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NOTAS DE CLASE SOBRE INTEGRALES DOBLES DOCENTE: FRANCISCO ARIAS DOMINGUEZ

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE N Densidad y Masa En física y química, la densidad (símbolo ) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa =

m : V

(La unidad es kg=m3 en el SI:)

Consideremos una lámina con densidad variable y supongamos que la lámina ocupa un lugar S en el espacio y su densidad (en unidades de masa por unidad de área) en un punto (x; y) está dada por (x; y), donde es una función continua en S. Esto signi…ca que (x; y) = lim

4m , 4A

donde 4m y 4A son la masa y el área de un rectángulo pequeño que contiene (x; y) y el límite se toma como las dimensiones del rectángulo aproximado a 0. La masa viene dada por, m=

ZZ

(x; y)dA:

D

Ejemplo 1 : Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas x = y 2 1 y x = 2y 2 2 , cuya densidad es igual a la unidad. Solución: 1

Para esta Placa se tiene que (x; y) = 1, por lo tanto m=

ZZ

dA

D

Ahora, se debe identi…car la región D para de…nir los límites de integración.

Entonces la región D está de…nida como: D = f(x; y) : 2y 2

2

y2

x

1,

1

y

1g:

Por lo tanto:

m=

Z1 yZ2

1

dxdy =

1 2y 2 2

Z1

1

4 y 2 dy = : 3

1

Ejemplo 2 : Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas y = 32 x2 6x + 4 y y = 2 jx 2j, cuya densidad varía de acuerdo a la función (x; y) = 1 + 2x. Solución: El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble m=

ZZ

(1 + 2x) dA:

D

2

A continuación se muestra la región D.

La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que: D = D1 [ D2 : Entonces m=

ZZ

(1 + 2x) dA =

D

ZZ

(1 + 2x) dA +

D1

ZZ

(1 + 2x) dA:

D2

Donde D1 = f(x; y) : 0

x

2 ^

3 2 x 2

6x + 4

y

D2 = f(x; y) : 2

x

4 ^

3 2 x 2

6x + 4

y

2x + 4g 2x

4g

En la siguiente …gura se muestra el orden de integración para obtener la

3

masa de la placa con la forma de la región D.

Entonces: m =

Z2 0

=

3 2 x 2

Z2

4Z 2x

6x+4

(1 + 2x) dydx +

Z4 2

13 3x3 + x2 + 4x dx + 2

0

=

3 2 x 2

2x Z 4

Z4

(1 + 2x) dydx

6x+4

8

3x3 +

29 2 x 2

8x dx

2

40 80 + 3 3

= 40: N Momentos y Centro de Masa El objetivo principal de esta seccion es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente , una placa delgada de cualquier forma dada, este punto se llama centro de masa o centro de gravedad de la placa. Los momentos Estáticos respecto de los planos coordenados se de…ne

4

como Mx =

ZZ

y (x; y)dA

My =

ZZ

x (x; y)dA

D

D

Ejemplo 3 : Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 1. Solución: Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:

Mx =

My =

1

D

Z1 yZ2

ZZ

Z1 yZ2

1

ZZ

y (x; y)dA =

Z1

ydxdy =

1 2y 2 2

y (x; y)dA =

1

xdxdy =

1 2y 2 2

D

y 2 dy = 0;

y 1

Z1

3 2

3 4 y + 3y 2 dy = 2

8 : 5

1

Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma de la región D del ejemplo 1 son: Mx = 0

y

My =

8 : 5

Ejemplo 4 : Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 2. Solución: Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: Mx =

Z2 0

3 2 x 2

4Z 2x

y (1 + 2x) dydx +

Z4 2

6x+4

5

3 2 x 2

2x Z 4

6x+4

y (1 + 2x) dydx

Z2

=

9 5 135 4 x + x 4 8

35x3 + 10x2 + 16x dx

0

Z4 +

9 5 135 4 x + x 4 8

35x3 + 10x2 + 16x dx

2

Por lo tanto, 8 56 64 + = : 3 3 3 Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene: Mx =

My =

Z2 0

=

3 2 x 2

4Z 2x

x (1 + 2x) dydx +

Z4 2

6x+4

3 2 x 2

2x Z 4

x (1 + 2x) dydx

6x+4

1424 262 1162 + = : 15 15 15

Finalmente, para la región del ejemplo 2 se tiene que: Mx =

ZZ

y (1 + 2x) dA =

64 3

D

y My =

ZZ

x (1 + 2x) dA =

1424 : 15

D

y el centro de masa es el punto: My Mx ; m m

:

El signi…cado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto. Nota: El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante. 6

Ejemplo 5 : Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 1. Solución: La región del ejemplo 1: está acotada por las curvas x = y 2 1 y x = 2y 2 2. Su densidad es: (x; y) = 1 y adicionalmente se obtuvo:

m=

Z1 yZ2

1

dxdy =

4 3

1 2y 2 2

y Mx = 0

y

8 : 5

My =

Entonces, el centro de masaes el punto P

My Mx ; m m

=

8 5 4 3

;

0 4 3

=

6 ; 0 : 5

En la siguiente …gura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 1:

Ejemplo 6 : Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 2. Solución: La región D del ejemplo 2: tiene una densidad que varía según: (x; y) = 1 + 2x en el ejemplo 2 y 4 se obtuvo: m=

ZZ

(1 + 2x) dA = 40

D

7

y 1424 64 y My = : 3 15 Entonces, el centro de masaes el punto Mx =

P

My Mx ; m m

=

1424 15

40

;

64 3

40

=

178 8 ; 75 15

:

