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• Kerly Caterine Barzola Rodríguez

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Cálculo de Varias Variables

Rectas, Planos y Aplicaciones

FCNM

Deber #1 1. Encuentre las ecuaciones en forma simétrica y paramétrica de la recta que: a. Tiene vector directriz 𝑆⃗ = (1 , −2 , 3) y pasa por el punto 𝑃(4 , −5 , 2) b. Pasa por los puntos 𝐴( 4, 2, 2) 𝑦 𝐵(2, −3, 5) 2. Los vectores 𝑆⃗2 = (−1 , −6 , 7) 𝑦 𝑆⃗5 = (3 ,2 , −4) son los vectores directrices delas rectas L1 y L2. Encuentre un vector directriz para la recta L3, si se sabe que ella es perpendicular tanto a L1 como a L2. 3. Sea la recta L1 que contiene al punto A (1,2,3) y es paralela a la recta que pasa por B (-2,2,0) y C (4,-1,7) y L2 la recta que pasa por E (1,-1, 8) y F (10,-1,11). a. Demuestre que L1 y L2 son intersecantes b. Halle las coordenadas del punto de intersección c. Halle la medida del ángulo formado entre L1 y L2 4. Sea la recta L1 que pasa pos los puntos A (3,-2,7) y B (13,3,-8). Halle las coordenadas del Punto P (x, y, z) donde la recta L1 interseca al plano Y=0. 5. Encuentre la ecuación general del plano p que: a. Pasa por el punto A (-4,2,9) y es perpendicular al eje z b. Pasa por el punto A (3,-5,2) y tiene como vector normal 𝑛7⃗ = (1, −4,2) c. Contiene los puntos A (-3,2,4), B (1 ,5,7) y C (2,2,1). (A, B y C son 3 puntos no colineales) d. Pasa por el punto A (6,4,-2) y es perpendicular a la recta L que contiene a los puntos A (7,-2,3) y B (1, 4, -5) e. Pasa por el punto A (3-2,6) y es perpendicular al plano p2 cuya ecuación es 4y-3z+12=0 f. Es perpendicular al plano p3 de ecuación 4x-3y+2z-9=0 y pasa por los puntos A (2 , -6, 4) y B ( 3, -7, 5). g. Pasa por el punto A (4 ,-2, 5) y es simultáneamente perpendicular a los planos : p2 : x-3y+4z-9=0 y p3 : 2x+2y-z+11=0 6. Demuestre que los 4 puntos A (2, 1, 3), B (3,-5,1), C (-6,7,-9) y D (-2, 4, -3) son coplanares. 7. Encuentre la medida del ángulo agudo que forman el plano p1 : 5x+4y-z+8=0 y el plano XY 8. Considere la ecuación del plano p : 2x-y+z-18=0 y el punto A (2, 1, 6). a. Encuentre la ecuación del plano p2 que pasa por A y es paralelo al plano p1 b. Encuentre la distancia entre el punto A y el plano p2 c. Encuentre la distancia entre los planos p1 y p2 9. Demuestre que la distancia que existe entre los planos paralelos p1 : Ax+By+Cz+D1=0 y p2 : Ax+By+Cz+D2=0, está determinado por: 𝑑9𝜋2, 𝜋5 ; =

|=> ?=@ |

√B@ CD @ CE @

10. Encuentre el coeficiente K en la ecuación del plano p: Kx -2y +6z +14=0 de tal manera que su distancia al punto A (1, 1, 1) sea igual a 3 unidades.

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11. Encuentre la ecuación general del plano que pasa por el punto A (3, -1, 4) y contiene a la recta L definida por la intersección de los planos p1 : x+2y-z-4=0 , p2 : 2x-3y+z-6=0; encuentre además la ecuación vectorial de la recta L. 12. Encuentre la ecuación general del plano p, que es perpendicular a la recta que resulta de la intersección de los planos p1 : x +y -2z -4 =0 , p2 : 3x -2y +z -1=0 y que contiene al punto A (6, 0, 2) 13. Demuestre que la recta 𝐿 = G

𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 9 = 0 , es paralela al plano p3 : 2x-3y-4z+6=0. 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 12 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 3 = 0 𝑥−𝑦−𝑧−1=0 14. Hallar la distancia entre las rectas 𝐿2 = G y 𝐿5 = M 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3 = 0 3𝑥 − 𝑧 − 7 = 0 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 . 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 4 = 0 a. Encuentre las coordenadas del punto P (PÎL1) más cercano al punto A (1, 0, 1). b. Determine la distancia entre los puntos A y P

15. Sea la recta 𝐿2 = G

16. Considere el plano 𝜋2 : 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 13 = 0 y los puntos P1 (2, -1,3), y P2 (0, 0,13). Encuentre a. La distancia de P1 a p1 b. La ecuación vectorial de la recta L1, que pasa por P1 y es perpendicular al plano p1 c. Las coordenadas del P3 del plano p1 que está más cerca al punto P1 d. La medida del ángulo que forma la recta L2, que pasa por los puntos P2 y P3, con la recta L1 e. El área del triángulo cuyos vértices son los puntos P1, P2 y P3 2𝛿𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 . Encuentre: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2 a. El valor de 𝛿 para el cual 𝐿2 𝑦 𝐿5 son ortogonales b. Para 𝛿 = 2, Hallar la distancia entre las rectas 𝐿2 𝑦 𝐿5

17. Dadas las rectas: 𝐿2 = −𝑥 + 1 =

OCP P

= 𝑧 𝑦 𝐿5 = G

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