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CONTENIDO

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INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA ECONÓMICA ...........................................................................................................................................2 1.1 PAPEL DE LA INGENIERÍA EN LA TOMA DE DECISIONES ......................................................................................................................2 1.2 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO .............................................................................................................................................................2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES.............................................................................................................................................................................3 2.1 INTERÉS Y TASA DE INTERÉS ..........................................................................................................................................................................3 2.2 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO ...................................................................................................................................................4 2.2.1 INTERÉS SIMPLE ....................................................................................................................................................................................4 2.2.2 INTERÉS COMPUESTO .......................................................................................................................................................................4 FACTORES DE LA INGENIERÍA .................................................................................................................................................................................5 3.1 DERIVACIÓN DE FACTORES DE PAGO ÚNICO ........................................................................................................................................5 3.2 DERIVACIÓN FACTOR VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME Y EL FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL ......................6 3.3 DERIVACIÓN FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Y DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN ......................7 3.4 DERIVACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE GRADIENTES ................................................................................................................................8 3.5 DERIVACIÓN VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS .............................................................................................................. 10 3.6 NOTACIÓN ESTÁNDAR DE FACTORES Y USO DE LAS TABLAS DE INTERÉS............................................................................... 11 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA ........................................................................................................................................................ 14 4.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO IGUALES AL PERIODO DE INTERÉS ...................... 14 4.2 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO DISTINTOS AL PERIODO DE INTERÉS.................. 16 4.2.1 PERIODO DE PAGO MAYOR AL PERIODO DE INTERÉS ...................................................................................................... 16 4.2.2 PERIODO DE PAGO MENOR AL PERIODO DE INTERÉS ...................................................................................................... 17 INFLACIÓN .................................................................................................................................................................................................................. 21 5.1 TERMINOLOGÍA DE LA INFLACIÓN .......................................................................................................................................................... 21 5.2 CÁLCULO DE LA INFLACIÓN ...................................................................................................................................................................... 21 5.2.1 TASA DE INFLACIÓN ................................................................................................................................................................... 22 5.2.2 TASA DE INTERÉS REAL ............................................................................................................................................................. 22 5.2.3 TASA DE INTERÉS INFLADA ..................................................................................................................................................... 22

Ingeniería Económica

Patricio Berrocal

Contenido

INGENIERÍA ECONÓMICA 1

INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA ECONÓMICA

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual. La ingeniería económica, en forma bastante simple, hace referencia a la determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre una o más alternativas. Otra definición de la ingeniería económica plantea que es una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas. Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos (alternativas) empleados en el logro de un objetivo determinado. 1.1

PAPEL DE LA INGENIERÍA EN LA TOMA DE DECISIONES ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras herramientas no lo hacen. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se realizará, el marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente El futuro. Por consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra. Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y selección de alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones. Los pasos habituales en el enfoque son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1.2

Entender el problema y la meta. Reunir información relevante. Definir las soluciones alternativas. Evaluar cada alternativa. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Con frecuencia se dice que el dinero hace dinero. La afirmación es cierta, en efecto, puesto que si se elige invertir dinero hoy (por ejemplo, en un banco, un negocio, o un fondo mutuo de acciones), inherentemente se espera tener más dinero en el futuro. Este cambio en la cantidad de dinero durante un periodo de tiempo dado se denomina el valor del dinero en el tiempo; es el concepto más importante en ingeniería económica. El valor del dinero en el tiempo o TVM (Time Value of Money) es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha futura. En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de la inflación (si esta es positiva), en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder adquisitivo.

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Patricio Berrocal

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2

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 2.1 INTERÉS Y TASA DE INTERÉS ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• El interés puede definirse como la manifestación del valor del dinero en el tiempo, en concreto, una persona o entidad financiera que presta dinero lo hace con la expectativa de que le sea devuelto al cabo de un tiempo con cierta compensación por ello, es decir, que la cantidad devuelta sea ligeramente superior a la inicialmente prestada. El objetivo de esto es compensar al prestamista por la dilación de su consumo, es decir, por la inconveniencia de no poder hacer uso de ese dinero durante un tiempo, además de los riesgos asociados a que el préstamo no le sea devuelto o que la cantidad que sea devuelta tenga en el futuro una menor capacidad de compra debido a la inflación. La diferencia entre la cantidad inicialmente prestada (Valor Inicial) y la cantidad devuelta (Valor final) se conoce como interés

