario y las l´ıneas de traza, visualizadas experimentalmente mediante fluido coloreado introducido aguas arriba, coinciden con las sendas y las l´ıneas de corriente; (b) a altos a´ ngulos de ataque la corriente se desprende y el flujo se hace no estacionario (especialmente en la estela), en estas condiciones las l´ıneas de corriente y las sendas no coinciden con las l´ıneas de traza.

59

Cap´ıtulo 4 Leyes de Conservaci´on en el Movimiento de los Fluidos 4.1 Introducci´on Las ecuaciones de conservaci´on de la mec´anica de fluidos se deducen al aplicar los principios de conservaci´on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a vol´umenes fluidos. Para el an´alisis de problemas fluidos, conviene aplicar estas leyes de conservacin a vol´umenes de control, lo que haremos mediante la aplicaci´on del teorema de transporte de Reynolds. Para posibilitar el desarrollo, veremos primero c´omo se escriben las leyes de la mec´anica en un volumen fluido, pasando seguidamente a estudiar el concepto de flujo convectivo, as´ı como la derivaci´on temporal de integrales extendidas a vol´umenes fluidos y a vol´umenes de control. Deduciremos el teorema de transporte de Reynolds y lo aplicaremos en el marco de los principios de conservaci´on para deducir las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicadas a vol´umenes de control.

´ 4.2 Leyes de la mec´anica aplicadas a volumenes fluidos Las leyes de la mec´anica se obtienen al aplicar los principios de conservaci´on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un sistema cerrado, esto es, a un sistema que contiene siempre la misma materia. La elecci´on de un sistema cerrado, que es trivial en mec´anica de s´olidos, es un poco m´as delicada en un fluido en movimiento. Debe ser un volumen que contenga siempre las mismas part´ıculas fluidas, y las siga en su movimiento, esto es, un volumen fluido. Supongamos un volumen fluido Vf (t), conteniendo un fluido de densidad ρ = ρ(¯ x, t), mox, t)/2, vi´endose con velocidad v¯ = v¯(¯ x, t) y con energ´ıa por unidad de masa e(¯ x, t) + v 2 (¯ 2 donde v = v¯ · v¯. N´otese que tanto la posici´on como la forma y el tama˜no del volumen fluido pueden ser variables en el tiempo, de ah´ı que hayamos escrito Vf (t). Aplicados a este sistema, los principios de conservaci´on de la mec´anica toman la forma que se indica a continuaci´on.

60

´ ´ 4.2. LEYES DE LA MECANICA APLICADAS A VOLUMENES FLUIDOS

4.2.1 El principio de conservaci´on de la masa La masa de un sistema cerrado se debe conservar. Dado que la masa total contenida en un volumen fluido se obtiene integrando la densidad ρ a todo el volumen como  ρdV, (4.1) M= Vf (t)

el principio de conservaci´on de la masa en un volumen fluido se escribe en la forma   d dM = ρdV = 0. dt dt Vf (t)

(4.2)

4.2.2 La segunda ley de Newton De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variaci´on temporal de la cantidad movimiento de un sistema cerrado es igual a la resultante de las fuerzas exteriores sobre el sistema. Dado que la cantidad de movimiento en un volumen fluido se obtiene a partir de  la cantidad de movimiento de un elemento fluido ρ¯ v dV integrada a todo el volumen fluido, Vf (t) ρ¯ v dV , el principio de conservaci´on de la cantidad de movimiento en un volumen fluido se escribe    d F¯ext . ρ¯ v dV = (4.3) dt Vf (t) Una forma alternativa de la segunda ley de Newton se expresa en funci´on del momento cin´etico: la variaci´on temporal del momento cin´etico respecto a un punto de un sistema cerrado es igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto. En un volumen fluido,    d ¯ ext , ρ¯ r ∧ v¯dV = M (4.4) dt Vf (t) donde r¯ es la distancia al punto respecto al que se calcula el momento cin´etico. Si en el sistema de referencia elegido ese punto es x¯0 , entonces r¯ = x¯ − x¯0 .

4.2.3 El primer principio de la termodin´amica El primer principio de la termodin´amica establece que la variaci´on temporal en la energ´ıa total de un sistema cerrado es debida al trabajo de las fuerzas exteriores sobre el sistema y al calor aportado al sistema desde el exterior. Como la energ´ıa contenida en un volumen  fluido se obtiene integrando la energ´ıa de los distintos elementos fluidos que lo componen, Vf ρ(e + v 2 /2)dV , el primer principio de la termodin´amica en un volumen fluido se escribe   d ˙ ext + Q˙ ρ(e + v 2 /2)dV = W (4.5) dt Vf (t) ˙ ext = donde Q˙ representa el calor aportado al sistema por unidad de tiempo Q˙ = dQ/dt y W dW ext /dt el trabajo realizado por las fuerzas exteriores por unidad de tiempo, o potencia aportada por las fuerzas exteriores. 61

´ ´ 4.3. VOLUMENES FLUIDOS Y VOLUMENES DE CONTROL

´ ´ 4.3 Volumenes fluidos y volumenes de control Como hemos visto, las leyes de la mec´anica aplicadas a vol´umenes fluidos se obtienen directamente al aplicar los principios de conservaci´on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un volumen fluido. Pero elegir, describir y controlar un volumen fluido, que contenga siempre las mismas part´ıculas fluidas y por tanto las siga en su movimiento puede resultar muy complicado (recordemos que el seguimiento lagrangiano de las part´ıculas fluidas en su movimiento resultaba complejo). Por otro lado, la informaci´on que precisa un ingeniero a la hora de dise˜nar un sistema fluido no es tanto la informaci´on lagrangiana, que indicar´ıa c´omo se mueve un volumen fluido, qu´e fuerzas act´uan sobre e´ l, y qu´e cambios de energ´ıa conlleva este movimiento, sino cu´anto fluido pasa por una cierta regi´on del sistema, qu´e fuerza hace sobre las partes s´olidas del sistema y cu´anta energ´ıa proporciona el mecanismo o es precisa para hacerlo funcionar. Por tanto, para estudiar la din´amica de sistemas fluidos, es m´as conveniente transformar las leyes obtenidas sobre vol´umenes fluidos en leyes que se puedan aplicar a un volumen cualquiera, fijo o m´ovil a nuestra conveniencia, que contenga las partes del sistema sobre las que nos interesa obtener informaci´on. Este tipo de volumen se denomina volumen de control. Veremos en las pr´oximas secciones que para escribir las leyes de la mec´anica en un volumen de control tendremos que aplicar una transformaci´on matem´atica entre la variaci´on temporal de integrales extendidas a vol´umenes fluidos y la variaci´on temporal de integrales extendidas a vol´umenes de control. Esta transformaci´on, que se conoce como el teorema del transporte de Reynolds, permite transformar las ecuaciones de conservaci´on sobre un volumen fluido de la secci´on 4.2 en ecuaciones escritas para un volumen de control.

4.4 Flujo convectivo El objetivo de este apartado es el de aprender a calcular el flujo convectivo de una magnitud fluida, esto es, la cantidad de magnitud fluida que cruza una superficie en la unidad de tiempo debido al movimiento medio del fluido. En lo que sigue, φ(¯ x, t) representa la cantidad de una cierta magnitud fluida extensiva expresada por unidad de volumen. As´ı, φ = 1 representa el volumen por unidad de volumen, φ = ρ representa la masa por unidad de volumen, φ = ρ¯ v es 2 la cantidad de movimiento por unidad de volumen y φ = ρ(e+v /2) es la energ´ıa por unidad de volumen. Estas magnitudes intensivas se pueden utilizar para evaluar la cantidad de magnitud fluida total que existe en el interior de un cierto volumen. Por ejemplo, la cantidad  de cantidad de movimiento contenida en un cierto instante en el interior de V viene dada por V ρ¯ v dV . Consideramos la superficie fija Σo de la figura adjunta. El fluido al desplazarse cruza la superficie anterior, transportando en su movimiento masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. El volumen de fluido que cruza en el tiempo dt a trav´es del elemento diferencial de superficie dσ y orientaci´on n ¯ , es el que est´a contenido en el paralelep´ıpedo de a´ rea dσ y arista v¯dt de la figura. La cantidad de magnitud fluida que cruza dicho elemento de superficie puede calcularse a partir del volumen del paralelep´ıpedo v¯ · n ¯ dσdt para dar φ¯ v·n ¯ dσdt, por lo que el flujo convectivo total (magnitud fluida que cruza Σo en la unidad de tiempo) vendr´ıa dado por  φ¯ v·n ¯ dσ. (4.6) Σo

A los vectores v¯, ρ¯ v y ρ(e + v 2 /2)¯ v se les denomina vector flujo volum´etrico, vector flujo 62

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

v dt

n

Σo

dσ

Figura 4.1: Flujo convectivo.

m´asico y vector flujo de energ´ıa. Sus proyecciones en una direcci´on dada del espacio n ¯ determinan, respectivamente, la cantidad de volumen, masa y energ´ıa que cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el plano perpendicular a n ¯ . De manera an´aloga, ρ¯ v v¯ es el llamado tensor flujo de cantidad de movimiento, y el vector ρ¯ v v¯ · n ¯ es la cantidad de cantidad de movimiento que cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el plano perpendicular a n ¯. Si la superficie Σo es cerrada (y φ¯ v es continuo), entonces podemos hacer aplicaci´on del teorema de Gauss para reescribir el flujo convectivo en la forma   φ¯ v·n ¯ dσ = ∇ · (φ¯ v)dV, (4.7) Σo

Vo

donde Vo es el volumen encerrado por la superficie Σo . Haciendo aplicaci´on de la ecuaci´on anterior a un volumen infinitesimal, podemos concluir que, por ejemplo, ∇ · (ρ¯ v ) representa la cantidad de masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo debido al movimiento del fluido a trav´es de sus paredes. De la misma manera, ∇ · v¯ es la cantidad de volumen que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo. Para finalizar, cabe a˜nadir que, para extender la noci´on de flujo convectivo a una superficie movil Σc (t) cuyos puntos x¯c se desplazan con velocidad v¯c (¯ xc , t), basta rehacer el razonamiento basado en la figura 4.1, reemplazando, claro est´a, la velocidad del fluido v¯ por la velocidad relativa a la superficie v¯ − v¯c . La ecuaci´on (4.6) se ver´ıa por tanto modificada para dar  φ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ. (4.8) Σc (t)

4.5 Teorema del transporte de Reynolds Estudiamos ahora la variaci´on con el tiempo   d φ(¯ x, t) dV dt Vf (t)

(4.9)

de la cantidad de una cierta magnitud fluida contenida en un volumen fluido Vf (t) que est´a limitado por la superficie Σf (t). Podemos adelantar que va a aparecer una contribuci´on asociada 63

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

v dt Σ(t) dσ

Σ(t + dt) Figura 4.2: Evoluci´on infinitesimal de un volumen fluido.

a la no-estacionariedad del campo fluido, φ(¯ x, t), as´ı como una contribuci´on asociada al desplazamiento del volumen fluido, Vf (t). Para verlo, estudiamos la evoluci´on entre los instantes t y t + dt del volumen fluido que se esquematiza en la figura 4.2. La derivada temporal (4.9) se puede escribir en la forma     φ(¯ x , t + dt)dV − φ(¯ x, t)dV d V (t+dt) Vf (t) φ(¯ x, t) dV = l´ım f . (4.10) dt→0 dt Vf (t) dt El l´ımite de la ecuaci´on (4.10) se puede descomponer en las dos contribuciones siguientes.   [φ(¯ x, t + dt) − φ(¯ x, t)] dV φ(¯ x, t + dt)dV Vf (t) V (t+dt)−Vf (t) + l´ım f . (4.11) l´ım dt→0 dt→0 dt dt Para evaluar la primera de ellas hacemos uso del desarrollo φ(¯ x, t + dt) − φ(¯ x, t) = (∂φ/∂t)dt, con lo que obtenemos   [φ(¯ x, t + dt) − φ(¯ x, t)] dV ∂φ(¯ x, t) Vf (t) = dV. (4.12) l´ım dt→0 dt ∂t Vf (t) Por otra parte, la segunda integral no es m´as que la integral de φ(¯ x, t) extendida a la diferencia de regiones ocupadas por Vf (t+ dt) y Vf (t), la cual puede evaluarse a partir del flujo convectivo que ha atravesado la superficie Σf (t) en el intervalo de tiempo dt, de forma que   φ(¯ x, t + dt)dV φ¯ v·n ¯ dσdt  Vf (t+dt)−Vf (t) Σf (t) φ¯ v·n ¯ dσ. (4.13) l´ım = l´ım = dt→0 dt→0 dt dt Σf (t) Finalmente, podemos escribir     ∂φ(¯ x, t) d dV + φ(¯ x, t) dV = φ(¯ x, t) v¯(¯ x, t) · n ¯ dσ. dt Vf (t) ∂t Vf (t) Σf (t)

(4.14)

Los dos t´erminos de (4.14) reflejan, tal y como anteriormente mencionamos, que la cantidad de magnitud fluida que hay contenida en un volumen fluido var´ıa debido a la no estacionariedad del campo fluido y tambi´en debido al movimiento del volumen fluido. 64

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS La resoluci´on de un problema fluido determinado involucra en general el estudio del fluido contenido en una cierta regi´on del espacio, que puede ser fija o variar con el tiempo dependiendo del problema. A dicha regi´on del espacio Vc (t) la denominamos en lo que sigue volumen de control, que estar´a en general limitado por una superficie Σc (t) cuyos puntos se mueven con xc , t). Puesto que los principios de conservaci´on de la mec´anica de fluidos se aplivelocidad v¯c (¯ can a vol´umenes fluidos, conviene relacionar la variaci´on temporal de la cantidad de magnitud fluida que hay contenida en un volumen de control, con la variaci´on temporal que tiene lugar en un volumen fluido que ocupa en el instante considerado el mismo lugar en el espacio. Por ejemplo, si el problema que estudiamos fuera la descarga de un dep´osito de gas a trav´es de una boquilla, el volumen de control considerado corresponder´ıa a un volumen de control fijo que coincidiera con el interior del dep´osito, de forma que la superficie Σc que lo limitara coincidir´ıa con la superficie interna del dep´osito e incluir´ıa la superficie trasversal al orificio de salida de la boquilla. Puesto que el volumen de control es fijo, el volumen fluido Vf (t) que coincide con el volumen de control en un instante t dado deja de hacerlo en instantes posteriores, de forma que Vf (t + dt) = Vc , tal y como se indica en la figura adjunta. n

n

n

n

n n

n

n

Vc =Vf (t)

Vf (t+ dt)

Figura 4.3: Volumen de control utilizado para el estudio de la descarga de un dep´osito. Para el an´alisis resulta necesario describir inicialmente las derivadas temporales extendidas a un volumen de control cuya superficie exterior Σc se desplaza con velocidad v¯c (¯ x, t). El mismo razonamiento que nos ha llevado a deducir (4.14) nos permite escribir en este caso     d ∂φ(¯ x, t) dV + φ(¯ x, t) dV = φ(¯ x, t) v¯c (¯ x, t) · n ¯ dσ. (4.15) dt Vc (t) ∂t Vc (t) Σc (t) Teniendo en cuenta que hemos elegido que el volumen de control Vc (t) y su superficie l´ımite Σc (t) coincidan en el instante considerado con Vf (t) y Σf (t), los dominios de integraci´on de las integrales que aparecen en (4.14) y (4.15) coinciden, con lo que al sustraer dichas ecuaciones obtenemos la expresi´on del teorema de transporte de Reynolds      d d φ(¯ x, t) dV = φ(¯ x, t) dV + φ(¯ x, t) (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ. (4.16) dt Vf (t) dt Vc (t) Σc (t) Esta ecuaci´on, que nos ser´a u´ til en la deducci´on de las ecuaciones de conservaci´on, indica que la variaci´on temporal de una magnitud fluida (masa, cantidad de movimiento, energ´ıa, etc) ligada 65

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS a un volumen fluido es igual a la suma de la variaci´on temporal en un volumen de control que coincide en el instante considerado con el volumen fluido m´as el flujo convectivo a trav´es de la superficie l´ımite de dicho volumen de control (ver Ec. (4.8)).

66

Cap´ıtulo 5 Ecuaci´on de la continuidad 5.1 Ecuaci´on de conservaci´on de la masa La masa contenida en un volumen fluido no var´ıa con el tiempo, como indica la ecuaci´on de conservaci´on de la masa (Ecuaci´on (4.2)). Sustituyendo esta ecuaci´on en (4.16) expresamos su equivalente para un volumen de control      d d ρdV = ρdV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. (5.1) dt Vf (t) dt Vc (t) Σc (t) La lectura de la ecuaci´on anterior refleja lo que es obvio desde un punto de vista f´ısico, esto es, el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de masa que hay contenida en un volumen de control es iguala la cantidad de masa que entra por unidad de tiempo a trav´es de la pared de v − v¯c ) · n ¯ dσ. dicho volumen − Σc (t) ρ(¯ El balance m´asico anterior admite formas simplificadas cuando el volumen de control elegido es fijo en el espacio   ∂ρ dV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0, (5.2) Vo ∂t Σo y tambi´en cuando el fluido es incompresible  v¯ · n ¯ dσ = 0.

(5.3)

Σc (t)

5.2 Gasto m´asico y caudal Definimos el flujo m´asico o gasto m´asico GΣ a trav´es de una superficie Σ como el valor absoluto del flujo convectivo de masa a trav´es de ella  (5.4) v − v¯c ) · n ¯ dσ GΣ = ρ(¯ Σ

y el caudal o flujo volum´etrico QΣ como el valor absoluto del flujo de volumen a trav´es de la superficie  QΣ = (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ . (5.5) Σ

67

´ UNIDIMENSIONAL A LOS TERMINOS ´ 5.3. APROXIMACION DE FLUJO

5.3 Aproximaci´on unidimensional a los t´erminos de flujo En muchos casos se pueden considerar la densidad y la velocidad en las entradas y salidas de un volumen de control como uniformes; se dice entonces que las entradas y salidas son unidimensionales. En estos casos el flujo de masa a trav´es de una superficie de entrada de a´ rea Ae , perpendicular a la direcci´on del movimiento donde la velocidad es v¯e , la densidad ρe (y que suponemos para simplificar que est´a fija respecto a nuestro sistema de referencia: v¯c = 0) es   ρ¯ ve · n ¯ dσ = ρe (−ve ) dσ = −ρe ve Ae (5.6) Σe

Σe

¯ = −ve puesto que la normal n ¯ est´a dirigida hacia fuera de la superficie de entrada donde v¯e · n y la velocidad tiene el sentido opuesto, hacia dentro. El flujo de masa a trav´es de una superficie de salida de a´ rea As perpendicular al movimiento donde la velocidad es v¯s y la densidad ρs (y que de nuevo suponemos fija respecto a nuestro sistema de referencia v¯c = 0):   ρ¯ vs · n ¯ dσ = ρs vs dσ = ρs vs As (5.7) Σs

Σs

donde v¯s · n ¯ = vs puesto que ahora la normal n ¯ y la velocidad tienen el mismo sentido, hacia fuera del volumen de control. Por tanto el gasto m´asico y el caudal en una entrada unidimensional con densidad ρe , velocidad ve , y a´ rea Ae se pueden escribir como: Ge = ρe ve Ae ,

Qe = ve Ae ,

(5.8)

mientras que el gasto m´asico y caudal en una salida unidimensional donde la densidad es ρs , la velocidad es vs y el a´ rea es As son: Gs = ρs vs As ,

Qs = vs As .

(5.9)

5.4 Algunos ejemplos sencillos 5.4.1 Movimiento en una boquilla Como ejemplo de aplicaci´on, analizamos el movimiento de un gas a trav´es de la boquilla de la figura adjunta. Para resolver el problema tenemos que definir un volumen de control, que tiene que ser cerrado y contener exclusivamente fluido en su interior. Para este caso, conviene considerar un volumen de control fijo Vo que coincide con el interior de la boquilla, de forma que su superficie Σc incluye la superficie de entrada Σe , la superficie lateral en contacto con la pared de la boquilla Σl y la superficie de salida aguas abajo Σs . Para dicho volumen de control, la ecuaci´on de continuidad (5.1) se puede escribir en este caso en la forma    d ρdV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (5.10) dt Vo Σe +Σs +Σl Si consideramos que el movimiento es estacionario, entonces la cantidad de masa de gas contenida en la boquilla es constante, por lo que la derivada temporal desaparece. Por otra parte, en la 68

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS ve

Σl n ρe

n

n

vs

r z

Ae

As

Σe n

Σl

ρs

Σs

n

n

Figura 5.1: Flujo en una contracci´on.

superficie de la pared la velocidad del fluido es nula, en virtud de la condici´on de adherencia1 , por lo que la cantidad de masa que abandona el volumen de control por unidad de tiempo a  trav´es de la superficie lateral Σl es id´enticamente nula, esto es, Σl ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. La ecuaci´on de continuidad (5.10) se reducir´ıa por tanto a   ρ¯ v·n ¯ dσ + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (5.11) Σe

Σs

Si suponemos, por otra parte, que la densidad y la velocidad son uniformes en las secciones de entrada y salida a la boquilla (aproximaci´on unidimensional), entonces la ecuaci´on anterior dar´ıa (5.12) Ge = Gs , con Ge = ρe ve Ae and Gs = ρs vs As , esto es, el flujo m´asico que entra al volumen de control es igual al flujo m´asico que sale del volumen de control. Si en lugar de un gas, el fluido que circulara fuera un l´ıquido de densidad ρ, la ecuaci´on anterior se simplificar´ıa para dar Qe = Qs ,

(5.13)

es decir, el flujo vol´umetrico o caudal que entra al volumen de control Qe = ve Ae es igual al flujo volum´etrico o caudal que sale Qs = vs As . N´otese que para el caso del movimiento en conductos y boquillas, la aproximaci´on unidimensional para la velocidad no puede ser estr´ıctamente v´alida, puesto que sabemos que en la pared la velocidad del fluido es nula. En muchas aplicaciones, sin embargo, el perfil de velocidad se mantiene pr´acticamente uniforme en todo el interior del conducto, excepto en una capa delgada situada cerca de la pared, que se denomina capa l´ımite, a trav´es de la cual la velocidad evoluciona desde ese valor uniforme hasta cero. En esos casos, la hip´otesis de flujo unidimensional constituye una buena aproximaci´on y las expresiones (5.8) y (5.9) resultan v´alidas en primera aproximaci´on, en el sentido de que contienen errores peque˜nos, del orden del cociente entre el espesor de la capa l´ımite y el radio del conducto. 1

Si el fluido est´a limitado por una pared s´olida, en la superficie de dicha pared la velocidad del fluido coincide con la velocidad de la pared, v¯ = v¯p . Esta condici´on de contorno, que se denomina condici´on de adherencia, es consecuencia de suponer que la interacci´on del fluido con la pared es similar a la interacci´on entre part´ıculas fluidas pr´oximas. Puesto que el campo de velocidad en el fluido es continuo (no presenta discontinuidades finitas), es razonable pensar que no existe discontinuidad entre la velocidad del s´olido y la del fluido que se encuentra en contacto con e´ l. Existe amplia evidencia experimental que confirma la valided de la condici´on de adherencia.

69

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS

5.4.2 Descarga de un dep´osito de gas

n

Σp

Σs

n

n

As Vd n Figura 5.2: Descarga de un dep´osito de gas. Retomamos ahora el ejemplo de la descarga de un dep´osito de gas de volumen Vd a trav´es de una boquilla cuya a´ rea transversal a la salida es As . Para el volumen de control fijo que se indica en la Fig. 5.2, la ecuaci´on de continuidad se escribe en la forma    d ρdV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0, (5.14) dt Vc Σp +Σs donde Σp y Σs son las superficies del volumen de control que coinciden con la pared del dep´osito y con la salida de la boquilla, respectivamente. Si suponemos que la densidad en el interior del dep´osito ρ = ρd es uniforme (excepto quiz´as en una regi´on peque˜na pr´oxima a la boquilla de salida), la variaci´on con el tiempo de la cantidad de masa se escribir´ıa en la forma   dρd d . (5.15) ρdV = Vd dt Vc dt En virtud de la condici´on de adherencia anteriormente discutida, la velocidad del fluido en contacto con la pared es id´enticamente nula, por lo que Σp ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. Por otra parte, en  v·n ¯ dσ = Gs , que se podr´ıa expresar en la forma Gs = ρs vs As la superficie de salida Σs ρ¯ si suponemos que las propiedades son uniformes a la salida de la boquilla. El principio de conservaci´on aplicado en este caso al volumen de control proporciona Vd

dρd = −Gs , dt

(5.16)

indicando que el ritmo temporal de disminuci´on de la masa de gas contenida en el dep´osito es igual al gasto que sale al ambiente.

70

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS

Ad

n

Σsl h(t)

n

n

Σd Σs As n

Figura 5.3: Descarga de un dep´osito de l´ıquido.

5.4.3 Descarga de un dep´osito de l´ıquido Como ejemplo final de aplicaci´on de la ecuaci´on de continuidad, considere un dep´osito cil´ındrico de l´ıquido de a´ rea transversal Ad y altura inicial ho que descarga al ambiente a trav´es de una boquilla de a´ rea As situada en su base. Para el an´alisis, elegimos en este caso un volumen de control variable, cuya superficie superior coincida en cada instante con la superficie libre del l´ıquido. En dicho volumen de control, la ecuaci´on (5.1) se reduce a    d ρdV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0, (5.17) dt Vc (t) Σsl +Σp +Σs donde Σsl , Σp y Σs corresponden, respectivamente, a la superficie libre, la superficie de la pared y la superficie de salida de la boquilla.  En este caso, la masa total contenida en el volumen de control es aproximadamente igual a Vc (t) ρdV = ρAd h, donde ρ y Ad son constantes, por lo que el primer t´ermino de la Ec. (5.17) se reduce a   dh d (5.18) ρdV = ρAd . dt Vc (t) dt Respecto a la cantidad de masa que abandona el volumen de control, es sencillo ver que  ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0, por ser en la pared v¯ = v¯c = 0. Respecto a la superficie libre Σp Σsl , all´ı la velocidad del fluido y la velocidad de la superficie del volumen de control coinciden (¯ v = v¯c = dh/dt¯ ez , siendo e¯z el vector unitario orientado en sentido contrario a la gravedad), v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. por lo que, de nuevo, no hay flujo de masa a trav´es de ella, esto es, Σsl ρ(¯ Solo aparece por tanto contribuci´on asociada al flujo m´asico a trav´es de la superficie de salida, donde vc = 0, por lo que  ρ¯ v·n ¯ dσ = Gs = ρQs .

(5.19)

Σs

Escribiendo los t´erminos no nulos de la Ec. (5.17) y dividiendo el resultado por la densidad, que es constante, obtenemos finalmente la ecuaci´on diferencial Ad

dh = −Qs dt 71

(5.20)

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS para la evoluci´on de la altura con el tiempo, que deberemos integrar con condici´on inicial h = ho en t = 0 una vez conocido Qs (h). Retomaremos el problema en la secci´on 6.7.2, donde haremos aplicaci´on de la Ecuacin de Bernoulli para el c´alculo de Qs (h).

72

Cap´ıtulo 6 Ecuaci´on de la cantidad de movimiento 6.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie Recordemos que las fuerzas que act´uan en un fluido se pueden clasificar en dos tipos distintos: fuerzas de largo alcance (tambi´en denominadas fuerzas de volumen o fuerzas m´asicas) y fuerzas de corto alcance (tambi´en denominadas fuerzas de superficie). Las primeras, que incluyen en particular la gravedad y las fuerzas de inercia, son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su distancia caracter´ıstica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entre mol´eculas, d), y su radio de acci´on es comparable al tama˜no caracter´ıstico del campo fluido L. Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de su interior. En lo que sigue, denominaremos f¯m (¯ x, t) a la resultante de las fuerzas m´asicas por unidad de masa (por ejemplo, en el caso de la gravedad, f¯m = g¯ = −g¯ ez , donde e¯z es el vector unitario orientado en direcci´on perpendicular a la superficie de la Tierra y g  9,8 m/s2 ). Por tanto, la resultante de la fuerza m´asica que act´ua sobre una part´ıcula fluida de volumen dV y masa ρdV puede expresarse como ρf¯m (¯ x, t)dV.

(6.1)

Por otra parte, las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen molecular directo, decrecen muy r´apidamente con la distancia y son s´olo apreciables a distancias del orden de la separaci´on media entre mol´eculas d. En el caso de un gas, la fuerza que se ejerce a trav´es de la superficie imaginaria de separaci´on entre dos parcelas de fluido vecinas se debe al transporte de cantidad de movimiento asociado a la velocidad de agitaci´on t´ermica. Si el fluido es un l´ıquido, aparecen contribuciones adicionales debidas a la fuerza que se ejerce entre las mol´eculas situadas a uno y otro lado de la superficie. Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su resultante es proporcional a la superficie (y no al volumen) de las part´ıculas fluidas. La fuerza que se ejerce a trav´es de un elemento de superficie de a´ rea dσ y orientaci´on n ¯ que separa dos elementos fluidos puede por tanto escribirse en la forma f¯n (¯ n, x¯, t)dσ,

(6.2)

donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo) f¯n es en general funci´on de la orientaci´on n ¯ , adem´as de la posici´on x¯ y del tiempo t. En la notaci´on que se sigue tradicionalmente, f¯n es el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde est´a dirigido n ¯ sobre el fluido situado en el lado contrario. Por ejemplo, para el caso de la fluidost´atica que consideramos anteriormente, la u´ nica fuerza de superficie que aparece es la asociada a la presi´on p, por lo que en ese caso se tendr´ıa f¯n = −p¯ n. 73

6.2. ESFUERZOS VISCOSOS n dσ

fm

fn Σ f(t)

dV

Vf (t)

Figura 6.1: Fuerzas sobre un volumen fluido.

A la hora de calcular la resultante de fuerzas actuando en un volumen fluido debemos tener en cuenta tanto las fuerzas m´asicas que act´uan en el interior del volumen fluido Vf (t) como las fuerzas de superficie que act´uan a trav´es de la superficie fluida Σf que lo limita exteriormente. Para calcular la resultante de las primeras, sumamos las contribuciones de las fuerzas que actuan sobre cada una de las part´ıculas fluidas para dar  ρf¯m (¯ x, t)dV. (6.3) Vf

Por otra parte, a trav´es de cada elemento de superficie dσ de Σf el fluido situado en el exterior ejerce una fuerza sobre el fluido situado en el interior igual a f¯n dσ, por lo que la suma de las contribuciones de todos los elementos de superficie proporciona como resultante  n, x ¯, t)dσ. (6.4) f¯n (¯ Σf

La resultante total de las fuerzas exteriores que debemos, por tanto, considerar a la hora de aplicar la Segunda Ley de Newton dada en la Ec. (4.3) es    ¯ ¯ f¯n (¯ ρfm (¯ x, t)dV + n, x ¯, t)dσ. (6.5) Fext = Vf

Σf

6.2 Esfuerzos viscosos Tal y como hemos comentado, si el fluido est´a en reposo en un cierto sistema de referencia (caso de la fluidost´atica), las fuerzas de superficie act´uan siempre en la direcci´on normal, y su n, donde p magnitud no depende de la direcci´on, pudiendo en general expresarse como f¯n = −p¯ es la presi´on. Cuando el fluido est´a en movimiento, adem´as de las fuerzas de presi´on, aparecen en general fuerzas de superficie adicionales que se denominan fuerzas de viscosidad, que se expresan con la ayuda de un tensor de esfuerzos viscosos, τ¯, de forma que f¯n = −p¯ n + τ¯ · n ¯,

(6.6)

Se puede demostrar que el tensor τ¯ es sim´etrico, de forma que solo tiene seis componentes distintas ⎡ ⎤ τxx τxy τxz τ¯ = ⎣ τxy τyy τyz ⎦ (6.7) τxz τyz τzz 74

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 6.3. ECUACION La relaci´on entre los esfuerzos viscosos τij y las diferentes variables fluidas puede ser en principio complicada. En el caso de los fluidos incompresibles y newtonianos, que incluyen la mayor´ıa de los l´ıquidos de inter´es ingenieril, se observa experimentalmente que existe una proporcionalidad entre los esfuerzos viscosos τij y las velocidades de deformaci´on, que puede expresarse en la forma   ∂ui ∂uj + . (6.8) τij = μ ∂xj ∂xi Tal y como puede verse, los esfuerzos viscosos son funci´on del campo de velocidades, a trav´es de sus derivadas espaciales. Por tanto, para un movimiento fluido cuyo campo de velocidad sea uniforme, los esfuerzos viscosos resultan ser id´enticamente nulos. En la Ec. (6.8) hace aparici´on una constante de proporcionalidad, μ, que denominamos coeficiente de viscosidad, que mide la resistencia de un fluido a deformarse bajo la aplicaci´on de fuerzas de cortadura. Es una magnitud independiente de la presi´on, que var´ıa sin embargo con la temperatura T . Se observa que la viscosidad de los gases aumenta con T , mientras que la viscosidad de los l´ıquidos disminuye al aumentar T . Tanto en gases como en l´ıquidos, siempre que la temperatura no var´ıe mucho, resulta una aproximaci´on razonable el suponer que la viscosidad permanece constante. Adem´as del coeficiente de viscosidad μ, juega un papel relevante en mec´anica de fluidos el llamado coeficiente de viscosidad cinem´atica (o difusividad viscosa) definido a partir de ν = μ/ρ. Los valores de ν para el aire y el agua a presi´on atmosf´erica son, respectivamente, νaire = 1,48 × 10−5 m2 /s y νagua = 1,14 × 10−6 m2 /s a T = 288 K, y νaire = 2,24 × 10−5 m2 /s y νagua = 0,31 × 10−6 m2 /s a T = 368 K.

6.3 Ecuaci´on de la cantidad de movimiento Una vez descritas las fuerzas de volumen y superficie que act´uan sobre un volumen fluido podemos reescribir la segunda ley de Newton (Ecuaci´on (4.3)) en la forma      d ¯ ρ¯ v dV = − p¯ ndσ + ρf¯m dV, (6.9) τ ·n ¯ dσ + dt Vf (t) Σf (t) Σf (t) Vf (t) donde hemos hecho uso de (6.6) en (6.5) para expresar de forma independiente las contribuciones de las fuerzas de presi´on y de viscosidad. Utilizando el teorema de Reynolds dado en (4.16), podemos reescribir la ecuaci´on anterior para un volumen de control Vc (t) en la forma       d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ ndσ + ρf¯m dV. τ¯ · n ¯ dσ + dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) Vc (t) (6.10) La ecuaci´on anterior expresa matem´aticamente c´omo el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento que hay en el volumen de control es igual a la suma del flujo convectivo de cantidad de movimiento que entra en el volumen de control   a trav´es de sus paredes − Σc (t) ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ, la resultante de las fuerzas de presi´on − Σc (t) p¯ ndσ, la resultante   de las fuerzas de viscosidad Σc (t) τ¯ · n ¯ dσ y la resultante de las fuerzas m´asicas Vc (t) ρf¯m dV . Es conveniente recalcar que se trata de una ecuaci´on vectorial, es decir, que da lugar a tres ecuaciones, una para cada componente de la cantidad de movimiento. La resultante de las fuerzas m´asicas se puede escribir de forma alternativa cuando la densidad es constante y, tal y como ocurre en el caso de la gravedad, la fuerza es conservativa 75

6.4. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS (f¯m = −∇(gz)), por lo que, haciendo uso del teorema de Gauss, podemos escribir    ρf¯m dV = − ∇(ρgz)dV = − ρgzdσ. Vc

Vc

(6.11)

Σc

Por lo tanto, para el estudio del movimiento de l´ıquidos en presencia de la gravedad, la ecuaci´on de la cantidad de movimiento resulta ser      d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − (p + ρgz)¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ, (6.12) dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) que corresponde a escribir (6.10) en funci´on de la presi´on reducida P = p + ρgz.

6.4 Fuerzas y momentos sobre cuerpos sumergidos Una corriente fluida movi´endose alrededor de un cuerpo s´olido ejerce sobre la superficie de e´ ste unas fuerzas de presi´on y de viscosidad cuya resultante se puede expresar a trav´es de ¯ respecto a un cierto punto x¯o . El c´alculo de estas una resultante de fuerzas F¯ y un momento M cantidades, que abordamos en esta secci´on, es fundamental tanto para el estudio del movimiento de cuerpos en el seno de un fluido (coches, submarinos, aviones, cohetes, etc) como para el estudio de las fuerzas del viento o de los r´ıos sobre edificios y estructuras, campo del que se ocupa la denominada Aerodin´amica Civil. 0000000000000000000000 1111111111111111111111

0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 f1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 n 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 n 0000000000000000000000 1111111111111111111111 n 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 x−xo dσ 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111

xo

x

1111111111111111111111 0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111

n

Σ

n

Figura 6.2: Fuerzas sobre un cuerpo sumergido en un fluido. Para el c´alculo, consideramos la superficie mojada del cuerpo, Σ, con la normal n ¯ dirigida desde el cuerpo hacia el fluido, tal y como se indica en la figura adjunta. A trav´es de un elemento dσ de dicha superficie, el fluido que se encuentra en el exterior ejerce una fuerza sobre el cuerpo igual a (−p¯ n + τ¯ · n ¯ )dσ. La resultante F¯ de las fuerzas de presi´on y viscosidad se obtiene al sumar las contribuciones de los distintos elementos de superficie de acuerdo a   F¯ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.13) Σ

Σ

¯ total que el fluido ejerce respecto a un punto De manera similar, para calcular el momento M dado x¯o , consideramos la contribuci´on que realiza la fuerza de presi´on y de viscosidad actuando n + τ¯ · n ¯ )dσ. Al tener en cuenta el momento asociado a trav´es de un elemento dσ, (¯ x − x¯o ) ∧ (−p¯ a los distintos elementos superficiales obtenemos   ¯ x − x¯o ) ∧ p¯ ndσ + (¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ. (6.14) M = − (¯ Σ

Σ

76

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION

6.5 Ejemplos de aplicaci´on 6.5.1 Movimiento de un l´ıquido en una boquilla ve

Σl n pe

n

n

vs

r z

Ae

As

Σe n

Σl

ps

Σs

n

n

Figura 6.3: Flujo en una contracci´on. Consideremos de nuevo el movimiento a trav´es de una boquilla, que estudiamos anteriormente en la secci´on 5.4.1. Por simplicidad, nos centramos en el caso de un l´ıquido, para el que, tal y como vimos, la aplicaci´on de la ecuaci´on de continuidad al volumen de control de la figura 6.3 proporciona ve Ae = vs As . (6.15) Por otra parte, en el volumen de control fijo elegido, el problema resulta ser estacionario, por lo que la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10) se reduce a    ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.16) Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

Por simplificar la presentaci´on, se han ignorado en este caso los efectos de las fuerzas gravitatorias. Procedemos a evaluar los distintos t´erminos de la ecuaci´on anterior. El flujo de cantidad de movimiento es nulo en la superficie lateral Σl , a trav´es de la que no pasa fluido (¯ v·n ¯ = 0) por ser la velocidad all´ı nula. Por otra parte, para evaluar el flujo de cantidad de movimiento en las superficies de entrada y salida, Σe y Σs , supondremos que los perfiles de velocidad son uniformes, con dados Bajo esta hip´otesis,  por ve y vs , respectivamente.  valores de la velocidad 2 2 v (¯ v·n ¯ )dσ = −ρve Ae e¯z y Σs ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = ρvs As e¯z . obtenemos Σe ρ¯ Pasamos ahora a evaluar la resultante de las fuerzas de superficie. Puesto que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y salida de la contracci´on, los esfuerzos viscosos, dados en (6.8), resultan ser id´enticamente nulos, por lo que la resultante de las fuerzas de  superficie actuando en Σe y Σs se debe exclusivamente a la presi´on, con lo que obtenemos − Σe p¯ ndσ =  pe Ae e¯z y − Σs p¯ ndσ = ps As e¯z , donde pe y ps son los valores de la presi´on a la entrada y salida de la contracci´on (que suponemos tambi´en uniformes). No es posible, sin embargo, evaluar directamente la resultante de las fuerzas de superficie en Σl , puesto que desconocemos tanto la distribuci´on de presi´on como la de esfuerzos viscosos en dicha superficie. Con la informaci´on obtenida podemos escribir (6.16) en la forma   2 2 (ρvs As − ρve Ae )¯ ez = (pe Ae − ps As )¯ ez − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ, (6.17) Σl

77

Σl

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION indicando que el flujo de cantidad de movimiento de la vena fluida se modifica debido a la acci´on de las fuerzas de presi´on actuando en las secciones de entrada y salida y a la fuerza de superficie actuando en Σl . Σ ex n

pa

n

n Σi

n n

pa

n Σ ex

n

Figura 6.4: Superficie para el c´alculo de la fuerza sobre la contracci´on. Es interesante hacer aparecer de manera expl´ıcita en el resultado anterior el valor de la fuerza que ejerce el l´ıquido sobre el conducto, F¯l→C . Para el c´alculo de e´ sta, siguiendo el procedimiento indicado anteriormente, consideramos la superficie Σi , que cubre en interior del conducto, para dar   F¯l→C = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ, (6.18) Σi

Σi

donde el vector unitario n ¯ est´a dirigido hacia el exterior del conducto (esto es, hacia el interior del l´ıquido). Comparando ahora el resultado obtenido con las integrales que aparecen a la derecha en la Ec. (6.17), donde el vector n ¯ est´a definido con sentido contrario, obtenemos F¯l→C = (pe + ρve2 )Ae e¯z − (ps + ρvs2 )As e¯z ,

(6.19)

que permite determinar la fuerza que ejerce el l´ıquido sobre la contracci´on a partir de los valores de ve , vs , pe y ps . Cabe mencionar que, para calcular la fuerza total que se ejerce sobre el conducto F¯C , a la fuerza que hace el l´ıquido habr´ıa que a˜nadirle aquella que ejerce el aire situado alrededor. Para calcularla, consideramos ahora la superficie Σex que cubre el exterior del conducto. Si el aire en el exterior est´a en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valor de la fuerza que ejerce el aire sobre el conducto se reduce a la acci´on del campo de presiones (uniforme)  ¯ Fa→C = − pa n ¯ dσ. (6.20) Σex

Para evaluar la integral, conviene descomponer la superficie de integraci´on Σex de acuerdo al esquema de la figura 6.5.

