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• Brayan Cabra

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Derivada Direccional Suponer que se est´ a en la colina de la figura y se quiere determinar la inclinaci´on de la colina respecto al eje z. Si la colina est´ a representada por z = f (x, y) se sabe c´omo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la direcci´on de y est´ a dada por la derivada parcial fx (x, y) y la pendiente en la direcci´on de x est´ a dada por la derivada parcial fy (x, y). En esta secci´on se ver´ a que estas dos derivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente en cualquier direcci´ on. ∂z ∂z y de la funci´on z = f (x, y) est´ an definidas Recordemos que las derivadas parciales ∂x ∂y como ∂z ∂x

f (x + h, y) − f (x, y) , h
f (x, y) + (h, 0) − f (x, y) = l´ım h→0 h f (x + he1 ) − f (x) = l´ım h→0 h

∂z ∂y

= l´ım

h→0

f (x, y + h) − f (x, y) h
f (x, y) + (0, h) − f (x, y) = l´ım h→0 h f (x + he2 ) − f (x) = l´ım h→0 h = l´ım

h→0

en todo lugar en que existan estos l´ımites. Aqu´ı x = (x, y), e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1), como es habitual. As´ı, fx y fy representan tasas de cambio de z respecto a la distancia en las direcciones de los vectores unitarios e1 y e2 . No hay raz´ on para restringir nuestra atenci´on s´ olo a dos direcciones; podemos encontrar la tasa de cambio de una funci´on diferencial en cualquier direcci´on.

Suponga que ∆x y ∆y denotan incrementos en x y y, respectivamente, y que u es un vector unitario en el plano xy que es paralelo al vectorpv de (x, y, 0) a (x + ∆x, y + ∆y, 0). Luego, v = hu. (Aqu´ı h = ∆x2 + ∆y 2 ) Ahora nuestra inquietud es: ¿Cu´ al es la pendiente de la recta tangente a C en el punto P con coordenadas (x, y, f (x, y)) en la direcci´on dada por v?

por lo que la pendiente de la recta secante indicada que pasa por los puntos P y R sobre C es f ((x, y) + (∆x, ∆y)) − f (x, y) f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) = h h f (x + v) − f (x) f (x + hu) − f (x) = = , h h donde x = (x, y), v = (∆x, ∆y). Por tanto, es natural que se considere al l´ımite y as´ı encontar la pendiente de f en P en la direcci´on especificada por el vector unitario u. Esto nos lleva a la siguiente definici´on. Definition 27 (Derivada Direccional). La derivada direccional de la funci´ on f en el punto x en direcci´ on del vector unitario u es Du f (x) = l´ım

h→0

si se prueba que este l´ımite existe.

71

f (x + hu) − f (x) h

(2.12)

La derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ) ∈ D en la direcci´on del vector unitario u = (u1 , u2 ), esto es, Du f (x0 , y0 ) mide la raz´ on (o velocidad) de cambio instant´ aneo del valor de la variable dependiente z = f (x, y) con respecto a la distancia en el plano XY , medida en la direcci´on del vector unitario u. La funci´on f en la ecuaci´ on (2.12) puede ser una funci´on de dos, tres o m´ as variables. las derivadas parciales de una funci´on de dos variables x y y se escriben como fy (x, y) = De2 f (x, y) = Dı f (x, y)

fx (x, y) = De1 f (x, y) = Di f (x, y)

El l´ımite en la ecuaci´ on (2.12) tendr´ıa sentido si u no fuera un vector unitario. El significado de las derivadas direccionales es m´as f´acil de entender cuando u es un vector unitario, y ´este es el porqu´e definimos Du f (x) s´ olo cuando |u| = 1. Podemos escribir en general el vector unitario u ∈ R2 como u = (cos θ, sin θ),

0 ≤ θ ≤ 2π

de modo que la derivada direccional de f en el punto x = (x, y) en la direcci´on de u y se ver´ıa como
f (x, y) + h(cos θ, sin θ) − f (x, y) f (x + hu) − f (x) Du f (x) = l´ım = l´ım h→0 h→0 h h f (x + h cos θ, y + h sin θ) − f (x, y) = l´ım h→0 h Observamos que si θ = 0, o bien si u = i = (1, 0), entonces Du f (x, y) = θ = π/2, o bien, si u = j = (0, 1), entonces Du f (x, y) = ∂f ∂y

∂f ∂x .