Cuando el interés se expresa como un porcentaje de la suma original por unidad de tiempo, el resultado se denomina tasa de interés. Esta tasa se calcula como:

El periodo de tiempo más común en el cual se expresa una tasa de interés es 1 año. Sin embargo, dado que las tasas de interés pueden estar expresadas en periodos de tiempo menores de 1 año, por ejemplo, 1% mensual, la unidad de tiempo utilizada al expresar una tasa de interés también debe ser identificada. Este periodo se denomina el periodo de interés. Ejemplo

Una firma de Inversiones invirtió a) El interés obtenido b) La tasa de interés sobre la inversión

y retiró

exactamente un año más tarde. Calcular:

a)

b)

Ejemplo

Equipos Estereofónicos S.A. planea obtener un préstamo bancario de 9% para adquirir un nuevo equipo de grabación. Calcular: a) El interés b) El valor total adeudado después de 1 año

durante 1 año a un interés del

a)

b)

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2.2

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles para el cálculo de sumas equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto resultan importantes.

2.2.1

INTERÉS SIMPLE El interés simple se calcula utilizando sólo el valor inicial, ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés anteriores. Por ejemplo, si se obtiene un préstamo de durante un periodo de años a una tasa de interés simple del ¿Cuánto dinero se pagará al final de cada periodo? 1º años: 2º años: 3º años:

Interés del 1er año Deuda al final del año Interés del 2er año Deuda al final del año Interés del 3er año Deuda al final del año

Para generalizar, descomponemos la deuda al final del 3er año, es decir.

(

) )

(

2.2.2

Valor presente o inicial Valor futuro o final Nº de periodos de interés

INTERÉS COMPUESTO Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el valor inicial más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. Usando el ejemplo anterior ¿Cuánto dinero se pagará al final de cada periodo a una tasa compuesta? 1º años: 2º años: 3º años:

Interés del 1er año Deuda al final del años Interés del 2er año Deuda al final del años Interés del 3er año Deuda al final del años

Para generalizar, descomponemos la deuda al final del 3er año, es decir.

( ( ( ( (

( ) ( ) ( ) (

( ( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) )

( (

Ingeniería Económica

) )

Valor presente o inicial Valor futuro o final Nº de periodos de interés Patricio Berrocal

4

3

FACTORES DE LA INGENIERÍA

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• En esta unidad se aborda la derivación de los factores de la ingeniería económica y el uso de estos factores básicos en los cálculos económicos. Es uno de los más importantes, puesto que los conceptos presentados en se utilizarán a lo largo de todo el ramo. 3.1

DERIVACIÓN DE FACTORES DE PAGO ÚNICO ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• En esta sección, se desarrolla una fórmula que permite la determinación de cantidades futuras de dinero que se acumulan después de periodos a partir de una inversión única con interés compuesto una vez por periodo. 0

1

2

3 ≙

1

2

3

n

El valor futuro se calcula como: (

)

) se denomina Factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU), pero en general se hace El factor ( referencia a éste como el factor . Cuando el factor es multiplicado por , éste produce la suma futura de una inversión inicial después de años, a la tasa de interés . Al despejar en la ecuación resulta: [ (

)

]

La expresión en corchetes se conoce como el Factor de valor presente de pago único (FVPPU), o el factor . Dicha expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada ; después de años a una tasa de interés . Es importante observar que los dos factores y las fórmulas derivadas aquí son fórmulas de pago único; es decir, son utilizadas para encontrar la cantidad presente o futura cuando solamente hay un pago o recibo involucrado. Ejemplo

Si para comprar un auto a un costo es necesario solicitar un préstamo con un interés anual del ¿Cuánto será lo adeudado en 5 años si dicho préstamo es cancelado en una solo cuota al final del 5to año?

años anual (

) (

Ejemplo

)

Una persona desea poder retirar en 7 años más de una cuenta de ahorro un total de que es necesario depositar hoy en un banco que entrega una tasa de interés mensual de

(

¿Cuánto es lo ?

) mensual [ (

)

] [ (

Ingeniería Económica

)

] Patricio Berrocal

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3.2

DERIVACIÓN FACTOR VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME Y EL FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• El valor presente de una serie uniforme, puede ser determinado considerando cada valor de como un valor y utilizando la ecuación [(

futuro

] con el factor

)

para luego sumar los valores del valor presente.