Figura 6.5: Descomposici´on utilizada para el c´alculo de la integral (6.20).

78

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION As´ı, consideramos la superficie cerrada que se genera al a˜nadir a Σex las dos caras situadas en las secciones de entrada y salida. De esa forma, el c´alculo de F¯a→C se puede realizar considerando primero la resultante de pa actuando en la superficie cerrada, y sustrayendo al resultado las integrales extendidas a las dos caras Σe y Σs que hemos a˜nadido. Es f´acil demostrar, por aplicaci´on del teorema de Gauss, que la resultante de un campo de presi´on uniforme actuando sobre una superficie cerrada es id´enticamente nula, por lo que al final se tiene     ¯ Fa→C = − − pa n ¯ dσ − pa n ¯ dσ = pa (As − Ae )¯ ez (6.21) Σe

Σs

Sustituyendo esta expresi´on en la Ec. (6.19) con F¯C = F¯l→C + F¯a→C obtenemos F¯C = [(pe − pa ) + ρve2 ]Ae e¯z − [(ps − pa ) + ρvs2 ]As e¯z .

(6.22)

Tal y como puede verse, para tener en cuenta la presencia de la atm´osfera en el c´alculo de la fuerza sobre el conducto, basta sustituir el valor absoluto de la presi´on en la entrada y la salida de la contracci´on por sus valores manom´etricos (la diferencia de presi´on con respecto al ambiente).

6.5.2 Movimiento de un gas en una codo

n

ve pe ρe

n

A

Σe

y

Σl

x pa Σs vs

n

pa ρs

Figura 6.6: Flujo en un codo. Un gas que circula por un conducto de a´ rea transversal A descarga a la atm´osfera a trav´es de un codo que forma un a´ ngulo recto, tal y como se esquematiza en la figura adjunta. Se considera que aguas arriba del codo las propiedades termodin´amicas y la velocidad son uniformes y conocidas. A la salida, la presi´on del gas coincide con la presi´on ambiente pa , mientras que su densidad, que es uniforme, tiene un valor ρs que difiere del valor ambiente. Para el an´alisis del movimiento estacionario que aparece, haremos uso del volumen de control que se define en la figura, que se extiende a todo el interior del codo, de forma que su superficie incluye la superficie Σe de entrada, transversal al conducto, la superficie Σs de salida y la superficie lateral Σl 79

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION que las une, que se define pegada al conducto. De nuevo en este caso despreciaremos el efecto de las fuerzas gravitatorias. Dado que el movimiento es estacionario y que el volumen de control es fijo, de forma que v¯c = 0, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento dadas en (5.1) y (6.10) se reducen en este caso a  ρ¯ v·n ¯ dσ = 0 (6.23) Σe +Σs +Σl    ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.24) Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

En la superficie lateral, la velocidad del fluido es nula, por la condici´on de adherencia, por lo que   v¯ · n ¯ = 0 y son nulos los flujos de masa Σl ρ¯ v·n ¯ dσ y cantidad de movimiento Σl ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ. En la superficie de entrada, el flujo de masa por unidad de superficie que sale del volumen de control es uniforme e igual a ρ¯ ¯ = −ρe ve , por lo que la integraci´on a toda la superficie v · n proporciona de manera inmediata Σe ρ¯ v ·n ¯ dσ = −ρe ve A. De forma an´aloga, uno puede evaluar  el flujo m´asico en la superficie de salida para dar Σs ρ¯ v·n ¯ dσ = ρs vs A. Sustituyendo estas dos expresiones en (6.23) y dividiendo el resultado por el valor constante del a´ rea transversal A obtenemos una primera relaci´on entre las propiedades a la entrada y a la salida (6.25)

G/A = ρe ve = ρs vs ,

donde G es el gasto de gas que circula por el conducto (masa por unidad de tiempo). Antes de aplicar la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento, conviene recordar que e´ sta es una ecuaci´on vectorial que, para el problema que nos ocupa, tiene dos componentes. Para expresarla definimos por tanto el sistema de coordenadas x − y que se indica en la figura, donde x est´a orientada en el sentido del flujo en el conducto aguas arriba del codo e y est´a orientada en el sentido contrario al flujo en la salida, de forma que, en funci´on de los vectores unitarios e¯x y e¯y , los vectores velocidad en las superficies de entrada y salida son, respectivamente, v¯ = ve e¯x y v¯ = −vs e¯y . El flujo de cantidad de movimiento por unidad de superficie ρ¯ v (¯ v ·n ¯ ) se obtiene al multiplicar el flujo m´asico ρ(¯ v ·n ¯ ), que es un escalar, por el vector velocidad correspondiente, obteni´endose en las dos secciones consideradas ρ¯ v (¯ v ·n ¯ ) = −ρe ve2 e¯x 2 y ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) = −ρs vs e¯y . Los vectores resultantes son uniformes en cada una de las dos superficies, y resulta entonces trivial calcular el flujo total multiplicando por el a´ rea transversal para dar  ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = −ρe ve2 A¯ ex − ρs vs2 A¯ ey = −G(ve , vs ). (6.26) Σe +Σs

Para el c´alculo de la resultante de las fuerzas de superficie, tendremos en cuenta que el campo de velocidad en las secciones Σe y Σs es uniforme, por lo que los esfuerzos viscosos τij son id´enticamente nulos. Por otra parte, dado que la presi´on en estas dos secciones tambi´en es uniforme, el c´alculo de la fuerza de presi´on proporciona  p¯ ndσ = +pe A¯ ex + pa A¯ ey = A(pe , pa ). (6.27) − Σe +Σs

Sustituyendo (6.26) y (6.27) en (6.24) obtenemos  − A(pe +

ρe ve2 , pa

+

ρs vs2 )



=− 80

τ¯ · n ¯ dσ.

p¯ ndσ + Σl

Σl

(6.28)

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION En la superficie lateral Σl , ni la presi´on p ni los esfuerzos viscosos τ¯ · n ¯ son en principio conocidos, con lo que no es posible a priori calcular la contribuci´on correspondiente. Los t´erminos que aparecen en el lado derecho de la ecuaci´on anterior corresponden a la fuerza que hace el conducto sobre el gas que circula por su interior, que es igual a menos la fuerza que hace el gas sobre el conducto F¯g→C . Para realizar el c´alculo de F¯g→C de acuerdo a la Ec. (6.13) hacemos uso de la superficie Σi que se define en la Fig. (6.7), con lo que queda   ¯ Fg→C = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.29) Σi

Σ

Puesto que la normal n ¯=n ¯ i que aparece en esta ecuaci´on, asociada a la superficie Σi , es igual y de signo contrario a la que corresponde a la superficie Σl en la Ec. (6.28), concluimos que F¯g→C = A(pe + ρe ve2 , pa + ρs vs2 ).

(6.30)

Σ ex

nex ni

Σi

ni Σ ex

pa

n ex n ex n i

Figura 6.7: C´alculo de la fuerza sobre el codo. Al igual que ocurr´ıa en el caso del movimiento en la boquilla, si queremos calcular la fuerza que se ejerce sobre el codo (la que medir´ıamos con un dinam´ometro conectado a la secci´on de entrada al codo), debemos a˜nadir a F¯g→C la fuerza que ejerce el aire que rodea el codo, F¯a→C , para dar F¯C = F¯g→C + F¯a→C . En este caso, la contribuci´on de la fuerza de viscosidad ser´ıa nula, por encontrarse el ambiente en reposo, por lo que la fuerza se reduce a  ¯ pa n ¯ dσ, (6.31) Fa→C = − Σex

donde la superficie Σex se encuentra definida en la Fig. 6.7. Siguiendo el mismo procedimiento seguido en el c´alculo de (6.20), consistente en considerar la superficie cerrada que se genera al a˜nadir a Σex las dos caras situadas en las secciones de entrada y salida, obtendremos en este caso ex − pa A¯ ey (6.32) F¯a→C = −pa A¯ para la fuerza que ejerce el aire, que, a˜nadida a (6.30) proporciona finalmente F¯C = F¯g→C + F¯a→C = A(pe − pa + ρe ve2 , ρs vs2 ).

(6.33)

De nuevo en este caso se comprueba que, para incorporar en el c´alculo de la fuerza sobre un conducto la contribuci´on de la presi´on atmosf´erica exterior basta con reemplazar la presi´on en la entrada y la salida por sus valores manom´etricos. 81

´ DEL MOMENTO CINETICO ´ 6.6. ECUACION

6.6 Ecuaci´on del momento cin´etico De forma an´aloga al desarrollo realizado en la deducci´on de (6.5), uno puede hacer uso de la descripci´on de las fuerzas m´asicas y de superficie actuando sobre un volumen fluido para obtener el momento que ejercen con respecto a un punto dado     ¯ ¯ Mext = − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n)dσ + (¯ x − x¯o ) ∧ (τ · n ¯ )dσ + ρ(¯ x − x¯o ) ∧ f¯m dV. (6.34) Σf

Σf

Vf

Sustituyendo la ecuaci´on resultante en (4.4) y haciendo uso del teorema de transporte de Reynolds se obtiene    d ρ(¯ x − x¯o ) ∧ v¯dV + ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯][(¯ v − v¯c ) · n ¯ ]dσ = dt Vc (t) Σc (t) (6.35)    − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n)dσ + (¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ + ρ(¯ x − x¯o ) ∧ f¯m dV Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

para la ecuaci´on de conservaci´on del momento cin´etico aplicada a un volumen de control gen´erico. Como se ve, la variaci´on del momento cin´etico en un volumen de control viene dada por el flujo convectivo de momento cin´etico que entra a trav´es de la superficie de control  − ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯][(¯ v − v¯c ) · n ¯ ]dσ Σc (t)

m´as el momento angular de las fuerzas exteriores que act´uan sobre el volumen y la superficie de control. De nuevo se trata de una ecuaci´on vectorial.

pa

pe

y x

H A

ps

Figura 6.8: Flujo en un doble codo.

Esta nueva ecuaci´on supone una forma alternativa de expresar la Segunda Ley de Newton, que resulta particularmente u´ til para al an´alisis de movimientos fluidos con giro, facilitando el c´alculo de los momentos que aparecen. Como ejemplo de aplicaci´on, considere el doble codo de secci´on A y brazo H de la figura adjunta, por el que circula un caudal Q de un l´ıquido de densidad ρ. El objetivo es hacer aplicaci´on de las ecuaciones de conservaci´on de la cantidad de movimiento y del momento cin´etico para determinar la fuerza y el momento que act´uan sobre el doble codo. Para el an´alisis, suponemos conocidos los valores de la presi´on en las secciones de entrada y salida del codo pe y ps . El sistema de coordenadas lo centramos en el centro del codo 82

´ DEL MOMENTO CINETICO ´ 6.6. ECUACION superior, tal y como se indica en la Fig. 6.8, de forma que la coordenada z tendr´ıa direcci´on perpendicular al plano del movimiento y orientada hacia el lector. La fuerza total sobre el doble codo,    ¯ ¯ Fdc = − p¯ ndσ + pa n ¯ dσ (6.36) τ ·n ¯ dσ − Σi

Σi

Σex

proviene de la fuerza de presi´on y fuerza viscosa que ejerce el l´ıquido que circula por el interior a la que hay que a˜nadir la fuerza de presi´on que ejerce el aire que rodea el conducto, que est´a en reposo, por lo que τ¯ · n ¯ = 0 y p = pa en la superficie exterior. Las superficies Σi y Σex sobre las que hay que extender las integrales coinciden, como se ve en la figura adjunta, pero ¯ ex difieren en el sentido de orientaci´on. La condici´on n ¯ i = −¯ nex sus vectores normales n ¯i y n permite reescribir la Ec. (6.36) en la forma   ¯ Fdc = − (p − pa )¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ (6.37) Σi

Σi

con la que introducimos de forma expl´ıcita la presi´on manom´etrica en el c´alculo de la fuerza.

ni

Σ ex n ex Σ i

¯ dc . Figura 6.9: Superficies para el c´alculo de F¯dc and M ¯ dc hay que elegir el punto Para el c´alculo del momento que se ejerce sobre el doble codo M x¯o respecto al cual lo tomamos. Si, por ejemplo, elegimos el origen de coordenadas, x¯o = 0, la expresi´on para el momento dada en (6.14) queda    ¯ Mdc = − x¯ ∧ p¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ − x¯ ∧ pa n ¯ dσ, (6.38) Σi

Σi

Σex

que siguiendo el razonamiento anterior puede reescribirse en funci´on de la presi´on manom´etrica para dar   ¯ x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ. (6.39) Mdc = − Σi

Σi

El campo de presi´on y los esfuerzos viscosos sobre la pared del conducto no son conocidos, por lo que en principio no es posible el c´alculo de las integrales que aparecen en (6.37) y (6.39). Puesto que la acci´on del l´ıquido sobre el conducto es igual y de signo contrario a la que ejerce el ¯ dc estuconducto sobre el l´ıquido que circula por e´ l, es posible determinar los valores de F¯dc y M diando la evoluci´on que sufre la corriente fluida al pasar por el doble codo. Para ello, definimos un volumen de control fijo que incluye al l´ıquido en el interior del doble codo, tal y como se indica en la Fig. 6.8, con la secciones de entrada y salida Σe y Σs definidas suficientemente lejos 83

´ DEL MOMENTO CINETICO ´ 6.6. ECUACION aguas arriba y aguas abajo para que la velocidad en ellas sea uniforme, con valor U = Q/A. Para facilitar el an´alisis, despreciamos el efecto de las fuerzas de gravedad en el movimiento. En ese caso, con v¯c = 0, y dado que el movimiento es estacionario, las Ecs. (6.10) y (??) se simplifican para dar    ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − (p − pa )¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.40) Σc Σc Σc    (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ )dσ = − x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ, (6.41) Σc

Σc

Σc

donde la superficie del volumen de control Σc incluye las superficies de entrada y salida Σe y Σs junto con la superficie lateral Σl , que coincide con la superficie del conducto, por lo que a ¯ dc , hemos elegido trav´es de ella no pasa fluido. N´otese que, para facilitar el c´alculo de F¯dc y M en este caso escribir las integrales de presi´on en funci´on de lapresi´on manom´  etrica, p − pa , lo ¯ dσ y Σc x¯ ∧ pa n ¯ dσ, que que equivale a a˜nadir a las ecuaciones t´erminos de la forma Σc pa n resultan ser id´enticamente nulos, por tratarse de un campo de presi´on uniforme actuando sobre una superficie cerrada. El flujo de cantidad de movimiento en las secciones de entrada y salida es en este caso −ρU 2 A¯ ex y ρU 2 A¯ ex , respectivamente, por lo que la cantidad neta que sale del volumen de control resulta ser nula. En estas dos secciones, la fuerza viscosa es tambi´en nula, ya que el perfil  de velocidad es uniforme, mientras  que el c´alculo de la fuerza de presi´on proporciona − Σe (p − pa )¯ ndσ = (pe − pa )A¯ ex y − Σs (p − pa )¯ ndσ = −(ps − pa )A¯ ex . Combinando estos resultados, podemos reescribir (6.40) en la forma   0 = (pe − pa )A¯ ex − (ps − pa )A¯ ex − (p − pa )¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.42) Σl

Σl

Comparando ahora la expresi´on resultante con la Ec. (6.37) y dado que las superficies Σi y Σl coinciden punto a punto con n ¯ i = −¯ nl , obtenemos finalmente ex − (ps − pa )A¯ ex , F¯dc = (pe − pa )A¯

(6.43)

para la fuerza total que se ejerce sobre el doble codo. Esta expresi´on se puede simplificar a´un ex , indicando que, en este caso, la presi´on ambiente no afecta al m´as para dar F¯dc = (pe − ps )A¯ resultado (hacemos notar al lector que e´ ste no es un resultado general, tal y como puede ver en las Ecs. (6.22) y (6.33) que expresan la resultante de las fuerzas sobre la boquilla y el codo simple, respectivamente). Procedemos ahora a calcular los distintos t´erminos de la ecuaci´on de momento cin´etico (6.41). El flujo de momento cin´etico que sale del volumen de control, Σc (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ )dσ, es nulo en la superficie lateral Σl , porque a trav´es de ella no pasa fluido, y tambi´en es nulo en la superficie de entrada Σe porque el momento cin´etico del fluido en esa secci´on respecto al origen de coordenadas x¯ ∧ ρ¯ v es id´enticamente cero al estar alineados los vectores x¯ y v¯. Por otra parte, ¯ = U, por lo en la secci´on de salida el momento cin´etico es x¯ ∧ ρ¯ v = ρUH e¯z mientras que v¯ · n que se obtiene  (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ )dσ = ρU 2 HA¯ ez .

(6.44)

Σs

El momento que ejerce la fuerza de presi´on en la secci´on de entrada es igualmente nulo, puesto que el vector normal a la misma n ¯ = −¯ ex resulta estar alineado con x¯. En la secci´on de salida, 84

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION donde x¯ ∧ (p − pa )¯ n = (ps − pa )H e¯z , obtenemos para el momento de la fuerza de presi´on  x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ = −(ps − pa )HA¯ ez . (6.45) − Σs

Como los esfuerzos viscosos en las secciones de entrada y salida son nulos, por ser uniforme all´ı el campo de velocidades, la Ec. (6.41) proporciona finalmente   2 ez = −(ps − pa )HA¯ ez − x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ. (6.46) ρU HA¯ Σl

Σl

Si observamos ahora la Ec. (6.39), y teniendo en cuenta de nuevo que las superficies Σi y Σl coinciden punto a punto con n ¯ i = −¯ nl , obtenemos ¯ dc = −(ps − pa + ρU 2 )HA¯ M ez

(6.47)

para el momento que se ejerce sobre el doble codo. El momento que se obtiene es negativo, indicando que la l´ınea de aplicaci´on de la fuerza se encuentra por encima del codo, a una dis¯ dc y F¯dc para dar tancia vertical que podemos calcular f´acilmente dividiendo los m´odulos de M 2 y = (ps − pa + ρU )H/(pe − ps ).

6.7 La ecuaci´on de Bernoulli En numerosas ocasiones, el efecto de la viscosidad en el movimiento fluido es peque˜no y se puede despreciar en primera aproximaci´on, incluso en regiones donde el campo de velocidad no es uniforme. Bajo esas condiciones, diremos que el movimiento corresponde al de un fluido ideal. Tal y como veremos posteriormente en el tema de An´alisis Dimensional, resulta ´ justificado aplicar esta simplificaci´on en movimientos fluidos tales que el numero de Reynolds asociado ρUc Lc Re = (6.48) μ es grande, donde Uc y Lc son los valores caracter´ısticos de la velocidad y del tama˜no del campo fluido y ν = μ/ρ es la viscosidad cinem´atica del fluido. Dado que los valores t´ıpicos de ν para el agua y el aire son νagua  10−6 m2 /s y νaire  10−5 m2 /s, es f´acil ver que la aproximaci´on de flujo ideal se aplica a muchos movimientos de inter´es ingenieril. Si, adem´as de tener efecto de viscosidad despreciable, resulta que se trata de un movimiento estacionario y el fluido tiene densidad constante, entonces se comprueba que existe una relaci´on sencilla entre la velocidad, la presi´on y la altura a lo largo de una l´ınea de corriente dada, que se denomina ecuaci´on de Bernoulli. Esta ecuaci´on fue formulada inicialmente por Daniel Bernoulli en 1738, aunque la deducci´on completa se debe a Leonhard Euler, en 1755.

6.7.1 Flujo estacionario ideal de un l´ıquido en un tubo de corriente Para la deducci´on de la ecuaci´on de Bernoulli, consideramos el movimiento a lo largo del tubo de corriente infinitesimal de la figura adjunta, donde la coordenada s est´a medida a lo largo de la l´ınea de corriente central y e¯s representa el vector unitario dirigido a lo largo de dicha l´ınea. Para el an´alisis del movimiento, elegimos un volumen de control infinitesimal formado por el tubo de corriente y dos secciones transversales al mismo situadas a una distancia ds, cuyos 85

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION

ds es

A

s

v n

Figura 6.10: Tubo de corriente empleado en la deducci´on de la ecuaci´on de Bernoulli.

vectores normales son, respectivamente, −¯ es y e¯s . Puesto que a trav´es del tubo de corriente no pasa fluido, la aplicaci´on del principio de conservaci´on de la masa a dicho volumen de control proporciona − (ρvA)s + (ρvA)s+ds = 0, (6.49) indicando que el flujo m´asico a lo largo del tubo de corriente se mantiene constante. En primera aproximaci´on, como las dos superficies se encuentran muy pr´oximas, podemos escribir (ρvA)s+ds = (ρvA)s +

∂(ρvA) ds, ∂s

(6.50)

con lo que (6.49) se reduce a la ecuaci´on diferencial ∂ (ρvA) = 0. ∂s

(6.51)

La ecuaci´on de la cantidad de movimiento que corresponde aplicar al tubo de corriente para el movimiento estacionario de un l´ıquido ideal es la Ec. (6.12), escrita para un volumen de control fijo, sin derivada temporal y sin la resultante de los esfuerzos viscosos, para dar   ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − (p + ρgz)¯ ndσ. (6.52) Σc

Σc

El flujo de cantidad de movimiento es nulo en el tubo de corriente, por lo que la primera integral se eval´ua solamente en las secciones de entrada y salida  ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = −(ρv 2 A¯ es )s + (ρv 2 A¯ es )s+ds . (6.53) Σc

De nuevo en este caso, conviene hacer uso de la expansi´on 2

(ρv A¯ es )s+ds y reescribir

∂(ρv 2 A) e¯s ds = (ρv A¯ es )s + ∂s 2

 ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = Σc

86

∂(ρv 2 A) e¯s ds, ∂s

(6.54)

(6.55)

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION que, en virtud de la conservaci´on del flujo m´asico dada en (6.51), admite la forma simplificada  ∂v ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = ρvA e¯s ds. (6.56) ∂s Σc Por otra parte, para evaluar las fuerzas de presi´on actuando sobre el tubo de corriente, hacemos uso del teorema de Gauss para reescribir la integral de superficie como una integral de volumen   (p + ρgz)¯ ndσ = − ∇(p + ρgz)dV. (6.57) − Σc

Vc

Dado que el volumen de control es muy peque˜no (su volumen est´a dado en primera aproximaci´on por Ads) y que ∂(p + ρgz) e¯s (6.58) ∇(p + ρgz) = ∂s esta ecuaci´on se puede evaluar para dar  ∂(p + ρgz) A¯ es ds. − (p + ρgz)¯ ndσ = − (6.59) ∂s Σc Sustituyendo los resultados parciales (6.56) y (6.59) en (6.52) y dividiendo el resultado por A¯ es ds se llega a ∂v ∂ ρv + (p + ρgz) = 0, (6.60) ∂s ∂s que puede reescribirse en la forma   ∂ 1 2 (6.61) p + ρv + ρgz = 0. ∂s 2 Esta u´ ltima ecuaci´on nos dice que, en el movimiento estacionario de un l´ıquido ideal, a lo largo de cada l´ınea de corriente se mantiene constante la suma de la presi´on, la energ´ıa cin´etica (por unidad de volumen) y la energ´ıa potencial gravitatoria (por unidad de volumen), lo que expresamos en la forma 1 p + ρv 2 + ρgz = Cl , (6.62) 2 donde la constante Cl puede variar de una l´ınea de corriente a otra. En aplicaciones donde el efecto de la gravedad no resulta importante en el movimiento, la ecuaci´on anterior toma la forma simplificada 1 p + ρv 2 = po . (6.63) 2 En este caso, a la constante po se la denomina presi´on de remanso. En el a´ mbito de aplicaci´on de (6.63) es costumbre denominar a la presi´on p con el sobrenombre de presi´on est´atica y a la energ´ıa cin´etica por unidad de volumen, ρv 2 /2, presi´on din´amica.

6.7.2 Vaciado de un dep´osito de l´ıquido Retomamos el problema del vaciado de un dep´osito de l´ıquido que estudiamos en la secci´on 5.4.3. Seg´un vimos, por aplicaci´on de la ecuaci´on de continuidad a un volumen de control variable, que incluye todo el l´ıquido contenido en el dep´osito, obtenemos la ecuaci´on diferencial Ad

dh = −Qs dt 87

(6.64)

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION

Ad

pa

h(t) z

As Σs

vs

hs

pa

Figura 6.11: Vaciado de un dep´osito de l´ıquido.

que debemos integrar con la condici´on inicial h(0) = ho . Para cerrar el problema, necesitamos encontrar una expresi´on para el caudal de salida Qs , cuyo valor podemos anticipar que ser´a funci´on de la altura h(t). Si, como ocurre en muchas aplicaciones, el a´ rea transversal de la boquilla As = πDs2 /4 es mucho m´as peque˜na que el a´ rea transversal del dep´osito, en el interior del dep´osito encontramos velocidades que son mucho m´as peque˜nas que las velocidades en la salida de la boquilla. En ese caso, podemos hacer uso en primera aproximaci´on de la ecuaci´on de la fluidost´atica, que proporciona p + ρgz = pa + ρgh (6.65) para el campo de presiones en el interior del dep´osito, donde la coordenada z est´a medida desde el fondo del dep´osito, tal y como se indica en la figura 6.11. La ecuaci´on anterior falla en una regi´on a la entrada de la boquilla, cuyo tama˜no es comparable al di´ametro de salida de la boquilla Ds . En esta regi´on el l´ıquido se acelera desde el reposo hasta alcanzar la velocidad vs a la salida. En muchas ocasiones, el n´umero de Reynolds resultante vs Ds /ν es suficientemente grande como para despreciar los efectos de la viscosidad en el proceso de aceleraci´on. Por otra parte, el movimiento en esta regi´on es aproximadamente estacionario, ya que la variaci´on que se produce con el tiempo, asociada a la variaci´on de h(t), es lenta. Por tanto, a lo largo de cada l´ınea de corriente en esta regi´on de salida se puede aplicar la ecuaci´on (6.62). Para determinar la constante que se aplica a lo largo de una l´ınea de corriente dada, nos remontamos aguas arriba hasta el interior del dep´osito, donde v → 0 y donde el campo de presiones viene dado por la Ec. (6.65), con lo que obtenemos 1 p + ρv 2 + ρgz = pa + ρgh. (6.66) 2 N´otese que, en este caso, el valor de la constante es independiente de la l´ınea de corriente elegida, porque el valor de la presi´on reducida en el dep´osito p + ρgz = pa + ρgh es uniforme. 88

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION Podemos evaluar ahora la expresi´on anterior, que vale todo a lo largo de la l´ınea de corriente, en la secci´on de salida, donde la presi´on se hace igual a la presi´on ambiente pa , con lo que obtenemos 1 pa + ρvs2 − ρghs = pa + ρgh, (6.67) 2 donde hemos tenido en cuenta que la secci´on de salida corresponde a un valor de la coordenada vertical z = −hs . Despejando ahora el valor de vs obtenemos  vs = 2g(h + hs ), (6.68)  que permite determinar el caudal de salida Qs = As 2g(h + hs ). Resulta interesante observar que la velocidad que se obtiene a la salida en este caso corresponde a la de ca´ıda libre de un m´ovil sometido a la fuerza de la gravedad, sin fricci´on, desde una altura h + hs . Si sustituimos ahora la Ec. (6.68) en (6.64) obtenemos el problema Ad

 dh = −As 2g(h + hs ); dt

h(0) = ho

Separaci´on de variables proporciona  t  h dh As  √ =− 2g dt, Ad h + hs ho 0 que podemos integrar para dar 

ho + hs −



h + hs =

As (g/2)1/2t Ad

(6.69)

(6.70)

(6.71)

para la evoluci´on de la altura h con el tiempo. Esta ecuaci´on, evaluada en h = 0, nos permite determinar en particular el tiempo de vaciado del dep´osito    tv = ( ho + hs − hs )(Ad /As ) 2/g. (6.72) Si, como ocurre a menudo, la longitud de la boquilla hs es mucho menor que la altura  inicial de l´ıquido en el dep´osito ho , el resultado anterior se simplifica para dar tv = (Ad /As ) 2ho /g.

6.7.3 Tubo de Pitot En el ejemplo anterior, la gravedad resultaba determinante en el movimiento. Existen otros ejemplos, donde su efecto se puede despreciar, de forma que la ecuaci´on de Bernoulli toma la forma simplificada (6.63). Uno de dichos ejemplos es el tubo de Pitot, que es un aparato com´unmente utilizado para medir la velocidad de un fluido a partir de medidas de la presi´on est´atica y la presi´on de remanso. Considere el campo fluido de velocidad uniforme U∞ y presi´on p∞ de la figura 6.12. Si introducimos un peque˜no tubo alineado con la corriente, el campo fluido se ve ligeramente perturbado de forma que las l´ıneas de corriente se deflectan. La velocidad en la parte delantera del tubo de Pitot se hace nula y, por lo tanto, la presi´on aumenta tomando el valor de la presi´on de remanso po . 2 Aplicando la ecuaci´on de Bernoulli tenemos p∞ + 1/2 ρ U∞ = po . De este modo si somos capaces de medir po y p∞ podemos obtener el valor de la velocidad como,  2 (po − p∞ ) (6.73) U∞ = ρ 89

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION

Figura 6.12: Tubo de Pitot.

El tubo de Pitot esquematizado en la figura 6.12 permite medir la diferencia de presiones (po − p∞ ) a partir de las tomas de presi´on mecanizadas tanto en el punto frontal como en la periferia del tubo. La presi´on en el punto frontal es la presi´on de remanso po dado que su velocidad es nula y la presi´on a lo largo de la periferia del tubo es la presi´on est´atica p∞ debido a que las l´ıneas de corriente se mantienen paralelas al tubo.

6.7.4 Tubo de Venturi Otra aplicaci´on donde podemos despreciar el efecto de la gravedad en la aceleraci´on es el tubo de Venturi, que es un aparato que nos permite medir el caudal que circula por un conducto a partir de la medida de la diferencia de presiones entre dos puntos de diferente secci´on del tubo.

D

Uc pc

Dg

Ug

D

pg

Figura 6.13: Tubo de Venturi.

La forma caracter´ıstica de un tubo de Venturi, mostrado en la figura 6.13, consiste en un tubo con un estrechamiento de su secci´on transversal, el cual produce un aumento en la velocidad y una disminuci´on de la presi´on, seguido de una regi´on gradualmente divergente donde la velocidad es transformada de nuevo en presi´on con una peque˜na e inevitable p´erdida por fricci´on. La ca´ıda de presi´on puede relacionarse con el gasto que circula por el conducto de modo que el tubo de Venturi puede ser utilizado como medidor de caudal. Escribiendo la ecuaci´on de Bernoulli entre los puntos de entrada al tubo de Venturi y su garganta (punto de m´aximo estrechamiento), se obtiene 1 1 pc + ρ Uc2 = pg + ρ Ug2 . (6.74) 2 2 Dado que el flujo es incompresible, el caudal que atraviesa cualquier secci´on se mantiene cons-

90

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION tante, Q = Uc Ac = Ug Ag . Sustituyendo Uc = Ug Dg2 /Dc2 en la ecuaci´on (6.74) puede obtenerse Q = Ug Ag =

1 4

π Dg2  4 g 1− D Dc



2 (pc − pg ) ρ

(6.75)

Este resultado es v´alido, al igual que la ecuaci´on de Bernoulli, en el caso de flujos ideales en los cuales la contribuci´on de los efectos viscosos es despreciable. En realidad, el efecto de la viscosidad, aunque peque˜no, est´a presente, de modo que el caudal real puede discrepar ligeramente del calculado por la ecuaci´on anterior. Por ello se introduce un coeficiente de descarga Cd que se define por  π Dg2 2 (pc − pg ) Cd (6.76) Q=   4 4 ρ Dg 1 − Dc La ecuaci´on (6.74) indica como conforme el fluido circula a lo largo del tubo de Venturi su velocidad aumenta y por consiguiente la presi´on disminuye. Si el fluido que circula por el conducto fuese agua, y el di´ametro de la garganta fuese lo suficientemente peque˜no en relaci´on al di´ametro del conducto, la velocidad en la garganta del tubo de Venturi podr´ıa ser lo suficientemente alta como para que la presi´on en este punto alcanzase la presi´on de vapor pg = pv . En este caso se poducir´ıa el fen´omeno denominado cavitaci´on con la formaci´on de burbujas de vapor de agua en la garganta.

91

Cap´ıtulo 7 Ecuaci´on de la energ´ıa 7.1 Variaci´on de la energ´ıa en un volumen fluido Tal y como vimos anteriormente, de acuerdo al primer principio de la termodin´amica, la variaci´on con el tiempo de la cantidad de energ´ıa contenida en un volumen fluido es igual al ˙ ext y al calor trabajo que ejercen las fuerzas exteriores sobre el fluido por unidad de tiempo W ˙ que se aporta por unidad de tiempo al fluido Q, de forma que   d ˙ ext + Q. ˙ ρ(e + v 2 /2)dV = W (7.1) dt Vf (t) En principio, tanto las fuerzas m´asicas como las fuerzas de superficie pueden realizar trabajo ˙ ext = W ˙m+W ˙ny sobre el fluido, de forma que W   d ˙m+W ˙ n + Q. ˙ ρ(e + v 2 /2)dV = W (7.2) dt Vf (t) Pasamos a desarrollar ahora los t´erminos de trabajo y calor en esta ecuaci´on antes de escribirla para un volumen de control. n f n dσ

fm

v Σ f(t)

dV v Vf (t)

Figura 7.1: Trabajo de las fuerzas exteriores sobre un volumen fluido.

92

´ DE LA ENERGIA ´ EN UN VOLUMEN FLUIDO 7.1. VARIACION

7.1.1 Trabajo de las fuerzas m´asicas. Energ´ıa potencial. Para evaluar el trabajo de las fuerzas m´asicas, consideramos una part´ıcula fluida dV situada en el interior del volumen fluido, sobre la que act´ua una fuerza ρf¯m dV que es igual al producto de su masa ρdV por la fuerza por unidad de masa f¯m a la que se encuentra sometida. El trabajo se obtiene en general como producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento, de donde el trabajo que se ejerce sobre la part´ıcula fluida por unidad de tiempo resulta ser v¯ · (ρf¯m dV ), siendo v¯ la velocidad del fluido (esto es, el desplazamiento por unidad de tiempo de la part´ıcula ˙ m sobre el conjunto de todas las part´ıculas fluidas que fluida). El trabajo de las fuerzas m´asicas W componen el volumen de control se obtiene al sumar las distintas contribuciones individuales de acuerdo a  ˙m= W ρf¯m · v¯dV. (7.3) Vf

Para el an´alisis de muchos movimientos donde las fuerzas m´asicas son conservativas resulta ˙ m a trav´es de un t´ermino de energ´ıa potencial. El caso de interesante incorporar el trabajo W mayor inter´es pr´actico es el de las fuerzas gravitatorias, que cumplen f¯m = g¯ = −∇(gz), siendo z la distancia medida perpendicularmente a la superficie de la Tierra. El integrando que aparece en (7.3) se puede por tanto escribir en la forma ρf¯m · v¯ = −ρ¯ v · ∇(gz) = −∇ · (ρgz¯ v ) + gz∇ · (ρ¯ v ).

(7.4)

Para escribir la segunda igualdad, hemos tenido en cuenta que la divergencia de un producto de un escalar a por un vector ¯b cumple la identidad ∇ · (a¯b) = a∇ · (¯b) + ¯b · ∇a. Por otra parte, en virtud de la conservaci´on de la masa1 , ∇ · (ρ¯ v ) = −∂ρ/∂t, por lo que al sustituir (7.4) en (7.3) podemos escribir   ∂ρ ˙m=− W (7.5) ∇ · (ρgz¯ v )dV − gz dV. ∂t Vf Vf La primera integral la podemos transformar en una integral de superficie por el teorema de Gauss para dar   ∇ · (ρgz¯ v )dV = ρgz¯ v·n ¯ dσ, (7.6) Vf

Σf

mientras que la segunda se puede escribir en la forma   ∂ρ ∂(ρgz) dV, gz dV = ∂t ∂t Vf Vf 1

(7.7)

La masa contenida en un volumen fluido es constante, por lo que haciendo uso de (4.14) obtenemos    d ∂ρ dV + ρdV = ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. dt Vf Vf ∂t Σf

De acuerdo al teorema de Gauss, la u´ ltima de las integrales la podemos reescribir en la forma  ∇ · (ρ¯ v )dV , por lo que Vf    ∂ρ + ∇ · (ρ¯ v ) dV = 0. ∂t Vf

 Σf

ρ¯ v·n ¯ dσ =

La u´ nica forma de que esta igualdad se verifique independientemente de la forma del volumen fluido elegido es que ∂ρ + ∇ · (ρ¯ v) = 0 ∂t en todos los puntos del espacio.

93

´ DE LA ENERGIA ´ EN UN VOLUMEN FLUIDO 7.1. VARIACION puesto que gz no depende del tiempo. Para interpretar lo obtenido,   ∂(ρgz) ˙ ρgz¯ v·n ¯ dσ, Wm = − dV − ∂t Vf Σf

(7.8)

recurrimos al resultado general (4.14) que obtuvimos en la deducci´on del teorema del transporte de Reynolds para una cierta magnitud intensiva por unidad de volumen φ     ∂φ d φ dV = φ v¯ · n ¯ dσ. (7.9) dV + dt Vf (t) Vf (t) ∂t Σf (t) Identificando en este caso φ = ρgz podemos finalmente escribir   d ˙m=− (ρgz) dV , W dt Vf (t)

(7.10)

ecuaci´on que indica que el trabajo de las fuerzas m´asicas es igual a menos la variaci´on de la energ´ıa potencial gravitatoria contenida en el volumen fluido. La ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa (7.2) admite por tanto la formulaci´on alternativa   d 2 ˙ n + Q, ˙ ρ(e + v /2 + gz)dV = W (7.11) dt Vf (t) que incorpora el trabajo de la fuerza gravitatoria en un t´ermino de energ´ıa potencial y limita el trabajo de las fuerzas exteriores al ejercido por las fuerzas de superficie (presi´on y fuerzas viscosas).

7.1.2 Trabajo de las fuerzas de superficie Para el c´alculo del trabajo de las fuerzas de superficie, consideramos un elemento de superficie fluida dσ que se encuentra en la superficie del volumen fluido Σf . El trabajo por unidad de tiempo que se realiza sobre dicho elemento de superficie fluida lo obtenemos al multiplicar el desplazamiento por unidad de tiempo v¯ por la fuerza f¯n dσ, donde f¯n = −p¯ n + τ¯ · n ¯ . Al integrar a toda la superficie para tener en cuenta la contribuci´on de todos los elementos que componen Σf obtenemos   ˙ p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ )dσ, (7.12) Wn = − Σf

Σf

donde hemos escrito separadamente las contribuciones del trabajo de la fuerza de presi´on y de la fuerza de viscosidad.