Mientras si

Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dado de una superficie z = f (x, y), una para cada direcci´on especificada por u, (ver figura). Dos de ´estas son las derivadas parciales fx y fy . Definition 28 (C´alculo de las derivadas direccionales). Sea f : Rn → R una funci´ on derivable en x, y u es un vector unitario, entonces la derivada direccional Du f (x) existe y est´ a dada por Du f (x) = ∇f (x) · u = k∇f k cos θ

(2.13)

donde θ es el ´ angulo formado por el vector ∇f y u Demostraci´on. Recordemos que de (??) tenemos que si f (x1 , x2 , . . . , xn ) es derivable en x = (x1 , x2 , . . . , xn ), entonces sus derivadas parciales existen ah´ı; adem´ as, f (x + h) − f (x) − ∇f (x) · h =0 h→0 |h| l´ım

donde ∇f (x) = (D1 f (x), D2 f (x), . . . , Dn f (x) es el vector gradiente de f en x. Si se sustituye h = hu, donde u es un vector unitario y h > 0 (de modo que |h| = h), entonces encontramos que f (x + h) − f (x) − ∇f (x) · hu f (x + h) − f (x) = l´ım − ∇f (x) · u h→0 |h| h = Du f (x) − ∇f (x) · u

0 = l´ım

h→0

En decir, Du f (x) = ∇f (x) · u = k∇f kkuk cos θ = k∇f k cos θ 72

 Propiedades de la Derivada Direccional: La funci´on f crece m´as r´ apidamente cuando cos θ = 1, es decir, cuando u est´ a en la misma direcci´on del ∇f . Es decir, en cada punto P de su dominio, f crece m´as r´ apidamente en la direcci´on del vector gradiente ∇f en P . La derivada en esta direcci´on es Du f = ∇f · u = k∇f k cos(0) = k∇f k De manera similar, f decrece m´as r´ apidamente en la direcci´on de −∇f , (θ = −π). la derivada en esta direcci´on es Du f = k∇f k cos(π) = −k∇f k Cualquier direcci´on u ortogonal a un gradiente ∇f 6= 0 es una direcci´on de cambio nulo en f , pues en ese caso θ = π/2 y Du f = k∇f k cos(π/2) = 0

Anteriormente mencionamos de manera informal el vector gradiente como herramienta de notaci´ on para simplificar la expresi´ on de ciertas f´ormulas con varias variables. Ahora vamos a analizar el significado e interpretaci´ on geom´etrica de los vectores gradiente, sobre todo en dos y tres dimensiones. Comencemos con la definici´on formal.

Definition 29 (Vector Gradiente). El gradiente de la funci´ on derivable, f : Rn → R es la funci´ on de variable vectorial n n ∇f : R → R definida por ∇f (x) =

 ∂f ∂f ∂f  , ,..., ∂x1 ∂x2 ∂xn

∇f se lee como “nabla”. Otra notaci´ on para el gradiente es gradf (x, y). OOJOO para cada (x, y) el gradiente ∇f (x, y) es un vector en el plano (no un vector en el espacio). Nota: El s´ımbolo ∇ no tiene ning´ un valor. Es un operador de la misma manera que un operador. Cuando ∇ opera sobre f (x, y) produce el vector ∇f (x, y)

d dx

es

Ejemplo 100. Sea f (x, y) = exy − y 2 . Halle la derivada direceional de f en cualquier punto (x, y) ∈ Df , en la direcci´ on del vector unitario u = ( √12 , − √12 ) Soluci´on. Primero debemos calcular el gradiente de f , ∇f = (fx , fy ) no es dificil ver que ∇f (x, y) = Por tanto, la derivada direccional de f en el punto (x, y) en la direcci´on u est´ a dada por Du f (x, y) = ∇f (x, y) · u = ∆ Ejemplo 101. Calcule la derivada direccional de la funci´ on f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 ) en el punto P0 (2, 2, −4) en la direcci´ on que va de P1 (2, 2, −4) a Q1 (3, 1, −5) Soluci´on. Primero hallemos el vector en la direcci´on indicada u=