La fórmula general es: [

(

( (

)

)

(

)

[ (

(

)

)

Ahora restamos ( (

]

)

(

(

]

)

[ (

)

)

( (

]

)

[ (

)

)

(

(

)

]

[ (

)

] (

)

)

)

) menos

(

(

)

(

(

)

)

( (

)

(

)

(

)

)

)

[

(

( [

) )

(

( [

]

) ) (

]

)

]

La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor presente serie uniforme (FVP-SU), o factor . Esta ecuación dará el valor presente de una serie anual uniforme equivalente que empieza al final del año 1 y se extiende durante años a una tasa de interés . Al despejar

en la ecuación , resulta:

[ (

(

)

]

)

La expresión en corchetes se conoce como el factor de recuperación del capital (FRC), o factor . Produce el valor anual uniforme equivalente durante años de una inversión dada cuando la tasa de interés es . Ejemplo

Si para comprar un auto a un costo es necesario solicitar un préstamo con un interés anual del ¿De cuánto será el valor de cada cuota anual?

años anual )

2

3

4

5 ≙ 0

1

2

3

4

5 $8.052.550

1

$1.318.987

3 ≙ 0

]

$1.318.987

2

) )

$1.318.987

$5.000.000 Ingeniería Económica

1

( (

$1.318.987

[ 0

]

)

$1.318.987

(

[ (

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3.3

DERIVACIÓN FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Y DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Si

[(

de la ecuación [ (

(

)

[(

(

) )

] resulta la fórmula

]

)

[ (

( ] [ ( ) ( ) ) (( )

[ (

)

[ (

] se sustituye en la ecuación

)

)

]

)

)

]

]

La expresión en corchetes se conoce como el factor del fondo de amortización, o . Se utiliza para determinar la serie de valor anual uniforme que sería equivalente a un valor futuro determinado La ecuación puede ser reordenada para expresar ( [

)

en términos de :

]

La expresión en corchetes se conoce como el factor de cantidad compuesta serie uniforme o factor . El cual, cuando se multiplica por una suma anual uniforme dada, produce el valor futuro de la serie uniforme. Ejemplo

Una persona desea poder retirar en 7 años más de una cuenta de ahorro un total de que debe depositar mensualmente en el banco que entrega una tasa de interés mensual de

(

¿Cuánto es lo ?

) mensual ]

) [ (

0

Ejemplo

1

2

3

84 $128.600

≙

$128.600

3

$128.600

2

$128.600

1

$9.729.560

0

]

)

≙

0

1

2

3

4

5 $12.000.000

[ (

Un trabajador de 35 años preocupado por su jubilación decide depositar mensualmente en una cuenta APV (Ahorro Previsional Voluntario), ¿Cuánto podrá retirar a los 65 años sabiendo que la AFP ofrece un tasa de interés mensual del ?

(

) mensual ( [

) [

Ingeniería Económica

(

] )

] Patricio Berrocal

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3.4

DERIVACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE GRADIENTES ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Un gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme. Es decir, el flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo de interés. La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente. Por ejemplo, si un fabricante de automóviles predice que el costo de mantener un robot aumentará en $500 anuales hasta que la máquina haya sido retirada, hay una serie de gradientes involucrada y la cantidad del gradiente es $500. En forma similar, si la compañía espera que el ingreso disminuya en $3000 anualmente durante los próximos 5 años, el ingreso decreciente representa un gradiente negativo por una suma de $3000 anuales. Las fórmulas desarrolladas anteriormente para los flujos de efectivo de serie uniforme fueron generadas con base en cantidades de final de año de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que es preciso derivar una nueva fórmula. Para hacerlo, es conveniente suponer que el flujo de efectivo que ocurre al final del primer periodo no hace parte de la serie del gradiente sino que es una cantidad base, lo cual es conveniente porque en las aplicaciones reales, la cantidad base es en general más grande o más pequeña que el aumento o la disminución del gradiente. 1

2

3

4

(

(

)

)

0

cambio aritmético uniforme en la magnitud de los recibos o desembolsos de un periodo al siguiente El valor de puede ser positivo o negativo. Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de flujo de efectivo generalizado de gradientes en forma uniformemente creciente, Observe que el gradiente empieza entre los periodos 1 y 2, denominándose gradiente convencional. Hay diversas formas para derivar factores de gradientes uniformes. Se utilizará el factor de valor presente, pago único ( ), pero puede obtenerse el mismo resultado utilizando el factor , o . ( ⁄ [