7.1.3 Transferencia de calor El calor se aporta al fluido por conducci´on a trav´es de la superficie exterior del volumen fluido, pero tambi´en por radiaci´on o por reacci´on qu´ımica en el interior del volumen fluido,  Q˙ R + Q˙ Q = (q˙R + q˙Q )dV, (7.13) Vf

94

´ DE CONSERVACION ´ DE LA ENERGIA ´ 7.2. ECUACION donde q˙R y q˙Q son las aportaciones de calor por unidad de volumen y unidad de tiempo debidas a radiaci´on y reacci´on qu´ımica, respectivamente. En general, los valores de q˙R y q˙Q son funci´on del estado termodin´amico local y de la composici´on del fluido. Respecto a la conducci´on de calor, la ley de Fourier indica que el flujo de calor a trav´es de un elemento de superficie dσ (energ´ıa por unidad de tiempo) viene dado por − k(∂T /∂n)dσ = −k(∇T · n ¯ )dσ,

(7.14)

donde n ¯ es el vector unitario normal a la superficie y el factor de proporcionalidad k es la conductividad t´ermica. Aunque k puede ser en principio funci´on de la temperatura, para muchas aplicaciones en las que la temperatura no var´ıa mucho se puede considerar que la conductividad t´ermica es constante. Si dσ es un elemento de la superficie fluida, cuyo vector normal est´a orientado hacia el exterior del volumen fluido, la expresi´on (7.14) corresponde al calor que abandona el volumen fluido por unidad de tiempo a trav´es de dσ. Por tanto, para calcular la cantidad de calor  que se aporta por unidad de tiempo al volumen fluido debemos cambiar el signo para dar Σf k(∇T · n ¯ )dσ. Al sumar las contribuciones de los distintos mecanismos de transferencia de calor obtenemos   ˙ Q= k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV. (7.15) Σf

Vf

7.2 Ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa Nos encontramos ahora en disposici´on para escribir, a partir de (7.2) la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa aplicada a un volumen de control arbitrario Vc (t). Para ello, hacemos uso del Teorema del Transporte de Reynolds para reescribir la derivada temporal y empleamos las ˙m+W ˙ n y Q, ˙ obteniendo ˙ ext = W expresiones dadas en (7.3), (7.12), y (7.15) para calcular W     d v2 v2 v − v¯c ) · n ρ(e + )dV + ρ(e + )(¯ ¯ dσ = − p¯ v·n ¯ dσ dt Vc (t) 2 2 Σc (t) Σc (t) (7.16)     + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + ρf¯m · v¯dV + k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV. Σc (t)

Vc (t)

Σc

Vc

La lectura de esta ecuaci´on indica que la variaci´on de la energ´ıa contenida en un volumen de control Vc (t) sumada a la cantidad de energ´ıa que lo abandona debido al movimiento convectivo del fluido a trav´es de su superficie Σf es igual a la suma del trabajo por unidad de tiempo ejercido por las fuerzas m´asicas actuando en el interior de Vf , el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presi´on y las fuerzas viscosas actuando en Σf , el calor que se aporta por unidad de tiempo debido a la conducci´on a trav´es de dicha superficie y el calor que se aporta por radiaci´on y reacci´on qu´ımica. N´otese que, en el caso de que la u´ nica fuerza m´asica que aparezca sea la gravitatoria, la deducci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa partir de (7.11) lleva a la formulaci´on alternativa        d v2 v2 + gz dV + + gz (¯ v − v¯c ) · n ρ e+ ρ e+ ¯ dσ = dt Vc (t) 2 2 Σc (t) (7.17)     − p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV, Σc (t)

Σc (t)

Σc

que resulta m´as u´ til para el an´alisis de muchos problemas. 95

Vc

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS

7.3 Balance energ´etico en m´aquinas de fluidos Como ejemplo de aplicaci´on, que nos servir´a para aclarar y afianzar algunos conceptos, haremos uso de la ecuaci´on anterior para estudiar m´aquinas de fluido en las que se produce un intercambio de potencia entre la corriente fluida y la m´aquina. El caso considerado, que se esquematiza en la figura adjunta, puede particularizarse para analizar un n´umero de situaciones de inter´es: bombas y turbinas hidr´aulicas, compresores, turbinas de gas, aeromotores, etc.

n ve pe

Σp

ρe

n Σe

Σ

vs ps

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00001111111111 1111 0000000000 0000 1111 0000000000 00001111111111 m1111 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000000000 00001111111111 1111 Q 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 R 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

ρs

q

n

q

n

Σs

Ae n

As

Figura 7.2: M´aquina gen´erica de fluido. La m´aquina de fluido que se considera, contiene en general paredes fijas, incluyendo la carcasa exterior, que est´a abierta permitiendo la entrada y salida del fluido, con a´ reas de paso Ae y As que son en principio distintas. Adem´as, la m´aquina incluye partes m´oviles en su interior que giran con respecto a dicha carcasa. El interior de la m´aquina puede tambi´en incluir un quemador, donde se libera calor por reacci´on qu´ımica y donde el efecto de la radiaci´on puede ser importante. Para el an´alisis del movimiento, consideramos un volumen de control que incluye al fluido situado en el interior de la m´aquina. La superficie exterior incluye la secci´on de entrada Σe , la secci´on de salida Σs , as´ı como la pared interna de la carcasa Σp . El volumen de control solo puede contener fluido, de forma que, adem´as, definimos una pared interior Σm en la frontera con las partes m´oviles. Mientras que la superficie exterior del volumen de control, formada por Σe + Σs + Σp , es fija, la superficie interior gira de manera solidaria con la parte m´ovil, de forma que la velocidad de la superficie de control Σm coincide con la velocidad de la superficie m´ovil en cada punto, esto es, v¯c = v¯m . Como siempre, la normal se define dirigida hacia el exterior del volumen de control. Suponemos que la m´aquina se encuentra en funcionamiento estacionario, de forma que la masa contenida en el interior del volumen de control se puede considerar constante en el tiempo. La ecuaci´on de la conservaci´on de la masa se reduce en este caso a  ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. (7.18) Σe +Σs +Σp +Σm

En las paredes de la carcasa, que se encuentra quieta (¯ vc = 0), la velocidad del fluido es nula por la condici´on de adherencia, por lo que no pasa fluido. Tampoco pasa fluido a trav´es de Σm , 96

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS porque hemos definido dicha superficie pegada a la superficie de las partes rotatorias, de forma que en cada punto v¯c = v¯m . Como, por la condici´on de adherencia, la velocidad del fluido en contacto con la pared coincide con la velocidad de la pared, v¯ = v¯m , la velocidad del fluido relativa a la pared resulta ser nula, v¯ − v¯c = 0. Puesto que las superficies de entrada y salida son fijas (¯ vc = 0) la ecuaci´on de continuidad se reduce en este caso a   ρ¯ v·n ¯ dσ + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (7.19) Σe

Σs

Si consideramos condiciones uniformes a la entrada y a la salida, con lo que ρ¯ v·n ¯ = −ρe ve en v·n ¯ = ρs vs en Σs , obtenemos finalmente Σe y ρ¯ (7.20)

G = ρe ve Ae = ρs vs As .

Esto es, en funcionamiento estacionario, el gasto que entra y sale de la m´aquina resulta ser constante. Procedemos ahora a evaluar los distintos t´erminos en la ecuaci´on de la energ´ıa (7.17). • En funcionamiento estacionario, la cantidad de energ´ıa contenida en el interior del volumen de control permanece constante en el tiempo, por lo que     d v2 + gz dV = 0. (7.21) ρ e+ dt Vc (t) 2 • El flujo de fluido a trav´es de las superficies Σp y Σm es nulo, por lo que la p´erdida de energ´ıa debido al movimiento del fluido a trav´es de Σc se reduce a        v2 vs2 ve2 + gz v¯ · n ¯ dσ = G es + + gzs − ee + + gze . (7.22) ρ e+ 2 2 2 Σc • En cuanto al trabajo de las fuerzas de presi´on, resulta ser nulo en la superficie fija Σp , por ser v¯ = 0, pero no en las superficies m´oviles Σm , donde v¯ = v¯m . En las superficies de entrada y salida, por otra parte, resulta sencillo evaluar el trabajo de las fuerzas de v·n ¯ = ps vs ). presi´on, puesto que las propiedades son uniformes (−p¯ v·n ¯ = pe ve y −p¯ Recogiendo la contribuci´on de todos los t´erminos obtenemos   − p¯ v·n ¯ dσ = pe ve Ae − ps vs As − p¯ vm · n ¯ dσ (7.23) Σc

Σm

• Si, tal y como hemos hecho, suponemos que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y salida, las fuerzas de viscosidad resultantes son all´ı nulas. En la superficies de la carcasa fija, la fuerza de viscosidad τ¯ · n ¯ es en general no nula, pero no da trabajo, por ser v¯ = 0 en dicha superficie. Por tanto, el u´ nico lugar donde las fuerzas de viscosidad hacen un trabajo apreciable es en las superficies m´oviles de la m´aquina   ¯ v¯ · (τ · n ¯ ) dσ = v¯m · (τ¯ · n ¯ ) dσ. (7.24) Σc

Σm

97

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS • El flujo de calor por conducci´on ∇T · n ¯ es nulo en las secciones de entrada y salida, donde consideramos que la temperatura es uniforme. Puede existir sin embargo transferencia de calor por conducci´on a trav´es de las paredes internas de la m´aquina (a menos que e´ stas se encuentren aisladas t´ermicamente). En el caso m´as general tendremos   k(∇T · n ¯ )dσ = k(∇T · n ¯ )dσ. (7.25) Σc

Σp +Σm

Aunque en el an´alisis mantenemos este t´ermino por generalidad, cabe mencionar que, en la mayor´ıa de las aplicaciones el movimiento se desarrolla a altos n´umeros de Reynolds y la cantidad total de calor que se transmite por conducci´on es despreciable. • Si la m´aquina incluye un quemador, las contribuciones de la liberaci´on de calor por reacci´on qu´ımica y radiaci´on vendr´an dadas por  (q˙R + q˙Q )dV = Q˙ R + Q˙ Q . (7.26) Vc

Si escribimos ahora las distintas contribuciones no nulas a la ecuaci´on de la energ´ıa obtenemos      vs2 ve2 + gzs − ee + + gze = pe ve Ae − ps vs As − p¯ vm · n ¯ dσ G es + 2 2 Σm (7.27)   v¯m · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ )dσ + Q˙ R + Q˙ Q . + Σm

Σp +Σm

En los t´erminos en el lado derecho de la ecuaci´on podemos identificar el trabajo por unidad de tiempo que las partes m´oviles realizan sobre el fluido   ˙ MAQ = − W p¯ vm · n ¯ dσ + v¯m · (τ¯ · n ¯ ) dσ, Σm

Σm

que ser´a igual aunque de signo contrario al trabajo por unidad de tiempo que el fluido realiza sobre las partes m´oviles de la m´aquina. En el caso de una bomba, ventilador o compresor este trabajo es positivo, y coincide con la potencia de la m´aquina si e´ sta se comporta como una m´aquina ideal. En el caso de una turbina, la potencia resultante es negativa, puesto que extraemos trabajo de la corriente fluida. Por otro lado, la contribuci´on conjunta de los u´ ltimos tres t´erminos en (7.27)  Q˙ = k(∇T · n ¯ )dσ + Q˙ R + Q˙ Q (7.28) Σp +Σm

representa la cantidad de calor total que se transfiere a la corriente fluida por unidad de tiempo. Haciendo uso de las dos expresiones anteriores, podemos reescribir la ecuaci´on (7.27) de forma m´as compacta. Si al escribirla incorporamos en los flujos convectivos de energ´ıa el trabajo que realizan las fuerzas de presi´on en las secciones de entrada y salida, reescribiendo pe ve Ae = Gpe /ρe y ps vs As = Gps /ρs , obtenemos finalmente     ps vs2 pe ve2 ˙ ˙ MAQ + Q. + gzs − ee + + gze + + (7.29) =W G es + ρs 2 ρe 2 98

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS Esta ecuaci´on permite en general analizar las m´aquinas de fluido. Por ejemplo, para el caso de las bombas hidr´aulicas, Q˙ = 0. La variaci´on de la temperatura que sufre la corriente al atravesar la bomba es despreciable, por lo que, adem´as, ee  es . Como en este caso la densidad del fluido es constante, si expresamos el gasto en la forma G = ρQ obtenemos la ecuaci´on de funcionamiento de una bomba ideal ˙ BOMBA /Q = (ps − pe ) + ρ(v 2 − v 2 )/2 + ρg(zs − ze ). W s e

(7.30)

Como se ve, la potencia de una bomba se emplea en aumentar la presi´on del l´ıquido, en incrementar su energ´ıa cin´etica y en remontar la posible diferencia de altura entre entrada y salida. En el caso de las turbinas hidr´aulicas el resultado ser´ıa id´entico, excepto que en el lado izquierdo ˙ BOMBA por −W ˙ TURB . de la ecuaci´on habr´ıa que reemplazar W Para el caso de un compresor, la energ´ıa potencial gravitatoria es despreciable. Para escribir la ecuaci´on resultante, conviene introducir la entalp´ıa h = e + p/ρ que, en el caso de un gas perfecto, es funci´on exclusiva de la temperatura (h = cp T , donde cp es el calor espec´ıfico a presi´on constante). La ecuaci´on resultante queda     vs2 ve2 ˙ WCOMP /G = hs + − he + . (7.31) 2 2 A la suma de la entalp´ıa y la energ´ıa cin´etica por unidad de masa ho = h + v 2 /2 se le denomina entalp´ıa de remanso. El resultado indica que la potencia del compresor resulta ser igual al producto del gasto que circula por el aumento de entalp´ıa de remanso.

99

Cap´ıtulo 8 An´alisis de problemas fluidomec´anicos El prop´osito de este cap´ıtulo es el de mostrar la aplicaci´on de las ecuaciones de conservaci´on deducidas en cap´ıtulos anteriores en el an´alisis de problemas fluidomec´anicos de inter´es.

´ 8.1 Alabe en una corriente uniforme Es, sin duda, de inter´es estudiar la fuerza de resistencia que experimenta un cuerpo movi´endose en el aire. Consideremos, por ejemplo, un a´ labe o un perfil aerodin´amico bidimensional movi´endose a velocidad constante U∞ en aire en reposo a presi´on p∞ . Para analizar este flujo, es conveniente ligar el sistema de referencia al cuerpo, de manera que el cuerpo, fijo, aparece inmerso en una corriente uniforme de velocidad U∞ . En este sistema de referencia el problema es estacionario. Consideramos el caso de un a´ labe sim´etrico movi´endose con a´ ngulo de ataque nulo, de forma que el campo fluido resultante es tambi´en sim´etrico. Supondremos que el aire se comporta como incompresible en su movimiento alrededor del cuerpo, con valores conocidos de densidad ρ y viscosidad μ. Para describir el problema, haremos uso de un sistema de referencia (x, y), con el eje x alineado con la corriente incidente, tal y como se indica en la figura 8.1. La fuerza de resistencia que ejerce la corriente de aire sobre el a´ labe, !    D= − p¯ na dσ + (8.1) τ¯ · n ¯ a dσ · e¯x , Σa

Σa

es resultado de la acci´on de las fuerzas de presi´on y viscosidad actuando sobre la superficie del a´ labe Σa , con el vector n ¯ a en direcci´on normal al elemento de superficie dσ y dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza, como se muestra en la Figura 8.2. Puesto que desconocemos en principio el campo de presi´on p y los esfuerzos viscosos τ¯ · n ¯ a en la superficie del cuerpo, para resolver el problema vamos a considerar el efecto que tiene la presencia del cuerpo en la corriente de aire, investigando en particular la estela que se produce aguas abajo del cuerpo, donde existe un d´eficit de velocidad. En la Figura 8.1 se muestran esquem´aticamente los perfiles de velocidad en la estela del a´ labe, as´ı como las l´ıneas de corriente del flujo. La velocidad del fluido en el centro de la estela, u(x > xs , y = 0), aumenta desde u(xs , y = 0) = 0 en el borde de salida del a´ labe, hasta u(x → ∞, y = 0) → U∞ donde el efecto del cuerpo se desvanece y la estela ya es irreconocible. Para simplificar la soluci´on, supondremos que las medidas de la estela en un t´unel aerodin´amico

100

´ 8.1. ALABE EN UNA CORRIENTE UNIFORME U∞

p∞

δ(x) y x

´ Figura 8.1: Alabe bidimensional en una corriente uniforme.

en una posici´on particular xo pueden aproximarse por una sencilla ley lineal de la forma   U∞ y , (8.2) u(xo , y) = 1− 2 δo donde U∞ /2 es la velocidad en la l´ınea central y δo es el espesor de la estela. Pretendemos determinar el valor de la fuerza de resistencia D en funci´on de ρ, U∞ y δo .

y

Σa x

Figura 8.2: Superficie del a´ labe usada para la definici´on de la fuerza de resistencia D. Para analizar el problema, proponemos el volumen de control mostrado en la Figura 8.3, limitado interiormente por la superficie del a´ labe Σa y exteriormente por la superficie cerrada definida por: • una superficie plana vertical de salida Σs situada en x = xo y que abarca el espesor de la estela, entre y = −δo y y = δo , 101

´ 8.1. ALABE EN UNA CORRIENTE UNIFORME • una superficie plana vertical de entrada Σe situada en una posici´on aguas arriba del a´ labe x−∞ donde el flujo es uniforme, y • superficies laterales Σ1 y Σ2 coincidentes con las superficies de corriente que terminan en los puntos (xo , ±δo ) y que empiezan en la superficie de entrada en los puntos (x−∞ , ±y−∞ ). Al elegir superficies de corriente para limitar lateralmente el volumen de control, nos aseguramos de que a trav´es de esta superficie lateral no hay flujo convectivo, puesto que en una superficie de corriente v¯ · n ¯ = 0. N´otese que, al definir el volumen de control, el vector n ¯ est´a dirigido hacia fuera del mismo. U∞

p∞ Σ1 U∞

δo

y−∞

y

Σa U∞ /2

x Σe

Σs

Σ2

Figura 8.3: Volumen de control para el an´alisis del flujo alrededor de un a´ labe.

Conservaci´on de la masa. Para que el volumen de control quede completamente definido, es necesario determinar el valor de y−∞ . Para ello aplicamos la ecuaci´on de conservaci´on de la masa (5.1) al volumen de control propuesto. El volumen de control es fijo, con v¯c = 0 en toda la superficie de control, as´ı que podemos escribir    d ρ dV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0 (8.3) dt Vc Σc En el sistema de control elegido el flujo es estacionario, con lo que el t´ermino de evoluci´on temporal es nulo. El t´ermino de flujo m´asico a trav´es de la superficie de control es distinto de cero s´olo en las superficies Σe de entrada y Σs de salida. En la superficie del a´ labe Σa , la velocidad del fluido es nula v¯ = 0 en virtud de la condici´on de adherencia; y en las superficies de corriente Σ1 y Σ2 , la componente normal de la velocidad es cero v¯ · n ¯ = 0 por la propia definici´on de superficie de corriente. Con estas consideraciones, (8.3) se simplifica para dar   v¯ · n ¯ dσ + v¯ · n ¯ dσ = 0, (8.4) Σe

Σs

que podemos reescribir en la forma   y=+y−∞ (−U∞ )dy + y=−y−∞

y=δo

y=−δo

102

u(xo , y)dy = 0.

(8.5)

´ 8.1. ALABE EN UNA CORRIENTE UNIFORME Si hacemos uso de la simetr´ıa del problema, se obtiene    y=δo  y=+y−∞ U∞ y U∞ dy + 2 dy = 0 −2 1+ 2 δo y=0 y=0

(8.6)

que puede resolverse finalmente para dar 3 y−∞ = δo . 4

(8.7)

Conservaci´on de la cantidad de movimiento. Una vez definido completamente el volumen de control, aplicamos la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10), que escribimos a continuaci´on para un volumen de control fijo y despreciando el efecto de la gravedad, que no dar´ıa en todo caso contribuci´on a la fuerza de resistencia,      d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. (8.8) dt Vc Σc Σc Σc Por ser el volumen de control fijo y el flujo estacionario, el t´ermino de evoluci´on temporal es nulo. El t´ermino de flujo convectivo de cantidad de movimiento es distinto de cero solamente en las superficies Σe de entrada y Σs de salida. Los t´erminos de fuerzas de superficie, los escribimos por separado en la superficie exterior del volumen de control (Σe + Σ1 + Σ2 + Σs ) y en la superficie interior Σa .     ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ − p¯ n dσ + Σe

Σs

Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

Σa



(8.9)

 τ¯ · n ¯ dσ +

+ Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

τ¯ · n ¯ dσ Σa

Para proseguir con el an´alisis, incorporamos dos simplificaciones adicionales que pueden aplicarse de forma aproximada al problema que nos ocupa, • Los esfuerzos viscosos son despreciables en la estela y a lo largo de las superficies de corriente laterales, por ser en estas zonas los gradientes de velocidad muy peque˜nos. Como, adem´as, los esfuerzos viscosos son nulos aguas arriba, por ser el perfil de velocidad uniforme, podemos escribir  τ¯ · n ¯ dσ = 0 Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

• Si el volumen de control se ha elegido suficientemente grande, las diferencias de presi´on p−p∞ en todo el contorno exterior del volumen de control considerado son despreciables, con lo que   p¯ n dσ = Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

p∞ n ¯ dσ = 0 Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

103

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA Con todo ello, la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento se reduce a:     ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. Σe

Σs

Σa

(8.10)

Σa

Por la simetr´ıa de la configuraci´on, esta ecuaci´on vectorial solo tiene componente x. Comn, se parando los dos t´erminos que aparecen a la derecha de (8.10) con (8.1), donde n ¯ a = −¯ concluye que estos dos t´erminos representan la fuerza que el a´ labe ejerce sobre el fluido, que es exactamente la reacci´on de la fuerza de resistencia D que el fluido ejerce sobre el a´ labe, por lo que podemos escribir   ρu(¯ v·n ¯ ) dσ + ρu(¯ v·n ¯ ) dσ = −D. (8.11) Σe

Σs

Como se ve, es la diferencia de cantidad de movimiento del flujo entre aguas arriba del a´ labe y aguas abajo, lo que se compensa con la fuerza de resistencia que experimenta el a´ labe. Desarrollando las integrales del flujo convectivo, 

y=+y−∞

2 y=0

 2 −ρU∞

y=δo

dy + 2 y=0

U2 ρ ∞ 4

2  y dy = −D 1+ δo

(8.12)

para dar 7 2 2 y−∞ + ρU∞ δo = −D, − 2ρU∞ 6 y utilizando la relaci´on previa y−∞ = 34 δo , obtenemos finalmente la expresi´on buscada D=

2 ρU∞ δo 3

(8.13)

(8.14)

para la fuerza de resistencia por unidad de longitud de a´ labe D(ρ, U∞ , δo ).

8.2 Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa Cuando el a´ labe o el perfil aerodin´amico no es sim´etrico, o cuando el flujo incide sobre el perfil con un determinado a´ ngulo de ataque, la fuerza que ejerce la corriente sobre el a´ labe presenta, adem´as de una componente de resistencia en la direcci´on de la corriente incidente, una componente en la direcci´on perpendicular, que se denomina sustentaci´on. En el caso de un a´ labe aislado, la corriente en la estela pronto recupera la direcci´on original por el efecto del flujo circundante. La desviaci´on de la corriente es, sin embargo, persistente en el caso de una cascada de a´ labes, que analizamos en esta secci´on. Consideramos, en particular, una cascada compuesta por un n´umero infinito de a´ labes bidimensionales, separados entre si un distancia L. Sobre los a´ labes incide una corriente gaseosa y uniforme de presi´on p1 , densidad ρ1 y velocidad v¯1 = u1 e¯x , ejerciendo sobre cada uno de ellos una fuerza (por unidad de longitud) F¯ = Fx e¯x + Fy e¯y . Sabiendo que el gas es calor´ıficamente perfecto, que los a´ labes est´an aislados t´ermicamente y que las fuerzas m´asicas no influyen en el movimiento, pretendemos escribir las ecuaciones que permiten calcular las condiciones uniformes de presi´on p2 , densidad ρ2 y velocidad v¯2 = u2 e¯x + v2 e¯y que se alcanzan aguas abajo de la cascada. 104

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA ρ1 p1 v¯1

Σ1 n ˆ

Σe

n ˆ

n ˆ

n ˆ

Σa

Σs

n ˆ

Fy Fx

L

ρ2 p2 v¯2

Σ2

Figura 8.4: Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa. Se ha dibujado en la figura el volumen de control utilizado para el an´alisis de este flujo.

Para tratar este problema definimos un volumen de control alrededor de un a´ labe cualquiera de la cascada. El volumen de control tiene una superficie interior Σa coincidente con la superficie del a´ labe y una superficie exterior cerrada, con el vector normal n ¯ dirigido en cada caso hacia el exterior del volumen de control. Si el n´umero de a´ labes que consideramos es infinito, podemos anticipar que la soluci´on que aparece ser´a peri´odica, de forma que, si a partir de cualquier punto del campo fluido nos desplazamos una distancia L en direcci´on perpendicular a la corriente incidente, recuperaremos exactamente los mismos valores de la velocidad y de las propiedades termodin´amicas que exist´ıan en el punto original. Para aprovechar esta simetr´ıa del problema, la superficie exterior que definimos est´a limitada lateralmente por dos superficies de corriente Σ1 y Σ2 separadas una distancia L. Claramente, en puntos correspondientes de las superficies Σ1 y Σ2 situados en la misma coordenada x la soluci´on es id´entica. Para cerrar la superficie exterior, se incluyen adem´as una superficie de entrada Σe y una superficie de salida Σs , perpendiculares a la corriente incidente, situadas suficientemente lejos aguas arriba y aguas abajo de la cascada de a´ labes, de forma que las propiedades son uniformes en estas dos secciones. Conservaci´on de la masa. Escribimos en primer lugar la ecuaci´on de conservaci´on de la masa (5.1)    d ρ dV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. (8.15) dt Vc (t) Σc (t) El volumen de control es fijo, con v¯c = 0 en toda la superficie de control, y el flujo es estacionario, as´ı que el t´ermino de variaci´on temporal es nulo en todas las ecuaciones de conservaci´on, por lo que la ecuaci´on anterior se simplifica para dar  ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (8.16) Σc

Recordamos que la superficie de control Σc est´a compuesta por las superficies Σa + Σe + Σs + Σ1 + Σ2 . En la superficie del a´ labe Σa y en las superficies de corriente Σ1 y Σ2 se tiene que v¯ · n ¯ = 0 por lo que el flujo convectivo a trav´es de estas superficies es id´enticamente nulo.

105

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA La ecuaci´on de conservaci´on de la masa se reduce por tanto a   ρ¯ v·n ¯ dσ + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. Σe

(8.17)

Σs

Tal y como hemos comentado, hemos elegido Σe y Σs suficientemente lejos,  por lo que la v·n ¯ dσ = −ρ1 u1 L y Σs ρ¯ v·n ¯ dσ = densidad y la velocidad son uniformes y se verifica Σe ρ¯ ρ2 u2 L, dando finalmente la relaci´on ρ1 u1 = ρ2 u2 (8.18) entre los flujos m´asicos por unidad de superficie a la entrada y a la salida. Conservaci´on de la cantidad de movimiento. Escribimos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10) para el volumen de control de la figura 8.4, despreciando el posible efecto de la fuerza de gravedad sobre el flujo (lo que est´a bien justificado para las velocidades y tama˜nos t´ıpicamente encontrados en aplicaciones pr´acticas),      d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) Como ya se ha explicado, el t´ermino de evoluci´on temporal y los t´erminos de flujo convectivo en la superficie del a´ labe Σa y las superficies de corriente Σ1 y Σ2 son nulos, por lo que la ecuaci´on se simplifica en este caso para dar    ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ (8.19) Σe +Σs

Σc

Σc

donde Σc = Σa + Σe + Σs + Σ1 + Σ2 es la superficie de control. Notamos ahora que la fuerza sobre el fluido en la superficie Σa corresponde a la reacci´on de la fuerza F¯ que el fluido ejerce sobre el a´ labe,   − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ = −F¯ (8.20) Σa

Σa

Por otro lado, por la periodicidad de la configuraci´on anteriormente mencionada, en puntos correspondientes (misma posici´on x) de las superficies de corriente Σ1 y Σ2 los valores de la presi´on y de los esfuerzos viscosos son exactamente iguales, pero en ellas los vectores n ¯ tienen sentidos opuestos, por lo que se verifica   p¯ n dσ − p¯ n dσ = 0 (8.21) − Σ 1

y

Σ 2



 τ¯ · n ¯ dσ + Σ 1

τ¯ · n ¯ dσ = 0,

(8.22)

Σ 2

esto es, la fuerza que se ejerce sobre el fluido a trav´es de Σ1 se cancela id´enticamente con la fuerza que se ejerce a trav´es de Σ2 . Por otra parte, en las superficies de entrada Σe y salida Σs el flujo es uniforme, y por ello, los esfuerzos de viscosidad son nulos. Al incorporar todas estas simplificaciones, la ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento se reduce a     ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = −F¯ − p¯ n dσ − p¯ n dσ, (8.23) Σe

Σs

Σe

106

Σs

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA cuyas componentes x e y podemos escribir de forma separada para dar − ρ1 u21 L + ρ2 u22 L = −Fx + p1 L − p2 L

(8.24)

ρ2 v2 u2 = −Fy .

(8.25)

y Si entroducimos la relaci´on ρ1 u1 = ρ2 u2 deducida anteriormente en (8.18), podemos finalmente escribir Fx ρ1 u1 (u2 − u1 ) + p2 − p1 = − (8.26) L y Fy ρ1 u1 v2 = − . (8.27) L Conservaci´on de la energ´ıa. Para cerrar el problema, aplicamos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa (7.16) al volumen de control. Omitiendo el t´ermino de variaci´on temporal, el t´ermino de trabajo de las fuerzas m´asicas y el t´ermino de calor transferido por radiaci´on o reacci´on qu´ımica, la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa en un volumen de control fijo es 

v2 v·n ¯ ) dσ = − ρ(e + )(¯ 2 Σc







p¯ v·n ¯ dσ +

v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ +

Σc

Σc

k(∇T · n ¯ ) dσ (8.28) Σc

Consideramos primero la transferencia de calor por conducci´on a trav´es de las distintas partes de la superficie de control. En las superficies de entrada Σe y salida Σs , por ser las corrientes uniformes, el gradiente de temperatura es nulo y por tanto no hay transferencia de calor por conducci´on. Tambi´en en Σa la transferencia de calor por conducci´on es nula, por estar los a´ labes aislados t´ermicamente . El flujo de calor por conducci´on a trav´es de las superficies de corriente Σ1 y Σ2 es distinto de cero, puesto que en ellas existe un gradiente de temperatura. Sin embargo, por la periodicidad de la configuraci´on, el gradiente de temperatura es exactamente el mismo en puntos correspondientes de ambas superficies, mientras que el vector n ¯ tiene sentidos opuestos, por lo que   k(∇T · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ ) dσ = 0, (8.29) Σ 1

Σ 2

esto es el flujo de calor por conducci´on a trav´es de la superficie Σ1 se cancela id´enticamente con el que pasa por la superficie Σ2 . Consideramos ahora el trabajo de las fuerzas de viscosidad. En las superficies de entrada Σe y salida Σs , los esfuerzos viscosos son nulos por ser las corrientes uniformes, de modo que no realizan trabajo. Sobre la superficie del a´ labe Σa , s´ı existen esfuerzos viscosos, pero e´ stos no realizan trabajo puesto que la velocidad del fluido es cero v¯ = 0 en virtud de la condici´on de adherencia (los a´ labes son fijos en el sistema de referencia elegido). Tampoco la fuerza de presi´on realiza trabajo sobre el a´ labe. Por la periodicidad de la configuraci´on el trabajo de las fuerzas de superficie (de presi´on y de viscosidad) en la superficie Σ1 es opuesto al trabajo de las fuerzas de superficie sobre la superficie Σ2 , y el trabajo neto en ambas superficies es nulo, esto es   ¯ v¯ · (τ · n ¯ ) dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ = 0 (8.30) Σ 1

Σ 2

107

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA y



 p¯ v·n ¯ dσ −

− Σ 1

p¯ v·n ¯ dσ = 0.

(8.31)

Σ 2

As´ı, las fuerzas de presi´on u´ nicamente realizan trabajo en las superficies de entrada y de salida, mientras que las fuerzas de viscosidad no realizan ning´un trabajo, con lo que la ecuaci´on de la energ´ıa para este problema se reduce a     v2 v2 v·n ¯ ) dσ + v·n ¯ ) dσ = − ρ(e + )(¯ ρ(e + )(¯ p¯ v·n ¯ dσ − p¯ v·n ¯ dσ. (8.32) 2 2 Σe Σs Σe Σs En el caso del movimiento de gases, a la hora de escribir el balance energ´etico en un cierto volumen de control, resulta a menudo u´ til introducir la entalp´ıa h = e + p/ρ, para lo que agrupamos los t´erminos de trabajo de las fuerzas de presi´on, escritos en la forma Σ (p/ρ)ρ¯ v· n ¯ dσ, con los t´erminos de flujo de energ´ıa, para dar en este caso   p v2 p v2 ρ(e + + )(¯ ρ(e + + )(¯ v·n ¯ ) dσ + v·n ¯ ) dσ = 0. (8.33) ρ 2 ρ 2 Σe Σs Puesto que las propiedades fluidas son uniformes en las secciones de entrada y salida, las integrales se realizan f´acilmente para dar con lo que obtenemos     u21 u22 + v22 = ρ2 u2 L h2 + . (8.34) ρ1 u1 L h1 + 2 2 Sabiendo que, por continuidad, ρ1 u1 = ρ2 u2 y reordenando, obtenemos h1 +

u21 u2 + v22 = h2 + 2 2 2

(8.35)

Como para un gas perfecto e = cv T y p/ρ = Rg T con cp = cv + Rg , la entalp´ıa puede escribirse en funci´on de la presi´on y de la densidad de acuerdo a h=

γ p , γ −1ρ

(8.36)

con lo que finalmente γ p2 u22 + v22 γ p1 u21 = , + + γ − 1 ρ1 2 γ − 1 ρ2 2

(8.37)

que indica que la entalp´ıa de remanso de la corriente, h + v¯ · v¯/2, permanece constante en el movimiento a trav´es de la cascada de a´ labes. Conviene hacer notar en este punto la diferencia entre la cascada de a´ labes fijos y el caso de las m´aquinas de fluidos analizadas anteriormente en 7.3, en las que, debido a la existencia de partes m´oviles, se produce un intercambio de trabajo entre la corriente fluida y la m´aquina, dando lugar a un salto en los valores de la entalp´ıa de remanso entre la entrada y la salida. Recopilamos a continuaci´on las relaciones resultantes de aplicar las leyes de conservaci´on al volumen de control de la Figura 8.4. Con ellas quedan relacionadas las condiciones del flujo aguas arriba y aguas abajo de la cascada de a´ labes, que son funci´on del cociente entre la fuerza

108

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL por unidad de longitud F¯ = (Fx , Fy ) y la distancia L de separaci´on de los a´ labes de acuerdo a ρ1 u1 = ρ2 u2 Fx ρ1 u1 (u2 − u1 ) + p2 − p1 = − L Fy ρ1 u1 v2 = − L γ p2 u22 + v22 γ p1 u21 + + = . γ − 1 ρ1 2 γ − 1 ρ2 2

(8.38) (8.39) (8.40) (8.41)

8.3 Turbom´aquina axial La fuerza de sustentaci´on que el flujo ejerce sobre los a´ labes puede emplearse para ponerlos en movimiento y producir as´ı trabajo. Es el caso de las m´aquinas de fluidos descritas en el cap´ıtulo anterior. En esta secci´on consideramos una turbom´aquina axial que se ajusta al ejemplo de la secci´on 7.3 y ampliamos el an´alisis para aplicar tambi´en la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento y as´ı incluir en las relaciones finales la fuerza que experimenta la m´aquina. Q˙

˙ W

ρ2 p2 u2

ρ1 p1 u1

A2

A1

F Figura 8.5: Turbom´aquina axial. Las a´ reas de las secciones de entrada y salida de la turbom´aquina axial de la Figura 8.5 son, respectivamente A1 y A2 . Adem´as de la carcasa fija exterior, la turbom´aquina contiene partes m´oviles en su interior a trav´es de las que se realiza sobre la corriente fluida un trabajo por unidad ˙ MAQ , que es la potencia de la m´aquina ideal. En el caso de una turbina, se extrae de tiempo, W ˙ = −W ˙ MAQ ser´ıa ˙ MAQ ser´ıa una cantidad negativa y W trabajo de la la corriente, por lo que W la potencia de la turbina. La reacci´on qu´ımica en la c´amara de combusti´on y la transmisi´on de calor a trav´es de las paredes dan lugar a una aportaci´on conjunta de calor al fluido por unidad ˙ Supondremos conocido el valor de la fuerza axial F que ejerce el gas sobre la de tiempo Q. turbom´aquina. Suponiendo adem´as que en la entrada y la salida el movimiento es en direcci´on axial con propiedades uniformes, pretendemos obtener el valor de la densidad ρ2 , la presi´on p2 y la velocidad u2 a la salida en funci´on de las condiciones ρ1 , p1 y u1 en la entrada y de los ˙ MAQ , Q˙ y F . valores W 109

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL Para el an´alisis de este problema definimos un volumen de control que contiene todo el gas del interior de la turbom´aquina, tal y como se hizo en la secci´on 7.3. En la Figura 8.6 se dibuja el volumen de control con la notaci´on utilizada para el presente problema. La superficie de control consta de una superficie exterior cerrada que incluye la secci´on de entrada Σe , la secci´on de salida Σs y una superficie Σp coincidente con la pared interna, fija, de la carcasa. La superficie de control consta tambi´en de una superficie interior m´ovil Σm que coincide con la superficie de los a´ labes m´oviles de la turbom´aquina. El vector n ¯ se define en estas superficies dirigido hacia el exterior del volumen de control. Q˙

˙ W

ρ2 p2 u2

n ¯

ρ1 p1 u1

n ¯

A1 Σe

n ¯

Σm v¯c = 0 Σp

A2 Σs n ¯

n ¯

F Figura 8.6: Volumen de control utilizado para el an´alisis del problema. El vector n ¯ se define dirigido hacia el exterior del volumen de control. Tal y como se vi´o en la secci´on 7.3, las ecuaciones de conservaci´on de la masa y de la energ´ıa aplicadas e este volumen de control proporcionan las ecuaciones G = ρ1 u1 A1 = ρ2 u2 A2

(8.42)

y

    p2 u22 p1 u21 ˙ ˙ MAQ + Q, G e2 + + + (8.43) − e1 + =W ρ2 2 ρ1 2 ˙ MAQ y del calor por unien funci´on del gasto que circula por la m´aquina G, de su potencia W ˙ dad de tiempo que se comunica a la corriente Q. Para un gas ideal calor´ıficamente perfecto con relaci´on de calores espec´ıficos γ, esta u´ ltima relaci´on puede escribirse haciendo uso de la ecuaci´on (8.36) en la forma     γ p2 u22 γ p1 u21 ˙ ˙ MAQ + Q. + + (8.44) G − =W γ − 1 ρ2 2 γ − 1 ρ1 2 Para el c´alculo de la fuerza, hay que tener en cuenta que el gas entra en contacto con la turbom´aquina en la superficie interior fija de la carcasa Σp y en la superficie de las partes m´oviles Σm , tal y como se indica en la Figura 8.7, por lo que la fuerza F¯ que el gas ejerce sobre la turb´om´aquina vendr´a dada por   ¯ p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ, (8.45) F =− Σp +Σm

Σp +Σm

110

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL con el vector n ¯ definido normal al elemento de superficie dσ y dirigido hacia el fluido. Dada la simetr´ıa de la configuraci´on, la fuerza F¯ tiene solo componente axial F¯ = F e¯x si suponemos despreciable el efecto de las fuerzas gravitatorias. Por otra parte, si el r´egimen de giro de la m´aquina se mantiene constante, podemos anticipar que la fuerza F¯ es independiente del tiempo. ρ2 p2 u2

ρ1 p1 u1 Σm

A1

A2 Σp

F Figura 8.7: Superficie interior de la turbom´aquina, para el c´alculo de la fuerza F¯ . El vector n ¯ se define dirigido al fluido que ejerce la fuerza. Aplicamos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10),      d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ, dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) que escribimos despreciando el efecto de las fuerzas gravitatorias. Debido a la existencia de partes m´oviles, el flujo en el interior de la m´aquina var´ıa con el tiempo y el volumen de control no es fijo. A pesar de ello, en r´egimen de funcionamiento estacionario, la cantidad de cantidad de movimiento total contenida en el volumen de control permanece constante en el tiempo, por lo que el t´ermino de variaci´on temporal es nulo. Por otro laso, el flujo convectivo de cantidad de movimiento ser´a distinto de cero solo en las secciones de entrada Σe y de salida Σs , donde el flujo es axial y uniforme, por lo que haciendo uso de (8.42) podemos escribir  ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = ρ1 u1 e¯x (−u1 )A1 + ρ2 u2 e¯x u2 A2 Σe +Σs

(8.46) =

(−ρ1 u21 A1

+

ρ2 u22 A2 )

e¯x = G(u2 − u1 ) e¯x .