P1 Q 1 kP1 Q1 k

Ahora hallemos el gradiente de f , ∇f = (fx , fy , fz ) no es dificil ver que

73

∇f (x, y, z) = ∇f (2, 2, −4) = Por tanto, la derivada direccional de f en (2, 2, −4) en la direcci´on u est´ a dada por Du f (2, 2, −4) = ∇f (2, 2, −4) · u = ∆ Ejemplo 102. Determine las direcciones en que f (x, y) = (x2 /2) + (y 2 /2), crece m´ as r´ apidamente, decrece m´ as r´ apidamente en el punto (1, 1) y ¿Cu´ ales son las direcciones de cambio nulo de f en (1, 1)? Soluci´on. Como sabemos cualquier funci´on f (x, y) crece mas rapidamente en la direcci´on de ∇f (x, y) su ∇f , es decir u = en nuestro caso, ∇f (x, y) = y por tanto, |∇f (x, y)| ∇f (1, 1) = ∇f (1, 1) = u= |∇f (1, 1)|

Adicionalmente la funci´on decrece m´as r´ apidamente en la direcci´on de en −∇f en (1, 1), es decir −u = Por otra parte, las direcciones de cambio nulo en (1, 1) son las direcciones ortogonales a ∇f . es son: n= −n = ∆ Ejemplo 103. ¿Cu´ al es el valor del ´ angulo θ para el cual la derivada direccional de f (x, y) = p 2 2 25 − x − y en el punto (1, 2) es m´ınimo y cu´ al es este valor m´ınimo?

Soluci´on. Aqu´ı tenemos que usar usar el vector unitario u = (cos θ, sen θ), y el gradiente de f esta dado por ∇f (x, y) =

∇f (1, 2) =

Observe que la derivada Du f (1, 2) depender´a necesariamente de θ. Luego g(θ) = Du f (1, 2) · u = Ahora hallemos el angulo minimo usando calculo 1, g ′ (θ) = g ′′ (θ) = Al hacer g ′ (θ) = 0, el punto cr´ıtico de g es θ = g ′′ (

)=

As´ı, θ = corresponde a un valor m´ınimo de g. Por tanto, el valor m´ınimo de la derivada direccional de f es

74

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SECCIÓN 14.5

DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE

933

Derivadas direccionales y el vector gradiente

14.6

60

50

Reno

San Francisco

60 Las Vegas

70 70

80

Los Ángeles 0

En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de contorno de la función temperatura T (x, y) para los estados de California y Nevada a las 3:00 PM, de un día de octubre. Las curvas de nivel o isotermas, unen localidades con la misma temperatura. La derivada parcial Tx en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura respecto a la distancia si viajamos hacia el este desde Reno; Ty es la razón de cambio de la temperatura si viajamos hacia el norte. Pero, ¿qué sucede si queremos saber la razón de cambio de la temperatura cuando viaja hacia el sureste; es decir, hacia Las Vegas, o en alguna otra dirección? En esta sección se estudia un tipo de derivada, que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección.

50 100 150 200 (Distancia en millas)

Derivadas direccionales

FIGURA 1

Recuerde que si z ! f (x, y), entonces las derivadas parciales fx y fy se definen como fx x0 , y0 1

fy x0 , y0

y

u (x¸, y¸)

sen ¨

¨ cos ¨

0

x

FIGURA 2

lím

f x0

hl0

lím

f x0 , y0

hl0

h, y0 h

f x0 , y0

h h

f x0 , y0

y representan las razones de cambio de z en las direcciones x y y; es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j. Supongamos que ahora queremos encontrar la razón de cambio de z en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario u ! !a, b" . (Véase figura 2.) Para hacer esto consideremos la superficie S cuya ecuación es z ! f (x, y) (la gráfica de f ), y sea z0 ! (x0, y0). Entonces el punto P(x0, y0, z0) queda sobre S. El plano vertical que pasa por P en la dirección de u interseca a S en una curva C (véase figura 3.) La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u.

Un vector unitario u=ka, bl=kcos ¨, sen ¨l z

T

P(x¸, y¸, z¸)

TEC Visual 14.6A incluye figuras animadas de la figura 3 al hacer girar u y, por lo tanto T.