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

( ⁄

]

[ (

(

)

(

Ahora restamos ( (

)

) )

(

)

( ⁄

]

[ (

(

)

[( [(

]

)

( ( ( (

)

)

) ]( ⁄ ) ][

(

) )

]

) ) )

(

)

)

) menos

(

) ( [ ( [ ( [

( )

(

) ) ( ) (

( (

) ( ) )

)

) )

)

(

(

)

(

)

( (

) ) )

]

] ]

La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor presente, gradiente uniforme, o factor ) puede expresarme como ( ⁄

Ingeniería Económica

Patricio Berrocal

8

y

El valor anual uniforme equivalente de un gradiente uniforme G se encuentra multiplicando el valor presente en la ecuación anterior por la expresión del factor ( ). Al utilizar la notación estándar de factores, ( ⁄ ( [ [

) (

)

) (

)

(

(

)

(

] [ (

) )

]

]

)

La expresión en corchetes se conoce como el factor del valor anual de un gradiente uniforme o factor identifica por ( ) Un factor podría obtenerse fácilmente multiplicando los factores tasa de interés y de de la siguiente manera: ( ⁄

)

( ⁄ ( [

)

) (

( [

)

( [

)

(

[( ) (

para los mismos valores de

) ] (

)

)

] ]

(

)

[( ) (

y

y se

(

)] )

)]

La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor futuro, gradiente uniforme o factor identifica por ( ) Ejemplo

y se

Suponga que las utilidades de una empresa se incrementan en por mes desde febrero hasta fin de año, a su vez estas utilidades deciden invertirse en una corporación de ahorro que paga una tasa de interés del mensual ¿Cuánto obtendrá dicha empresa para fin de año? 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

mensual ( [( ) (

) (

)

[(

Ingeniería Económica

)] )(

(

)

)]

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9

3.5

DERIVACIÓN VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• En la sección 3.5 se introdujeron factores de gradientes uniformes que podrían ser utilizados para calcular el valor presente o el valor anual uniforme equivalente de una serie de pagos que aumenta o disminuye por una cantidad aritmética constante en periodos de pago consecutivos. Con frecuencia, los flujos de efectivo cambian por un porcentaje constante en periodos de pago consecutivos, por ejemplo, 5% anual. Este tipo de flujo de efectivo, llamado una serie geométrica o escalonada 1

2

3

)

) ( (

)

( (

)

0

La ecuación para calcular el valor presente de los flujos de efectivo utilizando el factor ( (

)

)

(

[ (

)

( (

) ( (

) )

Se multiplica ambos lados por

(

( [ (

)

Se resuelve para

[

( (

de una serie escalonada se encuentra al calular el alor presente ) ] es decir, [ ⁄(

)

( ( ( (

) ( (

) )

( (

) , )

) )

) ) ) )

]

se resta la ecuación anterior del resultado, se factoriza

]

y se simplifica para obtener ) )

]

Donde es el valor presente de una serie escalonada que empieza en el año la ecuación anterior se convierte en [

Ingeniería Económica

y se obtiene

en . Para la condición

]

Patricio Berrocal

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3.6

NOTACIÓN ESTÁNDAR DE FACTORES Y USO DE LAS TABLAS DE INTERÉS ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• A medida que cada factor fue derivado se introdujeron los términos abreviados, los cuales se utilizan para evitar la labor dispendiosa de escribir las fórmulas cada vez que se emplea uno de los factores. Se ha adoptado una notación estándar que incluye la tasa de interés y el número de periodos. La fórmula general es: ( ⁄

)

Representa lo que se desea encontrar Representa lo dado Tasa de interés Número de periodos de interés

Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar que los nombres de los factores y ésta será utilizada en forma exclusiva en lo sucesivo. La siguiente tabla muestra un resumen con la notación estándar para las fórmulas derivadas en la unidad 3 Factor

Encontrar

Dado

F

P

( ⁄

)

( ⁄

)

(

P

F

( ⁄

)

( ⁄

)

[

P

A

( ⁄

)

( ⁄

)

( [

A

P

( ⁄

)

( ⁄

)

[ (

A

F

( ⁄

)

( ⁄

)

[

F

A

( ⁄

)

( ⁄

)

[

P

G

( ⁄

)

( ⁄

A

G

( ⁄

)

F

G

( ⁄

)

Notación estándar

Ecuación

Fórmula )

(

) ) (

D

( ⁄

)

(

(

)

)

(

)

)

( [

)

( ⁄

)

[

( ⁄

)

[( ) (

Ingeniería Económica

] ]

( (

]

) (

]

)

) ) ⁄(

)] ) ]

]

) [

Donde

]

)

(

⁄

]

)

[( [ P

]

]

Valor equivalente por periodo Valor Presente Valor Futuro Gradiente uniforme aritmético Gradiente geométrico Número de periodos de interés Tasa de interés por periodo de interés Patricio Berrocal

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Ejercicios Ejercicio 1.