Consideramos ahora las fuerzas externas sobre el volumen de control. Las fuerzas de viscosidad en las secciones de entrada y de salida son nulas,   τ¯ · n ¯ dσ = τ¯ · n ¯ dσ = 0, (8.47) Σe

Σs

puesto que consideramos flujo uniforme en estas secciones. Por otro lado, la fuerza de presi´on del fluido exterior sobre las secciones de entrada y salida viene dada por  − p¯ n dσ = −p1 (−¯ ex )A1 = p1 A1 e¯x (8.48) Σe

111

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL y

 p¯ n dσ = −p2 (¯ ex )A2 = −p2 A2 e¯x .

−

(8.49)

Σs

´ Unicamente queda considerar las fuerzas de superficie (de presi´on y de viscosidad) sobre las superficies Σp y Σm de la turbom´aquina. La fuerza exterior sobre el volumen de control en estas superficies corresponde a la reacci´on de la fuerza F¯ que el gas ejerce sobre la turbom´aquina en las mismas superficies. As´ı,   − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ = −F¯ (8.50) Σp +Σm

Σp +Σm

hay que notar que en esta expresi´on el vector n ¯ es el correspondiente al volumen de control definido en la Figura 8.6. Todas las contribuciones a la ecuaci´on de cantidad de movimiento tienen u´ nicamente direcci´on axial. Agrupando todas ellas, escribimos G(u2 − u1 ) = p1 A1 − p2 A2 − F,

(8.51)

que unida a las ecuaciones (8.42) y (8.44) completan el conjunto de relaciones necesarias para analizar el funcionamiento de la m´aquina. Para terminar esta secci´on, hacemos un apunte sobre la fuerza. Se ha denominado F¯ a la fuerza que el gas del interior de la turbom´aquina ejerce sobre e´ sta, F¯ = F¯gas→maq . La fuerza F¯maq que en realidad se medir´ıa en un banco de ensayo incluir´ıa el efecto de la fuerza F¯aire→maq del aire atmosf´erico sobre la superficie externa de la carcasa. El aire atmosf´erico en reposo solo ejerce fuerza de presi´on. Con referencia a la Figura 8.8,    F¯maq = F¯gas→maq + F¯aire→maq = − p¯ n dσ + pa n ¯ dσ (8.52) τ¯ · n ¯ dσ − Σp +Σm

Σp +Σm

Σq

donde el vector n ¯ se define, en cada caso, dirigido hacia el fluido que realiza la fuerza. Σq

pa

ρ2 p2 u2

ρ1 p1 u1 Σm

A1

A2 Σp

F Figura 8.8: Superficies interior y exterior de la turbom´aquina, para el c´alculo de la fuerza F¯maq . El vector n ¯ se define dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza.

112

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA Para calcular la fuerza del aire exterior F¯aire→maq usamos la siguiente estrategia:  "  pa n ¯ dσ = − pa n ¯ dσ + pa n ¯ dσ F¯aire→maq = − Σq

Σq +Σe +Σs

Σe +Σs

(8.53) = pa A1 (−¯ ex ) + pa A2 e¯x = (pa A2 − pa A1 ) e¯x que corresponde a una descomposici´on de la superficie de integraci´on seg´un el esquema de la Figura 8.9. La superficie Σq + Σe + Σs es una superficie cerrada, as´ı que la integral de superficie del valor uniforme pa sobre ella es nula. Como la fuerza F¯ , la fuerza F¯aire→maq solo tiene componente axial. De modo que la magnitud de la fuerza total F¯maq (del gas del interior y el aire del exterior) sobre la turbom´aquina es Fmaq = Fgas→maq + Faire→maq = −G(u2 − u1 ) + p1 A1 − p2 A2 + pa A2 − pa A1 (8.54) = −G(u2 − u1 ) + (p1 − pa )A1 − (p2 − pa )A2 . Σq

Σq

n ¯

n ¯

Σe n ¯

Σs

Σs n ¯

n ¯

=

−

n ¯

n ¯

Σe n ¯

Figura 8.9: Descomposici´on de la superficie Σq para el c´alculo de la fuerza F¯aire→maq .

8.4 Bomba centr´ıfuga Las bombas hidr´aulicas tienen como objetivo el aumento de la presi´on de un l´ıquido que circula a trav´es de ellas. Por medio de a´ labes giratorios, aumentan la cantidad de movimiento del l´ıquido y despu´es convierten su alta velocidad en aumento de presi´on al salir el l´ıquido a trav´es de un difusor. En las bombas centr´ıfugas el l´ıquido entra axialmente (en la direcci´on del eje del rotor), los a´ labes redirigen el l´ıquido al plano perpendicular y le imprimen un movimiento tangencial y radial hacia el exterior, donde se recoge en la c´amara difusora de forma toroidal. Consideramos en esta secci´on una bomba centr´ıfuga, esquematizada en la Figura 8.10, con rotor de di´ametro D, a la que llega agua con velocidad Vo y presi´on po uniformes a trav´es de un conducto circular de di´ametro Do . La geometr´ıa interna de la bomba es tal que redirige el l´ıquido de su interior al plano perpendicular al conducto de entrada y e´ ste abandona los a´ labes radialmente hacia una c´amara difusora toroidal de altura h. Las propiedades del fluido a la salida del rotor tambi´en pueden considerarse uniformes, siendo la velocidad Vs y la presi´on ps = pa . Por la geometr´ıa y la rotaci´on de los a´ labes, la velocidad a la salida Vs forma un a´ ngulo α con la direcci´on tangencial local. Aplicando las leyes de conservaci´on a este sistema, podremos determinar la fuerza axial F a la que est´a sometida la bomba, el par M que se comunica al agua en el bombeo y la potencia ˙ que debe tener el motor que arrastra la bomba en el supuesto de que el rendimiento sea la W unidad. Para ello definimos el volumen de control, mostrado en la Figura 8.11, que contiene 113

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA

h

D Vs

Do

pa

ps α

pa y

Vo po

y z

x

Do Figura 8.10: Bomba centr´ıfuga.

el fluido del interior de la turbom´aquina. La superficie de entrada Σe al volumen de control es circular, de di´ametro Do y normal al eje x; la superficie de salida Σs es una banda circular de altura h y di´ametro D; el resto de la superficie de control tiene una parte fija Σp que coincide con la pared interior de la carcasa de la bomba y una parte m´ovil Σa que coincide con la superficie de los a´ labes giratorios. El vector n ¯ se define normal a cada elemento de superficie y dirigido hacia el exterior del volumen de control.

h

D Vs

Do

pa

pa

α Σa

y

Vo po

ps

y z

x

Σp

Σe Σs

Do

Figura 8.11: Volumen de control para el an´alisis de la bomba centr´ıfuga. El vector n ¯ se define normal a cada elemento de superficie y dirigido hacia el exterior del volumen de control. El vector n ¯ sobre la superficie Σa , no mostrado en la figura, est´a dirigido hacia el a´ labe. Como en la turbom´aquina axial de la secci´on anterior, el flujo a trav´es de la bomba centr´ıfu114

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA ga no es estacionario, en el sentido de que localmente en el interior se observan variaciones de las distintas magnitudes fluidas asociadas al giro de las partes m´oviles. Sin embargo, en el funcionamiento de la bomba a velocidad de giro constante se alcanza un r´egimen estacionario en media, en el que los par´ametros de salida son invariantes y las cantidades de masa, cantidad de movimiento, momento cin´etico y energ´ıa contenidas en el volumen de control elegido son independientes del tiempo. Por tanto, los t´erminos de evoluci´on temporal en todas las leyes de conservaci´on son nulos. En cuanto a los flujos convectivos (de masa, cantidad de movimiento, momento cin´etico y energ´ıa), e´ stos ser´an nulos en las superficies s´olidas de la bomba, tanto en la superficie fija de la carcasa Σp donde v¯ = v¯c = 0, como en las superficies m´oviles de los a´ labes giratorios Σa donde v¯ − v¯c = 0. Por tanto, calcularemos los flujos convectivos solamente en las superficies de entrada Σe y de salida Σs . Recordamos que las bombas hidr´aulicas act´uan sobre un l´ıquido incompresible, con densidad ρ constante. Como simplificaci´on adicional, supondremos que el efecto de la gravedad es despreciable en el movimiento del agua a trav´es de la bomba. Conservaci´on de la masa. La ley de conservaci´on de la masa se reduce a la igualdad de flujo volm´etrico a trav´es de las superficies de entrada Σe y salida Σs . Con referencia a los ejes cartesianos indicados en las figuras, el flujo axial de entrada a la bomba est´a alineado con el eje x, mientras que en la superficie de salida la componente normal de la velocidad resulta ser v¯ · n ¯ = Vs sen(α), con lo que obtenemos   πDo2 + Vs sen(α) πDh = 0, v¯ · n ¯ dσ + v¯ · n ¯ dσ = −Vo (8.55) 4 Σe Σs que podemos escribir en funci´on del caudal Q que circula a trav´es de la bomba (8.56)

Q = Vo Ao = Vs sen(α) πDh, donde hemos introducido Ao =

πDo2 4

para simplificar la notaci´on.

Conservaci´on de la cantidad de movimiento. Escribimos a continuaci´on la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10), de la que tomamos la componente axial. Puesto que consideramos que el flujo en las secciones de entrada y salida es unidimensional con propiedades uniformes, los esfuerzos viscosos τ¯ en las superficies Σe y Σs son id´enticamente nulos y podemos escribir  #    ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − Σe +Σs

p¯ n dσ − Σe +Σs

τ¯ · n ¯ dσ.

p¯ n dσ + Σp +Σa

· e¯x (8.57)

Σp +Σa

En la superficie de salida Σs la velocidad del fluido no tiene componente axial, as´ı que, a´un cuando existe flujo m´asico a trav´es de dicha superficie, no hay flujo convectivo de cantidad de movimiento axial. Tampoco la fuerza de presi´on, siempre normal a la superficie, tiene componente axial en Σs . Siendo las propiedades uniformes en Σe , es sencillo calcular las integrales en esta superficie para dar   2 pnx dσ + (τ¯ · n ¯ )x dσ . (8.58) − ρVo Ao = po Ao − Σp +Σa Σp +Σa

  Fbomba→agua

115

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA Identificando en las fuerzas de superficie en Σp y Σa la reacci´on de la fuerza axial que el l´ıquido del interior de la bomba ejerce sobre sus paredes, obtenemos finalmente la expresi´on Fagua→bomba = −Fbomba→agua = (ρVo2 + po )Ao .

(8.59)

Para completar la descripci´on de la fuerza a la que est´a sometida la bomba (8.60)

F = Fagua→bomba + Faire→bomba

hay que calcular tambi´en la contribuci´on, Faire→bomba , debida a la acci´on que el aire atmosf´erico del exterior ejerce sobre la carcasa, que es tambi´en axial por simetr´ıa. Para el c´alculo de Faire→bomba debemos evaluar la integral  ¯ Faire→bomba = − pa n ¯ dσ, (8.61) Σq

donde Σq es la superficie exterior de la carcasa, que podemos descomponer de acuerdo a lo que se muestra en la Figura 8.12 para dar  "  F¯aire→bomba = − pa n ¯ dσ = − pa n ¯ dσ + pa n ¯ dσ = −pa Ao e¯x . (8.62) Σq

Σq +Σe +Σs

Σe +Σs

Sustituyendo ahora (8.59) y (8.62) en (8.60) podemos determinar la expresi´on para la fuerza axial F = Fagua→bomba + Faire→bomba = (ρVo2 + po − pa )Ao (8.63) a la que est´a sometida la bomba centr´ıfuga. Σs

=

−

Σe

Σq

Figura 8.12: Superficie exterior de la carcasa Σq para el c´alculo de la fuerza F¯aire→bomba . El vector n ¯ se define normal al elemento de superficie y dirigido hacia el aire atmosf´erico que ejerce la fuerza.

Conservaci´on del momento cin´etico. A continuaci´on aplicamos la ley de conservaci´on del momento cin´etico al volumen de control de la Figura 8.11,   ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯](¯ v·n ¯ ) dσ = − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n) dσ Σe +Σs

Σc (t)

(8.64)

 (¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ,

+ Σc (t)

116

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA con el objetivo de obtener una expresi´on para el par M que se comunica al agua en el bombeo. En los t´erminos de la derecha, separamos las contribuciones en las superficies de entrada y salida, Σe + Σs , de las contribuciones en las superficies de la turbom´aquina, Σp + Σa . En las primeras, con flujo uniforme, los esfuerzos viscosos son nulos. En las u´ ltimas, reconocemos el ¯ =M ¯ bomba→agua . momento de la fuerza que la bomba ejerce sobre el agua M  ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯](¯ v·n ¯ ) dσ = Σe +Σs



 −

(¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n) dσ − Σe +Σs

(8.65)

 (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n) dσ + Σp +Σa  ¯ M

(¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ Σp +Σa 

Desarrollamos ahora las integrales en las superficies Σe y Σs :  ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ (Vo e¯x )](−Vo ) dσ Σe  + ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ (Vs sen α e¯r − Vs cos α e¯θ )]Vs sen α dσ = Σs   ¯, − (¯ x − x¯o ) ∧ (−p¯ ex ) dσ − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ er ) dσ + M Σe

(8.66)

Σs

donde e¯r y e¯θ representan los vectores unitarios en las direcciones radial y azimutal. Por la ¯ es axial, M ¯ = M e¯x . Ni simetr´ıa del dispositivo, la u´ nica componente no nula del momento M la cantidad de movimiento ni la fuerza de presi´on dan momento axial en la superficie de entrada. En la superficie de salida, solo la componente tangencial de la velocidad da momento neto de acuerdo a  D ρ[( e¯r ) ∧ (−Vs cos α e¯θ )]Vs sen α dσ = M e¯x (8.67) 2 Σs de donde obtenemos M = ρVs2 sen α cos α

πD 2 h . 2

(8.68)

Conservaci´on de la energ´ıa. Finalmente aplicamos la ley de conservaci´on de la energ´ıa al ˙ necesaria volumen de control de la Figura 8.11, con el objetivo de determinar la potencia W para mover la bomba. Partimos de la ecuaci´on 7.17,        d v2 v2 + gz dV + + gz (¯ v − v¯c ) · n ρ e+ ρ e+ ¯ dσ = dt Vc (t) 2 2 Σc (t) (8.69)     p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV. − Σc (t)

Σc (t)

Σc

Vc

Por las razones ya discutidas, el t´ermino de evoluci´on temporal es nulo y el flujo convectivo de energ´ıa se da solamente a trav´es de las superficies de entrada Σe y de salida Σs , donde las propiedades fluidas son uniformes y las integrales se calculan f´acilmente. La variaci´on de temperatura que puede sufrir la corriente l´ıquida al atravesar la bomba centr´ıfuga es despreciable y, 117

8.5. ASPERSOR por tanto, consideramos que la energ´ıa interna e es invariable y tambi´en que no ocurre transferencia de calor por conducci´on (∇T · n ¯ = 0) ni radiaci´on o reacci´on qu´ımica (q˙R = q˙Q = 0). De la misma forma que despreciamos anteriormente el efecto de la gravedad en el balance de cantidad de movimiento, supondremos en este caso despreciable la variaci´on de energ´ıa potencial que experimenta la corriente l´ıquida, lo cual es razonable para bombas de un tama˜no normal. Adem´as, en las superficies de entrada y de salida no hay fuerzas viscosas que puedan realizar trabajo, aunque s´ı debemos calcular en estas superficies el trabajo de las fuerzas de presi´on.     v2 ρ p¯ v ·n ¯ dσ − p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ (8.70) v¯ · n ¯ dσ = − 2 Σe +Σs Σe +Σs Σp +Σa Σp +Σa

  ˙ bomba→agua W

˙ bomba→agua es la potencia W ˙ que debe tener el La potencia que la bomba comunica al agua W motor que arrastra a la bomba en el supuesto de que el rendimiento sea la unidad. Realizando las integrales en las superficies Σe y Σs , y utilizando la expresi´on para el flujo volum´etrico ˙ Q = Vo Ao = Vs sen(α) πDh, podemos obtener finalmente la siguiente expresi´on para W  2  Vs − Vo2 ps − po ˙ + W = ρQ (8.71) 2 ρ

8.5 Aspersor Consideramos en esta secci´on un aspersor formado por un u´ nico conducto, esquematizado en la figura 8.13. El brazo del aspersor forma a´ ngulo recto con el conducto de entrada y tiene una boquilla en el extremo, dispuesta de tal forma que la corriente descarga al exterior un con a´ ngulo α respecto al brazo del aspersor. Esta deflexi´on de la corriente provoca que el aspersor ¯ R de resistencia al giro es nulo. Por el aspersor circula un gire a velocidad angular Ω si el par M caudal Q de agua, de densidad ρ constante. El a´ rea de la secci´on transversal del conducto es A en toda su longitud (incluida la boquilla de descarga) y la longitud del brazo es R. En la secci´on de entrada al aspersor la presi´on del agua es po y la descarga ocurre a la atm´osfera a presi´on pa .

Ω z y

y R

x

pa

A po U Figura 8.13: Aspersor de un solo brazo.

118

U pa

α

8.5. ASPERSOR Aplicando las leyes de conservaci´on, pretendemos determinar la fuerza F¯ que el agua de su interior y el aire de su exterior ejercen conjuntamente sobre el aspersor, y determinar la velocidad de giro Ω en funci´on del caudal Q y la geometr´ıa del aspersor (su secci´on transversal A, su longitud R y el a´ ngulo α). Con la notaci´on que se introduce en la figura 8.14, la expresi´on para la fuerza F¯ quedar´ıa en la forma F¯ = F¯agua−aspersor + F¯aire−aspersor    ¯ = − p¯ n dσ + pa n ¯ dσ τ ·n ¯ dσ − Σp Σp Σq   (p − pa )¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. = − Σp

(8.72)

Σp

Para escribir la u´ ltima ecuaci´on se utiliza el hecho de que las superficies interior Σp y exterior Σq son iguales pero su vector n ¯ es de orientaci´on opuesta. Hay que insistir que en la u´ ltima ecuaci´on (8.72) el vector n ¯ normal a Σp est´a dirigido hacia el interior del aspersor.

Ω

Σp

Σp

Σq

Σq

Figura 8.14: Superficies interior Σp y exterior Σq del aspersor para el c´alculo de la fuerza F¯ sobre el aspersor. El vector n ¯ se define normal al elemento de superficie y dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza en cada caso. Resolvemos este ejercicio en el sistema de referencia x − y − z de la figura 8.13, un sistema no inercial, que gira solidariamente con el aspersor a su velocidad angular Ω¯ ez . Esto nos obliga a considerar las fuerzas m´asicas centr´ıfuga y de Coriolis: ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) − 2Ω ¯ ∧ v¯ = (Ω2 x − 2Ωv)¯ f¯m = −Ω ex + (Ω2 y − 2Ωu)¯ ey

(8.73)

ey . donde v¯ = u¯ ex + v¯ Definimos el volumen de control, indicado en la figura 8.15, que contiene el agua del interior del aspersor. En el sistema de referencia elegido, el volumen de control es fijo y el problema es estacionario. La superficie de control est´a compuesta por una superficie de entrada Σe , una ¯ se define normal al superficie de salida Σs y la superficie interior del conducto Σp . El vector n elemento de superficie y dirigido hacia fuera del volumen de control. Para el an´alisis suponemos que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y de salida del aspersor. Tambi´en suponemos que el efecto de la gravedad es despreciable. 119

8.5. ASPERSOR

Ω Σs Σs

Σp

Σp

Σe Figura 8.15: Volumen de control para el an´alisis del aspersor de un solo brazo. El volumen de control es fijo en el sistema no inercial que gira con el aspersor. El vector n ¯ se define normal al elemento de superficie y dirigido hacia fuera del volumen de control.

Conservaci´on de la masa. Conservaci´on de la masa en este volumen de control es trivial, indicando que si el a´ rea del conducto es constante, tambi´en lo es la magnitud de la velocidad del agua en e´ l. Denominamos U a la magnitud de la velocidad del agua en el conducto del aspersor, Q U= (8.74) A y en las secciones de entrada Σe y de salida Σs tenemos respectivamente las velocidades v¯e = U e¯z y v¯s = U sen α¯ ex + U cos α¯ ey , mientras que en brazo del aspersor la velocidad del fluido es U e¯y . Conservaci´on de la cantidad de movimiento. Aplicamos ahora la ley de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10), en su forma completa vectorial. La escribimos a continuaci´on para un volumen de control fijo (¯ vc = 0) y un problema estacionario. Elegimos escribir el t´ermino de fuerzas de presi´ o n con presiones manom´etricas, p − pa , que resulta equivalente por  ser Σc pa n ¯ dσ = 0, como ya se ha explicado en la secci´on 6.6 al escribir las ecuaciones (6.40) y (6.41).     ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − (p − pa )¯ n dσ + ρf¯m dV (8.75) τ¯ · n ¯ dσ + Σc

Σc

Σc

Vc

Como siempre, el flujo convectivo existe solo en las superficies Σe de entrada y Σs de salida, donde, por otro lado, los esfuerzos viscosos son nulos por ser la velocidad uniforme. Las fuerzas centr´ıfuga y de Coriolis son nulas en el conducto vertical y act´uan solo en el brazo del aspersor, siendo su efecto despreciable en el peque˜no tramo de la boquilla, con lo que obtenemos de resultante   y=R Ω2 R2 ¯ A e¯y . ρfm dV = ρ(2ΩU e¯x + Ω2 y e¯y )A dy = ρ2ΩUAR e¯x + ρ (8.76) 2 Vc y=0

120

8.5. ASPERSOR As´ı, desarrollamos la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento como ρU 2 A(sen α e¯x + cos α e¯y − e¯z ) = (po − pa )A e¯z   Ω2 R2 − (p − pa )¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ +ρ2ΩUAR e¯x + ρ A e¯y 2 Σp Σp  

(8.77)

−F¯

Reconocemos en esta ecuaci´on la expresi´on para la fuerza F¯ sobre el aspersor, notando que la orientaci´on del vector n ¯ sobre la superficie Σp en las ecuaciones (8.72) y (8.77) es opuesta. ¯ Despejando la fuerza F , obtenemos       Ω2 R2 2 2 ¯ F = −ρU sen α + 2ρΩUR A e¯x + −ρU cos α + ρ A e¯y + ρU 2 + po − pa A e¯z 2 (8.78) Conservaci´on del momento cin´etico. Aplicamos al volumen de control de la figura 8.15 la ecuaci´on integral de conservaci´on del momento cin´etico, que escribimos utilizando presiones manom´etricas, al igual que hemos hecho con la ecuaci´on de cantidad de movimiento. Para un volumen de control fijo y un flujo estacionario,     (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ ) dσ = − x¯ ∧ (p − pa )¯ n dσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ + x¯ ∧ f¯m ) dV (8.79) Σc

Σc

Σc

Vc

Calculamos los momentos respecto del punto x¯o situado en el origen de coordenadas, en el codo del aspersor. Entonces, en la superficie de entrada Σe , x¯ − x¯o = −L¯ ez ; en la superficie de salida ey ; y a lo largo del brazo del aspersor, x¯ − x¯o = y¯ ey . En realidad, en la superficie Σs , x¯ − x¯o = R¯ de entrada Σe , ni la cantidad de movimiento ni la fuerza de presi´on dan momento respecto de x¯o . R e¯y ∧ ρU(sen α e¯x + cos α e¯y )UA   x¯ ∧ (p − pa )¯ n dσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ =− Σp Σp

  

(8.80)

¯ −M

y=R

y e¯y ∧ ρ(2ΩU e¯x + Ω2 y e¯y )A dy

+ y=0

¯ de la fuerza F¯ que el agua y el aire ejercen conjuntamente donde identificamos el momento M sobre el aspersor. 2 ¯ − 2ρΩU R A e¯z − ρU 2 RA sen α e¯z = −M (8.81) 2 ¯ R de resistencia al giro del aspersor es nulo, entonces el equilibrio de Si el momento M ¯ = 0 implica que el momento M ¯ tambi´en es nulo, ¯R + M momentos sobre el aspersor M ¯ = ρURA(U sen α − ΩR) e¯z = 0, M

(8.82)

lo que permite despejar finalmente la siguiente relaci´on para la velocidad de giro Ω=

U sen α Q sen α = . R AR 121

(8.83)

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO

8.6 Salto hidr´aulico Un salto o resalto hidr´aulico es un ascenso brusco del nivel de agua en un canal. Las caracter´ısticas del resalto hidr´aulico pueden analizarse aplicando las ecuaciones de conservaci´on a un volumen de control definido alrededor del resalto. Consideramos en esta secci´on un resalto hidr´aulico que se desplaza por acci´on de la gravedad con velocidad constante U sobre una capa l´ıquida horizontal de espesor ho , dej´andola en movimiento con una velocidad U1 y un espesor h1 .

pa U

g

U1

h1

ho Figura 8.16: Resalto hidr´aulico. Para el an´alisis, podemos suponer despreciables los esfuerzos viscosos y las variaciones de presi´on asociadas al movimiento inducido en el aire, as´ı como las fuerzas de fricci´on en la superficie s´olida del suelo. Pretendemos relacionar los valores de U1 y h1 con los valores de U, ho y g. Calcularemos tambi´en la variaci´on de energ´ıa que sufre la corriente tras el paso del resalto. Elegimos resolver el problema en un sistema de referencia fijo, orientado seg´un se indica en la figura 8.17 y definimos un volumen de control que coincide en todo momento con el agua en el resalto. El volumen de control tiene forma y tama˜no fijo, pero es un volumen de control m´ovil: todos sus puntos se mueven con velocidad v¯c = U e¯x . De manera que la cantidad de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa en el volumen de control es constante y el t´ermino de variaci´on temporal en las ecuaciones de conservaci´on es nulo.

Σ

pa U

g Σe

vc ho

x

U1

Σs h1

z Σp

Figura 8.17: Volumen de control para el an´alisis del resalto hidr´aulico. El sistema de referencia es fijo y el volumen de control es m´ovil con velocidad igual a la del resalto v¯c = U e¯x . Identificamos las superficies del volumen de control como se indica en la figura 8.17: la superficie Σe situada aguas arriba del resalto, por donde el resalto no ha pasado a´un, el fluido 122

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO est´a en reposo y la velocidad relativa es v¯ − v¯c = −U e¯x (es, por tanto, la superficie de entrada al volumen de control); la superficie Σs situada aguas abajo del resalto, por donde ya ha pasado el resalto, el fluido queda con velocidad U1 y la velocidad relativa es v¯ − v¯c = (U1 − U)¯ ex (es la superficie de salida del volumen de control); la superficie Σ es la superficie libre del resalto, ¯ = 0; y la superficie Σp que coincide con donde la velocidad relativa normal es nula (¯ v − v¯c ) · n la superficie s´olida del suelo. Conservaci´on de la masa. La ecuaci´on de conservaci´on de la masa (5.1)    d ρ dV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0 dt Vc (t) Σc (t) se reduce a dos t´erminos: 

 ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ +

Σe

ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0

(8.84)

Σs

que, realizando la integral, queda − ρUho − ρ(U1 − U)h1 = 0

(8.85)

o tambi´en, si definimos λ ≡ h1 /ho ,

U1 1 =1− (8.86) U λ Siendo h1 > ho , λ > 1 y continuidad indica que U1 < U y la velocidad relativa en Σs es efectivamente de salida del volumen de control. Conservaci´on de la cantidad de movimiento. Escribimos a continuaci´on la componente x de la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10), con la gravedad como u´ nica fuerza m´asica y la fuerza de presi´on en t´erminos de presiones manom´etricas.  !   d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = dt Vc (t) Σc (t)     − (p − pa )¯ n dσ + ρ¯ g dV · e¯x τ¯ · n ¯ dσ + Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

Empezamos omitiendo el t´ermino de variaci´on temporal y tambi´en el t´ermino de la fuerza gravitatoria, puesto que e´ sta no tiene componente x. Adem´as, los esfuerzos viscosos son nulos en las superficies Σe y Σs donde la velocidad de la corriente es nula y uniforme respectivamente; son despreciables en Σ por la poca resistencia al movimiento que ofrece el aire (la viscosidad del aire es mucho m´as peque˜na que la viscosidad del agua); y despreciamos tambi´en las fuerzas de fricci´on en el suelo. As´ı, quedan solamente los t´erminos de flujo convectivo y las fuerzas de presi´on.  !  ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − Σc

(p − pa )¯ n dσ

· e¯x

(8.87)

Σc

En cuanto a los t´erminos convectivos, el fluido que entra al volumen de control a trav´es de la superficie Σe tiene velocidad nula v¯ = 0, por lo tanto, no hay flujo convectivo de cantidad de movimiento a trav´es de esta superficie. Realizando la integral en la superficie Σs queda:  (p − pa )nx dσ (8.88) − ρU1 (U1 − U)h1 = − Σc

123

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO Debemos ahora considerar la distribuci´on de presiones en la superficie de control. Aguas arriba del resalto, el fluido est´a en reposo, as´ı que la distribuci´on de presiones en la superficie Σe es la correspondiente a la fluidost´atica: p(z) = pa + ρg(ho − z). Aguas abajo del resalto, podemos situarnos moment´aneamente en un sistema de referencia inercial, que se mueve con velocidad constante U1 e¯x , en el que la velocidad del fluido es tambi´en nula y determinamos as´ı que la distribuci´on de presiones en Σs es tambi´en la correspondiente a la fluidost´atica: p(z) = pa + ρg(h1 − z). En la superficie libre Σ la presi´on es uniforme e igual a la presi´on atmosf´erica pa . Finalmente, en la superficie del suelo Σp , desconocemos la distribuci´on de presiones, pero la fuerza de presi´on sobre esta superficie no tiene componente x, nx = 0.   − ρU1 (U1 − U)h1 = − ρg(ho − z)nx dσ − ρg(h1 − z)nx dσ (8.89) Σe

Σs

Podemos ver que el nivel de la presi´on atmosf´erica pa es irrelevante puesto que todas sus contribuciones se cancelan.  z=ho  z=h1 − ρU1 (U1 − U)h1 = − ρg(ho − z) dz + ρg(h1 − z) dz (8.90) z=0

z=0

h21 h21 − h2o h2o (8.91) − ρU1 (U1 − U)h1 = −ρg + ρg = ρg 2 2 2 Combinando este resultado con la expresi´on (8.86) obtenida de continuidad, para eliminar U1 , podemos establecer la siguiente expresi´on para la relaci´on de alturas λ = h1 /ho : (8.92)

2F r = λ (λ + 1) 2

U , llamado n´umero de Froude. Resolviendonde hemos definido el grupo adimensional F r ≡ gh o do,  1 √ λ= 1 + 8F r − 1 (8.93) 2 y para las velocidades   U1 3 1√ = 1 + 8F r − 1 (8.94) U 2 3

Las olas normales tienen F r > 1. Si F r = 1, entonces h1 = ho y U1 = 0 y no hay ola. Olas con F r < 1 no existen. Conservaci´on de la energ´ıa. A continuaci´on, aplicamos la ecuaci´on (7.17) de conservaci´on de la energ´ıa al volumen de control para determinar la variaci´on de energ´ıa que se da a trav´es del resalto.    d v2 v2 + gz) dV + + gz)(¯ v − v¯c ) · n ρ(e + ρ(e + ¯ dσ dt Vc (t) 2 2 Σc (t)     =− p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ ) dσ + (q˙R + q˙Q ) dV Σc (t)

Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

Empezamos cancelando el t´ermino de evoluci´on temporal, el t´ermino de trabajo de los esfuerzos viscosos y los t´erminos de calor por radiaci´on o reacci´on qu´ımica. Por razones an´alogas por las

124

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO que despreciamos los esfuerzos viscosos podemos despreciar el flujo de calor por conducci´on a trav´es de la superficie de control.   v2 + gz)(¯ v − v¯c ) · n ρ(e + ¯ dσ = − p¯ v·n ¯ dσ (8.95) 2 Σc (t) Σc (t) El flujo convectivo es distinto de cero s´olo en las superficies Σe y Σs , mientras que el trabajo de la fuerza de presi´on es no nulo s´olo en las superficies Σs y Σ :   z=h1   z=ho U12 + gz (U1 − U) dz = ρ(eo + gz)U dz − ρ e1 + − 2 z=0 z=0 (8.96)  z=h1  z=h1 [pa + ρg(h1 − z)] U1 dz − pa U dz + z=0

z=ho

      h1 ho U12 h1 +g −ρ eo + g Uho −ρ e1 + (U1 −U)h1 = pa + ρg U1 h1 −pa U(h1 −ho ) 2 2 2 2 (8.97) que, usando el resultado (8.85) de la ecuaci´on de continuidad, podemos escribir como   h1 − ho U12 h2 +g ρUho e1 − eo + (8.98) = ρg 1 U1 2 2 2 Vemos que de nuevo, la contribuci´on del nivel de presi´on atmosf´erica se cancela. Este u´ ltimo resultado puede escribirse en forma adimensional (λ − 1)3 e1 − eo = 1 2 λ2 (λ + 1) U 2

(8.99)

Este resultado permite determinar el cambio de energ´ıa interna que el resalto impone al fluido en funci´on del n´umero de Froude. Puesto que λ > 1, se tiene que la energ´ıa interna aumenta por el paso del resalto. Resoluci´on alternativa en un sistema de referencia ligado al resalto. Este problema puede resolverse alternativamente en un sistema de referencia x − z  ligado al resalto, donde el volumen de control es fijo y el flujo estacionario. Si la velocidad del sistema de referencia es U e¯x , y orientamos el eje x hacia la derecha, entonces en el nuevo sistema de referencia, las velociex . Digamos dades del fluido en las superficies Σe y Σs son respectivamente, U e¯x y (U − U1 )¯ Vo = U y V1 = U − U1 seg´un la notaci´on de la figura 8.18. En este caso las leyes de conservaci´on son de f´acil aplicaci´on. Conservaci´on de la masa implica que: Vo ho = V1 h1 (8.100) Conservaci´on de la componente x de la cantidad de movimiento implica que: h2o − h21 − + =g (8.101) 2 Definiendo el n´umero de Froude con la velocidad Vo y la altura ho aguas arriba del resalto, Vo2 , obtenemos el resultado anterior (8.92), para la relaci´on de alturas en funci´on del F r = gh o Froude. Conservaci´on de la energ´ıa en este caso resulta en: Vo2 ho

e1 − eo +

V12 h1

V12 − Vo2 + g(h1 − ho ) = 0 2 125

(8.102)

8.7. COMPUERTA

Σ

pa g ho

Vo

Σe

z x

Σs

V1

h1

Σp Figura 8.18: Resalto hidr´aulico estacionario.

Este u´ ltimo resultado indica que la p´erdida de energ´ıa mec´anica (cin´etica + potencial) a trav´es del resalto se compensa con un aumento de la energ´ıa interna. Es la energ´ıa mec´anica disipada en el resalto en forma de calor. El hecho de que la disipaci´on ha de ser positiva, impone la condici´on de F r > 1 en los resaltos hidr´aulicos mencionada anteriormente.

8.7 Compuerta La disipaci´on de energ´ıa que se da en un resalto hidr´aulico resulta una propiedad u´ til, por ejemplo, tras los vertederos de las presas, donde el resalto hidr´aulico que se produce consigue moderar la velocidad de la corriente. Un canal de secci´on rectangular, de anchura b, tiene una compuerta parcialmente abierta que permite el paso de un caudal Q de agua, dando lugar a la formaci´on de un resalto hidr´aulico estacionario, como se esquematiza en la figura 8.19. A moderadas distancias aguas arriba y aguas abajo de la compuerta, donde la altura del agua alcanza los valores constantes h1 y h2 , se puede considerar que la velocidad es uniforme, digamos U1 y U2 respectivamente. La compuerta se ve sometida a una fuerza horizontal de magnitud F .

pa

U1

h1

g¯

F¯

pa U2

h2

ho Figura 8.19: Compuerta en un canal bidimensional con formaci´on de un resalto hidr´aulico. El problema puede tratarse como bidimensional, por ser h1  b, y el efecto de la viscosidad puede considerarse despreciable. Aplicando las leyes de conservaci´on, podemos obtener una expresi´on que relacione el caudal Q con la fuerza F y las alturas h1 y h2 . Definimos el volumen 126

8.7. COMPUERTA de control mostrado en la figura 8.20. La superficie de control consta de: la superficie de entrada Σe , aguas arriba de la compuerta, por donde entra fluido al volumen de control con velocidad uniforme; la superficie libre horizontal Σ1 aguas arriba de la compuerta; la superficie mojada de la compuerta Σa ; la superficie libre Σ2 del canal aguas abajo de la compuerta, incluye la superficie libre del resalto estacionario; la superficie de salida Σs , aguas abajo del resalto, por donde el fluido abandona el volumen de control con velocidad uniforme; y la superficie Σp del suelo del canal. El volumen de control es fijo (¯ vc = 0) y el flujo es estacionario (∂/∂t = 0). El fluido es incompresible, con densidad ρ constante.

Σ1

Σe

U1

pa

g¯ Σa F¯

h1

pa Σ2 U2

Σp

h2

Σs

ho

Figura 8.20: Volumen de control para el an´alisis del flujo en una compuerta con formaci´on de un resalto hidr´aulico.

Conservaci´on de la masa. La ecuaci´on de conservaci´on de la masa (5.1)    d ρ dV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0 dt Vc (t) Σc (t) se reduce a: (8.103)

Q = U1 h1 b = U2 h2 b

Conservaci´on de la cantidad de movimiento. Trabajamos a continuaci´on con la componente x de la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (6.10), con la gravedad como u´ nica fuerza m´asica y la fuerza de presi´on en t´erminos de presiones manom´etricas. !    d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = dt Vc (t) Σc (t)     − (p − pa )¯ n dσ + ρ¯ g dV · e¯x τ¯ · n ¯ dσ + Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

Omitiendo los t´erminos nulos o despreciables y realizando la integral de los t´erminos convectivos, podemos escribir  2 2 − ρU1 h1 b + ρU2 h2 b = − (p − pa )nx dσ (8.104) Σc

127

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA Como se ha explicado en la secci´on anterior, la distribuci´on de presiones en las superficies Σe y Σs , donde la velocidad es uniforme, se corresponde con la distribuci´on hidrost´atica de presiones. En las superficies libres Σ1 y Σ2 , tenemos que p − pa = 0, y en la superficie del suelo Σp , tenemos nx = 0. As´ı,  −

ρU12 h1 b

+

ρU22 h2 b

z=h1

=+

 ρg(h1 − z)b dz −

z=0

z=h2

z=0

 ρg(h2 − z)b dz −

Σa

(p − pa )b dz   F

(8.105) donde reconocemos la expresi´on para la fuerza F que experimenta la compuerta debido a la acci´on del l´ıquido del canal y del aire atmosf´erico conjuntamente. Realizando las integrales de presi´on, h21 h22 2 2 − ρU1 h1 b + ρU2 h2 b = ρg b − ρg b − F (8.106) 2 2 Introduciendo la expresi´on (8.103) de Q para eliminar las velocidades,   1 h2 − h22 Q2 1 − = −F + ρg 1 b (8.107) ρ b h2 h1 2 de donde podemos despejar la expresi´on para la fuerza F en funci´on del caudal Q y las alturas   Q2 1 1 h21 − h22 b−ρ − F = ρg (8.108) 2 b h2 h1 o podemos despejar la expresi´on para el caudal Q en funci´on de la fuerza F y las alturas,     1 h2 2F gh2 1 + b (8.109) 1− Q = h1 b 2 h1 ρg(h21 − h22 ) Por u´ ltimo, aplicando los resultados (8.100) y (8.101) obtenidos en la secci´on anterior para un resalto estacionario, podemos determinar la altura ho del nivel de agua en el canal inmediatamente antes del resalto:  1 2Q2 1 ho = + 2 3− (8.110) h2 4 gb h2 2

8.8 Chorro plano incidiendo sobre una placa plana articulada Incluimos en este cap´ıtulo un problema en el que se hace uso de la ecuaci´on de Bernoulli para el an´alisis. La figura muestra un chorro plano horizontal de espesor b de un l´ıquido de densidad ρ que impacta con una velocidad uniforme U sobre una placa cuyo peso es W y cuya longitud es Lp . Se sabe que el punto de impacto del chorro O se encuentra a una distancia vertical L del extremo superior de la placa, donde e´ sta se encuentra articulada con una r´otula que permite el libre giro. Debido al impacto del chorro, la placa gira sobre la r´otula superior hasta que alcanza una posici´on de equilibrio formando un a´ ngulo α a la vez que el chorro se divide en dos corrientes que, lejos del punto de impacto, tienen espesores constantes b1 y b2 , respectivamente. Despreciando el efecto de la gravedad en el movimiento del fluido y 128

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA y

U2

x

L p /2

b2

L

W U

O

α

b

b1

U1

suponiendo que los esfuerzos viscosos son despreciables, se pide obtener una expresi´on para el a´ ngulo de equilibrio α en funci´on de los datos del problema (L, b, W , U, Lp y ρ). Para resolver el problema, utilizaremos el sistema de referencia (x, y) que se indica en la figura, con el vector unitario e¯z orientado hacia el lector. Suponiendo que la placa puede girar libremente alrededor de la r´otula, la ecuaci´on que determina el a´ ngulo α es la ecuaci´on de equilibrio de momentos respecto a la r´otula, que podemos escribir en la forma 1 ¯ fluido→placa = 0. − W Lp cos(α)¯ ez + M 2 En ausencia de fuerzas viscosas,  ¯ x(p − pa )dx¯ ez Mfluido→placa =

(8.111)

(8.112)

Σp

donde Σp representa la superficie de la placa mojada por el l´ıquido. El campo de presiones alrededor del punto O de impacto es en principio desconocido, por lo que la resoluci´on del problema requiere el estudio del movimiento fluido, de acuerdo a lo que se indica m´as abajo. Puesto que el problema es estacionario y con efectos de viscosidad despreciables, podemos hacer aplicaci´on de la ecuaci´on de Bernoulli p + ρ|¯ v |2 /2 = Constante a lo largo de una l´ınea de corriente cualquiera. Lejos del punto de impacto O, las l´ıneas de corriente se encuentran alineadas, tanto en el chorro incidente como en las corrientes bifurcadas, lo que implica que la presi´on en ellas es uniforme e igual a la presi´on ambiente pa . Por tanto, al aplicar la ecuaci´on de Bernoulli obtenemos como resultado U1 = U2 = U.