Q(x, y, z)

S C Pª (x ¸, y¸, 0)

ha

u h

hb FIGURA 3

x

Qª (x, y, 0)

y

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CAPÍTULO 14

DERIVADAS PARCIALES

Si Q$x, y, z% es otro punto sobre C y P', Q' son las proyecciones de P, Q sobre el plano xy, entonces el vector es paralelo a u y entonces B ! hu ! !ha, hb" P'Q' para algún escalar h. Por tanto, x ! x 0 ! ha, y ! y0 ! hb, por lo que x ! x 0 " ha, y ! y0 " hb, y #z z ! z0 f $x 0 " ha, y0 " hb% ! f $x 0 , y0 % ! ! h h h Si tomamos el límite cuando h l 0, obtenemos la razón de cambio de z con respecto a la distancia en la dirección de u, la cual se denomina derivada direccional de f en la dirección de u. 2 Definición La derivada direccional de f en $x 0 , y0 % en la dirección de un vector unitario u ! ! a, b" es

Du f x 0 , y0

lím

f x0

ha, y0

f x 0 , y0

hb h

hl0

si este límite existe. Al comparar la definición 2 con las ecuaciones 1 , observamos que si u ! i ! !1, 0" , entonces Di f ! fx y si u ! j ! !0, 1" , entonces Dj f ! fy . En otras palabras, las derivadas parciales de f con respecto a x y y son justamente casos especiales de la derivada direccional. EJEMPLO 1 Con ayuda del mapa del clima ilustrado en la figura 1 estime el valor de la derivada direccional de la función de la temperatura en Reno en la dirección sureste. SOLUCIÓN El vector unitario dirigido hacia el sureste es u ! $i ! j%#s2 , pero no es necesario recurrir a esta expresión. Inicie dibujando una recta que pase por Reno y que se dirija hacia el sureste (véase figura 4).

60

50 Reno

San Francisco

60 Las Vegas

70 70 0

FIGURA 4

50 100 150 200 (Distancia en millas)

80

Los Ángeles

Aproximamos a la derivada direccional Du T mediante el promedio de la razón de cambio de la temperatura entre los puntos donde la recta interseca las isotermas T ! 50 y

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SECCIÓN 14.5

DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE

935

T ! 60. La temperatura en el punto al sureste de Reno es T ! 60 )F y la temperatura en el punto noroeste de Reno es T ! 50 )F. Al parecer, la distancia entre estos puntos es de casi 75 millas. De este modo, la razón de cambio de la temperatura en la dirección sureste es 60

Du T

50

10 75

75

0.13 °F#mi

Cuando calculamos la derivada direccional de una función que está definida por medio de una fórmula, en general aplicamos el teorema siguiente.

3 Teorema Si f es una función derivable de x y de y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u ! !a, b" y

Du f $x, y% ! fx $x, y% a " fy $x, y% b

DEMOSTRACIÓN Si definimos una función t de una variable h mediante

t$h% ! f $x 0 " ha, y0 " hb% entonces según la definición de la derivada 4

t 0

lím

th

t0 h

hl0

lím

f x0

ha, y0

hb

f x 0 , y0

h

hl0

! Du f $x 0 , y0 % Por otro lado, podemos escribir t$h% ! f $x, y%, donde x ! x 0 " ha, y ! y0 " hb, de modo que la regla de la cadena (teorema 14.5.2) da t'$h% !

$f dx $f dy " ! fx $x, y% a " fy $x, y% b $x dh $y dh

Si ahora hacemos h ! 0, entonces x ! x0, y ! y0, y 5

t'$0% ! fx $x 0 , y0 % a " fy $x 0 , y0 % b

Al comparar las ecuaciones 4 y 5, observe que Du f $x 0 , y0 % ! fx $x 0 , y0 % a " fy $x 0 , y0 % b Si el vector unitario u forma un ángulo ( con el eje positivo x (como en la figura 2), entonces podemos escribir u ! !cos u, sen u" y así la fórmula del teorema 3 se transforma en 6

Du f x, y

fx x, y cos

fy x, y sen

EJEMPLO 2 Determine la derivada direccional Du f $x, y% si

f $x, y% ! x 3 ! 3xy " 4y 2 y u es el vector unitario dado por el ángulo ( ! *#6. ¿Qué es Du f $1, 2%?