¿Cuánto va a ser mi deuda con el banco si me prestan hoy un trimestral?

(

)

( ) ( ⁄

Ejercicio 2.

) ( ⁄ (

) )

¿Cuánto debo depositar hoy para poder retirar en el banco en 4 años más me paga el banco es un semestral?

(

[ (

) ( ⁄

] ) ( ⁄

) )

]

¿Cuánto debo depositar mensualmente en el banco que me da una tasa de interés de en 4 años

(

mensual para juntar

)

( ⁄

) ( ⁄

)

[ (

Ejercicio 4.

, si la tasa de interés que

)

[ ( Ejercicio 3.

en 3 años más a una tasa de interés de

]

)

Si deposito bimensualmente durante 6 años ¿Cuánto tendré acumulado al final de sentuario si la tasa de interés bimensual que me paga el banco es de un

(

)

( ⁄

Ingeniería Económica

) ( ⁄ ( [

) )

]

Patricio Berrocal

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Ejercicio 5.

Si yo deposito hoy en un banco 6 años si el banco da una tasa de interés de

(

)

( ⁄

) ( ⁄

)

(

]

)

Para poder retirar mensual

mensual (6 años) cuanto debo depositar hoy si el banco me da una tasa de

(

)

( ⁄

Ejercicio 7.

) (

[

Ejercicio 6.

¿Cuánto es lo que puedo sacar del banco mensualmente durante mensual?

) ( ⁄ ( [

) ) (

)

]

¿A cuánto equivale al día de hoy la siguiente operación?: debe depositar por espacio de un año los siguientes valores por mes desde enero a abril; luego con pagos mensuales comenzando en mayo con hasta fin de año, y aumentando en por cada periodo. Los intereses que va a ganar son del mensual. 0

1

2

3

4

0

1

2

3

4 +

6

7

8

9 10 11 12

0 4

1 5

2 6

3 7

4

( ⁄

)

( ⁄

) ( ⁄

( ⁄

Ingeniería Económica

5

) ( ⁄

4 8

5 6 7 8 9 10 11 12 +

0 4

1 5

2 6

3 7

4 8

5 6 7 8 9 10 11 12

) )

Patricio Berrocal

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4

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Esta unidad les enseñará a hacer cálculos de ingeniería económica utilizando periodos y frecuencias de capitalización diferentes a 1 año. El material de este capítulo le ayuda a manejar asuntos financieros personales que, con frecuencia, comprenden periodos de tiempos mensuales, diarios o continuos. 4.1

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO IGUALES AL PERIODO DE INTERÉS ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• En la unidad 2 se introdujeron los conceptos de tasas de interés simple y compuesto. Las diferencias básicas entre las dos es que el interés compuesto incluye el interés sobre el interés ganado durante el periodo anterior mientras que el interés simple no lo hace. En esencia, las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivas se utilizan cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor de un año. Por tanto, cuando una tasa de interés se expresa en periodos de tiempo menores a un año. El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o profesada”. Estos sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. Como se analiza más adelante, las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones del valor del tiempo. Valor Nominal : Es el valor definido como nombre en cada documento, ya sea billetes, acciones, etc. Valor Efectivo : Es el valor determinado por su capacidad de compra (poder adquisitivo) Por ejemplo, se solicita a un banco un préstamo de con un tasa de interés del nominal anual capitalizado semestralmente, para calcular el interés efectivo semestral de divide el interés nominal anual por el número de semestres contenidos en un año

(

)

Para calcular el interés efectivo anual aplicamos lo visto en la unidad 2.1, es decir:

Lo mismo podemos hacer con otros periodos, por ejemplo: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Generalizando lo anterior obtenemos: ( √

Ingeniería Económica

)

Número de periodos de interés contenidos en el periodo mayor Número de periodos de interés contenidos en el periodo menor

Patricio Berrocal

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Ejercicio

Un banco ofrece una tasa de interés nominal trianual de un capitalizado trimestralmente a) ¿Cuánto podría retirar una persona después de 4 años de haber depositado ? b) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva trianual? c) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva de los 4 años? d) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente?