(8.113)

Para proseguir con la soluci´on, aplicamos ahora las ecuaciones de conservaci´on en forma integral al volumen de control fijo (¯ vc = 0) que se indica en la figura adjunta. Puesto que el problema es estacionario, la ecuaci´on de continuidad se reduce en este caso a  ρ¯ v·n ¯ dσ = −ρ U b + ρ U1 b1 + ρ U2 b2 = 0, (8.114) Σc

129

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA con lo que obtenemos (8.115)

b = b1 + b2 .

Por otra parte, la ecuaci´on de la cantidad de movimiento (6.10), escrita en un volumen de control fijo sin la derivada temporal y despreciando el efecto de la gravedad y de los esfuerzos viscosos, se reduce a   ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − Σc

(p − pa )¯ ndσ.

(8.116)

Σc

La fuerza de presi´on la hemos escrito haciendo uso de la presi´on manom´etrica, lo que equivale  a sumar un t´ermino de la forma Σc pa n ¯ dσ, que es id´enticamente nulo por ser Σc una superficie cerrada. Para evaluar la integral resultante, tendremos en cuenta que p = pa en toda la superficie del volumen de control Σc , excepto en aquella que se encuentra en contacto con la placa, que denominaremos Σp , donde el vector normal n ¯ coincide con el vector unitario e¯y . Es trivial comprobar que la fuerza resultante se puede relacionar con la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa de acuerdo a  ¯ Fplaca = Fy e¯y = (p − pa )dσ¯ ey . (8.117) Σp

 Evaluamos ahora el flujo de cantidad de movimiento Σc ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ, que es nulo en la superficie de corriente exterior, por ser v¯ · n ¯ = 0. Las contribuciones no nulas aparecen en el jet y en las corrientes bifurcadas. Como las condiciones son uniformes con |¯ v| = U, obtenemos  ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = −ρU 2 b[cos(α)¯ ex + sen(α)¯ ey ] + ρU 2 b1 e¯x − ρU 2 b2 e¯x . (8.118) Σc

Sustituyendo ahora las expresiones (8.117) y (8.118) en la ecuaci´on vectorial (8.116) y separando las componentes x e y obtenemos, respectivamente, − ρU 2 bcos(α) + ρU 2 b1 − ρU 2 b2 = 0

(8.119)

Fy = ρU 2 bsen(α).

(8.120)

y La primera de estas ecuaciones, escrita en la forma bcos(α) = b1 − b2 , la podemos combinar con (8.115) para despejar b b1 = (1 + cosα) (8.121) 2 y b b2 = (1 − cosα), (8.122) 2 mientras que la segunda de las ecuaciones proporciona la fuerza sobre la placa. Aplicamos ahora la ecuaci´on de conservaci´on del momento cin´etico respecto al extremo superior de la placa. Como el movimiento es estacionario y sin efecto de las fuerzas gravitatorias y de viscosidad, la ecuaci´on (6.35) se reduce para dar   ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ = − x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ, (8.123) Σc

Σc

donde adem´as hemos tenido en cuenta que el origen de coordenadas coincide con el extremo de la placa y hemos escrito el momento de las fuerzas de presi´on en funci´on de la presi´on 130

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA manom´etrica. Sabemos que p = pa en todo el contorno exterior del volumen de control, excepto ¯ = e¯y y x¯ = x¯ ex , por lo que, teniendo que cuenta que e¯x ∧ e¯y = e¯z , podemos en Σp , donde n escribir   ¯ fluido→placa . x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ = − x(p − pa )dσ¯ ez = −M (8.124) − Σc

Σp

N´otese que, para escribir la u´ ltima igualdad, hemos hecho uso de (8.112). ¯ = 0, por lo que solo tenemos que En las superficies de corriente laterales y en Σp , v¯ · n evaluar el flujo de momento cin´etico en el chorro y en las corrientes paralelas a la placa. Para el chorro, v¯ · n ¯ = −U y x¯ ∧ v¯ = LU e¯z , por lo que el flujo de momento cin´etico resulta ser igual a −ρU 2 Lb¯ ez . En la superficie Σ1 , v¯ · n ¯ = U y x¯ ∧ v¯ = −yU e¯z , con lo que obtenemos  0  1 ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ = − ρU 2 dy¯ ez = ρU 2 b21 e¯z . (8.125) 2 Σ1 −b1 De forma parecida, en la superficie Σ2 , donde v¯ · n ¯ = U y x¯ ∧ v¯ = yU e¯z , obtenemos  0  1 ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ = ρU 2 dy¯ ez = − ρU 2 b22 e¯z . 2 −b2 Σ2

(8.126)

Sustituyendo estas expresiones en  ¯ fluido→placa = − M

ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ

(8.127)

Σc

obtenemos

¯ fluido→placa = ρU 2 (Lb − 1 b2 + 1 b2 )¯ ez , M 2 1 2 2 que, una vez sustituida en (8.111), proporciona   1 2 1 2 1 2 ρU Lb − b1 + b2 = W Lp cos(α). 2 2 2

(8.128)

(8.129)

Haciendo uso ahora de las expresiones (8.121) y (8.122) y despejando obtenemos finalmente la expresi´on buscada 2L/b . (8.130) cos(α) = W Lp 1 + ρU 2 b2

131

Cap´ıtulo 9 An´alisis dimensional 9.1 Introducci´on En este tema abordamos el estudio del an´alisis dimensional. Tras presentar un ejemplo introductorio y definir una serie de conceptos previos, se formula el Teorema Π o de VaschyBuckingham. A continuaci´on se presentan varios ejemplos de aplicaci´on, discutiendose en particular c´omo identificar los par´ametros con dimensiones independientes m´as apropiados en cada caso. Se introduce finalmente el concepto de semejanza f´ısica y semejanza parcial y se discute su aplicaci´on en el ensayo de modelos a escala.

9.1.1 Motivaci´on El an´alisis dimensional constituye una herramienta que permite reducir la complejidad de los problemas f´ısicos antes de buscar respuestas cuantitativas a los mismos. En palabras de Bridgman1 , “la utilidad principal del an´alisis dimensional es deducir de un estudio de las dimensiones de las variables en cualquier sistema f´ısico ciertas limitaciones en la forma de cualquier posible relaci´on entre estas variables. El m´etodo es de gran generalidad y simplicidad matem´atica”. El an´alisis dimensional se puede aplicar tanto en an´alisis te´oricos como en estudios num´ericos y experimentales, as´ı como en el ensayo de modelos a escala. Dada su gran versatilidad, esta herramienta se utiliza actualmente en casi todas las ramas de la ciencia y la ingenier´ıa, incluyendo la mec´anica de fluidos, la transferencia de calor, la elasticidad, el electromagnetismo, la astrof´ısica, la qu´ımica, la biolog´ıa, etc.

9.1.2 Desarrollo hist´orico El primer investigador cient´ıfico que trat´o con extensi´on sobre las unidades y razonamientos dimensionales en las relaciones f´ısicas fue Euler en la segunda mitad del siglo XVIII. Algunas de las ideas b´asicas del an´alisis dimensional y la semejanza f´ısica aparecen posteriormente en los trabajos publicados por Fourier en el primer tercio del siglo XIX, donde estableci´o lo que hoy se conoce como el principio de homogeneidad dimensional y desarroll´o algunas leyes de semejanza para el transporte de calor. Sin embargo, hubo que esperar hasta finales de ese siglo para que el m´etodo recibiera una atenci´on m´as sistem´atica, sobre todo en los trabajos de Lord 1

P. W. Bridgman (1881–1961), Premio Nobel de F´ısica en 1946 por su trabajo en la f´ısica de altas presiones, escribi´o la primera monograf´ıa cl´asica sobre an´alisis dimensional, “Dimensional Analysis”, Yale University Press, 1922, disponible online en www.archive.org/details/dimensionalanaly00bridrich

´ 9.1. INTRODUCCION Rayleigh, Reynolds, Maxwell, y Froude en Inglaterra, y de Carvallo, Vaschy, y otros cient´ıficos e ingenieros en Francia. Los principios b´asicos del an´alisis dimensional quedaron finalmente establecidos en la d´ecada de 1920: el hoy ubicuo Teorema Π (o de Vaschy-Buckingham) hab´ıa sido planteado unos a˜nos antes (Buckingham, 1914), y Bridgman hab´ıa publicado la monograf´ıa que a´un sigue siendo el cl´asico en el campo. Desde entonces la literatura sobre este tema ha crecido vertiginosamente, si bien entre las referencias modernas se debe destacar la ya cl´asica monograf´ıa de Baremblatt2 .

9.1.3 Un primer ejemplo Para ilustrar la utilidad del an´alisis dimensional vamos a aplicar este m´etodo a un sencillo problema de mec´anica. Queremos determinar el tiempo de ca´ıda tc de un cuerpo puntual de masa m inicialmente en reposo que se deja caer bajo la acci´on de la gravedad g desde una altura inicial h, as´ı como la velocidad vc que lleva el cuerpo en el momento del impacto. Claramente, para obtener la respuesta basta plantear la segunda ley de Newton para el movimiento del cuerpo md2 z/dt2 = −mg. Integrando la ecuaci´on resultante con condiciones iniciales z = h y dz/dt = 0 en t = 0, obtenemos dz/dt = −gt y z = h − gt2 /2 para la evoluci´on con el tiempo de la velocidad del cuerpo y de su distancia al suelo.  Igualando a cero esta u´ ltima expresi´o√ n determinamos el valor del tiempo de ca´ıda tc = 2h/g, con lo que adem´as obtenemos vc = 2hg. El objetivo de esta secci´on es demostrar c´omo el problema puede resolverse alternativamente casi por completo mediante razonamientos basados en el concepto de dimensi´on.

m g

h

El primer paso para resolver el problema consiste en identificar de qu´e variables depende el tiempo de ca´ıda y la velocidad de impacto. Parece razonable pensar que los par´ametros que influyen son: la altura inicial, la masa del cuerpo y la aceleraci´on de la gravedad (puesto que si no hubiese gravedad el cuerpo permanecer´ıa indefinidamente a la misma distancia del suelo). Los valores del tiempo de ca´ıda, la velocidad de colisi´on, la altura inicial, la masa del cuerpo y la gravedad los expresamos en funci´on de unos n´umeros: tc , vc , h, m y g, respectivamente. Para definir estos valores, antes hemos tenido que elegir un cierto sistema de unidades fundamentales de medida. As´ı, uno puede elegir el segundo, el minuto o la hora para medir los periodos de tiempo. El valor de tc resultar´ıa de comparar el tiempo de ca´ıda con la unidad de medida elegida. Al variar la unidad de medida, cambia el valor num´erico de tc (por ejemplo, tc = 180 segundos ser´ıa tc = 3 minutos o tc = 0,05 horas). De igual forma, uno elige una cierta unidad para medir longitud (el cent´ımetro, la pulgada, el metro, etc.) y otra unidad para medir la masa (el kilogramo, la libra, la tonelada m´etrica, etc). La comparaci´on de la altura inicial con la unidad de medida de la longitud proporciona el n´umero h, mientras que al comparar la masa del cuerpo con la unidad de medida de la masa obtenemos el valor num´erico m. 2

G. I. Baremblatt, “Scaling, Self-Similarity and Intermediate Asymptotics”, Cambridge University Press, 1996.

133

´ 9.1. INTRODUCCION A partir de las unidades de medida de la longitud y el tiempo podemos definir una unidad de medida de la velocidad como la velocidad que tiene un m´ovil que recorre la unidad de longitud en la unidad de tiempo. As´ı, si utilizamos el metro como unidad de medida de la longitud y el segundo como unidad de medida del tiempo, el valor num´erico de vc vendr´a expresado en metros por segundo. De manera parecida, la unidad de medida de la aceleraci´on se define como la aceleraci´on que tiene un m´ovil que incrementa su velocidad en la unidad de velocidad en un tiempo igual a la unidad de tiempo. Esta unidad de medida de la aceleraci´on es la que utilizamos para comparar con el valor de la gravedad, con lo que obtenemos en la superficie de la Tierra g  9,8 m/s2 o g = 35,28 km/min2. Tal y como se coment´o m´as arriba, al modificar las unidades de medida se modifica el valor de los n´umeros tc , vc , h, m y g. Si se disminuye simult´aneamente la unidad de medida de la longitud en un factor L, la unidad de medida del tiempo en un factor T y la unidad de medida de la masa en un factor M, los valores num´ericos de h, tc y m se ver´an incrementados en un factor L, T y M, respectivamente. Por otra parte, el valor num´erico de vc aumenta en un factor LT −1 y el valor num´erico de g en un factor LT −2 . Estos factores num´ericos de cambio definen la dimensi´on de las distintas magnitudes f´ısicas asociadas. As´ı, diremos por ejemplo que la dimensi´on de h es L, lo que expresamos en la forma [h] = L. Por otra parte, la dimensi´on de vc (y de las velocidades en general) es [vc ] = LT −1 y la dimensi´on de g (y de las aceleraciones en general) es [g] = LT −2 . En problemas de mec´anica la dimensi´on resulta ser siempre un monomio de la forma M α Lβ T γ , donde α, β y γ son constantes y M, L y T son n´umeros abstractos positivos. El an´alisis dimensional tiene sus ra´ıces en la naturaleza de los artificios que construimos para describir el mundo f´ısico y explicar su funcionamiento en t´erminos cuantitativos. En este sentido, la idea fundamental que subyace en la aplicaci´on de esta t´ecnica es que las leyes f´ısicas son independientes del sistema de unidades fundamentales de medida elegido, por lo que deben existir expresiones para tc (h, m, g) y vc (h, m, g) que sean invariantes frente a cambios en las unidades de medida. Con esta idea en mente, para avanzar en la soluci´on del problema consideramos ahora las cantidades (h/g)1/2 y (gh)1/2 . Al disminuir las unidades de medida de la longitud y del tiempo en un factor L y T , respectivamente, h aumenta en un factor L y g lo hace en un factor LT −2 . Como consecuencia, (h/g)1/2 aumenta en un factor T , mientras que (gh)1/2 lo hace en un factor LT −1 . Es f´acil ver entonces que los cocientes Π1 =

tc (h/g)1/2

y

Π2 =

vc (gh)1/2

(9.1)

tienen dimensi´on unidad, por lo que son invariantes ante cualquier cambio de las unidades fundamentales de medida. Esta es la propiedad fundamental que tienen todas las cantidades adimensionales, su valor es independiente del sistema de unidades utilizado. Nuestro estudio comenz´o por identificar que tc y vc eran funci´on de h, m y g. De la misma forma, podemos anticipar que tanto Π1 = tc (h, m, g)/(h/g)1/2 como Π2 = vc (h, m, g)/(gh)1/2 ser´an tambi´en funciones de h, m y g. En este punto conviene recordar que las cantidades adimensionales Π1 = Π1 (h, m, g) y Π2 = Π2 (h, m, g) (9.2) son independientes del sistema de unidades de medida elegido, mientras que los n´umeros h, m y g representan cantidades dimensionales, cuyo valor cambia al cambiar el sistema de unidades fundamentales de medida. En particular, si variamos la unidad de medida de la masa disminuy´endola en un factor M, el valor num´erico de m aumentar´a en ese mismo factor, mientras 134

´ 9.1. INTRODUCCION que los valores de g y h permanecen igual. Vemos as´ı que es posible variar arbitrariamente el valor de m, manteniendo fijos h y g, sin alterar de forma alguna los valores de Π1 y de Π2 . Concluimos por tanto que nuestra hip´otesis inicial era incorrecta, Π1 y Π2 no son funci´on de m. Hemos reducido de esta manera el n´umero de argumentos a dos: Π1 = Π1 (h, g) y

Π2 = Π2 (h, g).

(9.3)

Si disminuimos ahora la unidad de medida del tiempo en un factor T , los valores de Π1 , Π2 y h permanecen igual, mientras que el valor de g aumenta en un factor T −2 . Siguiendo el razonamiento anterior, concluimos que las funciones Π1 y Π2 son independientes de g, esto es, Π1 = Π1 (h) y

Π2 = Π2 (h).

(9.4)

Finalmente, procedemos a variar la unidad fundamental de medida de la longitud, lo cual produce un cambio en el valor de h, sin modificar el valor de Π1 y Π2 . Concluimos que en este caso ambas funciones son independientes de todos los par´ametros, con lo que su valor resulta ser constante: tc vc Π1 = = C1 y Π2 = = C2 . (9.5) 1/2 (h/g) (gh)1/2 El an´alisis dimensional no proporciona el valor de las √ constantes C1 y C2 . Aun sin conocer las segunda ley de Newton (que proporciona C1 = C2 = 2, tal y como vimos antes), los valores de C1 y C2 se podr´ıan determinar haciendo un u´ nico experimento, proporcionando as´ı las leyes fundamentales de la ca´ıda de un cuerpo. Es notable que la aplicaci´on de razonamientos basados en el concepto de dimensi´on (apoyado por la realizaci´on de un u´ nico experimento) es suficiente para resolver el problema propuesto. El m´etodo utilizado aqu´ı se puede generalizar a otros problemas de la f´ısica y de la ingenier´ıa de mayor complejidad, generalizaci´on que presentamos a continuaci´on.

9.1.4 Algunas definiciones previas Con el objetivo de establecer con claridad los conceptos fundamentales del an´alisis dimensional, en esta secci´on vamos a definir una serie de t´erminos que ser´an utilizados con frecuencia durante el resto del cap´ıtulo. Unidad est´andar de medida. Cantidad estandarizada de una determinada magnitud f´ısica, definida de forma arbitraria, y com´unmente aceptada para fines de comparaci´on. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patr´on o de una composici´on de otras unidades definidas previamente. Por ejemplo: metros, radianes, segundos, grados Farenheith, etc. Magnitud f´ısica. Propiedad de un sistema (o proceso) f´ısico que se puede medir en t´erminos de una o m´as unidades est´andar de medida. Por ejemplo: el radio de la Tierra, el peso de una persona, la velocidad de un avi´on, etc. Medida. Magnitud num´erica (escalar) de una magnitud f´ısica en relaci´on (o comparada) con una unidad est´andar de medida. Por ejemplo: 6371 km, 80 kg, 250 m/s, etc.

135

´ 9.1. INTRODUCCION Sistema de unidades fundamentales (o b´asicas) de medida. Un conjunto de unidades de medida a partir del cual se puede generar la unidad de medida de cualquier otra magnitud f´ısica (unidades derivadas). El ejemplo m´as conocido es el Sistema Internacional de Unidades, compuesto por las siete unidades b´asicas que se indican a continuaci´on: Nombre

S´ımbolo Magnitud f´ısica

metro segundo kilogramo kelvin amperio candela mol

m s kg K A cd mol

Longitud [L] Tiempo [T ] Masa [M] Temperatura [θ] Corriente el´ectrica Intensidad lum´ınica Cantidad de sustancia

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI del franc´es Syst`eme International, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayor´ıa de los pa´ıses, y que fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas. En dicho sistema, las unidades de longitud, masa, tiempo y temperatura se definen como sigue: • El metro (m) es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vac´ıo durante un intervalo de tiempo de 1 / 299 792 458 de segundo. • El kilogramo (kg) es igual a la masa del kilogramo prototipo internacional, un cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sevres, Francia. • El segundo (s) es la duraci´on de 9 192 631 770 per´ıodos de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del a´ tomo de cesio 133. • El kelvin (K) es la fracci´on 1/273,16 de la temperatura termodin´amica del punto triple del agua. Dimensi´on de una magnitud f´ısica. La dimensi´on de cualquier magnitud f´ısica, ya sea b´asica o derivada, es una f´ormula (conocida como ecuaci´on de dimensiones) que define el factor por el cual cambian las medidas de dicha magnitud cuando cambia el tama˜no de las unidades fundamentales de medida. Para ilustrar este concepto, consideremos una magnitud a y definamos un sistema de unidades fundamentales de medida, U1 , U2 , . . . , Up . En tal caso, la unidad de medida Ua de la magnitud a queda definida en t´erminos de las p unidades fundamentales de medida a trav´es de la ecuaci´on de dimensiones Ua = U1α1 U2α2 . . . Upαp =

p $

α

Uj j ,

(9.6)

j=1

y el factor a /a por el que ha de multiplicarse la medida de a si se reduce el tama˜no de cada una de las unidades fundamentales en un factor νj vendr´a dado por Uj

Uj = νj

→



a /a =

p $ j=1

136

α

νj j

(9.7)

´ 9.1. INTRODUCCION Por ejemplo, si L denota una longitud, t un tiempo y a una aceleraci´on, escribiremos [L] = L, [t] = T , [a] = LT −2 , etc. La siguiente tabla resume las dimensiones de distintas magnitudes de inter´es en el marco de la mec´anica de fluidos. Magnitud

S´ımbolo Dimensi´on

Longitud Area Volumen Tiempo Velocidad Aceleraci´on ´ Angulo Velocidad angular Masa Densidad Viscosidad Presi´on Fuerza Momento, par Potencia Trabajo, energ´ıa Temperatura Calor espec´ıfico Conductividad t´ermica

L A V t U a α Ω m ρ μ p F M P W, E T c k

L L2 L3 T LT −1 LT −2 1 T −1 M ML−3 ML−1 T −1 ML−1 T −2 MLT −2 ML−2 T −2 ML−2 T −3 ML−2 T −2 T L2T −2 T −1 MLT −3 T −1

Principio de homogeneidad dimensional (PHD). Este principio b´asico establece que si una ecuaci´on expresa correctamente una relaci´on entre magnitudes de un proceso f´ısico (ley f´ısica), debe ser dimensionalmente homog´enea; esto es, todos sus sumandos deben tener las mismas dimensiones. Todas las ecuaciones consideradas en el presente curso introductorio de mec´anica de fluidos verifican el PHD. Por ejemplo, en la segunda ley de Newton F = ma todos los t´erminos tienen dimensiones de fuerza, [F ] = [m][a] = MLT −2 , mientras que en la ecuaci´on de Bernoulli p + ρv 2 /2 + ρgz = cte todos los t´erminos tienen dimensiones de presi´on, [p] = [ρ][v]2 = [ρ][g][z] = ML−1 T −2 . Sistema coherente de unidades. Un sistema de unidades se dice que es coherente si todas sus unidades son unidades b´asicas, o bien se derivan de las unidades b´asicas aplicando el PHD a diferentes leyes f´ısicas. El Sistema Internacional de Unidades (SI) es un sistema coherente. Magnitudes adimensionales. Magnitudes f´ısicas cuyos valores num´ericos permanecen invariantes cuando cambia el tama˜no de las unidades fundamentales de medida. La dimensi´on de una cantidad adimensional es la unidad. Las magnitudes adimensionales se definen t´ıpicamente como el cociente de dos cantidades que tienen dimensiones id´enticas. Por ejemplo, la masa de un prot´on es aproximadamente 1850 veces la masa de un electr´on independientemente de la unidad de masa. Los a´ ngulos se define en t´erminos de relaciones de longitudes, por lo tanto son adimensionales. Asimismo, funciones de variables adimensionales son adimensionales, y 137

´ 9.1. INTRODUCCION las funciones trascendentes (por ejemplo, el seno, la exponencial o el logaritmo) deben tener argumentos adimensionales. Cantidades con dimensiones independientes. El n´umero de unidades fundamentales que necesitamos definir a la hora de estudiar un determinado problema depende del car´acter de este. Por ejemplo, en un problema puramente geom´etrico bastar´a definir una unidad de medida de longitud, mientras que en un problema cinem´atico necesitaremos, adem´as, definir una unidad de medida de tiempo. Si el problema es de car´acter mec´anico, entonces necesitaremos introducir unidades de medida de longitud, tiempo y masa. En problemas de transporte de calor ser´a adem´as necesario introducir una unidad de medida para la temperatura, mientras que para describir fen´omenos de tipo electromagn´etico necesitaremos una unidad de medida de la carga el´ectrica. Nos centraremos en esta exposici´on en problemas de car´acter mec´anico, para los que la ecuaci´on de dimensiones de una magnitud a es siempre un monomio de la forma [a] = Lα T β M γ . Diremos que las magnitudes a1 , . . . , ak tienen dimensiones independientes cuando ninguna de ellas tenga dimensiones que se puedan expresar como el producto de potencias de las dimensiones de las otras. O dicho de otro modo, cuando no sea posible formar un grupo adimensional entre ellas [a1 ]α1 . . . [ak ]αk =

k $

[ai ]αi = M 0 L0 T 0

⇔

α1 = · · · = αk = 0,

(9.8)

i=1

es decir, para que un producto de potencias de las k cantidades sea adimensional los exponentes de todas las variables deben ser id´enticamente cero. Por analog´ıa con el concepto de independencia lineal, se dice entonces que las k variables son dimensionalmente independientes. Lo mejor para entender este concepto es plantearse un par de ejemplos. Consideremos las cantidades densidad ([ρ] = ML−3 ), velocidad ([U] = LT −1 ) y viscosidad ([μ] = ML−1 T −1 ). Por conveniencia, expresaremos las dimensiones de estas variables en la forma ρ M L T

U

μ

1 0 1 −3 1 −1 0 −1 −1

(9.9)

denominada matriz de dimensiones, cuyas columnas est´an formadas por los exponentes de la ecuaci´on de dimensiones de cada una de las variables ρ, U y μ. Para probar que, en efecto, las tres variables tienen dimensiones independientes procedemos por reducci´on al absurdo: si no tuvieran dimensiones independientes ser´ıa posible encontrar unos n´umeros x, y y z distintos de cero tales que el producto de potencias ρx U y μz fuera adimensional; es decir, tales que [ρ]x [U]y [μ]z = M 0 L0 T 0 = 1. Sustituyendo en la ecuaci´on anterior las dimensiones de las distintas cantidades se obtiene la igualdad (M 1 L−3 T 0 )x (M 0 L1 T −1 )y (M 1 L−1 T −1 )z = M 0 L0 T 0 ,

(9.10)

de donde, identificando los exponentes de M, L y T resulta el sistema de tres ecuaciones lineales M: x + z = 0, L : −3x + y − z = 0, T : − y − z = 0, 138

(9.11)

´ 9.1. INTRODUCCION que podemos expresar, alternativamente, en la forma matricial ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 1 x 0 ⎣ −3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1 −1 y = 0 ⎦ 0 −1 −1 z 0

(9.12)

El lector puede comprobar f´acilmente que la matriz de coeficientes del sistema lineal (9.12) est´a formada por las columnas de la matriz de dimensiones correspondientes a las variables ρ, U y μ, cuyo determinante es no nulo 1 0 1 −3 1 −1 = 1 = 0. (9.13) 0 −1 −1 Dado que la matriz de coeficientes es no singular podemos afirmar que el sistema lineal (9.12) tiene soluci´on u´ nica, que por ser un sistema homog´eneo viene dada por la soluci´on trivial x = y = z = 0. En consecuencia, no es posible encontrar valores de x, y y z distintos de cero que satisfagan simult´aneamente las tres ecuaciones (9.11), luego podemos afirmar que las cantidades ρ, U y μ tienen dimensiones independientes. Podemos tambi´en investigar si las cantidades densidad ([ρ] = ML−3 ), velocidad ([U] = −1 LT ) y presi´on ([p] = ML−1 T −2 ) tienen dimensiones independientes. En este caso, la matriz de dimensiones ρ U p M 1 0 1 (9.14) L −3 1 −1 T 0 −1 −2 es singular (tiene determinante nulo) y se pueden encontrar valores de x, y y z distintos de cero que hacen que el producto de potencias ρx U y pz sea un n´umero adimensional. As´ı, por ejemplo, [ρ][U]2 [p]−1 = M 0 L0 T 0 = 1. Esto permite, en particular, expresar las dimensiones de cualquiera de estas tres cantidades como producto de potencias de las otras dos (p. ej., [p] = [ρ][U]2 ), por lo que estas tres cantidades no tienen dimensiones independientes. N´otese que el sistema de ecuaciones (9.12) puede expresarse en la forma alternativa x(1, −3, 0) + y(0, 1, −1) + z(1, −1, −1) = (0, 0, 0)

(9.15)

que refleja que el concepto de dimensiones independientes entre las cantidades ρ, U y μ es equivalente al concepto de independencia lineal entre los vectores formados por los exponentes que aparecen en la ecuaci´on de dimensiones de cada una de las tres cantidades: si los vectores (1, −3, 0), (0, 1, −1) y (1, −1, −1) son linealmente independientes es porque las cantidades ρ, U y μ tienen dimensiones independientes (y viceversa). En resumen, para comprobar si las cantidades a1 , . . . , ak tienen dimensiones independientes, basta comprobar que el rango de la matriz formada por los exponentes de su ecuaci´on de dimensiones es igual a k. Para el caso de ρ, U y μ la correspondiente matriz es (9.9), cuyo rango es igual a 3, por lo que las tres cantidades mencionadas tienen dimensiones independientes. Sin embargo, para el caso, ρ, U y p, la correspondiente matriz es (9.14), cuyo rango es igual a 2, por lo que las cantidades ρ, U y p no tienen dimensiones independientes.

139

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM

9.2 Teorema Π o de V aschy − Buckingham 9.2.1 Enunciado y demostraci´on mediante un caso pr´actico La soluci´on de un cierto problema f´ısico conlleva la obtenci´on de una cantidad de inter´es a0 = f (a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ),

    I

(9.16)

II

que es funci´on de una serie de par´ametros a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . an , que son datos del problema. Supondremos en lo que sigue que k ≤ n es el n´umero m´aximo de par´ametros que tienen dimensiones independientes, de manera que podemos dividir el conjunto de n par´ametros de los que depende la soluci´on en dos subconjuntos: el formado por los par´ametros a1 , . . . , ak , que tienen dimensiones independientes, y el formado por los par´ametros ak+1 , . . . , an , cuyas dimensiones se pueden expresar en la forma [ak+1 ] = [a1 ]αk+1 · · · [ak ]γk+1 , [ak+2 ] = [a1 ]αk+2 · · · [ak ]γk+2 , · · · · · · αk+n [ak+n ] = [a1 ] · · · [ak ]γk+n ,

(9.17)

En general, 0 < k < n, aunque a veces k = n, como ocurri´o al analizar la ca´ıda del cuerpo puntual, o bien k = 0, como ocurrir´ıa si todos los par´ametros a1 , . . . , an fueran adimensionales. Se puede demostrar que las dimensiones de la cantidad de inter´es a0 se pueden tambi´en expresar en funci´on de las de los par´ametros a1 , . . . , ak en la forma [a0 ] = [a1 ]α0

· · · [ak ]γ0 .

(9.18)

Podemos ahora hacer uso de (9.17) y (9.18) para definir los par´ametros adimensionales a0 Π0 = α0 , a1 · · · aγk0 ak+1 , Π1 = αk+1 γ a1 · · · akk+1 ak+2 , (9.19) Π2 = αk+2 γ a1 · · · akk+2 · · an Πn−k = αn a1 · · · aγkn Sustituyendo ahora en la ecuaci´on (9.16) los par´ametros a0 , ak+1 , . . . , an en funci´on de Π0 , Π1 , . . . , Πn−k llegamos a la expresi´on Π0 =

f (a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ) aα1 0 · · · aγk0 α γ f (a1 , . . . , ak , Π1 a1 k+1 · · · akk+1 , . . . , Πn−k aα1 n · · · aγkn ) = , (9.20) aα1 0 · · · aγk0 140

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM que se puede reescribir en la forma Π0 = F (a1 , . . . , ak , Π1 , . . . , Πn−k ).

(9.21)

Antes de continuar con el an´alisis, para afianzar lo expuesto hasta el momento, conviene deducir la ecuaci´on (9.21) para un ejemplo cl´asico de mec´anica de fluidos. Considere el caso del movimiento de un l´ıquido a lo largo de un conducto de secci´on circular. La variable de inter´es, en ese caso, es la ca´ıda de presi´on por unidad de longitud Pl = −∂p/∂x = f (Q, D, ρ, μ),

(9.22)

cuyas dimensiones son [Pl ] = ML−2 T −2 . Esta cantidad ser´a funci´on del caudal que circula por el conducto ([Q] = L3 T −1 ), del tama˜no del conducto, dado, por ejemplo, por su di´ametro ([D] = L) y de las propiedades del l´ıquido, representadas por su densidad ([ρ] = ML−3 ) y viscosidad ([μ] = ML−1 T −1 ). En este caso, n = 4, mientras que el n´umero m´aximo de par´ametros con dimensiones independientes, que coincide con el rango de la matriz de dimensiones Q M L T

D

0 3 −1

ρ

μ

0 1 1 1 −3 −1 0 0 −1

(9.23)

es k = 3. Si seleccionamos Q, D y ρ como el subconjunto de k = 3 cantidades con dimensiones independientes (el lector puede comprobar que el determinante formado por las columnas de la matriz (9.23) correspondientes a estas tres variables es no nulo y, por tanto, son dimensionalmente independientes), las dimensiones de las dem´as cantidades que aparecen en (9.22) se pueden expresar en la forma [μ] = [Q]1 [D]−1 [ρ]1

[Pl ] = [Q]2 [D]−5 [ρ]1 ,

y

(9.24)

que corresponden en este ejemplo a las ecuaciones (9.17) y (9.18) de la presentaci´on general. Es posible definir ahora las cantidades adimensionales Π0 =

Pl ρQ2 /D5

y

Π1 =

μ ρQ/D

(9.25)

que se pueden utilizar para escribir Pl = Π0 ρQ2 /D5 y μ = Π1 ρQ/D en (9.22), dando Π0 =

f (Q, D, ρ, Π1 ρQ/D) = F (Q, D, ρ, Π1), ρQ2 /D5

(9.26)

que corresponde, en este ejemplo, a la ecuaci´on (9.21) del caso general. Procedemos ahora de forma an´aloga a como hicimos anteriormente al analizar la ca´ıda del cuerpo, recordando que las cantidades adimensionales Π0 y Π1 son independientes del sistema de unidades de medida elegido, mientras que los n´umeros Q, D y ρ representan cantidades dimensionales, cuyo valor cambia al cambiar el sistema de unidades fundamentales de medida de acuerdo a [Q] = L3 T −1 , [D] = L y [ρ] = ML−3 . Por tanto, si elegimos modificar la unidad de medida de la masa disminuyendola en un factor M, el valor num´erico de ρ aumentar´a en ese mismo factor, mientras que los valores de Π0 , Π1 , Q y D permanecen igual. Vemos que es 141

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM posible variar arbitrariamente el valor de ρ, manteniendo fijos Π1 , Q y D, sin alterar de forma alguna el valor de Π0 , por lo que concluimos que Π0 = F (Q, D, Π1) no es funci´on de ρ. De forma an´aloga, si disminuimos ahora la unidad de medida del tiempo en un factor T , el valor num´erico de Q ([Q] = L3 T −1 ) aumentar´a en un factor T −1 , mientras que los valores de Π0 , Π1 y D permanecen inalterados, por lo que concluimos que Π0 = F (D, Π1). Finalmente, si disminuimos ahora en un factor L el valor de la unidad fundamental de medida de longitud, el valor num´erico de D aumenta en ese mismo factor, permaneciendo iguales los valores de Π0 y Π1 , por lo que finalmente el razonamiento nos lleva a la conclusi´on Π0 = F (Π1 ), que podemos escribir la forma   μ Pl =F . (9.27) ρQ2 /D5 ρQ/D El mismo procedimiento se puede utilizar para simplificar la ecuaci´on (9.21). As´ı, siempre es posible encontrar un cambio en las unidades fundamentales de medida, tal que cambie el valor de a1 , permaneciendo inalterados los valores de a2 , . . . , ak . Como los valores de Π0 y de Π1 , . . . , Πn−k son independientes del sistema fundamental de unidades de medida, por ser cantidades adimensionales, vemos que es posible variar el valor del par´ametro a1 , manteniendo fijos los dem´as par´ametros que aparecen en (9.21), sin modificar por ello el valor de Π0 , por lo que se concluye que Π0 no es funci´on de a1 . Procediendo de forma secuencial con los dem´as par´ametros a2 , . . . , ak es posible demostrar que la variable adimensional Π0 es independiente de todos ellos, por lo que al final obtenemos en el caso general Π0 = F (Π1 , . . . , Πn−k ).

(9.28)

A la vista del desarrollo, es ahora posible enunciar en general el teorema Π o de V aschy − Buckingham. Para un problema f´ısico que pueda escribirse en la forma (9.16), esto es, en el que se tenga una cierta cantidad inc´ognita a0 que sea funci´on de n cantidades a1 , . . . , an ´ que son datos del problema, es siempre posible reducir a n − k el numero de par´ametros ´ de los que depende la soluci´on, siendo k el numero de par´ametros dato que tienen dimensiones independientes. Para ello, hacemos uso de las k cantidades dato con dimensiones independientes para expresar los n − k datos restantes y la cantidad inc´ognita en la forma adimensional (9.28). La simplificaci´on que se obtiene al disminuir el n´umero de par´ametros tiene implicaciones pr´acticas importantes. Por ejemplo, para el caso del movimiento en un conducto, la aplicaci´on del teorema Π nos permite disminuir el n´umero de par´ametros de los cuatro que aparec´ıan en la relaci´on original (9.22) a un u´ nico par´ametro, tal y como refleja (9.27). A la hora de dise˜nar un experimento, la aplicaci´on del an´alisis dimensional reduce al m´ınimo el n´umero de ensayos que deben realizarse. As´ı, para determinar la perdida de carga Pl en un caso general, uno podr´ıa realizar una u´ nica serie de experimentos con un u´ nico l´ıquido en una u´ nica instalaci´on experimental. Al ir variando el caudal que circula por el conducto, uno medir´ıa la ca´ıda de presi´on Pl que se produce en ese experimento particular. Si uno representa ahora los datos obtenidos experimentalmente en la forma adimensional (9.27), habr´ıamos obtenido la dependencia general de la perdida de carga en cualquier conducto de secci´on circular. As´ı, si tenemos un caudal Q de un fluido cualquiera de densidad ρ y viscosidad μ circulando por un conducto de di´ametro D uno puede calcular el valor de Π1 = μ/(ρQ/D). Mirando ahora en la curva Π0 = F (Π1 ) obtendr´ıamos el valor correspondiente de Π0 = Pl /(ρQ2 /D5 ) y, deshaciendo la adimensionalizaci´on, determinar´ıamos la p´erdida de carga Pl = Π0 ρQ2 /D5 correspondiente a las condiciones de inter´es. 142

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM

9.2.2 Determinaci´on de los grupos adimensionales Π Antes de continuar, vamos a describir el procedimiento general que permite determinar la forma de los grupos adimensionales que aparecen en la aplicaci´on del teorema Π, como por ejemplo los par´ametros Π0 y Π1 de la ecuaci´on (9.25). Como en todos los problemas el primero de los grupos adimensionales involucra a la cantidad inc´ognita a0 , lo primero que haremos ser´a escribir la matriz de dimensiones ampliada Pl M L T

Q

1 0 −2 3 −2 −1

D

ρ

μ

0 1 1 1 −3 −1 0 0 −1

(9.29)

cuyas columnas est´an formadas por los exponentes de la ecuaci´on de dimensiones de cada una de las variables, incluyendo la cantidad inc´ognita Pl . Tras comprobar que Q, D y ρ constituyen un conjunto de variables con variables independientes, deseamos formar los grupos adimensionales Π0 y Π1 asociados a la ca´ıda de presi´on por unidad de longitud, Pl , y a la viscosidad, μ, respectivamente. Para construir cada uno de los grupos adimensionales debemos encontrar unos n´umeros x, y y z tales que el producto de potencias Qx D y ρz tenga las mismas dimensiones que la variable que deseamos adimensionalizar. En el caso de la ca´ıda de presi´on, Pl , buscamos los valores de x, y y z tales que [Q]x [D]y [ρ]z = [Pl ] = ML−2 T −2 . Sustituyendo en la ecuaci´on anterior las dimensiones de las variables Q, D y ρ, se obtiene la igualdad (L3 T −1 )x (L)y (ML−3 )z = ML−2 T −2 ,

(9.30)

de donde, identificando los exponentes de M, L y T , resulta el sistema de tres ecuaciones lineales M: z = 1, L : 3x + y − 3z = −2, (9.31) T : −x = −2, que podemos expresar, alternativamente, en la forma matricial ⎡

Q

0 ⎣ 3 −1

D

ρ

Pl

⎤ 1 x 0 1 1 −3 ⎦ ⎣ y ⎦ = ⎣ −2 ⎦ −2 z 0 0 ⎤⎡

⎤

⎡

(9.32)

El lector puede comprobar que la matriz de coeficientes del sistema lineal (9.32) est´a formada por las columnas de la matriz de dimensiones correspondientes a las variables Q, D y ρ, cuyo determinante, por ser variables son dimensiones independientes, es no nulo. Adem´as, el segundo miembro de la ecuaci´on est´a formado por la columna correspondiente a la variable que queremos adimensionalizar. La resoluci´on del sistema (9.32) resulta trivial y proporciona los valores x = 2, y = −5, z = 1, con lo que concluimos que el producto de potencias Q2 D −5 ρ tiene dimensiones de presi´on por unidad de longitud. Esto nos permite finalmente definir el grupo adimensional Π0 = Pl /(ρQ2 /D5 ). N´otese que al ser la matriz de coeficientes no singular el sistema lineal (9.32) tiene soluci´on u´ nica, por lo que esta es la u´ nica combinaci´on posible de las variables Pl , Q, D y ρ que forma un grupo adimensional. 143

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM Para obtener el grupo adimensional correspondiente a la variable μ deber´ıamos repetir todo el proceso, buscando valores de x, y y z tales que el producto de potencias Qx D y ρz tenga dimensiones de viscosidad (L3 T −1 )x (L)y (ML−3 )z = ML−1 T −1 .

