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• Michel Muñoz Moisés

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Matrices y operaciones con matrices Introducción El concepto de matrices fue inicialmente desarrollado en el siglo XVII, asociado a la manipulación de gráficos y soluciones de ecuaciones lineales simultáneas. Hoy en día la aplicación de las matrices y sus operaciones están ligadas a áreas tan diversas como la física, gráficos de computador, la economía, los métodos estadísticos, la teoría de juegos, redes, encriptología, etc. Una matriz es una forma eficiente de ordenar información en columnas y filas. Por ejemplo, consideremos una base de datos que contiene información de ventas, costos y utilidades mensuales para dos empresas (empresa 1 y 2). La información de un mes se puede ordenar fácilmente en una matriz de la siguiente forma:

1. Concepto de matriz Se llama Matriz de Dimensión u Orden “m x n” a un conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas. Se representan: A (m x n) = (aij) ó A = (aij)(m x n) - Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los mismos números en los mismos espacios. - El conjunto de todas las matrices del mismo Orden se representa: M(m x n) ó M(n) 2. Tipos de matrices 2.1 Rectangular: m ≠ n 2.1.1 M. fila 2.1.2 M. columna 2.1.3 Nula: todos sus elementos son 0. Se representa por O (letra) 2.2 Cuadrada: m = n - 2.2.A Diagonal principal: conjunto de todos los elementos en que i = j - 2.2.B Diagonal secundaria: conjunto de todos los elementos en que i + j = n + 1 (donde n es el orden) 2.2.1 M. triangular: todos los términos por debajo (triangular superior) o por encima (triangular inferior) de la diagonal, son 0 2.2.2 M. diagonal: todos los elementos no pertenecientes a la D. principal son 0 2.2.2.1 M. escalar: M. diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales 2.2.2.1.1 M. unidad: M. escalar en que los elementos de la diagonal son 1 3. Operaciones con matrices Suma y diferencia: se opera elemento por elemento, que ocupen los mismos lugares

Propiedades: 1.- Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C 2.- Conmutativa A + B = B + A 3.- A + O = A 4.- La matriz –A (cambiando de signo todos los elementos) es la Matriz Opuesta

*: Si dos matrices son de distintas dimensiones, su suma y diferencia no están definidas. #: El conjunto de matrices M(m x n) junto a la operación suma, y debido a sus 4 propiedades, forman un Grupo Conmutativo Multiplicación escalar: se multiplica k por todos los elementos, uno por uno. Propiedades: 1.- Distributiva (respecto a la suma de matrices) k(A + B) = kA + kB 2.- Distributiva (respecto a la suma de escalares) (k + h)A = kA + hA 3.- Propiedad asociativa mixta k(hA) = (kh)A 4.- 1 · A = A *: El conjunto de matrices M(m x n) junto con las operaciones suma y producto, y debido a sus 8 propiedades, tienen estructura de Espacio Vectorial. Multiplicación de matrices: el producto de una matriz A(m x n) · B(n x q) es otra matriz AB(m x q). Cada elemento se obtiene multiplicando escalarmente (para más info mirar libro) la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda. Propiedades: 1.- Asociativa (aunque parezca que no) A(BC) = (AB)C 2.- La conmutativa no se cumple siempre (cuando se cumple, hablamos de matrices que conmutan) AB ≠ BA 3.- An · In = In · An = An *: En las rectangulares, existen dos elementos neutros, uno por la izquierda (Im) y otro por la derecha (In) 4.- El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices A(B + C) = AB + AC 5.- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar: (k · A) · B = A · (k · B) = k · (A · B) *: Mirar libro para ver errores frecuentes Potencias de raíces: (solo pueden efectuarse en Matrices cuadradas) 1.- Matriz cíclica: repite sus potencias gradualmente. PASOS: Se busca el periodo (número de potencias distintas hasta la primera repetición). De ahí, dividiendo y tomando el resto, podremos saber cuál es el exponente equivalente al pedido en el ejercicio. 2.- M. Nilpotente: Una matriz es Nilpotente cuando An = O para algún n € N. El resultado de una potencia en que el exponente sea mayor que n será siempre O 3.- M. de recurrencia: PASOS: Se calculan las primeras potencias de A. Se escribe una ley de formación (ecuación) para la potencia nésima, y se comprueba que la ley se cumple para n=1 y sustituyendo n por n+1. (MÉTODO DE INDUCCIÓN) 4. Trasposición de matrices La matriz traspuesta de A, At, es la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. 4.1 Simétrica: matriz cuadrada tal que aij = aji 4.2 Antisimétrica: matriz cuadrada tal que aij = -aji, y por tanto, en la que la diagonal principal son todo 0s *: Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una Simétrica S y otra antisimétrica H tal que: S = ½ (A + At) H = ½ (A – At) 4.3 Ortogonal: matriz cuadrada en la que se cumple el producto A · At = I 4.A (At)t = A 4.B (A + B)t = At + Bt 4.C (A · B)t = Bt · At 4.D (kA)t = k · At 4.E (At)n = (An)t 5. Matriz inversa La matriz inversa de A es A-1 y es tal que A· A-1= A-1 · A = In. Si existe la inversa de una matriz, ésta se denominará inversible o regular; en caso contrario, singular. El procedimiento para obtenerlas es mediante un sistema de ecuaciones.