(

a)

)

( ⁄

)

( ⁄

) ( ⁄

)

(

)

≙ ≙ : Equivalente desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo a una tasa del b)

(

)

(

)

(

)

≙ ≙ : Equivalente desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo ( ( c)

) ) (

)

(

d)

)

(

)

(

)

≙

≙

≙

≙ : Equivalente desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo ( ( ( Ingeniería Económica

) ) ) Patricio Berrocal

15

4.2 4.2.1

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO DISTINTOS AL PERIODO DE INTERÉS ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• PERIODO DE PAGO MAYOR AL PERIODO DE INTERÉS Cuando el periodo de capitalización de una inversión o préstamo no coincide con el periodo de pago, se hace necesario manipular la tasa de interés y/o el pago con el fin de determinar la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que si el pago y los periodos de capitalización no coinciden no es posible utilizar las tablas de interés hasta hacer las correcciones apropiadas. En esta sección, se considera la situación en la cual el periodo de pago (por ejemplo, un año) es mayor que el periodo de capitalización (por ejemplo, un mes). En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: 1. Debe utilizarse una tasa efectiva para , 2. Las unidades en deben ser las mismas que aquéllas en . En notación estándar de factores, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera: ( ⁄ ( ⁄

) )

Por consiguiente, para una tasa de interés del anual capitalizado mensualmente, si se utiliza una tasa efectiva equivalente por mes, la tasa sería del y el termino debe estar en meses ( ), Si se utiliza una tasa de interés efectiva trimestral la tasa sería entonces el termino debe estar en trimestre ( ) ó si se utiliza una tasa de interés anual, la tasa sería y el periodo igual a Ejemplo

Si se desea depositar semestralmente mensualmente ¿Cuánto dinero se tendrá en 2 años? 0

1

2

3

4

5

6

7

8

anual capitalizados

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

(

a una tasa de interés del

2

3

4

24 meses 4 semestres

)

( (

) )

≙ ( ⁄

Ingeniería Económica

) ( ⁄ ( ⁄ ( [

) ) )

]

Patricio Berrocal

16

4.2.2

PERIODO DE PAGO MENOR AL PERIODO DE INTERÉS Cuando el periodo de pago es más corto que el periodo de capitalización ( ), el procedimiento para calcular el valor futuro o el valor presente depende de las condiciones especificadas (o supuestas) en relación con la capitalización entre los periodos. La capitalización interperíodica, como se utiliza aquí, se refiere al manejo de los pagos efectuados entre los periodos de capitalización Por ejemplo, si se desea depositar mensualmente semestralmente ¿Cuánto dinero se tendrá en 2 años? 0

1

2

3

4

5

6

7

8

a una tasa de interés del

anual capitalizado

24 meses

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Tres casos son posibles: 1. No hay un interés pagado sobre el dinero depositado (o retirado) entre los periodos de capitalización. 2. El dinero depositado (o retirado) entre los periodos de capitalización gana un interés simple. 3. Todas las transacciones entre los periodos ganan un interés compuesto. La mayoría de las transacciones del mundo real se encuentran dentro de la primera categoría (No hay un interés pagado sobre el dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización). Si no se paga interés sobre las transacciones entre los periodos, entonces se considera que cualquier cantidad de dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización ha sido depositada al final del periodo de capitalización o retirada al principio de dicho periodo. Éste es el modo usual de operación de los bancos y de otras instituciones crediticias. 1. Sin pago de interés interperíodo 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

( ⁄ ( ⁄ ( [

2

3

4

24 meses

4 semestres

) ) )

]

Podemos generalizar lo anterior con la ecuación ( ⁄ Donde Ingeniería Económica

)

es el número de periodos de pago contenidos en el período de interés Patricio Berrocal

17

2. Con pago de interés simple interperíodo 0

1

2

3

4

5

6 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2 3 4

(

24 meses 4 semestres

) (∑ ) (

(

( ( [ Donde

(

)

)

(

)

(

)

(

)

) )

)]

número de periodos de pago contenidos en el período de interés número de periodos de interés

Representamos la ecuación anterior como una periodicidad 0

1

2

[

3

4

5

( (

6 1 )

