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• Katherine Ramirez

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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS ANALISIS NUMERICO Ayudante : Guillermo Estupiñán Ch. Tema : Métodos Numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 1. Un pequeño buque porta-contenedores tiene una capacidad remanente para llevar un peso de 10 toneladas de carga y 10.4 m3 de volumen en contenedores tipo I y tipo II, los contenedores tipo I tienen un peso de 1 tonelada y ocupan un volumen de 1.1 m3, mientras que los de tipo 2 tienen un peso de 2 toneladas y ocupan un volumen de 2 m3. Si se llenó la capacidad remanente del buque tanto en peso como en volumen, y utilizando el método directo de Gauss con aritmética de 3 dígitos y estrategia de pivoteo parcial: a. Determinar cuántos contenedores tipo I y tipo II llevó el buque. b. Luego se comprobó que hubo un pequeño error en la estimación del volumen que ocupa cada contenedor del tipo I, en lugar de 1.1 m3 en realidad estos contenedores ocupan 1.05 m3, los otros parámetros estaban bien estimados. Determinar cuál era la cantidad real de contenedores tipo I y II que debió haber llevado el buque para utilizar su capacidad completa de peso y volumen. c. El sistema es bien o mal condicionado? Determine el número de condición.

2. Considere el sistema AX = B dado por:

 0.4 x + 1.1y + 3.1z = 7.5   4 x + 0.15 y + 0.25 z = 4.45  2 x + 5.6 y + 3.1z = 0.1  De ser posible, manipule el sistema de tal forma que se garantice la convergencia del método de Gauss-Seidel (determine la norma de la matriz T ). Determine la solución con este método con el vector inicial ( 1,1,1) y con una tolerancia de 10−4 . 3. Una empresa compra tres materiales A, B, C en cantidades en kg. como se indica en el cuadro. Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura: Factura 1 2 3

A 2 3 2

B 5 9 3

C 4 8 1

Total 35 k 17

a) Construya el modelo matemático para resolver este problema. b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k. c) Luego de resolver el sistema nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta. d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con el método anterior con k=65. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido. e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.

Tema 2. (20%) Dado el siguiente sistema:

 2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4  4 x + 3x − x + 2 x = 6  1 2 3 4  8 x1 + 5 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 12   3 x1 + 3 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6 a) Resolver el sistema con un método directo. b) ¿Es posible resolver este sistema con el método iterativo de Jacobi? Si su respuesta es afirmativa, resuélvalo con una tolerancia de 10−2 , con X (0) = 0 . Si su respuesta es negativa, justifique su conclusión.

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por

 −2 x + 5 y + 9 z = 1   7x + y + z = 6 −3 x + 7 y − z = −26  Arregle el sistema de tal manera que la diagonal de A sea estrictamente dominante. a) Calcular el valor de T ∞ . b) Escribir el algoritmo de Gauss-Seidel.