(9.33)

Esto conduce a un sistema lineal an´alogo a (9.32) ⎡

Q

0 ⎣ 3 −1

D

ρ

⎤⎡

⎤

⎡

μ

⎤ 0 1 x 1 1 −3 ⎦ ⎣ y ⎦ = ⎣ −1 ⎦ 0 0 z −1

(9.34)

donde lo u´ nico que cambia es el t´ermino no homog´eneo, que ahora corresponde a la columna de la variable μ de la matriz de dimensiones. Resolviendo el sistema lineal (9.34) se obtiene x = 1, y = −1, z = 1, lo que permite definir el grupo adimensional Π1 = μ/(ρQ/D). La unicidad en la definici´on de los grupos adimensionales permite, en aquellos casos en que sea posible, obtener los grupos Π por inspecci´on directa de las variables del problema. Por ejemplo, en el caso de Π0 se podr´ıa haber anticipado que la presi´on tiene dimensiones de densidad por velocidad al cuadrado, y que la velocidad tiene dimensiones de caudal por unidad de area, lo que permite escribir [Pl ] = [p][D]−1 = [ρ][U]2 [D]−1 = [ρ][Q]2 [D]−5 .

9.2.3 Dependencia param´etrica de la soluci´on En la aplicaci´on del teorema Π, quiz´as el paso m´as complicado consiste en identificar correctamente los par´ametros de los que depende la soluci´on, esto es, escribir correctamente la ecuaci´on (9.16). Si uno considera demasiados par´ametros, o si olvida incluir alguno, entonces la aplicaci´on del teorema nos llevar´a a un resultado incorrecto. En el caso de los problemas a los que nos enfrentamos en mec´anica de fluidos, antes de escribir la ecuaci´on (9.16), es conveniente escribir las leyes de conservaci´on (que son conocidas) que determinan la soluci´on del problema y, una vez hecho esto, identificar los par´ametros de los que depende la soluci´on por observaci´on del problema planteado. De esta manera aseguramos que obtenemos la dependencia correcta de la soluci´on. U p∞ ρ μ

y R

x

Figura 9.1: Movimiento de una corriente uniforme de un l´ıquido alrededor de una esfera.

Conviene ilustrar con un ejemplo el peligro de no seguir este m´etodo. Se quiere determinar el valor de la fuerza F que se ejerce sobre una esfera s´olida de radio R movi´endose a velocidad constante U en el interior de un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad μ constantes que se 144

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM encuentra en reposo lejos de la esfera con presi´on p∞ . En principio, para abordar el problema por aplicaci´on del teorema Π, parece l´ogico considerar la siguiente dependencia param´etrica F = F (R, U, ρ, μ, p∞).

(9.35)

De entre las cantidades que son dato (R, U, ρ, μ, p∞) debemos identificar el n´umero m´aximo de ellas que tiene dimensi´on independiente. Para ello, podemos escribir la matriz de dimensiones ampliada F R U ρ μ p∞ 0 1 1 1 M 1 0 (9.36) 1 −3 −1 −1 L 1 1 0 −1 −2 T −2 0 −1 cuyas columnas est´an formadas por los exponentes de la ecuaci´on de dimensiones de las distintas variables ([F ] = MLT −2 , [R] = L, [U] = LT −1 , [ρ] = ML−3 , [μ] = ML−1 T −1 y [p∞ ] = ML−1 T −2 ). Es sencillo ver que el rango de la matriz de dimensiones (excluyendo la columna de la variable inc´ognita) es k = 3. Por ejemplo, si seleccionamos la matriz formada por las tres columnas correspondientes a las variables R, U y ρ, su determinante es no nulo (n´otese que, como mucho, el rango que puede tener esta matriz de 5 × 3 es k = 3, que es el n´umero de columnas). Podemos seleccionar por tanto (R, U, ρ) como subconjunto (a1 , . . . , ak ) de par´ametros con dimensiones independientes que vamos a utilizar para aplicar el teorema Π. De acuerdo a lo visto m´as arriba, para obtener (9.28) debemos hacer uso de estas k cantidades para definir las variables adimensionales Π0 y Π1 , . . . , Πn−k . Por ejemplo, para definir un par´ametro adimensional a partir de la fuerza, podemos aplicar el procedimiento explicado en la secci´on anterior para escribir [F ] = [ρ][U]2 [R]2 , por lo que obtenemos Π0 =

F . ρU 2 R2

(9.37)

De manera similar, como [μ] = [ρ][U][R] y [p∞ ] = [ρ][U]2 , los par´ametros adimensionales asociados a la viscosidad y a la presi´on resultan ser Π1 =

μ ρUR

y

Π2 =

p∞ , ρU 2

por lo que finalmente obtenemos la relaci´on param´etrica reducida   μ F p∞ =f . , ρU 2 R2 ρUR ρU 2

(9.38)

(9.39)

Tal y como podemos comprobar, en este caso el an´alisis dimensional nos ha permitido reducir la dependencia de la soluci´on de 5 par´ametros a 2 par´ametros. El resultado es, sin embargo, incorrecto, debido a que la ecuaci´on de partida (9.35) inclu´ıa un par´ametro, p∞ , que en realidad no influye en el resultado, por lo que no se deber´ıa haber incluido. De este modo, la aplicaci´on del teorema Π dar´ıa   μ F , (9.40) =f ρU 2 R2 ρUR en lugar de (9.39). En principio, no resulta sencillo anticipar que, en el caso del movimiento de un l´ıquido, la soluci´on no depende del nivel de presi´on p∞ que hay lejos del cuerpo. Para 145

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM verlo, resulta necesario escribir las ecuaciones que determinan la fuerza que ejerce el fluido sobre el cuerpo. Para ello, seleccionamos un sistema de referencia movi´endose solidariamente con la esfera que se muestra en la figura 9.2, lo que convierte el problema en estacionario, y definimos el volumen de control representado en la siguiente figura, limitado interiormente por la superficie de la esfera Σe y exteriormente por una superficie Σ∞ situada suficientemente lejos del cuerpo, donde podemos suponer que la presi´on adopta su valor no perturbado, p∞ . Σ∞

U p∞

Σe

y x

R n ¯

n ¯e

n ¯ Figura 9.2: Volumen de control considerado para el c´alculo de la fuerza que una corriente de l´ıquido ejerce sobre una esfera. Supuestos conocidos los campos de presi´on y velocidad, p y v¯, la fuerza sobre la esfera se podr´ıa calcular a partir de la siguiente expresi´on  F¯ = −

 τ¯ · n ¯ e dσ

p¯ ne dσ + Σe



Σe

=−





ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − Σ∞

τ¯ · n ¯ dσ (9.41)

p¯ ndσ + Σ∞

Σ∞

resultado de aplicar la ecuaci´on de cantidad de movimiento en forma integral al volumen de control indicado en la figura. Como indica la expresi´on anterior, la fuerza sobre la esfera puede expresarse en t´erminos del flujo convectivo neto de cantidad de movimiento y la resultante de las fuerzas de presi´on y viscosas sobre la superficie de control Σ∞ . Por sencillez en la exposici´on ignoraremos de momento las variaciones temporales y el efecto de las fuerzas m´asicas. Una primera mirada a (9.41) parecer´ıa indicar que, efectivamente, el valor de la fuerza es  funci´on de p∞ (adem´as de ρ, U, R y μ) a trav´es del t´ermino − Σ∞ p¯ ndσ. Para ver que esto no es as´ı, hay que darse cuenta de que la resultante de las fuerzas de presi´on en (9.41) es independiente del nivel de presi´on p∞ , lo que se hace patente al sumar Σ∞ p∞ n ¯ dσ (recu´erdese que la resultante de una distribuci´on de presi´on constante sobre una superficie cerrada es nula), lo que permite reemplazar p por la variable alternativa p = p − p∞ para dar     ¯ F =− ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − pn ¯ dσ + τ¯ · n ¯ dσ. (9.42) Σ∞

Σ∞

146

Σ∞

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM De este modo, la presi´on en el infinito p∞ desaparece como par´ametro del problema, lo que indica que en el movimiento de un fluido de densidad constante lo que importa son las diferencias de presi´on que aparecen en el campo fluido, p − p∞ . El nivel de presi´on, dado en este caso por el valor p∞ lejos del cuerpo, s´ı ser´ıa importante, por ejemplo, en el caso del movimiento de un gas cuando las condiciones son tales que la densidad var´ıa de forma apreciable, tal y como veremos m´as adelante en la secci´on 9.5.5. Por lo tanto, la dependencia param´etrica considerada deber´ıa haber sido F = F (R, U, ρ, μ) en lugar de (9.35), por lo que el resultado final obtenido por aplicaci´on del teorema Π habr´ıa sido (9.40) en lugar de (9.39). Antes de continuar, conviene hacer notar que la selecci´on del subconjunto de cantidades con dimensiones independientes a1 , . . . , ak no es siempre u´ nica. Por ejemplo, en el caso del movimiento de un l´ıquido alrededor de un cuerpo, uno tambi´en podr´ıa elegir las variables U, R y μ, con lo que la aplicaci´on del teorema Π dar´ıa como resultado   ρUR F =f . (9.43) μUR μ En principio, las dos expresiones conseguidas (9.40) y (9.43) son igualmente v´alidas. N´otese que la fuerza adimensional, que difiere si elegimos un subconjunto u otro, es funci´on en ambos casos del mismo par´ametro adimensional Re =

ρUR μ

(9.44)

´ que se denomina el numero de Reynolds del problema.

9.2.4 Adimensionalizaci´on de las leyes de conservaci´on de la mec´anica de fluidos Una alternativa al teorema Π, que permite identificar el n´umero m´ınimo de par´ametros de los que depende la soluci´on de un problema de mec´anica de fluidos, consiste en reescribir en forma adimensional las ecuaciones que lo gobiernan mediante la introducci´on de variables adimensionales para las distintas variables dependientes e independientes. Las escalas caracter´ısticas del problema, que vamos a utilizar en la adimensionalizaci´on, dependen en cada caso de las condiciones iniciales y de contorno que tengamos. Por ejemplo, para el caso del movimiento alrededor de la esfera considerado en el apartado anterior, la velocidad U es la escala apropiada para definir la velocidad adimensional v¯∗ = v¯/U, mientras que el radio de la esfera R introduce una longitud natural con la que escalar la variable x¯, las derivadas espaciales (como las que aparecen en los esfuerzos viscosos), o los elementos diferenciales de superficie dσ y volumen dV , para dar, en forma adimensional, la coordenada x¯∗ = x¯/R, el operador ∂/∂x∗i = R∂/∂xi y los diferenciales dσ ∗ = R−2 dσ y dV ∗ = R−2 dV . No resulta sencillo, sin embargo, encontrar en este caso el valor caracter´ıstico de las diferencias de presi´on Δp que se generan en el campo fluido, con el que poder escalar las diferencias de presi´on p = p − p∞ respecto a la presi´on en el infinito. Este valor depende del car´acter del movimiento. Para verlo, es conveniente estimar el orden de magnitud de cada uno de los t´erminos que aparecen en la ecuaci´on de cantidad de movimiento    ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ Σc (t) Σc (t) Σc (t) (9.45) ρU 2 R2

Δp R2 147

μUR

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM donde no hemos incluido las variaciones temporales ni las fuerzas m´asicas para simplificar la exposici´on. Para estimar el orden de magnitud de los t´erminos convectivos, ρU 2 R2 , hemos tenido en cuenta que la velocidad en el campo fluido es de orden U y que el tama˜no caracter´ıstico del dominio fluido perturbado por la presencia de la esfera es de orden R. La resultante de las fuerzas de presi´on la estimamos a partir del valor caracter´ıstico (desconocido) de las diferencias espaciales de presi´on que aparecen en el campo fluido Δp. Para estimar la resultante de los esfuerzos viscosos, μUR, suponemos que al recorrer distancias del orden R se observan diferencias de velocidad del orden de la propia velocidad, de modo que el valor caracter´ıstico de los esfuerzos viscosos es μU/R. Utilizando esta escala podemos escribir finalmente los esfuerzos viscosos en su forma adimensional τ¯∗ = (μU/R)−1 τ¯. El orden de magnitud de cada t´ermino nos permite anticipar su importancia en el balance de cantidad de movimiento. En lo que sigue, tendremos en cuenta que las fuerzas de presi´on juegan siempre un papel importante en el movimiento de un fluido, con lo que la discusi´on se limita a discernir la importancia relativa de los t´erminos convectivos y la resultante de los esfuerzos viscosos. Para ello, conviene comparar sus o´ rdenes de magnitud, para dar  ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ ρUR Σc (t)  ∼ = Re. (9.46) μ τ¯ · n ¯ dσ Σc (t) Tal y como puede observarse, el n´umero adimensional que se obtiene al comparar la magnitud de estos dos t´erminos resulta ser el n´umero de Reynolds, Re, que definimos anteriormente en (9.44). Dado el radio de la esfera, R, su velocidad, U, y las propiedades del fluido, ρ y μ, uno puede determinar f´acilmente el valor de Re. En movimientos que se desarrollan con Re de orden unidad, los t´erminos convectivos y los esfuerzos viscosos son comparables, por lo que, a la hora de resolver el problema, debemos retener los tres t´erminos que aparecen en la ecuaci´on de cantidad de movimiento (9.45). Por otra parte, si Re  1, el efecto de la viscosidad es despreciable en la mayor´ıa del campo fluido, por lo que la ecuaci´on (9.45) se reduce al balance  ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − Σc (t) p¯ ndσ entre los t´erminos convectivos y la resultante de las Σc (t) fuerzas de presi´on. Por el contrario, en movimientos con Re  1, los efectos convectivos son despreciables, y el fluido se mueve de manera un balance entre las fuerzas de  que se establece  presi´on y las fuerzas de viscosidad 0 = − Σc (t) p¯ ndσ + Σc (t) τ¯ · n ¯ dσ. Estos resultados permiten evaluar el valor caracter´ıstico de Δp en funci´on del valor de Re. As´ı, en movimientos con Re  1, obtenemos Δp ∼ ρU 2 al imponer que los t´erminos convectivos y de presi´on deben ser comparables, mientras que cuando Re  1 obtenemos Δp ∼ μU/R al establecer un balance entre t´erminos viscosos y de presi´on. Por otra parte, en movimientos con Re ∼ 1 ambas estimaciones para Δp son igualmente v´alidas. Tal y como podemos ver, la elecci´on m´as conveniente para la escala de las diferencias de presi´on Δp depende del car´acter del problema. En movimientos con Re  1 es apropiado definir p∗ = (p − p∞ )/(ρU 2 ), lo que reduce la ecuaci´on (9.42) a la forma adimensional    F¯ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =− v¯ (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − p n ¯ dσ + ¯ dσ ∗ . (9.47) τ¯∗ · n ρU 2 R2 Re Σ∗∞ Σ∗∞ Σ∞ Tal y como comentamos anteriormente, al adimensionalizar el problema conseguimos identificar el n´umero m´ınimo de par´ametros de los que depende la soluci´on. En este caso, observamos a partir de (9.47) que el valor de F¯ /(ρU 2 R2 ) es una funci´on del par´ametro Re = ρUR/μ, 148

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM el mismo resultado que obtuvimos anteriormente por aplicaci´on del teorema Π (ver la ecuaci´on (9.40)). Por otra parte, cuando Re  1 es m´as conveniente utilizar Δp ∼ μU/R a la hora de escalar las variaciones de presi´on p∗ = (p − p∞ )/(μU/R), lo que reduce el problema (9.42) a la forma adimensional alternativa    F¯ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = −Re v¯ (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − pn ¯ dσ + ¯ dσ ∗ . (9.48) τ¯∗ · n μUR ∗ ∗ ∗ Σ∞ Σ∞ Σ∞ En este caso, el problema adimensional indica que el valor de la fuerza adimensional F¯ /(μUR) es funci´on exclusiva de Re, el mismo resultado que obtuvimos m´as arriba en (9.43) por aplicaci´on del teorema Π.

9.2.5 Selecci´on de los par´ametros con dimensiones independientes Tal y como hemos comentado, a menudo existe un cierto grado de arbitrariedad a la hora de seleccionar el subconjunto de par´ametros a1 , . . . , ak con dimensiones independientes que vamos a utilizar a la hora de aplicar el teorema Π. En la selecci´on, se debe procurar que los par´ametros elegidos sean los que m´as influyen en la soluci´on para las condiciones que se est´en estudiando. De este modo, en problemas de tipo mec´anico, en los que aparecen involucradas tres dimensiones fundamentales, masa, longitud y tiempo, podemos dividir los par´ametros en tres grupos distintos y seleccionar un par´ametro de cada uno de ellos. El primer grupo debe incluir todos los par´ametros que caracterizen la geometr´ıa del problema, como longitudes, superficies o a´ reas, vol´umenes, a´ ngulos, etc. El segundo debe incluir todos los par´ametros que caracterizen el flujo, o movimiento del fluido, como velocidades, caudales, velocidades angulares, etc. La aceleraci´on de la gravedad deber´ıa incluirse tambi´en en este grupo cuando su efecto sea importante, como ocurre en los flujos con superficies libres deformadas (flujo alrededor de barcos, movimiento de olas, flujo en canales abiertos, resaltos hidr´aulicos, vertederos, etc). Por u´ ltimo, el tercer grupo deber´ıa incluir todos los par´ametros que caractericen propiedades del fluido, como la densidad y la viscosidad, as´ı como otras propiedades secundarias como, por ejemplo, la tensi´on superficial, en aquellos casos en que su efecto sea importante. Por ejemplo, para el caso del movimiento alrededor de la esfera, es razonable pensar que la fuerza va a ser siempre dependiente del tama˜no R (par´ametro geom´etrico) y de la velocidad U (par´ametro del flujo), con lo que esos dos par´ametros se deben elegir siempre como parte del subconjunto a1 , . . . , ak . Por otra parte, si podemos anticipar que la viscosidad va a jugar un papel importante, entonces conviene elegir μ como tercer par´ametro, lo que nos lleva a la relaci´on param´etrica (9.43). Por el contrario, si pensamos que la viscosidad va a jugar un papel secundario, entonces conviene elegir ρ como tercer par´ametro, lo que nos llevar´ıa al resultado (9.40). A la hora de evaluar la importancia de un par´ametro en un problema f´ısico general, nos vemos a menudo obligados a hacer uso de nuestra intuici´on. En el caso de la mec´anica de fluidos, el disponer de un marco matem´atico conocido para la descripci´on del problema (las ecuaciones de conservaci´on) facilita sin duda las cosas. Por ejemplo, para anticipar la importancia de la viscosidad, bastar´ıa evaluar el n´umero de Reynolds del problema, dado en general por Re = ρUc Lc /μ, donde Uc y Lc son los valores caracter´ısticos de la velocidad del fluido y del tama˜no del campo fluido. Si las escalas del movimiento son tales que Re  1, entonces podemos anticipar que el efecto de la viscosidad va a ser dominante, por lo que convendr´a elegir μ como parte del subconjunto a1 , . . . , ak , y dejar sin embargo ρ fuera de dicho subconjunto. Lo contrario se aplica a movimientos con Re  1, donde esperamos que el efecto de la viscosidad 149

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM sea despreciable en la mayor´ıa del campo fluido, por lo que dejamos μ fuera del subconjunto a1 , . . . , ak . La elecci´on en uno y otro caso queda aun m´as justificada cuando analizamos los valores extremos de Re. Por ejemplo, para valores Re  1, se puede concluir de la observaci´on de (9.47) que el efecto de la viscosidad se hace despreciable, con lo que el valor de F/(ρUR2 ) se hace independiente de Re, lo que supone que (9.40) se simplifica para dar F l´ım = C1 , (9.49) Re1 ρU 2 R2 donde C1 es una constante. De forma an´aloga, a la vista de (9.48), queda claro que para valores peque˜nos de Re el valor de F/(μUR) se hace independiente de Re, por lo que obtenemos F (9.50) = C2 , Re1 μUR como simplificaci´on de (9.43). Tal y como puede verse, en ambos casos, el par´ametro Re deja de influir en la soluci´on al tomar valores extremos, siempre que para analizar esos valores extremos hayamos hecho la elecci´on apropiada de variables a1 , . . . , ak : para analizar el l´ımite Re  1 conviene anticipar que la viscosidad va a a tener un efecto despreciable y elegir a1 , . . . , ak = ρ, U y R, mientras que para analizar el l´ımite Re  1 conviene anticipar que la viscosidad va a a tener un efecto dominante y elegir a1 , . . . , ak = μ, U y R La soluci´on no ser´ıa independiente de Re en el caso de que la selecci´on de a1 , . . . , ak no fuera la o´ ptima. Por ejemplo, para valores peque˜nos de Re, el valor l´ımite de la funci´on f (Re) en (9.40) no se hace independiente de Re. En su lugar, obtenemos F l´ım = C2 Re−1 , (9.51) Re1 ρU 2 R2 tal y como podemos concluir a la vista de (9.50). De forma an´aloga, el valor l´ımite de (9.43) para valores grandes de Re no se hace independiente de Re, sino que obtenemos F = C1 Re, (9.52) l´ım Re1 μUR tal y como se deduce de (9.49). A la vista de estos resultados, podemos hacer algunos comentarios generales sobre la simplificaci´on que podemos esperar en la relaci´on param´etrica (9.28) l´ım

Π0 = F (Π1 , . . . , Πn−k ) cuando alguno de los par´ametros Π1 , . . . , Πn−k toma un valor extremo (muy grande o muy peque˜no). Por ejemplo, si un par´ametro, por ejemplo Π1 , cumple que Π1  1, a veces se verifica que el valor de Π0 deja de depender de ese par´ametro, lo que equivale a decir que l´ım Π0 (Π1 , . . . , Πn−k ) = f (Π2 , . . . , Πn−k ).

Π1 1

(9.53)

De esta forma reducimos en uno el n´umero de par´ametros de los que depende la soluci´on. En otras ocasiones, el valor l´ımite de Π0 sigue dependiendo del par´ametro peque˜no (o grande), pero la dependencia toma la forma l´ım Π0 (Π1 , . . . , Πn−k ) = Πλ1 f (Π2 , . . . , Πn−k ),

Π1 1

(9.54)

donde λ es un cierto n´umero, en principio desconocido. Como hemos visto en el caso del movimiento alrededor de la esfera, una buena selecci´on de variables a1 , . . . , ak facilita a menudo las cosas, llev´andonos a simplificaciones del tipo (9.53). 150

´ ENTRE LOS DISTINTOS ´ 9.3. LOS NUMEROS ADIMENSIONALES COMO RELACION ´ ´ TERMINOS DE LAS LEYES DE CONSERVACION

´ 9.3 Los numeros adimensionales como relaci´on entre los distintos t´erminos de las leyes de conservaci´on Como hemos discutido en la secci´on 9.2.4, las escalas caracter´ısticas de un cierto problema fluidomec´anico dependen de las condiciones iniciales y de contorno que tengamos. As´ı pues, al abordar el estudio del problema t´ıpicamente podremos definir una escala caracter´ıstica de longitud, L, otra de velocidad, U, y otra de tiempo, t0 (definida normalmente como el tiempo de variaci´on de las condiciones de contorno). Por ejemplo, para el caso del movimiento no estacionario alrededor de una esfera la longitud caracter´ıstica vendr´a dada por el radio de la esfera, la velocidad caracter´ıstica ser´a un valor t´ıpico de la velocidad del flujo no perturbado lejos de la esfera, y el tiempo caracter´ıstico ser´a el tiempo que hay que esperar para ver variar las condiciones de contorno (en este caso el tiempo que tarda la velocidad del flujo no perturbado lejos de la esfera en variar en una magnitud del orden de si misma). Con estas definiciones estamos en disposici´on de estimar el orden de magnitud de los distintos t´erminos de la ecuaci´on de cantidad de movimiento (6.10)       d ¯ ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ ndσ+ ρf¯m dV τ ·n ¯ dσ+ dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) Vc (t) ρUL3 t0

ρU 2 L2

Δp L2

U μ L2 L

ρgL3

que nos permite anticipar su importancia en el balance de cantidad de movimiento. As´ı, como vimos m´as arriba (v´ease la ecuaci´on (9.46)) la importancia relativa de los t´erminos convectivos y la resultante de los esfuerzos viscosos viene dada por el n´umero de Reynolds ρU 2 L2 T´erminos convectivos ρUL ∼ = Re. = Fuerzas viscosas μ(U/L)L2 μ

(9.55)

Del mismo modo, la importancia relativa de los t´erminos convectivos y la resultante de las fuerzas m´asicas viene dada por el n´umero de Froude T´erminos convectivos ρU 2 L2 U2 ∼ = F r, = Fuerzas m´asicas ρgL3 gL

(9.56)

y la importancia relativa de los t´erminos no estacionarios y los convectivos viene dada por el n´umero de Strouhal ρUL3 /t0 T´erminos no estacionario L ∼ = St. = 2 2 T´erminos convectivos ρU L t0 U

(9.57)

Conviene hacer notar que de acuerdo (9.57) el n´umero de Strouhal representa el cociente entre el tiempo de residencia L/U y el tiempo caracter´ıstico de variaci´on de las magnitudes fluidas t0 , definido como el tiempo caracter´ıstico de variaci´on de las condiciones de contorno. As´ı pues, en el l´ımite St  1 el tiempo que tarda una part´ıcula fluida en recorrer la longitud caracter´ıstica L es mucho menor que el tiempo caracter´ıstico de variaci´on de las magnitudes fluidas, por lo que la part´ıcula no llega a sentir la variaci´on de las condiciones de contorno en su movimiento a trav´es del campo fluido. En este caso el movimiento del fluido se denomina casi-estacionario. En este tipo de movimientos se pueden despreciar las derivadas temporales 151

´ 9.4. SEMEJANZA FISICA Y ENSAYO DE MODELOS A ESCALA en las ecuaciones de conservaci´on, aunque esto no implica que el flujo sea independiente del tiempo. En realidad, el tiempo aparece como un par´ametro que entra en la soluci´on a trav´es de las condiciones de contorno, que var´ıan en una escala temporal t0 mucho m´as lenta que el tiempo caracter´ıstico de residencia de las part´ıculas fluidas en el dominio fluido de inter´es. Comparando los o´ rdenes de magnitud de los distintos t´erminos en la ecuaci´on de cantidad de movimiento hemos obtenido tres de los n´umeros adimensionales m´as importantes de la Mec´anica. Del mismo modo, al comparar los o´ rdenes de magnitud de los t´erminos de la ecuaci´on de la energ´ıa (7.17) aparecer´ıan otros n´umeros adimensionales, como el n´umero de Prandtl, el n´umero de Peclet, el n´umero de Grashof, etc. N´umero

Definici´on

Reynolds

ρ0 V0 L μ0 V02 V2 F r = gL , fm00 L St = V0Lt0 P r = μk00cp = αν00 Eu = ρ0pV0 2 0 Ma = Va00 P e = ρ0 ckv0V0 L V0 Ro = ΩL ρ V 2L W e = 0 σ0

Froude Strouhal Prandtl Euler Mach Peclet Rossby Weber

γ=

Rugosidad relativa

 L

Inercia Gravedad Aceleraci´on local Aceleraci´on convectiva Disipaci´on Conducci´on Presi´on Presi´on din´amica Velocidad del flujo Velocidad del sonido Convecci´on Conducci´on Aceleraci´on convectiva Aceleraci´on de Coriolis Inercia Tensi´on superficial

todos los flujos flujos con superficie libre flujos no estacionarios problemas fluidot´ermicos flujos compresibles flujo compresible Transporte de calor flujos con giro flujos con superficie libre

Entalp´ıa Energ´ıa interna

cp cv

Cp =

Relevante en

Inercia Viscosidad

Re =

Relaci´on de calores espec´ıficos Coef. de presi´on

Relaci´on qualitativa de efectos

p−p∞ 1 ρ V2 2 0 0

Rugosidad Dimensi´on del cuerpo Presi´on est´atica Presi´on din´amica

flujo compresible flujo turbulento con pared rugosa aero/hidrodin´amica

Coef. de sustentaci´on CL =

FL 1 ρ V 2A 2 0 0

Sustentaci´on Fuerza din´amica

aero/hidrodin´amica

Coef. de resistencia

CD =

FD 1 ρ V 2A 2 0 0

Resistencia Fuerza din´amica

aero/hidrodin´amica

Coef. de fricci´on

f=

Coef. de fricci´on

cf =

Par´am. de cavitaci´on

Ca =

hf V2 L 0 2g D τw 1 ρ V2 2 0 0 pa −pv 1 ρ V2 2 0 0

P´erdida de carga Carga de velocidad

flujo en conductos

Esfuerzo cortante Presi´on din´amica

capa l´ımite

Presi´on absoluta Presi´on din´amica

l´ıquidos

9.4 Semejanza f´ısica y ensayo de modelos a escala El an´alisis dimensional resulta particularmente u´ til a la hora de plantear la experimentaci´on a escala. A menudo, no es posible reproducir en el laboratorio todas las condiciones que se presentan en un determinado fen´omeno f´ısico. Por ejemplo, si el tama˜no f´ısico es demasiado grande, en el laboratorio ensayaremos con un modelo a escala de tama˜no m´as peque˜no. Resulta 152

´ 9.4. SEMEJANZA FISICA Y ENSAYO DE MODELOS A ESCALA entonces apropiado preguntarse cu´ales son la condiciones que debe cumplir el experimento para representar con fidelidad el fen´omeno f´ısico que estamos estudiando, y c´omo debemos adaptar las medidas que hagamos en el experimento para obtener las cantidades de inter´es en relaci´on al fen´omeno f´ısico. Semejanza geom´etrica. La geometr´ıa o forma de un objeto puede definirse matem´aticamente por una relaci´on entre las coordenadas de su superficie y una serie de longitudes caracter´ısticas del cuerpo Σ(x, y, z, l0 , l1 , l2 , . . . , lr ) = 0 (9.58) Por ejemplo, una esfera de radio a se define por su superficie x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0, un elipsoide de semiejes a, b, c se define en ejes principales por la relaci´on x2 /a2 + y 2/b2 + z 2 /c2 − 1 = 0. Dos objetos definidos por la misma funci´on Σ y con iguales valores de cada uno de los cocientes l1 /l0 , l2 /l0 , . . . y lr /l0 , son geom´etricamente semejantes. Para identificar un objeto dentro de una serie geom´etricamente semejante basta con especificar el valor de una u´ nica longitud caracter´ıstica, l0 . La semejanza geom´etrica afecta exclusivamente a la dimensi´on longitud {L} y debemos asegurarnos de que se cumple antes de realizar cualquier ensayo con un modelo. En particular, cuando se construye un modelo a escala se debe garantizar que todos los detalles geom´etricos deben estar a escala, y esto incluye detalles que en ocasiones pueden pasar desapercibidos. Por ejemplo, en un modelo a escala 1/10 la rugosidad superficial debe ser diez veces m´as peque˜na que en el prototipo a escala real; y si el prototipo se construye con remaches de un determinado tama˜no, el modelo debe incluir los mismos remaches con un tama˜no diez veces menor. Semejanza f´ısica. La semejanza f´ısica es una extensi´on de la semejanza geom´etrica. Se dice que las condiciones de ensayo de un modelo son f´ısicamente semejantes a las condiciones de funcionamiento del prototipo cuando todos los par´ametros adimensionales relevantes tienen los mismos valores en ambos casos. Como ejemplo ilustrativo, retomemos de nuevo el caso de la esfera desplaz´andose en el interior de un l´ıquido. Consideremos, en particular, que queremos determinar la fuerza F1 que se ejerce sobre una esfera de radio R1 que se desplaza a velocidad U1 en el interior de un aceite de densidad ρ1 y viscosidad μ1 . Para obtener el resultado, nos proponemos realizar un experimento en un tunel hidrodin´amico (la densidad y viscosidad del agua son ρ2 y μ2 , distintas a las del aceite). Las u´ nicas esferas de las que disponemos en el laboratorio tienen un radio R2 = R1 . Para dise˜nar el experimento, recurrimos al an´alisis dimensional. De acuerdo a lo visto m´as arriba en (9.40), la dependencia de la fuerza con los par´ametros del problema puede expresarse en la forma   ρUR F . (9.59) =f ρU 2 R2 μ Esta expresi´on nos dice que el valor de F/(ρU 2 R2 ) es funci´on exclusiva de Re = ρUR/μ. En otras palabras, si conseguimos que el n´umero de Reynolds del experimento Re2 = ρ2 U2 R2 /μ2 sea igual al n´umero de Reynolds del fen´omeno f´ısico que queremos estudiar Re1 = ρ1 U1 R1 /μ1 , entonces el valor de F/(ρU 2 R2 ) ser´a igual en el experimento y en la realidad. Con esta informaci´on, podemos ahora proceder a dise˜nar el experimento. Para que el experimento sea f´ısicamente semejante a la realidad necesitamos imponer que Re1 = Re2 , lo cual proporciona el

153

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES valor de

μ2 ρ1 R1 U1 . (9.60) μ1 ρ2 R2 Con este valor, realizamos el experimento y medimos la fuerza F2 sobre el modelo experimental. La condici´on Re1 = Re2 garantiza que U2 =

F1 F2 = , ρ1 U12 R12 ρ2 U22 R22

(9.61)

que podemos utilizar para determinar el valor de F1 =

ρ1 U12 R12 F2 . ρ2 U22 R22

(9.62)

El procedimiento que acabamos de exponer se puede generalizar f´acilmente. El an´alisis dimensional nos ha ense˜nado que, para un fen´omeno f´ısico cuya cantidad inc´ognita pueda expresarse en la forma a0 = f (a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ), donde k es el n´umero m´aximo de par´ametros dato con dimensiones independientes, es posible expresar la relaci´on param´etrica en la forma reducida Π0 = F (Π1 , . . . , Πn−k ). A la hora de experimentar, no es necesario reproducir exactamente el experimento haciendo que los valores de a1 , . . . , an sean iguales en el experimento y en la realidad. Para que el experimento reproduzca la realidad, s´olo es necesario que ambos fen´omenos sean f´ısicamente semejantes, lo que se garantiza si todos los par´ametros adimensionales Π1 , . . . , Πn−k tienen el mismo valor en el experimento y en la realidad. Esta condici´on se debe tomar como gu´ıa a la hora de dise˜nar el experimento. Si se verifica la semejanza f´ısica, entonces podemos obtener el valor de a0 correspondiente al fen´omeno f´ısico real a partir de la medida de a0 en el experimento, sin m´as que imponer la igualdad del valor de Π0 obtenido en el experimento y el valor de Π0 correspondiente a la realidad. A veces, no es posible satisfacer la igualdad de todas las cantidades Π1 , . . . , Πn−k , con lo que s´olo es posible satisfacer la semejanza f´ısica de forma parcial. En ese caso, a la hora de plantear el experimento se debe garantizar la igualdad de aquellos par´ametros adimensionales que consideremos m´as relevantes para el fen´omeno f´ısico que estemos estudiando.

9.5 Ejemplos y aplicaciones 9.5.1 El teorema de Pit´agoras El teorema de Pit´agoras establece que en un tri´angulo rect´angulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si a y b son los catetos y c la hipotenusa, se verifica la igualdad c2 = a2 + b2 . Aunque existen numerosas demostraciones de este teorema, a continuaci´on exponemos una particularmente elegante basada en argumentos de tipo dimensional. Como se observa en la figura 9.3, el a´ rea A de un tri´angulo rect´angulo es funci´on de su tama˜no y su forma, que quedan caracterizados de forma un´ıvoca por uno de los lados del rect´angulo (por ejemplo, la hipotenusa c) y por 154

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES uno cualquiera de los dos a´ ngulos agudos (por ejemplo, el m´as peque˜no, θ, pues el otro queda inmediatamente definido por el hecho de que los tres a´ ngulos deben sumar π). En resumen, tenemos A = f (c, θ) (9.63) donde las dimensiones de las distintas variables son [A] = L2 , [c] = L y [θ] = 1 (recuerdese que los a´ ngulos son siempre adimensionales pues se definen como el cociente entre dos longitudes, el arco y el radio). En este caso, por ser un problema puramente geom´etrico, solo aparece la dimensi´on longitud {L}. La aplicaci´on del teorema Π permite entonces reescribir la relaci´on anterior en la forma adimensional A = F (θ) (9.64) c2 donde F es una funci´on del a´ ngulo θ, en principio desconocida. Es importante remarcar que el an´alisis dimensional no proporciona la forma exacta de la funci´on F (θ), aunque esta forma podr´ıa obtenerse sin dificultad utilizando relaciones trigonom´etricas. Si ahora se divide el tri´angulo rect´angulo en dos tri´angulos m´as peque˜nos trazando la altura desde la hipotenusa hasta el v´ertice opuesto, se obtienen dos tri´angulos semejantes al original, de a´ reas A1 y A2 . Las hipotenusas de estos don tri´angulos rect´angulos son, respectivamente, a y b. Claramente, el a´ rea del tri´angulo original debe ser igual a la suma de las a´ reas de los dos tri´angulos m´as peque˜nos, lo que utilizando la relaci´on (9.64) permite escribir (9.65)

c2 F (θ) = a2 F (θ) + b2 F (θ) de donde, eliminando el factor com´un F , obtenemos

(9.66)

c2 = a2 + b2 .

Resulta interesante observar que este resultado se ha obtenido sin necesidad de especificar la forma exacta de la funci´on F (θ).

θ

θ

c

A2

A

b

A1 θ a Figura 9.3: Demostraci´on del teorema de Pit´agoras haciendo uso del an´alisis dimensional.