7

)]

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2 3 4 ( (

[

)

)]

[

( (

)

)]

[

( (

)

24 meses 4 semestres

)]

Por lo tanto, la ecuación final resulta [ Ejemplo

(

)

)] ( ⁄

)

Utilizando el ejemplo visto anteriormente, si se desea depositar mensualmente a una tasa de interés del anual capitalizado mensualmente, con pago de interés simple interperíodo ¿Cuánto dinero se tendrá en 2 años? [

( [

Ingeniería Económica

(

(

)

)] ( ⁄ (

(

) )

)] ( ⁄

)

Patricio Berrocal

18

3. Con pago de interés compuesto interperíodo 0

1

2

3

4

5

6

7

8

24 meses

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

√ √

Número de periodos de interés contenidos en el periodo de pago

( ⁄ Ejemplo

)

Utilizando el mismo ejemplo anterior, si se desea depositar mensualmente a una tasa de interés del anual capitalizado mensualmente, con pago de interés compuesto interperíodo ¿Cuánto dinero se tendrá en 2 años? √ √

( ⁄ ( ⁄

) ) ( [

)

]

Ejercicio

Una persona va a depositar bimensualmente, si el banco le señala que le va a pagar una tasa de interés de bianual capitalizado semestralmente ¿Cuánto podrá retirar esta persona en 6 años más?

a) b) c)

Sin pago de interés interperíodo Con pago de interés simple interperíodo Con pago de interés compuesto interperíodo

a)

0

1

2

3

4

5

1

6

7

8

2

( ⁄

36 bimensualidades

3

12 semestres

4

5

6

7

8

9

10

11

12

) ( ⁄ ( [

Ingeniería Económica

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

) )

]

Patricio Berrocal

19

Con pago de interés simple interperíodo

3

12 semestres

( [

)

(

)

(

(

) (

12

)

11

(

10

)

9

(

8

)

)]

[

]

[

]

[

]

[ [

] ]

[

] ( ⁄ ( ] [

[

c)

7

)

6

(

5

)

4

(

) (

36 bimensualidades

)

)

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

(

8

)

7

2

(

1

6

(

5

)

4

(

3

)

2

(

1

)

0

(

b)

) )

]

Con pago de interés compuesto interperíodo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

36 bimensualidades

√ √

≙ ( ⁄ ( ⁄ ( ⁄

) ) ) [

Ingeniería Económica

(

)

]

Patricio Berrocal

20

5

INFLACIÓN

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Este capítulo se concentra en la comprensión de la forma de considerar la inflación en los cálculos de valor del dinero en el tiempo y en un estudio de ingeniería económica. La inflación es una realidad con la cual todas las personas tratan casi cada día. Es el incremento sostenido y generalizado de los precios en los bienes y servicios. Las causas que la provocan son variadas, aunque destacan el crecimiento del dinero en circulación, que favorece una mayor demanda, o del costo de los factores de la producción (materias primas, energía, salarios, etc.). Si se produce una baja continua de los precios se denomina deflación. 5.1

TERMINOLOGÍA DE LA INFLACIÓN ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• La mayoría de las personas están bien conscientes del hecho de que hoy no permiten comprar la misma cantidad de lo que se compraba con en 1995 o en 1990 y mucho menos de lo que se compraba en 1970. ¿Por qué? Es la inflación en acción. Simplemente, la inflación es un incremento en la cantidad de dinero necesaria para obtener la misma cantidad de producto o servicio antes de la presencia del precio inflado. La inflación ocurre porque el valor del dinero ha cambiado, se ha reducido. El valor del dinero se ha reducido y, como resultado, se necesita más dinero para menos bienes. Éste es un signo de inflación. Para comparar cantidades monetarias que ocurren en diferentes periodos de tiempo, el dinero valorado en forma diferente debe ser convertidos primero a dinero de valor constante con el fin de representar el mismo poder de compra en el tiempo, lo cual es especialmente importante cuando se consideran cantidades futuras de dinero, como es el caso con todas las evaluaciones de alternativas.