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936

CAPÍTULO 14

DERIVADAS PARCIALES

SOLUCIÓN Con la fórmula 6 se tiene

La derivada direccional Du f (1, 2) del ejemplo 2 representa la razón de cambio de z en la dirección de u. Es la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie z ! x3 ! 3xy " 4y2 y el plano vertical que pasa por (1, 2, 0) en la dirección de u mostrada en la figura 5.

Du f x, y

fx x, y cos ! $3x 2 ! 3y%

z

6

fy x, y sen

6

s3 " $!3x " 8y% 12 2

[

]

! 12 3 s3 x 2 ! 3x " (8 ! 3s3 )y Por lo tanto 0 x

FIGURA 5

(1, 2, 0)

[

π 6

]

Du f $1, 2% ! 12 3s3 $1%2 ! 3$1% " (8 ! 3s3 )$2% !

y

13 ! 3s3 2

u

El vector gradiente Observe que de acuerdo con el teorema 3, la derivada direccional de una función derivable se puede escribir como el producto punto de dos vectores: 7

Du f $x, y% ! fx $x, y% a " fy $x, y% b ! ! fx $x, y%, fy $x, y%" ! !a, b" ! ! fx $x, y%, fy $x, y%" ! u

El primer vector en este producto punto se presenta no sólo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, gradiente de f, y una notación especial (grad f o .f , que se lee “nabla f ”).

8 Definición Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la función vectorial .f definida por

.f $x, y% ! ! fx $x, y%, fy $x, y%" !

$f $f i" j $x $y

EJEMPLO 3 Si f (x, y) ! sen x " exy, entonces

. f $x, y% ! ! fx , fy " ! !cos x " ye x y, xe x y " .f $0, 1% ! ! 2, 0"

y

Con esta notación para el vector gradiente, podemos escribir la expresión (7) para la derivada direccional como 9

Du f $x, y% ! .f $x, y% ! u

Esta ecuación expresa la derivada direccional en la dirección de un vector unitario u como la proyección escalar del vector gradiente en u.

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SECCIÓN 14.6 Vector gradiente .f $2, !1% del ejemplo 4 se muestra en la figura 6 con punto inicial (2, 21). También se muestra el vector v que da la dirección de la derivada direccional. Ambos vectores se superponen sobre el mapa de contorno de la gráfica de f.

v

DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE

937

EJEMPLO 4 Determine la derivada direccional de la función f (x, y) ! x2y3 ! 4y en el

punto (2, !1) en la dirección del vector v ! 2 i " 5 j.

SOLUCIÓN Primero calculamos el vector gradiente en (2, !1):

.f $x, y% ! 2xy 3 i " $3x 2 y 2 ! 4%j

y

.f $2, !1% ! !4 i " 8 j ±f(2, _1)

* *

Note que v no es un vector unitario, pero como v ! s29 , el vector unitario en la dirección de v es

v (2, _1)

x

u!

v 2 5 ! i" j v s29 s29

* *

Por lo tanto, según la ecuación 9, tenemos FIGURA 6

Du f $2, !1% ! .f $2, !1% ! u ! $!4 i " 8 j% !

!

+

,

2 5 i" j s29 s29

!4 ! 2 " 8 ! 5 32 ! s29 s29

Funciones de tres variables Para funciones de tres variables podemos definir las derivadas direccionales de una manera similar. Otra vez, Du f (x, y, z) puede interpretarse como la razón de cambio de la función en la dirección de un vector unitario u. 10 Definición La derivada direccional de f en (x0, y0, z0) en la dirección de un vector unitario u ! !a, b, c " es

Du f x 0 , y0 , z0

lím

f x0

ha, y0

hl0

hb, z0 h

hc

f x 0 , y0 , z0

si este límite existe. Si utilizamos la notación de vectores, entonces podemos escribir ambas definiciones, 2 y 10, de la derivada direccional en la forma compacta

11

Du f x 0

lím

hl0

f x0

hu h

f x0

donde x 0 ! ! x 0 , y0 " si n ! 2 y x 0 ! !x 0 , y0 , z0 " si n ! 3. Esto es razonable porque la ecuación vectorial de la recta que pasa por x0 en la dirección del vector u está dada por x ! x0 " t u (ecuación 12.5.1) y de este modo f (x0 " hu) representa el valor de f en un punto sobre esta recta.