9.5.2 Periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple El periodo de oscilaci´on T de un p´endulo simple se considera funci´on de su longitud L, su masa m, la aceleraci´on de la gravedad g y el a´ ngulo m´aximo de oscilaci´on θ. Una vez establecida

155

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la dependencia param´etrica, procedemos a escribir la matriz de dimensiones ampliada T M L T



0 0 1



L

m

g

θ

0 1 0

1 0 0 1 0 −2

0 0 0

(9.67)

formada por las potencias de las ecuaciones de dimensiones de todas las variables del problema. Tras comprobar que las cantidades dato L, m y g tienen dimensiones independientes (k = 3), el teorema Π permite reducir la dependencia param´etrica de la soluci´on pasando de los n = 4 par´ametros iniciales a n − k = 1 par´ametro adimensional. Aplicando el m´etodo descrito en la secci´on 9.2.2 obtenemos Π0 = T /(L/g)1/2 , mientras que el a´ ngulo m´aximo de oscilaci´on ya es adimensional, luego Π1 = θ. As´ı pues, el resultado de aplicar el teorema Π es el siguiente T = F (θ), (L/g)1/2

(9.68)

relaci´on que nos indica c´omo depende el periodo de oscilaci´on de la longitud del p´endulo y de la aceleraci´on de la gravedad para un valor dado del a´ ngulo m´aximo θ. En interesante observar que el periodo de oscilaci´on es independiente de la masa del p´endulo. Esto se debe a que en (9.67) la masa m del p´endulo es la u´ nica variable con dimensiones de masa {M}, por lo que de aparecer m expl´ıcitamente en (9.68) no habr´ıa forma de cancelar la dimension {M} con ninguna otra variable. De este modo, el exponente de m debe ser cero tanto en Π0 como en Π1 . El an´alisis dimensional nos ha permitido concluir as´ı que el periodo del p´endulo no es una funci´on de su masa. Esta misma independencia se observ´o anteriormente cuando analizamos en la secci´on 9.1.3 la ca´ıda libre de una masa puntual. g L θ m

Figura 9.4: P´endulo simple. Como ejemplo de aplicaci´on de la ecuaci´on (9.68), supongamos que ensayamos en la Tierra un p´endulo de longitud Lt = 1 m y masa mt = 200 g y medimos un per´ıodo de Tt = 2,04 s cuando el a´ ngulo m´aximo de oscilaci´on es de 20◦ . Deseamos conocer cu´al ser´ıa el per´ıodo de un p´endulo de construcci´on similar que oscilara en la Luna (gl = 1.62 m/s2 ) con Ll = 30 cm y ml = 100 g y el mismo a´ ngulo m´aximo de oscilaci´on. La respuesta a esta cuesti´on la proporciona el an´alisis dimensional mediante la relaci´on (9.68). As´ı, para θ = 20◦ el ensayo en la tierra nos proporciona F (20◦) = Tt /(Lt /gt )1/2 = 2,04/(1/9,8)1/2 = 6,386. Utilizando este valor num´erico en (9.68) y teniendo en cuenta que la funci´on F (θ) es universal, pues solo depende del a´ ngulo m´aximo de oscilaci´on, obtenemos directamente el valor del periodo en la luna Tl = (Ll /gl )1/2 F (θ) = (0,3/1,62)1/2 6,386 = 2,748 s. 156

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES

9.5.3 An´alisis de Taylor de una explosi´on nuclear En una explosi´on at´omica se deposita de manera muy r´apida una cantidad localizada de energ´ıa E, lo que da lugar a la formaci´on de una onda de choque esf´erica cuyo radio ro aumenta con el tiempo t. En esta etapa inicial, la onda es muy fuerte, de manera que la presi´on po detr´as de la onda se hace mucho mayor que el valor ambiente que existe antes de la onda de choque, pa , que no influye por tanto en la soluci´on que aparece. El salto de densidad a trav´es de la onda de choque est´a sin embargo limitado, por lo que la densidad ambiente ρa si que influye en la propagaci´on de la onda, con lo que podemos escribir ro = f1 (E, ρa , t) y

po = f2 (E, ρa , t)

(9.69)

En este caso, las tres cantidades dato del problema tienen dimensiones independientes (k = 3), lo que podemos comprobar observando que la matriz ρa

t

1 1 2 −3 −2 0

0 0 1

E M L T

(9.70)

formada por las potencias de las ecuaciones de dimensiones [E] = ML2 T −2 , [ρa ] = ML−3 y [t] = T tiene determinante no nulo. El teorema Π permite reducir la dependencia param´etrica de la soluci´on, pasando de los n = 3 par´ametros iniciales a n − k = 0 par´ametros. Como [ro ] = L = [E]1/5 [ρa ]−1/5 [t]2/5 y [po ] = ML−1 T −2 = [E]2/5 [ρa ]3/5 [t]−6/5 , la soluci´on resulta ser ro po = C y = C2 , (9.71) 1 −1/5 3/5 E 1/5 ρa t2/5 E 2/5 ρa t−6/5 que alternativamente podemos escribir en la forma t2/5 ro = C1 E 1/5 ρ−1/5 a

−6/5 y po = C2 E 2/5 ρ3/5 . a t

(9.72)

Las constantes C1 y C2 no se pueden obtener directamente de este an´alisis: su c´alculo requiere la realizaci´on de un experimento o bien la soluci´on de un problema de din´amica de gases. La onda de choque que hemos obtenido se va debilitando con el paso del tiempo, de ma−1/5 nera que su velocidad de propagaci´on dro /dt = (2/5)C1E 1/5 ρa t−3/5 y la presi´on po , dada en (9.72), disminuyen progresivamente. N´otese que la soluci´on obtenida deja de ser v´alida para 1/2 5/6 t ∼ E 1/3 ρa /pa , cuando la onda deja de ser fuerte, esto es, cuando la presi´on po se hace comparable a la presi´on atmosf´erica. Se deja al lector repetir este an´alisis para estudiar la propagaci´on de la onda de choque cil´ındrica que se forma tras la descarga de un rayo. Para ello, suponga que la descarga del rayo equivale a la deposici´on instant´anea a lo largo de una l´ınea de una cantidad localizada de energ´ıa E por unidad de longitud ([E] = MLT −2 ).

9.5.4 Ensayos hidr´aulicos: semejanza total y parcial Un ejemplo cl´asico que ilustra las dificultades de alcanzar la semejanza f´ısica total es el de los ensayos en t´unel hidrodin´amico. En este tipo de ensayos la din´amica de la superficie libre (olas, resaltos hidr´aulicos, estelas, etc.), que est´a gobernada por la gravedad, juega un papel 157

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES primordial. Como ejemplo introductorio, vamos a considerar el dimensionado de la planta de potencia de un barco mediante el ensayo de un modelo a escala. Supongamos que se pretende dise˜nar un barco de carga de longitud L = 100 m cuya masa total a plena carga sea m = 1000 toneladas y cuya velocidad de crucero sea U = 10 m/s. Para dimensionar la potencia motriz W de que debemos dotar al barco se propone la construcci´on de un modelo a escala con longitud Lm = 1 m, que va a ser utilizado en ensayos en un t´unel hidrodin´amico (en el ensayo, medir´ıamos la fuerza sobre el modelo, y del producto de e´ sta por la velocidad de la corriente de agua obtendr´ıamos la potencia motriz Wm para el modelo a escala). Para dise˜nar el experimento, en primer lugar debemos establecer la dependencia param´etrica de la potencia W con los datos conocidos del problema (9.73)

W = W (L, U, ρ, μ, g, m)

donde ρ, μ y g representan, respectivamente, la densidad y la densidad del agua y la aceleraci´on de la gravedad. Escribiendo la matriz de dimensiones ampliada W M L T

L

1 −2 −3

U

ρ

μ

g

m

0 0 1 1 0 1 1 −3 −1 1 0 −1 0 −1 −2

0 0 1

(9.74)

comprobamos que los par´ametros L, U y ρ son dimensionalmente independientes, por lo que el teorema Π nos permite expresar la dependencia param´etrica en la forma adimensional (9.75)

Π0 = F (Π1 , Π2 , Π3 ).

Para determinar los grupos adimensionales correspondientes a la potencia, viscosidad, gravedad y masa, podemos seguir el procedimiento explicado en la secci´on 9.2.2 para obtener [W ] = [ρ][U]3 [L]2 , [μ] = [ρ][U][L], [g] = [U]2 [L]−1 y [m] = [ρ][L]3 , lo que conduce a las siguientes definiciones Π0 =

W , ρU 3 L2

Π1 =

ρUL ≡ Re, μ

Π2 =

U2 ≡ Fr gL

y Π3 =

m . ρL3

(9.76)

N´otese que los par´ametros adimensionales asociados a μ y g suelen definirse con estas variables en el denominador, dando lugar a los n´umeros adimensionales conocidos com´unmente como n´umeros de Reynolds y de Froude, respectivamente (recu´erdese la discusi´on de los n´umeros adimensionales de la secci´on 9.3). En definitiva, en este problema la dependencia param´etrica puede escribirse en la forma   ρUL U 2 m W , , =F (9.77) ρU 3 L2 μ gL ρL3 A partir de este resultado es f´acil comprobar que si el experimento se lleva a cabo en agua a temperatura ambiente (de modo que μm = μ y ρm = ρ), no es posible conseguir que el experimento sea f´ısicamente semejante a la realidad, pues no es posible satisfacer simult´aneamente la igualdad del n´umero de Reynolds Rem = Re

→

L Um = = 100 U Lm 158

(9.78)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES y del n´umero de Froude F rm = F r

Um = U

→



Lm L

1/2 =

1 10

(9.79)

En este caso, la u´ nica opci´on es abandonar a la semejanza f´ısica completa y realizar el experimento en condiciones de semejanza parcial, que consiste en renunciar a reproducir los valores de aquel o aquellos par´ametros cuyo papel no se considere primordial, manteniendo la igualdad de los par´ametros m´as determinantes. En los ensayos hidr´aulicos que nos ocupa, el par´ametro m´as importante es el n´umero de Froude, porque el n´umero de Reynolds que aparece (tanto a escala real como en los ensayos de laboratorio) es muy grande. Tal y como se discuti´o en la deducci´on de la ecuaci´on (9.49), bajo esas condiciones la soluci´on se hace independiente de la viscosidad, por lo que (9.77) se simplifica para dar  2  U W m , =F . (9.80) ρU 3 L2 gL ρL3 A la vista de esta expresi´on, para determinar el valor de Um y mm que debemos utilizar en el experimento debemos imponer la igualdad de n´umeros de Froude y de densidades relativas  1/2 2 U2 Lm Um = U = 1 m/s (9.81) → Um = gLm gL L  3 Lm m mm = → mm = m = 1 kg (9.82) ρL3m ρL3 L Para garantizar la validez del an´alisis, antes de seguir debemos comprobar que el valor del n´umero de Reynolds para el modelo y el barco a escala real es, efectivamente, mucho mayor que la unidad. Utilizando los valores de la densidad y viscosidad del agua a presi´on y temperatura ambiente, ρ = 1000 kg/m3 y μ = 10−3 kg/(m·s), obtenemos Re =

1000 · 10 · 100 ρUL = = 109 −3 μ 10

y

Rem =

1000 · 1 · 1 ρUm Lm = = 106 , −3 μ 10

(9.83)

en ambos casos valores muy grandes, por lo que la hip´otesis de efectos viscosos despreciables es correcta. Por u´ ltimo, si las medidas experimentales obtenidas revelan, por ejemplo, que se necesita una potencia Wm = 1 W para mover el modelo experimental a velocidad Vm , podemos obtener el valor de la potencia W necesaria para mover el barco sin m´as que imponer la igualdad del par´ametro adimensional correspondiente  3  2 Wm W U L = → W = Wm = 10 · 106 W = 10 MW. (9.84) 3 L2 3 L2 ρUm ρU U L m m m Como se ha visto m´as arriba, la semejanza f´ısica completa en este caso exige la igualdad de los n´umeros de Froude adem´as de la igualdad de los n´umeros de Reynolds, lo que ya hemos visto que no resulta posible si ρm = ρ y μm = μ. Como ejercicio, conviene investigar qu´e tipo de fluido habr´ıa que utilizar en el t´unel hidrodin´amico para alcanzar en los ensayos la semejanza f´ısica completa En general, dada la relaci´on de escala de longitudes entre modelo y prototipo Lm =α Lp 159

(9.85)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la igualdad de los n´umeros de Reynolds y de Froude implica que Rem = Rep F rm = F rp

→ →

ρm Um Lm ρp Up Lp = μm μp 2 Up2 Um = Lm g Lp g

→ →

Um ρp μm Lp ρp μm 1 = = Up ρm μp Lm ρm μp α  1/2 Lm Um = = α1/2 Up Lp

(9.86) (9.87)

La condici´on de semejanza f´ısica obliga, por tanto, a que se cumpla la relaci´on ρp μm νm = = α3/2 μp ρm νp

(9.88)

expresada aqu´ı en t´erminos de la viscosidad cinem´atica ν = μ/ρ, resultado de igualar la relaci´on de escalas de velocidades Um /Up obtenida en (9.86) y (9.87). Por ejemplo, en un ensayo con un modelo a escala α = 1/10 deber´ıamos utilizar un fluido con viscosidad cinem´atica νm = 0,13/2 νp = 0,032νp . Si suponemos que el prototipo opera en agua, νp = νagua = 10−6 m2 /s, el fluido de ensayo deber´ıa tener una viscosidad cinem´atica de νm = 3,2 · 10−8 , un valor demasiado peque˜no para cualquier fluido convencional (solo el mercurio se aproxima, con νHg = 1,16 · 10−7 , aunque un ensayo hidr´aulico con mercurio resultar´ıa caro y peligroso). En definitiva, en los ensayos en canales hidr´aulicos la semejanza f´ısica completa resulta muy dif´ıcil de alcanzar. En la pr´actica, resulta m´as conveniente utilizar agua tanto para el modelo como para el prototipo renunciando a la igualdad de los n´umeros de Reynolds y manteniendo la igualdad de los n´umeros de Froude, por ser e´ ste el par´ametro dominante en flujos con superficie libre.

9.5.5 Efectos de compresibilidad Como introducci´on al an´alisis de los efectos de la compresibilidad en el movimiento de gases, retomamos ahora el ejemplo del movimiento alrededor de una esfera, que analizamos en 9.2.3 para el caso en que el fluido fuera un l´ıquido. Si el fluido es un gas, el nivel de presi´on, dado por su valor lejos del cuerpo, p∞ , resulta en principio importante a la hora de determinar la fuerza sobre el cuerpo, puesto que entra en el problema a trav´es de la ecuaci´on de estado p = ρRg T , que relaciona las variaciones de presi´on, densidad y temperatura. La otra diferencia importante con el caso de un l´ıquido es que, para un gas, sus propiedades t´ermicas son tambi´en importantes. Las caracterizaremos haciendo uso del cociente de calores espec´ıficos γ = cp /cv , con lo que la dependencia param´etrica de la fuerza sobre la esfera, queda en este caso en la forma F = F (R, U, ρ∞ , μ, p∞ , γ). (9.89) Si seleccionamos (R, U, ρ∞ ) como subconjunto de par´ametros de dimensi´on independiente, la aplicaci´on del teorema Π conduce en este caso a   μ p∞ F , =f ,γ , (9.90) ρ∞ U 2 R2 ρ∞ UR ρ∞ U 2 an´aloga a (9.39), que podemos reescribir en la forma alternativa   U ρ∞ UR F , =f ,γ . ρ∞ U 2 R2 μ (γp∞ /ρ∞ )1/2

(9.91)

Como se ve, adem´as del n´umero de Reynolds, en el caso de la aerodin´amica, hacen aparici´on dos par´ametros adicionales. Uno es el cociente de calores espec´ıficos, γ, que a temperatura 160

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES ambiente toma el valor γ = 5/3 para gases monoat´omicos y γ = 7/5 para gases diat´omicos. Para el caso del aire, formado mayoritariamente por N2 y O2 , resulta apropiado tomar γ  1,4. Si observamos el otro nuevo par´ametro U/(γp∞ /ρ∞ )1/2 , vemos que en su denominador hace aparici´on una propiedad termodin´amica, a∞ = (γp∞ /ρ∞ )1/2 , nueva en el contexto de la asignatura, que tiene dimensiones de velocidad. Se puede demostrar que dicha velocidad es la velocidad del sonido en el aire ambiente, esto es, la velocidad a la que se propagan las peque˜nas perturbaciones al campo de presi´on. Haciendo uso de la ecuaci´on de estado para escribir a∞ = (γRg T∞ )1/2 se demuestra que la velocidad del sonido es una funci´on exclusiva de la temperatura, que toma el valor a∞  340 m/s para el aire en condiciones ambiente. El par´ametro adimensional resultante de hacer el cociente entre la velocidad de la corriente incidente y la velocidad del sonido ambiente M=

U (γp∞ /ρ∞ )1/2

(9.92)

es el denominado n´umero de Mach, que caracteriza los efectos de compresibilidad en el movimiento de los gases. Para verlo, recordamos que, tal y como vimos en la secci´on 9.2.4, en el movimiento a altos n´umeros de Reynolds que t´ıpicamente encontramos en problemas de aerodin´amica, las variaciones de presi´on en el campo fluido son del orden p − p∞ ∼ ρ∞ U 2 , por lo que podemos escribir ρ∞ U 2 p − p∞ ∼ ∼ M 2. (9.93) p∞ p∞ Por tanto, para que en el movimiento aparezcan variaciones de presi´on apreciables es necesario que el n´umero de Mach sea de orden unidad, en cuyo caso, de acuerdo a la ecuaci´on de estado p = ρRr T , la densidad variar´ıa tambi´en de forma apreciable. Si, por el contrario, el n´umero de Mach es muy peque˜no, lo que ocurrir´ıa en nuestro caso si la velocidad incidente es mucho menor que la velocidad del sonido, las variaciones de presi´on (y densidad) ser´ıan peque˜nas, y el gas se comportar´ıa como un l´ıquido. En otras palabras, en el l´ımite M  1, la relaci´on (9.91) se simplicar´ıa para dar   ρ∞ UR F =f . (9.94) ρ∞ U 2 R2 μ Por tanto, podemos anticipar que en el movimiento del aire alrededor de un coche o de un aerogenerador, donde se verifica U  a∞ , el aire se comporta de forma efectiva como incompresible. Lo mismo ocurrir´ıa en el movimiento alrededor de avionetas, por ejemplo, pero no as´ı en el movimiento de aviones comerciales de transporte, donde se pueden alcanzar velocidades del orden de U  0,85a∞ , o de aviones de combate o misiles, que t´ıpicamente operan en r´egimen supers´onico (U > a∞ ).

´ 9.5.6 Ensayos en tunel aerodin´amico compresible Para ilustrar de nuevo las dificultades que puede ocasionar conseguir la semejanza f´ısica total entre modelo y prototipo, vamos a considerar el ensayo en t´unel aerodin´amico de un modelo a escala en r´egimen compresible. Seg´un hemos visto en la secci´on anterior, si los efectos de la compresibilidad son importantes, la semejanza f´ısica entre modelo y prototipo exige, adem´as de la semejanza geom´etrica, la igualdad de los n´umeros de Reynolds y de Mach. La semejanza geom´etrica establece la existencia de una u´ nica relaci´on de escala de longitudes Lm =α Lp 161

(9.95)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES que suele ser menor que la unidad en este tipo de ensayos. Por otro lado, la igualdad de los n´umeros de Reynolds y de Mach implica que Rem = Rep

→

Mm = Mp

→

ρm Um Lm ρp Up Lp = μm μp Um Up = am ap

→ →

Um ρp μm Lp ρp μm 1 = = Up ρm μp Lm ρm μp α Um am = Up ap

La condici´on de semejanza f´ısica obliga, por tanto, a que se cumpla la relaci´on ρp μm ap =α ρm μp am

(9.96) (9.97)

(9.98)

resultado de igualar la relaci´on de escalas de velocidades Um /Up obtenida en (9.96) y (9.97). Utilizando la expresi´on para la velocidad del sonido de un gas ideal, a = (γRg T )1/2 , la ley de los gases ideales p/ρ = Rg T , y suponiendo una dependencia potencial de la viscosidad con la temperatura, μ/μ0 = (T /T0 )σ , la condici´on (9.98) puede expresarse exclusivamente en t´erminos de los cocientes de presi´on y temperatura   1 +σ pp Tm 2 =α pp (t´uneles presurizados). La segunda es mantener la presi´on (pm = pp ) y reducir la temperatura hasta un valor Tm = α2/(1+2σ) Tp < Tp (t´uneles criog´enicos). En ambos casos, cuanto mayor sea el tama˜no del t´unel la relaci´on de escala de longitud α podr´a ser m´as pr´oxima a la unidad y por tanto la necesidad de presurizar o refrigerar el t´unel ser´a menor. Por este motivo los t´uneles aerodin´amicos compresibles tienden a ser lo m´as grande posibles. Un ejemplo de t´unel presurizado y criog´enico es el European Transonic Wind Tunnel (ETW) en Colonia, Alemania, que opera con una corriente de nitr´ogeno puro a -163◦ C y presiones de hasta 4.5 atm y cuya secci´on de ensayo es de 2.4×2 metros. Como referencia, el t´unel aerodin´amico m´as grande del mundo es el t´unel del Ames Research Center de la NASA, con una secci´on de ensayo de 40×26 metros, capaz de albergar un Boeing 737 a escala real, y que no requiere, por tanto, ni presurizaci´on ni refrigeraci´on.

9.5.7 Actuaciones de una turbina e´olica En esta secci´on vamos a aplicar el an´alisis dimensional para caracterizar las prestaciones de una turbina e´olica de di´ametro D y forma geom´etrica dada sobre la que incide una corriente de aire de velocidad U. Supondremos que la turbina gira a una velocidad dada n (expresada en revoluciones por unidad de tiempo) y que bajo las condiciones t´ıpicas de operaci´on de la turbina el aire, con velocidades U mucho menores que la velocidad del sonido, el aire se comporta como un fluido incompresible de densidad ρ y viscosidad μ constantes. La potencia W extra´ıda de la turbina depender´a por tanto de los siguientes par´ametros: W = W (D, U, ρ, μ, n). 162

(9.100)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES Utilizando el an´alisis dimensional podemos expresar esta dependencia en funci´on del menor n´umero posible de par´ametros adimensionales. Para ello escribimos la matriz de dimensiones ampliada W D U ρ μ n M 1 0 0 1 1 0 (9.101) L −2 1 1 −3 −1 0 T −3 0 −1 0 −1 −1 cuyas columnas est´an formadas por los exponentes de la ecuaci´on de dimensiones de cada una de las variables. Tras comprobar que D, U y ρ constituyen un subconjunto completo de variables con dimensiones independientes, utilizamos estas tres variables para construir grupos adimensionales con las dem´as siguiendo el procedimiento explicado en la secci´on 9.2.2. El primero, ΠW = W/(ρU 3 D 2 ), representa el coeficiente de potencia, el segundo, Πn = nD/U, el coeficiente de vueltas y el tercero, Re = ρUD/μ, el n´umero de Reynolds. De este modo, la relaci´on de dependencia (9.100) adopta la forma adimensional   nD ρUD W =f , . (9.102) ρU 3 D 2 U μ Esta expresi´on puede simplificarse a´un m´as si tenemos en cuenta que bajo las condiciones de operaci´on de una turbina e´olica el n´umero de Reynolds es siempre mucho mayor que la unidad, por lo que el efecto de la viscosidad puede considerarse despreciable. En este caso tenemos   nD W =f , (9.103) ρU 3 D 2 U expresi´on que permite caracterizar las prestaciones de una familia de turbinas e´olicas de forma geom´etrica dada de la forma m´as compacta posible. Como ejemplo ilustrativo, supongamos que ensayamos una turbina de di´ametro D = 5 m sobre la que incide una corriente de aire de velocidad U = 10 m/s, y que la medida de la potencia obtenida en funci´on de la velocidad de giro proporciona los valores que se muestran en el siguiente gr´afico

donde se observa que la potencia extra´ıda presenta un m´aximo para n = 200 rpm. Conviene hacer notar aqu´ı que la hip´otesis de viscosidad despreciable es buena, pues para la turbina considerada en la campa˜na de ensayos tenemos Re = 1,2 · 10 · 5/(1,8 · 10−5 ) = 3,33 · 106  1. A partir de estos resultados, el concepto de semejanza f´ısica permite calcular las prestaciones de la turbina en cualquier otra condici´on de operaci´on. Para ello, debemos construir en primer lugar la funci´on ΠW = f (Πn ) utilizando los datos de la gr´afica: 163

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES W (W) 4 · 103 5,5 · 103 6,5 · 103 7 · 103 6 · 103 4,5 · 103

n (rpm) 125 150 175 200 225 250

n Πn = nD U (rev/s) 2.083 1.042 2.500 1.250 2.917 1.458 3.333 1.667 3.750 1.875 4.167 2.083

ΠW =

W ρU 3 D 2

0.133 0.183 0.217 0.233 0.200 0.150

Una vez calculada la funci´on ΠW = f (Πn ) podr´ıamos determinar, por ejemplo, el valor de n para el que se obtendr´ıa la m´axima potencia de la turbina cuando esta opera a una velocidad distinta, digamos U = 15 m/s. De acuerdo con la tabla anterior, la m´axima potencia se obtiene para Πn = nD/U = 1,667, o bien, n = 1,667U/D = 1,667 · 15/5 = 5 rev/s = 300 rpm. Para dicho valor de Πn , el coeficiente de potencia m´aximo es ΠW = W/(ρU 3 D 2 ) = 0,233 por lo que la potencia m´axima que se extraer´ıa de la turbina en las nuevas condiciones ser´ıa W = 0,233ρU 3 D 2 = 0,233 · 1,2 · 153 · 52 = 23,625 kW. Otro resultado de inter´es que podemos obtener es la variaci´on de la potencia extra´ıda W con la velocidad del viento U para un valor fijo de la velocidad de giro. Por ejemplo, para n = 200 rpm = 3.33 rev/s y D = 5 m, los resultados de la tabla anterior permiten calcular primero U = nD/Πn = 3,33 · 5/Πn y a continuaci´on W = ΠW ρU 3 D 2 = ΠW · 1,2U 3 52 = ΠW · 1,2(3,33 · 5/Πn )3 52 , lo que proporciona los siguientes resultados: Πn 1.042 1.250 1.458 1.667 1.875 2.083

ΠW U = nD Πn 0.133 16 0.183 13.33 0.217 11.43 0.233 10 0.200 8.89 0.150 8

W = ΠW ρU 3 D 2 16.384 13.03 9.706 7.000 4.216 2.304

Por u´ ltimo, podemos utilizar la curva adimensional ΠW = f (Πn ) para determinar las actuaciones de turbinas de la misma familia pero de distinto tama˜no. Por ejemplo, podemos calcular el valor de W correspondiente a una corriente incidente de velocidad U = 20 m/s para una turbina geom´etricamente semejante de di´ametro D = 10 m girando a n = 175 rpm. As´ı, para D = 10 m, n = 175 rpm y U = 20 m/s tenemos ΠN = nD/U = (175/60)10/20 = 1,458 y entrando en la tabla con este valor obtenemos ΠW = ρUW3 D2 = 0,217 o bien W = 0,217ρU 3 D 2 = 0,217 · 1,2 · 203 · 102 = 208 kW.

9.5.8 Semejanza en m´aquinas hidr´aulicas Como ejemplo de m´aquinas hidr´aulicas, consideramos primeramente el funcionamiento de una bomba. Las par´ametros de los que depende su funcionamiento son, adem´as de la forma geom´etrica de la m´aquina, su tama˜no, dado por ejemplo por el di´ametro del rotor D, el caudal o gasto volum´etrico que circula por la bomba Q, la velocidad angular de giro ω, y las propiedades f´ısicas del l´ıquido ρ y μ. La forma geom´etrica incluye la rugosidad relativa de la m´aquina, que tiene influencia sobre todo en el c´alculo de las p´erdidas. Los par´ametros de funcionamiento de inter´es incluyen el aumento de presi´on total producido Δpt , el par que act´ua sobre el eje, T , y 164

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la potencia consumida, Pfreno , por lo que escribiremos Δpt = f1 (Q, ρ, μ, ω, D, geometria) T = f2 (Q, ρ, μ, ω, D, geometria) Pfreno = f3 (Q, ρ, μ, ω, D, geometria) Para una familia de bombas geom´etricamente semejantes, si elegimos las variables ω, D y ρ como subconjunto de variables con dimensi´on independiente, la aplicaci´on del teorema Π conduce a   Q ρωD2 Δpt = g1 , ρω 2 D 2 ωD3 μ   Q ρωD2 T = g2 , (9.104) ρω 2 D 5 ωD3 μ   Q ρωD2 Pfreno = g3 , ρω 3 D 5 ωD3 μ Como se ve, la soluci´on depende de dos par´ametros, el coeficiente de caudal o de flujo, Q/(ωD3 ), y el n´umero de Reynolds basado en la velocidad caracter´ıstica ωD, ρωD2 /μ. En la pr´actica, se ha observado que los efectos de la viscosidad son relativamente poco importantes cuando dos m´aquinas geom´etricamente semejantes operan bajo condiciones similares de flujo, por ser el n´umero de Reynolds muy alto. Con esta simplificaci´on, suprimir´ıamos el n´umero de Reynolds de las relaciones adimensionales anteriores para dar   Q Δpt = g1 ρω 2 D 2 ωD3   Q T = g2 (9.105) ρω 2 D 5 ωD3   Q Pfreno . = g3 ρω 3 D 5 ωD3 Las relaciones (9.105) nos permiten representar todos los estados de funcionamiento de una familia de bombas geom´etricamente semejantes mediante una sola curva para cada par´ametro ´ de salida. Estas son las curvas caracter´ısticas de la m´aquina y generalmente deben obtenerse a partir de la experimentaci´on. Como se ve en (9.105), el funcionamiento de una familia de bombas geom´etricamente semejantes vendr´ıa determinado por un solo par´ametro, el coeficiente de flujo. Es decir, si para dos bombas se verifica que Q1 Q2 = 3 ω 1 D1 ω2 D23 entonces, tendremos que Δpt2 Δpt1 = 2 2 ρ1 ω1 D1 ρ2 ω22 D22 T1 T2 = 2 5 ρ1 ω1 D1 ρ2 ω22 D25 P1 P2 = 3 5 ρ1 ω1 D1 ρ2 ω23 D25 Hagamos uso de estas relaciones para resolver un n´umero de ejemplos sencillos. 165

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES • Considere una bomba que funciona con un gasto Q1 y unas revoluciones ω1 . Supongamos que la misma m´aquina con el mismo fluido funciona con el doble de gasto y el doble de revoluciones: Q2 = 2Q1 , ω2 = 2ω1 , D2 = D1 , ρ2 = ρ1 entonces podemos comprobar que Δpt2 = 4Δpt1 ,

T2 = 4T1 ,

P2 = 8P1

• Una bomba funciona con ω1 y Δpt1 . Otra m´aquina semejante de doble tama˜no funciona con el mismo Δpt , el mismo l´ıquido y la mitad de revoluciones: Δpt2 = Δpt1 ,

D2 = 2D1 ,

ρ2 = ρ1 ,

ω2 = ω1 /2

se puede demostrar que Q2 = 4Q1 ,

T2 = 8T1 ,

P2 = 4P1

• Una misma m´aquina girando a las mismas revoluciones y dando el mismo gasto volum´etrico, funciona con dos l´ıquidos, uno de triple densidad que el otro: Q2 = Q1 ,

ω2 = ω1 ,

D2 = D 1 ,

ρ2 = 3ρ1

se puede demostrar que Δpt2 = 3Δpt1 ,

T2 = 3T1 ,

P2 = 3P1

En el an´alisis de m´aquinas hidr´aulicas, la elecci´on de las variables dependientes e independientes no es r´ıgida y podemos intercambiar unas con otras siempre que mantengamos fijo el n´umero de datos de partida. Por ejemplo, en turbinas puede ser m´as apropiado suponer que el dato sea Δpt en lugar de Q, con lo que se tendr´ıa Q = f1 (Δpt , ρ, μ, ω, D, geometria) T = f2 (Δpt , ρ, μ, ω, D, geometria) Pfreno = f3 (Δpt , ρ, μ, ω, D, geometria). Para hacer aplicaci´on del teorema Π, conviene en este caso elegir ρ, D, y Δpt como subconjunto de variables de dimensi´on independiente, con lo que, para un conjunto de turbinas geom´etricamente semejantes, se obtendr´ıa   Qρ1/2 ωDρ1/2 (ρΔpt )1/2 D = g1 , D 2 (Δpt )1/2 (Δpt )1/2 μ   1/2 ωDρ (ρΔpt )1/2 D T (9.106) = g2 , D 3 Δpt (Δpt )1/2 μ   ωDρ1/2 (ρΔpt )1/2 D Pfreno ρ1/2 = g3 , D 2 (Δpt )3/2 (Δpt )1/2 μ Los par´ametros de la izquierda de estas tres f´ormulas reciben los nombres de coeficiente de apertura, coeficiente de par y coeficiente de potencia, respectivamente. Si despreciamos el efecto de 166

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la viscosidad, las relaciones anteriores nos proporcionan las curvas caracter´ısticas de la turbina en la forma   ωDρ1/2 Qρ1/2 = g1 D 2 (Δpt )1/2 (Δpt )1/2   ωDρ1/2 T (9.107) = g2 D 3 Δpt (Δpt )1/2   Pfreno ρ1/2 ωDρ1/2 = g3 D 2 (Δpt )3/2 (Δpt )1/2 Por tanto, para dos turbinas hidr´aulicas geom´etricamente semejantes, si se verifica que 1/2

1/2

ω2 D2 ρ2 ω1 D1 ρ1 = 1/2 (Δpt1 ) (Δpt2 )1/2 entonces, tendremos que 1/2

1/2

Q1 ρ1 Q2 ρ2 = 2 2 1/2 D1 (Δpt1 ) D2 (Δpt2 )1/2 T1 T2 = D13 Δpt1 D23 Δpt2 1/2

1/2

P1 ρ1 P2 ρ2 = 2 . 2 3/2 D1 (Δpt1 ) D2 (Δpt2 )3/2

167

Cap´ıtulo 10 Flujo Turbulento en conductos 10.1 Introducci´on En temas anteriores hemos estudiado las ecuaciones integrales de la Mec´anica de Fluidos y algunas de sus aplicaciones. Se ha descrito asimismo el an´alisis dimensional y la semejanza f´ısica, con sus aplicaciones al estudio de las m´aquinas hidr´aulicas. Del mismo modo, hemos visto como cuando el n´umero de Reynolds es muy grande, Re  1, en el caso de flujo alrededor de cuerpos, o cuando el n´umero de Reynolds multiplicado por la relaci´on de esbeltez es muy grande, Re D/L  1, en el caso de flujo en el interior de un conducto de di´ametro D y longitud L, los efectos viscosos son despreciables en la mayor parte del campo fluido (excepto en una zona peque˜na denominada capa l´ımite) dando lugar a la ecuaci´on de Bernouilli. En este tema veremos como, en realidad, cuando el n´umero de Reynolds de un flujo es suficientemente alto, e´ ste es inestable a peque˜nas perturbaciones y por lo tanto no se encuentran las soluciones anteriormente estudiadas. Por el contrario, estas perturbaciones se desarrollan conforme el flujo evoluciona dando lugar al fen´omeno conocido como turbulencia, caracterizada por r´apidas variaciones tanto espaciales como temporales de la velocidad, presi´on y temperatura. El transporte de un fluido (l´ıquido o gas) por el interior de un conducto cerrado se da en un gran n´umero de aplicaciones con las cuales nos encontramos diariamente. Como ejemplos podemos citar desde transporte de crudo a trav´es de oleoductos, gas en gaseoductos hasta conducciones de agua potable en redes de abastecimiento o conductos de aire acondicionado. En la mayor´ıa de estas aplicaciones el flujo es turbulento de forma que el objetivo de este tema es caracterizar este tipo de flujos.

10.2 Flujo Laminar y flujo turbulento: experimento de Reynolds. El flujo en el interior de un conducto puede ser laminar o turbulento. Cuando tenemos un tubo muy largo, D/L  1, con Re D/L  1 se puede obtener una soluci´on exacta conocida como flujo de Poiseuille. Este tipo de flujos se caracteriza por ser un flujo estacionario y unidireccional con l´ıneas de corriente paralelas a las paredes del tubo tal y como se muestra en la figura 10.1a. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que dicho flujo u´ nicamente existe si el n´umero de Reynolds es menor que un valor cr´ıtico, Re < Rec , que depende del tipo

10.2. FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO: EXPERIMENTO DE REYNOLDS. Traza Laminar a)

Traza Turbulenta b)

Figura 10.1: Trazas de un flujo laminar y un flujo turbulento en el interior de un conducto. de flujo. Sin embargo, cuando Re > Rec el flujo se hace inestable a peque˜nas perturbaciones que se amplifican conforme nos movemos aguas abajo, de modo que deja de ser estacionario y unidireccional. Por el contrario el flujo se hace irregular y las sendas dejan de ser paralelas a las paredes del conducto (ve´ase figura 10.1b). El primero que describi´o la diferencia entre un flujo laminar y un flujo turbulento en un conducto de secci´on circular fue Osborne Reynolds (1842-1912), quien mediante la inyecci´on de colorante en el interior de un tubo transparente determin´o visualmente como la estructura del flujo cambiaba radicalmente al aumentar el n´umero de Reynolds. Para ello construy´o un tanque de agua de 182.88 cm (seis pies) de largo, y secci´on cuadrada de 45.72 × 45.72 cm2 (1.5 × 1.5 pies2 ) situado a 213.36 cm (7 pies) del suelo. El tanque dispon´ıa de un flotador que le permit´ıa controlar con precisi´on el nivel de agua en su interior. En el interior del tanque de agua coloc´o horizontalmente una tuber´ıa de vidrio de 2.54 cm de di´ametro (una pulgada) a la que se le pod´ıa inyectar colorante a trav´es de una especie de embudo situado a la entrada de la misma. La figura 10.2a muestra un esquema del experimento de Reynolds con Mr. Foster, el ayudante de Osborne Reynolds, listo para manipular la instalaci´on controlando el caudal por medio de la palanca que se muestra en la parte derecha de la figura. Para realizar el experimento, Reynolds y su ayudante Foster, llenaron inicialmente el tanque de agua y lo dejaron reposar durante cuatro horas antes de iniciar el estudio. Despu´es dejaron fluir el colorante por el interior de la tuber´ıa y abrieron ligeramente la v´alvula para permitir que el agua circulase por el interior de la tuber´ıa. Inicialmente observaron que el filamento de colorante permanec´ıa estable y paralelo a las paredes de la tuber´ıa tal y como se muestra en la figura 10.2b. Tras abrir la v´alvula para permitir que el caudal que circulaba por el interior de la tuber´ıa aumentase observaron que, para un determinado grado de apertura, el filamento de colorante se perturbaba en un punto determinado de la tuber´ıa y se mezclaba, aparentemente de manera homog´enea, con el agua del conducto (figura 10.2c). Sin embargo, una inspecci´on detallada del mismo revel´o que su movimiento era ondulatorio, similar al mostrado en la figura 10.2d. De este modo determinaron la velocidad cr´ıtica a la cual el movimiento comenzaba a ser turbulento. Posteriormente, realizaron el mismo experimento calentando el agua del tanque hasta 21 o C a˜nadiendo vapor de agua para, con ello reducir la viscosidad de la misma, y comprobaron que la velocidad cr´ıtica para la cual observaron la tansici´on a un flujo turbulento aumentaba. Sin embargo, pensando que el agua estaba a temperatura mayor que el ambiente que se encontraba a 8.3 o C, y ello podr´ıa producir un enfriamiento de la superficie del agua 169

10.2. FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO: EXPERIMENTO DE REYNOLDS.

Figura 10.2: Experimento de Reynolds. generando recirculaciones en el interior del tanque que falseaban el experimento, realizaron un nuevo experimento enfriando el agua del tanque hasta 4 o C. En este caso observaron que la velocidad cr´ıtica disminu´ıa con respecto al experimento inicial. As´ı, Reynolds, con la inestimable ayuda de Mr. Foster, pudo constatar que exist´ıa una velocidad cr´ıtica, que aumentaba proporcionalmente con la viscosidad cinem´atica del fluido, para la cual se produc´ıa la tansici´on de un flujo laminar a un flujo turbulento. De este modo, dado que el di´ametro de tuber´ıa era constante, Reynolds determin´o el valor de n´umero de Reynolds cr´ıtico, Rec = uc D/ν, para el cual se produc´ıa la transici´on a un fujo turbulento. Aunque se pueden conseguir un flujo laminar para valores del n´umero de Reynolds mayores, a efectos pr´acticos, en aplicaciones ingenieriles, consideraremos que el flujo es laminar si Re < 2300 y que e´ ste es turbulento si Re > 4000. Para valores intermedios, 2300 < Re < 4000, diremos que el flujo es transitorio y cambia de laminar a turbulento y viceversa intermitentemente. El mismo experimento podr´ıamos realizar si medi´esemos la variaci´on temporal de la velocidad longitudinal en un punto arbitrario (punto A de la figura 10.3) en el interior de una tuber´ıa de di´ametro D. Si el caudal, Q, que circula por la tuber´ıa fuese tal que Re = um D/ν = 4 Q/π ν < Rec = 2300 la velocidad del punto A, uA (t), ser´ıa constante tal y como se muestra en el caso laminar de la figura 10.3. Si ahora incrementamos Q de forma que Re ∼ Rec aparecen de forma espont´anea peque˜nas perturbaciones de la velocidad que posteriormente se aten´uan. En este caso decimos que el flujo es transicional. Sin embargo si aumentamos todav´ıa m´as Q, podremos observar como uA (t) var´ıa con el tiempo, oscilando en torno a valor medio que denominaremos uA . Estas oscilaciones introducen un mecanismo de transporte, adicional al transporte molecular ya estudiado en cap´ıtulos anteriores, conocido como transporte turbulento. El transporte turbulento de masa, cantidad de movimiento y/o energ´ıa es un mecanismo mucho m´as eficaz que el molecular que tiende a homogeneizar la densidad, velocidad y temperatura en un campo fluido.