5.2

CÁLCULO DE LA INFLACIÓN ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ¿Cuál será el precio futuro dentro de 4 años de un equipo cuyo precio actual es de a una tasa de inflación del ?

próximos 4 años Precio de hoy Precio 1º año Precio 2º año Precio 3º año Precio 4º año

( ( ( (

) ) ) )

Generalizando Precio de hoy Precio 1º año Precio 2º año Precio 3º año Precio 4º año

( ( ( (

) ) ( ) ( ) (

) ) ( ) (

) ) ( ( (

) ) )

El precio de hoy se denomina precio expresado en moneda con el poder adquisitivo de hoy y el precio futuro, precio expresado en moneda con el poder adquisitivo de entonces. representa la tasa de inflación por periodo y es el número de periodos, la ecuación anterior puede ser expresada como: ( ⁄ Al despejar el

en la ecuación [ (

Ingeniería Económica

)

)

resulta:

]

Patricio Berrocal

21

5.2.1

TASA DE INFLACIÓN Como se describió antes, ésta es una medida de la tasa de cambio en el valor de la moneda.

5.2.2

TASA DE INTERÉS REAL También llamada Tasa libre de inflación, A esta tasa se obtiene el interés cuando se ha retirado el efecto de los cambios en el valor de la moneda. Por tanto, la tasa de interés real presenta una ganancia real en el poder de compra. Ésta tasa permite relacionar montos de dinero de diferentes instantes de tiempo, todos ellos expresados en moneda con el poder adquisitivo de hoy Para calcular la tasa de interés real consideremos el ejemplo anterior ¿Cuánto se debe depositar hoy en un deposito a plazo que entrega una tasa de interés de un para comprar el equipo en 4 años mas? ( ⁄

) ( ⁄

)

Expresado en moneda con el poder adquisitivo de hoy

) ambos valores deben estar expresados en moneda con Para calcular el interés ( el poder adquisitivo del mismo periodo, es decir, ambos deben estar expresados con el poder adquisitivo de hoy. Por lo cual seria un error calcular el interés restando a , puesto que este último esta expresado en moneda con el poder adquisitivo de 4 años más. Por ello debemos considerar que ≙ , es decir, que dichos valores son equivalentes desde el punto de vista del poder adquisitivo, al ser equivalentes podemos utilizar los como valor futuro puesto que éste también esta expresando con el poder adquisitivo de hoy. Expresado en moneda con el poder adquisitivo de hoy

Por lo que el interés real

ganado en los 4 años será

√

√

(El resto del interés del

se perdieron con la inflación)

Generalizando lo anterior obtenemos (

) (

)

(

) (

5.2.3

(

)

( ( ( (

) ( ) ) ) )

( )

)

TASA DE INTERÉS INFLADA También llamada Tasa de interés del mercado, Como su nombre lo implica, ésta es la tasa de interés en el mercado, la tasa de la cual se escucha hablar y a la cual se hace referencia todos los días. Es una combinación de la tasa de interés real y la tasa de inflación , y por consiguiente, cambia a medida que cambia la tasa de inflación. Ésta tasa permite relacionar montos de dinero de diferentes instantes de tiempo, donde cada uno de ellos se encuentra expresado en moneda con el poder adquisitivo del respectivo entonces. Al despegar de la ecuación

obtenemos la ecuación de la tasa de interés inflada (

Ingeniería Económica

) Patricio Berrocal

22

Ejercicio

Una persona quiere comprar un equipo en 4 años más, cuyo precio de hoy es de sabiendo que la inflación en Chile y en Estados Unidos se comportará de la siguiente forma. USA Chile Y teniendo la posibilidad de depositar en una cuenta que le entrega una tasa de interés de un capitalizado mensualmente: a) b) c) d)

¿Cuánto tendrá que depositar hoy para comprar el equipo en 4 años más? ¿Cuál es la tasa de interés real promedio entregada por el banco en estos 4 años? ¿Cuál es la tasa de interés real anual que paga el banco? Si un banco es USA le entrega una tasa de un anual ¿Dónde le conviene a esta persona depositar, en Chile o en Estados Unidos?. Considere que el tipo de cambio hoy es de y que se estima que el tipo de cambio en 4 años más será de por dólar. e) ¿Cuál es la tasa de interés real promedio entregada por el banco estadounidense en estos 4 años? Comente a)

̅ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟

(

) (

( ⁄

̅

( (

b)

) (

) )

(

)

)

)

) (

( (

) (

) (

) (

)

)

√

√

c)

( ⁄

d)

)

Conviene depositar en USA

e) √

Aunque la tasa interés real promedio entregada por el banco estadounidense es menor que el entregado por el banco chileno, conviene depositar en USA debido al tipo de cambio Ingeniería Económica

Patricio Berrocal

23