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CAPÍTULO 14

DERIVADAS PARCIALES

Si f (x, y, z) es derivable y u ! !a, b, c" , entonces utilice el mismo método que se aplicó en el teorema 3 para demostrar que Du f $x, y, z% ! fx $x, y, z% a " fy $x, y, z% b " fz$x, y, z% c

12

Por lo que toca a la función f de tres variables, el vector gradiente, denotado por . f o grad f, es .f $x, y, z% ! ! fx $x, y, z%, fy $x, y, z%, fz$x, y, z%" es decir,

.f ! ! fx , fy , fz " !

13

$f $f $f i" j" k $x $y $z

Entonces, justo como en las funciones de dos variables, la fórmula 12 de la derivada direccional se puede volver a expresar como Du f $x, y, z% ! .f $x, y, z% ! u

14

v EJEMPLO 5 Si f (x, y, z) ! x sen yz, a) determine el gradiente de f y b) encuentre la derivada direccional de f en (1, 3, 0) en la dirección v ! i " 2 j ! k. SOLUCIÓN

a) El gradiente de f es .f $x, y, z% ! ! fx $x, y, z%, fy $x, y, z%, fz$x, y, z%" ! !sen yz, xz cos yz, xy cos yz" b) En (1, 3, 0) tenemos .f $1, 3, 0% ! !0, 0, 3" . El vector unitario en la dirección de v ! i " 2 j ! k es 1 2 1 u! i" j! k s6 s6 s6 Por lo tanto, la ecuación 14 da Du f $1, 3, 0% ! .f $1, 3, 0% ! u ! 3k !

+

+ , -

!3 !

,

1 2 1 i" j! k s6 s6 s6

1 s6

!!

3 2

Maximización de la derivada direccional Suponga que tenemos una función f de dos o tres variables y consideramos todas las derivadas direccionales posibles de f en un punto dado. Éstas dan las razones de cambio de f en todas las direcciones posibles. Cabe entonces, plantear las preguntas: ¿en cuál de estas direcciones f cambia más rápido y cuál es la máxima razón de cambio? Las respuestas las proporciona el teorema siguiente.

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SECCIÓN 14.6

DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE

939

15 Teorema Supongamos que f es una función derivable de dos o tres variables.

TEC Visual 14.6B proporciona confirmación

El valor máximo de la derivada direccional Du f (x) es & . f (x) & y se presenta cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente . f (x).

visual del teorema 15.

DEMOSTRACIÓN Según la ecuación 9 o la 14 tenemos

* ** u * cos ( ! * .f * cos (

Du f ! .f ! u ! .f

donde u es el ángulo entre .f y u. El valor máximo de cos u es 1 y esto ocurre cuando u ! 0. Por lo tanto, el valor máximo de Du f es & . f & y se presenta cuando u ! 0, es decir, cuando u tiene la misma dirección que . f. y

Q

2

EJEMPLO 6

a) Si f (x, y) ! xey, determine la razón de cambio de f en el punto P(2, 0) en la dirección de P a Q ( 12, 2). b) ¿En qué dirección f tiene la máxima razón de cambio? ¿Cuál es esta máxima razón de cambio?

1

±f(2, 0) 0

SOLUCIÓN

3 x

P

1

a) Primero calculamos el vector gradiente:

FIGURA 7

. f $x, y% ! ! fx , fy " ! !e y, xe y "

En (2, 0) la función del ejemplo 6 se incrementa más rápido en la dirección del vector gradiente . f $2, 0% ! ! 1, 2 " . Observe que según la figura 7 este vector, al parecer, es perpendicular a la curva de nivel que pasa por (2, 0). En la figura 8 se ilustra la gráfica de f y el vector gradiente.