170

10.3. FLUJO DESARROLLADO Y LONGITUD DE ENTRADA uA Q

A

x Flujo turbulento

Flujo en transicion

Flujo Laminar t

Figura 10.3: Evoluci´on temporal de la velocidad en un punto durante el experimento de Reynolds.

10.3 Flujo desarrollado y longitud de entrada Consideraremos que el flujo est´a desarrollado en el interior de un conducto si el perfil de velocidades u´ nicamente depende de su coordenada transversal (r en el caso de conductos circulares) y no presenta variaciones aguas abajo. En este cap´ıtulo consideraremos que el flujo est´a desarrollado, de modo que conviene establecer las zonas de una tuber´ıa en las cuales el flujo est´a completamente desarrollado. Para ello, analizaremos la evoluci´on del perfil de velocidades en la zona de entrada de una tuber´ıa unida a un dep´osito tal y como se muestra en la figura 10.4. En este caso se ha considerado que el n´umero de Reynolds es mucho mayor que la unidad pero inferior a 2300, 1  Re < 2300, de modo que el flujo que se establece tras la zona de entrada es laminar, con un perfil de velocidades parab´olico. Si el acoplamiento entre la tuber´ıa y el dep´osito est´a convenientemente dise˜nado, la velocidad en toda la secci´on de entrada al conducto es uniforme, excepto en la zona cercana a la pared del conducto, donde la velocidad debe de cumplir la condici´on de no deslizamiento y, por lo tanto, u(r = D/2) = 0. Esta zona, de espesor inicial mucho menor que el di´ametro del conducto, δ0  D, donde la velocidad decae desde su valor uniforme hasta cero, se denomina capa l´ımite. El espesor de la capa l´ımite, δ(x), crece aguas abajo en el conducto debido a que la viscosidad difunde lentamente la condici´on de velocidad nula en la pared al resto de fluido, as´ı la capa l´ımite es una zona con gradientes de velocidad importantes donde los efectos viscosos son dominantes. El resto de la secci´on del conducto, en su zona central, es una regi´on de flujo ideal donde los efectos viscosos son despreciables. Conforme la capa l´ımite aumenta, la extensi´on de la zona no viscosa disminuye y por lo tanto, debido a la ecuaci´on de conservaci´on de la masa, la magnitud de la velocidad en dicha zona aumenta aguas abajo de la entrada al conducto. El final de la zona de entrada, de longitud caracter´ıstica Le, se alcanza en el punto donde el espesor de la capa l´ımite es del orden del radio del conducto, δ(Le) ∼ D/2. As´ı, la zona de entrada es una regi´on del conducto donde tanto los t´erminos convectivos de la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento como los viscosos son importantes. Por lo tanto, tomado un volumen de control desde la entrada al conducto hasta el punto donde el flujo comienza a estar desarrollado, podemos estimar la longitud de entrada simplemente considerando que ambos t´erminos son del mismo orden de magnitud en la ecuaci´on 10.1,

171

10.3. FLUJO DESARROLLADO Y LONGITUD DE ENTRADA

Zona viscosa (capa limite)

Zona no viscosa Flujo Ideal

Flujo desarrollado

Longitud de entrada

Figura 10.4: Representaci´on de la zona de entrada en un conducto correspondiente a flujo laminar.

d dt

 Vc

   ρ¯ v dV +

T´ erminos convectivos





ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − Σc

T´ erminos viscosos



 p· n ¯ dσ + Σc

   ¯ dσ + ρf¯m dV. (10.1) τ¯ · n

Σc

Los t´erminos convectivos son del orden de  ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ ∼ ρ u2e πD 2 ,

Vc

(10.2)

Σc

donde ue representa la velocidad caracter´ıstica en el conducto. Por otro lado, los t´erminos viscosos son del orden de  ue ue πDLe ∼ μ πDLe . ¯ dσ ∼ μ (10.3) τ¯ · n δ(Le ) D Σc Igualando ambas expresiones obtenemos, ρue D Le ∼ = Re, D μ

(10.4)

que nos indica que, para un flujo laminar, la longitud de entrada incrementa proporcionalmente con el n´umero de Reynolds, siendo el valor exacto de la expresi´on, Le = 0,06 Re. D

(10.5)

En el caso de un flujo turbulento en un conducto, la situaci´on es ligeramente diferente y la longitud de entrada viene dada por, Le = 4,4 Re1/6 . D

(10.6)

Como ejemplo podemos observar que, en el caso de un flujo laminar a un n´umero de Reynolds Re = 2000, la longitud de entrada es Le = 120 D. Sin embargo en la mayor´ıa de las aplicaciones ingenieriles, donde 104 < Re < 106 , la longitud de entrada viene a ser del orden de 20 D ≤ Le ≤ 45 D. Dado que en la mayor´ıa de las aplicaciones, las tuber´ıas tienen longitudes de cientos de metros o varios kil´ometros, podemos considerar que el flujo est´a desarrollado casi en su totalidad, siendo la longitud de entrada mucho menor que la longitud del conducto, Le  L. 172

´ 10.4. PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS

10.4 P´erdidas de carga primarias en conductos En esta secci´on se pretende cuantificar la ca´ıa de presi´on que se experimenta un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad μ que se mueve a lo largo de un conducto de secci´on circular de di´ametro D (aunque el resultado obtenido se puede generalizar a conductos secci´on arbitraria). En el caso de movimiento estacionario y flujo desarrollado se puede aplicar la ecuaci´on de cantidad de movimiento al elemento diferencial de tuber´ıa mostrado en la figura 10.5,       d  ¯ ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p·n ¯ dσ + ¯ dσ + ρf¯m dV. (10.7) τ ·n dt Vc Σc Σc Σc Vc Considerando que el flujo es estacionario y est´a completamente desarrollado, los t´erminos de la izquierda de la igualdad en la ecuaci´on 10.7 son nulos. Por otro lado, si consideramos que  las fuerzas m´asicas derivan de un potencial, f¯m = −∇U, la integral de volumen Vc ρf¯m se  puede expresar como una integral de superficie mediante el teorema de Gauss, Vc ρf¯m dV =    − Vc ρ∇U dV = − Vc ∇(ρU) dV = − Σc ρU · n ¯ dσ, obteni´endose, 



0=−

¯ dσ, τ¯ · n

(p + ρ U) · n ¯ dσ + Σc

(10.8)

Σc

Aplicando la ecuaci´on 10.8 al elemento diferencial de la figura 10.5,   ∂P P A− P + A − τp Lp = 0 ∂x 4 τp Lp ∂P = τp = − ∂x A D

(10.9)

donde P = p+ρU es la presi´on reducida, τp los esfuerzos viscosos que las paredes del conducto ejercen sobre el fluido, A la secci´on transversal del conducto y Lp es su per´ımetro mojado. Cabe mencionar que, en el caso de conductos de secci´on circular Lp = π D y A = π D 2 /4, sin embargo, en conductos de secci´on arbitraria la ecuaci´on 10.9, se puede expresar como, −

4 τp Lp ∂P = 4 τp = , ∂x 4A Dh

(10.10)

donde Dh = 4A/Lp representa el di´ametro hidr´aulico (o di´ametro equivalente) del conducto. Finalmente, para determinar la ca´ıda de presi´on a lo largo del conducto necesitamos conocer el valor de los esfuerzos cortantes en la pared, τp . Para ello haremos uso del an´alisis dimensional con τp = f (ρ, μ, um, Dh , ), donde um = Q/A es la velocidad media del fluido que circula por el conducto, Q su caudal y  la rugosidad de las paredes del conducto. Expresando τp en funci´on del m´ınimo n´umero de par´ametros se obtiene,   ρ u m Dh  8 τp , =λ . (10.11) ρ u2m μ Dh Ahora podemos determinar la p´erdida de carga en el conducto como −

1 λ ∂P = ρ u2m . ∂x 2 Dh 173

(10.12)

´ 10.4. PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS

dx

P + ∂P/∂x τp τp

P

Figura 10.5: Elemento diferencial de tuber´ıa. Podemos obtener la variaci´on de la presi´on reducida entre dos puntos del conducto separados una distancia L como,  2  2 1 2 λ − ρ um dP = dl , (10.13) Dh 1 1 2 que, para el caso de un conducto de secci´on constante, donde um , Dh y λ son constantes a lo largo del tramo de longitud L, resulta P1 − P2 = (p + ρU)1 − (p + ρU)2 =

λL 1 2 λ 1 ρ um (l2 − l1 ) = ρ u2m . 2 Dh 2 Dh

(10.14)

En particular, cuando las fuerzas m´asicas se reducen a la gravedad U = −¯ g · x¯, la ecuaci´on 10.14, se reduce a, λL 1 , (10.15) (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 = ρ u2m 2 Dh donde z1 y z2 simplemente representan la cotas de los puntos inicial y final del tramo de conducto de longitud L. En las ecuaciones 10.11-10.15 aparece el coeficiente de fricci´on de Darcy, λ, cuya variaci´on con el n´umero de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto se muestra en el diagrama de Moody de la figura 10.4. N´otese que, en el caso de conductos de secci´on circular, el di´ameto hidr´aulico coincide con el di´ametro del conducto, Dh = 4A/Lp = D. El diagrama de Moody de la figura 10.4 muestra como cuando el flujo es laminar (Re < 2300) λ = 64/Re, independientemente de la rugosidad del conducto, debido a que todo el campo fluido est´a dominado por la viscosidad. En este caso el valor de λ = 64/Re viene determinado por la soluci´on del flujo de Poiseuille que establece que el perfil de velocidades tiene una forma parab´olica dada por u(r) = 2um (1 − (2r/D)2). En este caso τp = −μ

d u(r) um |r=D/2 = 8 μ , dr D

(10.16)

y, por lo tanto, utilizando la ecuaci´on 10.11 λ(Re) =

64 64 μ 8 τp = . = 2 ρ um ρum D Re 174

(10.17)

Coeficiente de fricci´o n λ



175





























 "

 






Re =

ρU D μ





Figura 10.6: Diagrama de Moody.





 !


 




 

















   





  







 

 D

Rugosidad relativa



´ 10.4. PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. En el rango 2300 < Re < 4000 se produce la transici´on de flujo laminar a turbulento y el coeficiente de fricci´on est´a indeterminado. Sin embargo cuando Re > 4000 el flujo es turbulento y λ depende tanto del n´umero de Reynolds como de la rugosidad relativa. La dependencia con el n´umero de Reynolds se va haciendo menor conforme e´ ste aumenta debido a que la zona de influencia de la viscosidad (denominada subcapa viscosa) disminuye de tama˜no y, por lo tanto, aumenta la importancia de la rugosidad de la pared en la p´erdida de carga. Finalmente, para valores de Re suficientemente grandes, el coeficiente de fricci´on deja de depender del n´umero de Reynolds, λ (/D). El n´umero de Reynolds a partir del cual esto ocurre es mayor cuanto menor es la rugosidad debido a que λ deja de depender del n´umero de Reynolds cuando el espesor de la subcapa viscosa llegua a ser suficientemente peque˜na comparada con la rugosidad de la pared. Existen diferentes expresiones para determina el valor de λ en rango determinado del n´umero de Reynolds. Para el caso de tuber´ıas lisas, Prandtl en 1935 determin´o mediante argumentos dimensionales la siguiente expresion,  √  1 √ = 2,0 log Re λ − 0,8. (10.18) λ De forma an´aloga, para de flujo completamente dominado por la rugosidad Von Karman estableci´o   /D 1 √ = −2,0 log . (10.19) 3,7 λ Sin embargo la correlaci´on com´umnente m´as utilizada es la denominada correlaci´on de Colebrook dada por,   /D 2,51 1 √ √ = −2,0 log (10.20) + 3,7 λ Re λ v´alida para todo el rango de flujo turbulento (Re > 4000). El problema de estas correlaciones es que muestra una dependencia impl´ıcita en λ. Como ejemplo adicional cabe mencionar la expresi´on dada por Blasius para tuber´ıas lisas y Re < 105 , λ = 0,3164 Re−1/4 .

(10.21)

10.5 Ejemplos de c´alculo de las p´erdidas de carga primarias en conductos. 10.5.1 Primer ejemplo. Como primer ejemplo vamos a obtener la p´erdida de carga que se produce a lo largo de un conducto circular de di´ametro D = 25 cm, rugosidad de pared  = 0.0025 cm y longitud L = 1Km por el cual circula un caudal Q = 0.05 m3 /s. Considerando un caudal Q = 0.05 m3 /s, para una tuber´ıa de di´ametro D = 25 cm, obtenemos que la velocidad media es um = 1.18 m/s. Si tomamos como valor de la viscosidad cinem´atica del agua, ν = μ/ρ = 10−6 m2 /s, el n´umero de Reynolds es Re = um D/ν = 254650. Dado que la rugosidad relativa es /D = 0.001, el valor del coeficiente de fricci´on obtenido del diagrama de Moody es λ = 0.0208. Con esto datos, dado que z1 = z2 , tenemos, λL 1 = 43071 Pa = 0,43 ba. (10.22) ΔP = (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 = p1 − p2 = ρ u2m 2 D 176

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS.

10.5.2 Segundo ejemplo Se tiene un dep´osito como el mostrado en la figura 10.7 que descarga agua al exterior mediante un tubo acoplado de longitud L = 1000 m, di´ametro D = 20 cm y rugosidad  = 0.002 cm, con un desnivel entre los extremos Hc = 20 m. Considerando que el nivel de agua del dep´osito se mantiene constante e igual a H0 = 10 m, calcule el caudal de agua que circula por el tubo.

pa

AT

Ho

D Hc

L

1

pa

Figura 10.7: Esquema del segundo ejemplo. En este caso consideraremos la p´erdida de carga entre los puntos 1 y 2 situados a la entrada y la salida del conducto respectivamente. Sin embargo dado que no conocemos el caudal de l´ıquido que circula por el conducto debemos de resolver el problema de forma iterativa. Primero plantearemos la ecuaciones que gobiernan el proceso. En el fondo del dep´osito, suficientemente lejos del punto de acoplamiento con el conducto de descarga, dado que el fluido se puede considerar en reposo la presi´on es, pd = pa + ρgHo .

(10.23)

En la regi´on de entrada al conducto, si consideramos que el n´umero de Reynolds es alto, podemos aplicar la ecuaci´on de Bernouilli para determinar la presi´on en el punto 1 como, 1 p1 = pd − ρ u2m . (10.24) 2 Por otro lado, entre el punto 1 y el punto 2 situado a la salida del conducto podemos aplicar la ecuaci´on 10.15, λL 1 , (10.25) (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 = ρ u2m 2 D con la condici´on de contorno a la salida del conducto, donde p2 = pa . Combinando las ecuaciones 10.23-10.25, obtenemos   1 2 λL ρg(Ho + Hc ) = ρ um 1 + , (10.26) 2 D 177

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. y, por lo tanto,

 um =

2g(Ho + Hc ) 1 + λL D

→

Q = um

πD 2 . 4

(10.27)

Al no conocer el valor de um , tampoco conocemos el n´umero de Reynolds y, por lo tanto desconocemos λ(Re, /D). Para resolver la ecuaci´on 10.27 supondremos inicialmente que el valor de λ viene dado por el correspondiente al flujo completamente dominado por la rugosidad, as´ı, por medio de la ecuaci´on 10.19   /D 1 √ = −2,0 log (10.28) → λ0 = 0,120. 3,7 λ0 Sustituyendo λ0 en la ecuaci´on 10.27 obtenemos una primera aproximaci´on de la velocidad media del agua, um0 = 3.10 m/s (Q0 = 0.0975 m3 /s). La velocidad obtenida corresponde a un n´umero de Reynolds de Re0 = 620950. Buscando ahora en el diagrama de Moody el punto correspondiente a Re0 = 620950 y /D = 0.0001, obtenemos el nuevo valor del factor de fricci´on λ1 = 0.0141, que sustituido en la ecuaci´on 10.27, proporciona um1 = 2.87 m/s (Q1 = 0.0901 m3 /s), que corresponde a un n´umero de Reynolds de Re1 =573540. Con el valor actualizado del n´umero de Reynolds, recalculamos el coeficiente de fricci´on, obteniendo λ2 = 0.0142, que nos proporciona un nuevo valor de la velocidad, um2 = 2.86 m/s (Q2 = 0.0898 m3 /s). El nuevo valor del n´umero de Reynolds es ahora Re2 = 571550, que apenas difiere del anterior, de modo que podemos considerar que la velocidad y caudal que circulan por el conducto son um = 2.86 m/s y Q = 0.0898 m3 /s respectivamente.

10.5.3 Tercer ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, determine la evoluci´on del nivel de agua en el dep´osito, H(t), y el tiempo de vaciado del mismo sabiendo que su a´ rea transversal es AT = 10 m2 , considerando ahora un conducto rugoso con  = 4 mm. Justifique la validez de considerar un valor de λ constante en el proceso de descarga. En este caso, dado que /D = 0.02, el valor del factor de fricci´on es λ = 0.0486, que sustituido en la ecuaci´on 10.27 proporciona un valor inicial de la velocidad de um (t = 0) = 1.55 m/s (Q(t = 0) = 0.0488 m3 /s). Conforme el dep´osito comience a vaciarse, el nivel de agua disminuir´a y por lo tanto el caudal que circula por el conducto. Aplicando la ecuaci´on de conservacin de la masa al volumen de control que encierra el l´ıquido en el interior del dep´osito se obtiene,  πD 2 2g(H(t) + Hc ) dH(t) =Q= , (10.29) − AT dt 4 1 + λL D y, por lo tanto,



H(t)

H0

πD 2  =− 4 AT H(t) + Hc dH(t)

 t 0

2g dt. 1 + λL D

(10.30)

Considerando λ constante durante el proceso de vaciado del dep´osito, podemos integral la ecuaci´on 10.30, obteniendo    πD 2 2g H(t) + Hc = H0 + Hc − t. (10.31) 8 AT 1 + λL D 178

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. A partir de la ecuaci´on podemos determinar el tiempo de vaciado del dep´osito, tv , simplemente particularizando H(tv ) = 0,     8 AT 1 + λL D = 2258 s = 37,64 min. (10.32) tv = H0 + Hc − Hc πD 2 2g En este caso, se puede apreciar como cuando el dep´osito se ha vaciado la velocidad en el conducto es um = 1.265 m/s, que corresponde a un n´umero de Reynolds Re =253000. N´otese que para un conducto de rugosidad relativa /D = 0.02, este n´umero de Reynolds se encuentra en la zona en la cual el factor de fricci´on est´a dominado por la rugosidad y, por lo tanto, λ permanece constante durante el proceso de vaciado del dep´ositos.

10.5.4 Cuarto ejemplo Dos dep´ositos cuyos niveles de agua permanecen constantes est´an unidos por un sif´on cuyo di´ametro es d. El agua circula por el sif´on en r´egimen turbulento sin influencia de la viscosidad en la p´erdida de carga. La forma geom´etrica del sif´on es la de una semicircunferencia de radio R  d, tal y como se muestra en la figura. Se pide

g

pa

pa

H1

H2

R 1

θ

2

Figura 10.8: Esquema del cuarto ejemplo.

1. Determine el caudal de agua que circula a trav´es del sif´on. 2. Determine la distribuci´on de presiones a lo largo del sif´on, indicando en particular la posici´on donde la presi´on es m´ınima. 3. Particularize los resultados, indicando el valor m´ınimo de la presi´on, al caso R= 40 m, H1 = 35 m, H2 = 30 m, d = 0.5 m y λ= 0.01.

1. Para deteminar el caudal de agua que circula por el sif´on debemos de plantear la ecuaci´on 10.15 entre los puntos 1 y 2 de la figura 10.8. En el fondo del dep´osito, suficientemente lejos del punto de acoplamiento con el conducto de descarga, dado que el fluido se puede considerar en reposo la presi´on es, pd1 = pa + ρgH1 . 179

(10.33)

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. En la regi´on de entrada al conducto, si consideramos que el n´umero de Reynolds es alto, podemos aplicar la ecuaci´on de Bernouilli para determinar la presi´on en el punto 1 como, 1 2 (10.34) ρu . 2 m Por otro lado, entre el punto 1 y el punto 2 situado a la salida del conducto podemos aplicar la ecuaci´on 10.15, p1 = pd1 −

1 2 λL ρu , 2 m d donde, en este caso z1 = z2 , L = πR y la presi´on en el punto 2 viene dada por (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 =

(10.36)

p2 = pa + ρgH2 . Combinando las ecuaciones 10.33-10.26, obtenemos   1 2 λπR ρg(H1 − H2 ) = ρ um 1 + , 2 d y, por lo tanto,

 um =

2g(H1 − H2 ) 1 + λπR d

→

(10.35)

Q = um

(10.37)

πd2 . 4

(10.38)

2. Para deteminar la distribuci´on de presiones en un punto cualquiera del sif´on situado a un a´ ngulo θ plantearemos la ecuaci´on 10.15 entre el punto de entrada al sif´on 1 y un punto situado a una distancia l(θ) = Rθ, cuya cota es z(θ) = R sen θ, 1 2 λl(θ) ρu , 2 m d donde, mediante el uso de las ecuaciones 10.34 y 10.37 se obtiene,   1 + (λRθ)/d . p(θ) − pa = ρg H1 − R sen θ − (H1 − H2 ) 1 + (λπR)/d (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 =

El punto de m´ınima presi´on corresponder´a al punto donde dp(θ)/dθ = 0,   dp(θ) ρg (H1 − H2 ) λR = −ρgR cos θmin − = 0, dθ min 1 + (λπR)/d d resultando, cos θmin = −

λ (H1 − H2 ) . d + λπR

(10.39)

(10.40)

(10.41)

(10.42)

3. Particularizando los resultados al caso R= 40 m, H1 = 35 m, H2 = 30 m, d = 0.5 m y λ= 0.01, obtenemos,  2g(H1 − H2 ) πd2 = 1,037 m3 /s . = 5,28 m/s → Q = u um = m 4 1 + λπR d λ (H1 − H2 ) = −0,0285 → θmin = 91,63o . cos θmin = − d + λπR   d + λRθmin = −80632 Pa. p(θmin ) − pa = ρg H1 − R sen θmin − (H1 − H2 ) d + λπR 180

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS

a)

b)

r

c)

d)

Figura 10.9: Coeficiente de p´erdidas de carga en entradas a conductos. a) Entradas que se introducen en el dep´osito, Ke ∼ 0,8, b) entrada en arista viva, Ke = 0,5, c) entrada ligeramente redondeadas o biseladas, Ke ∼ 0, 25, entrada bien conformada, Ke ∼ 0,02. 0,5

0,4

Ke

0,3

0,2

0,1

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

r/D

Figura 10.10: Coeficiente de p´erdidas en una entrada redondeada de un conducto a un dep´osito en funci´on del radio de redondeo.

10.6 P´erdidas Secundarias Adem´as de las p´erdidas de carga primarias determinadas por la ecuaci´on 10.12, en cualquier sistema de tuber´ıas existen componentes adicionales (v´alvulas, codos, curvas, contracciones, expasiones, filtros, etc) que introducen p´erdidas localizas de presi´on. Este tipo de p´erdidas se conocen como p´erdidas secundarias o localizadas, Δps , y dependen de ρ, μ, um , D y de la geometr´ıa del elemento. De nuevo, haciendo uso de an´alisis dimensional, podemos definir el coeficiente de p´erdidas, Δps Ks = = f (Geometr´ıa, Re) (10.43) 1/2 ρ u2m 181

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS 1,0 K eb u1

K eb, K cb

0,8

0,6

d1

d2

Kc b

0,4

0,2

0 0

d2

0,1

d1

0,2

u1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

d 1 /d 2

Figura 10.11: Coeficiente de p´erdidas en expansiones y contracciones bruscas. En este caso el coeficiente de p´erdidas se ha definido con la velocidad en el conducto de menor secci´on, u1 . a determinar experimentalmente. Para valores del n´umero de Reynolds suficientemente altos Ks se hace independiente del Re. De este modo, la p´erdida total de presi´on reducida que se produce en una tuber´ıa de longitud L y di´ametro D por la que circula un fluido de densidad ρ a una velocidad um es,   1 2 λL (10.44) + Σ Ks , ΔP = ρ um 2 D donde Σ Ks representa la suma de los coeficientes de p´erdidas de todos los elementos de la instalaci´on. Para determinar los coeficientes de p´erdidas de cada uno de lo elementos de un instalaci´on se pueden consultar las tablas que se incluyen a continuaci´on.

10.6.1 P´erdidas de carga en la entrada a un conducto. Un fluido puede circular desde un dep´osito, donde se encuentra en reposo, hasta el interior de un conducto a trav´es de una entrada que dependiendo de su forma introduce unas p´erdidas de carga adicionales. Cuando el fluido fluye alrededor de la esquina, dependiendo de la geometr´ıa de la entrada al conducto, se puede producir una zona de desprendimiento de la corriente que vuelve a readherirse aguas abajo. As´ı, se forma una regi´on, denominada vena contracta, donde la secci´on eficaz por la que circula el fluido se reduce y por la tanto aumenta su velocidad y disminuye la presi´on. Al final de la vena contracta, el a´ rea vuelve a aumentar por lo que la velocidad disminuye y la presi´on aumenta. El proceso de frenado de la corriente al final de la vena contracta no es ideal y la energ´ıa cin´etica que el fluido ha ganado a trav´es de la misma no se puede recuperar incrementando la presi´on hasta su valor ideal, pi = p0 − 1/2 ρ u2m, donde p0 es la presi´on de remanso en el dep´osito. De este modo, la presi´on en el conducto, al final de la regi´on de entrada, viene dada por p = p0 − 1/2 ρ u2m (1 + Ke ) donde Ke es el coeficiente 182

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS n n

p1 Σ3

d1

n Σ1

u1

u2

p1 n

Σ2 n

d2

p2 Σ3

p1 n

Figura 10.12: Volumen de control utilizado para determinar el coeficiente de p´erdidas en un expansi´on brusca.

de p´erdidas de la entrada al conducto. Como ejemplo se puede apreciar en la figura 10.9 como, cuando el conducto se introduce en el interior del dep´osito (entrada reentrante), el coeficiente de p´erdidas, el cual depende del espesor de pared del conducto y de la longitud que e´ ste se introduce en el dep´osito, es superior a Ke = 0,5. Sin embargo, cuando el conducto forma una arista viva con el dep´osito el coeficiente de p´erdidas es Ke = 0,5, el cual disminuye a medida que dicha arista se redondea. La gr´afica 10.10 muestra la evoluci´on del coeficiente de p´erdidas en la entrada al conducto con el grado de redondeo de la entrada, r/D.

10.6.2 P´erdidas de carga en expansiones y contracciones. P´erdidas singulares o secundarias tambi´en se dan debido a cambios bruscos en el di´ametro de la tuber´ıa. El coeficiente de p´erdidas en contracciones o expansiones bruscas viene dado por, Δpcb (p1 + 1/2ρ u21) − (p2 + 1/2ρ u22) = 1/2 ρ u21 1/2 ρ u21 Δpeb (p2 + 1/2ρ u22 ) − (p1 + 1/2ρ u21) Keb = = 1/2 ρ u21 1/2 ρ u21 Kcb =

(Contracci´on) (Expansi´on)

(10.45)

donde, en el caso de una contracci´on brusca, 1 y 2 representan respectivamente los puntos a la salida y la entrada de la misma y viceversa en el caso de una expansi´on. Para determinar el coeficiente de p´erdidas de contracciones y expansiones bruscas se ha tomado como velocidad caracter´ıstica la velocidad del fluido que circula por el conducto de menor secci´on, u1 . As´ı, en el caso de contracciones bruscas u1 corresponde a la salida de la contacci´on y para expansiones bruscas u1 corresponde a la entrada a la misma. La figura 10.11 muestra como el coeficiente de p´erdidas de una contracci´on brusca, Kcb , depende de la relaci´on de di´ametros, siendo el caso de la entrada a un conducto descrito en la secci´on 10.6.1 un caso l´ımite de una contracci´on donde d1 /d2  1. Conforme la relaci´on de di´ametros aumenta, Kcb disminuye hasta alcanzar un valor Kcb = 0 para d1 /d2 = 1, que corresponde a un caso donde no hay variaci´on de di´ametros. El coeficiente de p´erdidas Kcb se puede aproximar por la siguiente expresi´on emp´ırica,   d21 (10.46) Kcb ≈ 0,5 1 − 2 . d2 183

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS 1,2 1,0

K eg

0,8 0,6 u1

u2




0,4 0,2 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

θ

Figura 10.13: Coeficiente de p´erdidas en una expansi´on suave para una relaci´on de di´ametros determinada.

v´alida en el rango 0 < d1 /d2 < 0,76. Por encima de este valor el coeficiente de p´erdidas de una contracci´on brusca coincide aproximadamente con el de la expansi´on brusca. En el caso de expansiones bruscas, Keb puede obtenerse anal´ıticamente aplicando las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa al volumenmostrado en la figura 10.12. La ecuaci´on de continuidad indica, u1 πd21 = u2 πd22 .

(10.47)

Por otro lado, dado que la corriente se desprende en el punto donde se produce el cambio brusco de a´ rea, podemos considerar que la presi´on sobre la superficie Σ3 , de a´ rea π(d22 − d21 )/4, es p1 . De este modo, aplicando la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento resulta, − ρu21

πd21 πd2 πd2 πd2 π(d22 − d21 ) + ρu22 2 = p1 1 − p2 2 + p1 . 4 4 4 4 4

Combinando las ecuaciones 10.47- 10.48, podemos obtener,   2 2 d1 2 d1 −1 . p1 − p2 = ρu1 2 d2 d22

(10.48)

(10.49)

Finalmente, el coeficiente de p´erdidas de la expansi´on brusca se puede determinar sustituyendo la ecuaci´on 10.49 en la definici´on de Keb dada en la ecuaci´on 10.45,  2 d21 Keb = 1 − 2 . (10.50) d2 El coeficiente de p´erdidas de una expansi´on puede variar considerablemente si e´ sta se produce de forma gradual. Los resultados t´ıpicos del coeficiente de p´erdidas que se encuentran de una expansi´on gradual en forma de difusor, para una relaci´on de areas determinada, se muestran 184

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS 1,0 Flujos secundarios

0,8 Desprendimiento

0,6 Kc

R

0,4

d

0,2

0 0

5

10

15

R/d

Figura 10.14: Coeficiente de p´erdidas en un codo de 90o con paredes lisas para Re= 100000. Aqu´ı Kc incluye las p´erdidas primarias.

en la figura 10.13. El coeficiente de p´erdidas, Keg , se puede determinar aplicando la ecuaci´on de la energ´ıa a un volumen de control entre la entrada y la salida del difusor, p1 +

1 1 1 ρ u21 = p2 + ρ u22 + Keg ρ u21. 2 2 2

Sabiendo que u1 d21 = u2 d22 , obtenemos,     d41 p2 − p1 d41 = 1 − 4 − Cp , Keg = 1 − 4 − d2 1/2 ρ u21 d2

(10.51)

(10.52)

donde Cp = (p2 −p1 )/(1/2ρu21) es el coeficiente de recuperaci´on de presi´on del difusor, a determinar experimentalmente, que depende de la relaci´on de di´ametros y del a´ ngulo del difusor. A nivel de ejemplo, la figura 10.13 muestra la variaci´on del coeficiente de p´erdidas de una expansi´on gradual con el a´ ngulo del difusor, θ, para una relaci´on de di´ametros dada. En este caso, se aprecia como si el a´ ngulo del difusor es muy peque˜no e´ ste debe de ser muy largo, y gran parte de las p´erdidas de carga son debidas a las p´erdidas por fricci´on. Para a´ ngulos excesivamente grandes, θ > 60o para el caso de la figura 10.13, el valor de Keg puede llegar a ser superior al de una expansi´on brusca debido al desprendimiento de la capa l´ımite en el interior de difusor. El comportamiento o´ ptimo se encuentra para a´ ngulos θ ≈ 6o para el cual el coeficiente de p´erdidas es m´ınimo.

10.6.3 P´erdidas de carga en codos y curvas. Las tuber´ıas, entre sus elementos, tambi´en cuentan con codos o curvas que permiten introducir cambios de direcci´on en las conducciones. Estos elementos producen p´erdidas de carga debidas a la aparici´on de flujos secundarios o separaci´on de capa l´ımite en las regiones cercanas a la entrada a los mismos (v´ease la figura 10.14). En el caso de tuber´ıas lisas, el coeficiente de 185

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS θ α

15o 0,0

30o 0,1

45o 0,2

60o 0,4

75o 0,8

90o 1,0

135o 180o 1,2 1,3

Tabla 10.1: Valores del coeficiente α de la ecuaci´on 10.54 que relaciona el coeficiente de p´erdidas de una curva de a´ ngulo θ con el de una curva de 90 grados. p´erdidas en una curva suave de 90o se puede aproximar por medio de la siguiente expresi´on,   0,84  −1,12  R R + 1,715 (10.53) Kc,90 ≈ 0,370 Re−0,17 , d d la cual contempla no solo las p´erdidas por desprendimiento de la corriente y aparici´on de flujos secundarios sino tambi´en las p´erdidas de carga por fricci´on con las paredes de las curvas. En la ecuaci´on 10.53 R indica el radio de curvatura del elemento y d el di´ametro del conducto en el cual est´a acoplado. Como se puede observar en la figura 10.14, aunque conforme R/d aumenta, las p´erdidas por separaci´on del flujo y flujos secundarios disminuyen, a partir de un valor determinado de R/d el coeficiente de p´erdidas aumenta debido a que la longitud de la curva incrementa y, por lo tanto, aumentan las p´erdidas por fricci´on con las paredes. El coeficiente de p´erdidas de una curva de a´ ngulo θ instalada en una tuber´ıa lisa puede determinarse a partir del de una curva de 90 grados dado por la ecuaci´on 10.53 como, Kc,θ = α Kc,90 +

λ(Re)R (2θ − απ) , 2d

(10.54)

donde el coeficiente α, el cual relaciona el coeficiente de p´erdidas por desprendimiento y flujos secundarios, sin incluir las p´erdidas por fricci´on, en un codo suave que forma un a´ ngulo θ con las de una curva de 90 grados, viene dado en la tabla 10.1. En situaciones donde, debido a limitaciones de espacio, no se pueden utilizar curvas suaves, los cambios de direcci´on de la conducci´on se realizan por medio de codos cuyos coeficientes de p´erdidas son considerablemente mayores. Adem´as de los elementos citados hasta ahora, existen otros elementos como son filtros, tes, bifurcaciones, uniones, caudal´ımetros, v´alvulas, etc, que introducen p´erdidas de carga en las conducciones en las cuales est´an instalados. A altos n´umeros de Reynolds, el valor del coeficiente de p´erdidas de cada uno de ellos depende fundamentalmente de la geometr´ıa de cada uno de ellos. Las tablas 10.2 y 10.3 muestran, de forma general, los coeficientes de p´erdidas de algunos elementos que aparecen en conductos. El coeficiente de p´erdidas de los elementos var´ıa dependiendo de si e´ stos est´an roscados o acoplados a la tuber´ıa de modo que, en las tablas 10.2 y 10.3 se muestran valores caracter´ısticos en ambos casos.

10.6.4 P´erdidas de carga en v´alvulas. Las v´alvulas se utilizan para controlar el caudal que circula por una tuber´ıa ajustando la p´erdida de carga de la instalaci´on a un valor determinado. Cuando la v´alvula est´a completamente cerrada, el coeficiente de p´erdidas es infinito y por lo tanto el caudal que circula a trav´es de la tuber´ıa es nulo. Conforme abrimos la v´alvula, reducimos su coeficiente de p´erdidas, comenzando a fluir un caudal determinado a trav´es del conducto. Ejemplos t´ıpicos de v´alvulas 186

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS

V´alvula de globo

V´alvula de aguja

V´alvula de diafragma

V´alvula de retenci´on

V´alvula de bola

Esquema v´alvula de bola

Figura 10.15: Geometr´ıa t´ıpica algunos tipos de v´alvulas. se muestran en la figura 10.15. Los coeficientes t´ıpicos de algunas de las v´alvulas utilizadas comercialmente se muestran de forma general en la tabla 10.2. Dado que los coeficientes de p´erdidas de la mayor´ıa de los elementos que hemos considerado en esta secci´on dependen l´ogicamente del di´ametro de la tuber´ıa, en la tabla 10.3 se muestra un listado de estos coeficientes para diferentes valores del di´ametro del conducto.

187

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS Elemento Codos y Curvas Codos 90o , acoplado Codos 90o , roscado Curva 90 , acoplado Curva 90o , roscado Curva 45o , acoplado Codos 45o , roscado Curva 180o , acoplado Curva 180o , roscado Tes Flujo directo, acoplado Flujo directo, roscado Flujo lateral, acoplado Flujo lateral, roscado o

Ke 0.3 1.5 0.2 0.7 0.2 0.4 0.2 1.5 0.2 0.9 1.0 2.0

Elemento V´alvulas Globo, completamente abierta ´ Angulo, completamente abierta Compuerta, completamente abierta Compuerta, cerrada a 1/4 Compuerta, cerrada a 1/2 Compuerta, cerrada a 3/4 Antirretorno, direcci´on flujo Antirretorno, en contra flujo Bola, completamente abierta Compuerta, cerrada a 1/3 Compuerta, cerrada a 2/3 Uni´on Roscada

Tabla 10.2: Valores t´ıpicos del coeficiente de p´erdidas en diferentes elementos.

188

Ke 10 2 0.15 0.26 2.1 17 2.0 ∞ 0.05 5.5 210 0.08

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS

Di´ametro nominal, pulgadas (1 pulgada = 2.54 cm) Roscado V´alvulas (abiertas): Globo Compuerta Anti-retorno Angulo Codos: 45o normal 45o suave 90o normal 90o suave 180o normal 180o suave Tes: Flujo directo Flujo lateral

Acoplado

1/2

1

2

4

1

2

4

8

20

14 0.3 5.1 9.0

8.2 0.24 2.9 4.7

6.9 0.16 2.1 2.0

5.7 0.11 2.0 1.0

13 0.80 2.0 4.5

8.5 0.35 2.0 2.4

6.0 0.16 2.0 2.0

5.8 0.07 2.0 2.0

5.5 0.03 2.0 2.0

0.39

0.32

0.30

0.29 0.20 0.39 0.30 0.35 0.30

0.19 0.30 0.19 0.30 0.21

0.16 0.26 0.15 0.25 0.15

0.14 0.21 0.10 0.20 0.10

0.19 0.80

0.14 0.64

0.10 0.58

0.07 0.41

2.0 1.0 2.0

1.50 0.72 1.50

0.95 0.41 0.95

0.64 0.23 0.64

0.21 0.50 0.40 0.41 0.40

0.90 2.40

0.90 1.80

0.90 1.40

0.90 1.10

0.24 1.00

Tabla 10.3: Valores t´ıpicos del coeficiente de p´erdidas en diferentes elementos en funci´on de su di´ametro.

189

Bibliograf´ıa b´asica [1] F. M. White, Mec´anica de Fluidos, McGraw-Hill, 5a ed, 2004.

190

Bibliograf´ıa complementaria ´ [1] A. L. S´anchez, Procesos Fluidot´ermicos. Apuntes de la asignatura, Area de Mec´anica de Fluidos, UC3M, 2005. [2] A. Crespo, Mec´anica de Fluidos, Thomson Paraninfo, 2006. [3] B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi, Fundamentos de Mec´anica de Fluidos, Addison-Wesley Iberoamericana, 2002. [4] Y. A. C¸engel, J. M. Cimbala, Mec´anica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, McGraw-Hill, 2006. (Contiene material multimedia de inter´es.) [5] E. J. Shaughnessy, Jr., I. M. Katz, J. P. Schaffer, Introduction to Fluid Mechanics, Oxford University Press, 2005. (Contiene material multimedia de inter´es.) [6] R. W. Fox, A. T. McDonald, P. J. Pritchard, Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 2004. [7] J. H. Spurk, Fluid mechanics: problems and solutions, Springer, 1997. (Aunque el libro corresponde a un curso m´as avanzado, algunos problemas pueden ser u´ tilies para esta asignatura.) [8] D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Oxford University Press, 2a ed, 1988.

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