.f $2, 0% ! !1, 2" l

El vector unitario en la dirección de PQ ! !!1.5, 2" es u ! !! 35 , 45 ", de modo que la razón de cambio de f en la dirección de P a Q es Du f $2, 0% ! .f $2, 0% ! u ! !1, 2" ! !! 35 , 45 " ! 1(! 35 ) " 2( 45 ) ! 1

20 15 z 10

b) De acuerdo con el teorema 15, f se incrementa más rápido en la dirección del vector gradiente .f $2, 0% ! ! 1, 2" . La razón de cambio máxima es

5 0

0

FIGURA 8

1

x

2

3 0

1 y

* .f $2, 0% * ! * !1, 2" * ! s5

2

EJEMPLO 7 Supongamos que la temperatura en un punto (x, y, z) en el espacio está dado por T(x, y, z) ! 80#(1 " x2 " 2y2 " 3z2), donde T se mide en grados celsius y x, y, z en metros. ¿En qué dirección se incrementa más rápido la temperatura en el punto (1, 1, !2)? ¿Cuál es la razón de incremento máxima? SOLUCIÓN El gradiente de T es

.T !

$T $T $T i" j" k $x $y $z

!! !

160x 320y 480z i! j! k $1 " x 2 " 2y 2 " 3z 2 %2 $1 " x 2 " 2y 2 " 3z 2 %2 $1 " x 2 " 2y 2 " 3z 2 %2

160 $!x i ! 2y j ! 3z k% $1 " x " 2y 2 " 3z 2 %2 2

97909_14_ch14_p936-945.qk_97909_14_ch14_p936-945 06/04/12 02:51 a.m. Página 940

940

CAPÍTULO 14

DERIVADAS PARCIALES

En el punto (1, 1, !2) el vector gradiente es .T$1, 1, !2% !

160 256

$!i ! 2 j " 6 k% ! 58 $!i ! 2 j " 6 k%

De acuerdo con el teorema 15, la temperatura se incrementa más rápido en la dirección del vector gradiente .T$1, 1, !2% ! 58 $!i ! 2 j " 6 k% o bien, en forma equivalente, en la dirección de !i ! 2 j " 6 k o del vector unitario $!i ! 2 j " 6 k%#s41. La máxima razón de incremento es la longitud del vector gradiente:

* .T$1, 1, !2% * ! * !i ! 2 j " 6 k * ! 5 8

5 8

s41

5 Por lo tanto, la máxima razón de incremento de temperatura es 8 41

4 °C#m.

Planos tangentes a superficies de nivel Suponga que S es una superficie cuya ecuación es f (x, y, z) ! k, es decir, es una superficie de nivel de una función F de tres variables, y sea P(x0, y0, z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie S y pasa por el punto P. Recuerde que según la sección 13.1, la curva C se describe mediante una función vectorial continua r$t% ! ! x$t%, y$t%, z$t%" . Sea t0 el valor del parámetro que corresponde a P; es decir, r$t0% ! ! x 0 , y0 , z0 " . Puesto que C está sobre S, cualquier punto (x(t), y(t), z(t)) debe satisfacer la ecuación de S, es decir, 16

f (x(t), y(t), z(t)) ! k

Si x, y y z son funciones derivables de t y F es también derivable, entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la ecuación 16 como sigue:

17

$F dx $F dy $F dz " " !0 $x dt $y dt $z dt

Pero, como .F ! !Fx , Fy , Fz " y r'$t% ! !x'$t%, y'$t%, z'$t%" , la ecuación 17 se puede escribir en función de un producto punto como .F ! r'$t% ! 0 En particular, cuando t ! t0 tenemos r$t0% ! !x 0 , y0 , z0 " , de modo que z

±F (x ¸, y¸, z¸) plano tangente P

0 x

FIGURA 9

S

18

.F$x0, y0, z0 % ! r'$t0 % ! 0

rª(t¸)

C

y

La ecuación 18 establece que el vector gradiente en P, .F$x0 , y0 , z0 %, es perpendicular al vector tangente r'(t0) a cualquier curva C sobre S que pasa por P (véase figura 9). Si .F$x0 , y0 , z0 % " 0, es por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivel F(x, y, z) ! k en P(x0, y0, z0) como el plano que pasa por P y tiene vector normal .F$x0 , y0 , z0 %. Si aplicamos la ecuación estándar de un plano (ecuación 12.5.7), podemos escribir la ecuación de este plano tangente como

19

Fx $x 0 , y0 , z0 %$x ! x 0 % " Fy $x 0 , y0 , z0 %$y ! y0 % " Fz$x 0 , y0 , z0 %$z ! z0 % ! 0