En la …gura siguiente se aprecia la región D y su centro de masa:

N Momento de Inercia El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Los momentos de inercia respecto de los ejes vienen dados por: ZZ Ix = y 2 (x; y)dA D

Iy =

ZZ

x2 (x; y)dA

D

Otro momento de inercia, es el momento de inercia alrededor del origen, que se llama momento polar de inercia, I0 , es: ZZ I0 = x2 + y 2 (x; y)dA: D

8

Ejemplo 7 : Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 1. Solución: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: Ix =

Z1 yZ2

1

Z1 yZ2

1

Z1 yZ2

1

y 2 dxdy =

1 2y 2 2

Iy =

y2 1

y 2 dy =

Z1

7 3

7 6 y + 7y 4 3

4 15

1

x2 dxdy =

1 2y 2 2

I0 =

Z1

2y 2 dy =

32 15

1

x2 + y 2 dxdy =

1 2y 2 2

Z1

7 3

7 6 y + 6y 4 3

6y 2 dy =

12 : 5

1

Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: 4 32 12 + = : 15 15 5 Ejemplo 8 : Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 2. Solución: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: I0 = Ix + Iy =

Ix =

Z2

4Z 2x

Z4 y (1 + 2x) dydy+

2x Z 4

y 2 (1 + 2x) dydy =

712 2168 576 + = ; 35 35 7

Z2

4Z 2x

Z4 x (1 + 2x) dydy+

2x Z 4

x2 (1 + 2x) dydy =

128 3472 3856 + = ; 5 15 15

0

Iy =

0

3 2 x 2

3 2 x 2

6x+4

6x+4

2

2

3 2 x 2

2

2

3 2 x 2

6x+4

6x+4

El momento polar de inercia puede calcularse a partir de: I0 = Ix + Iy =

576 3856 35632 + = : 7 15 105 9

N Probabilidad Toda variable aleatoria continua X tiene un función de densidad f (x) tal que Z1 f (x)dx = 1

0

1

y la probabilidad de que X esté entre a y b se calcula por P (a

X

b) =

Zb

f (x)dx:

a

Cuando se tienen dos variables aleatorias continuas X y Y , la función de densidad conjunta de X y Y es una función f de dos variables ( f (x; y) 0 ZZ y f (x; y)dxdy = 1) tal que la probabilidad de (X; Y ) esté en una R2

región S es dada por P ((X; Y ) 2 S) =

ZZ

f (x; y)dxdy:

S

Ejemplo 9 : If the joint density function for X and Y is given by 8 < C (x + 2y) , si 0 x 10, 0 y 10 f (x; y) = : 0 otherwise

…nd the value of the constant C. Then …nd P (X 7, Y 2) Solución: We …nd the value of C by ensuring that the double integral of f is equal to 1. Because f (x; y) = 0 outside the rectangle [0; 1] [0; 1], we have Z1 Z1 1 1

Z10Z10 Z10 f (x; y)dydx = C(x + 2y)dydx = C (10x + 100)dx = 1500C 0 0

0

Therefore, 1500C = 1 and so C =

1 : 1500

10

Now we can compute the probability that X is at most 7 and Y is at least 2: P (X

Z7 Z10 Z7 Z1 1 868 f (x; y)dydx = (x+2y)dydx = t 0:5783: 2) = 1500 1500

7; Y

1 2

0 2

N Valores Esperados Si X es una variable aleatoria continua con una función de densidad de probabilidad f , entonces su media es dada por Z1

=

xf (x)dx

1

Ahora si se tienen dos variables aleatorias continuas X y Y , la función de densidad conjunta de X y Y , f , de…nimos la media de X y la media de Y , conocidos como valores esperados de X y de Y como

1

=

Z1 Z1

xf (x; y)dxdy,

2

1 1

=

Z1 Z1

yf (x; y)dxdy:

1 1

N Surface Area of a Graph De…nición: If a smooth parametric surface S is given by the equation ! r (u; v) = x(u; v)bi + y(u; v)b j + z(u; v)b k,

(u; v) 2 D:

and S is covered just once as (u; v) ranges throughout the parameter domain D, then the surface area of S is ZZ A(S) = j! ru ! r v j dA D

@y b @z b ! @z b @xb bi + @y b i + @u j + @u k, r v = @x j + @v k: where ! r u = @u @v @v the surface area formula in De…nition becomes s ZZ 2 2 @z @z A(S) = 1+ + dA: @x @y D

11

Ejemplo 10 : Find the area of the part of the paraboloid z = x2 + y 2 that lies under the plane z = 9. SOLUTION

A(S) =

ZZ

D

=

s

ZZ p

1+

@z @x

2

@z @y

+

2

dA =

ZZ q

1 + (2x)2 + (2y)2 dA

D

1 + 4(x2 + y 2 )dA:

D

Converting to polar coordinates, we obtain A(S) =

Z2 Z3 p 0 0

1+

4r2 rdrd

=

Z2

d

0

Z3 p

1 + 4r2 rdr =

6

p (37 37

1):

0

N Ejercicios 1) A lamina occupies the part of the disk x2 +y 2 1 in the …rst quadrant. Find its center of mass if the density at any point is proportional to its distance from the -axis. 2) Find the center of mass of the lamina in exercise 1 if the density at any point is proportional to the square of its distance from the origin. 3) A lamina occupies the region inside the circle x2 + y 2 = 2y but outside the circle x2 + y 2 = 1. Find the center of mass if the density at any point is inversely proportional to its distance from the origin. 4) Find the mass and center of mass of the lamina that occupies the region D and has the given density function . a) D = f(x; y) : 0 x 2, 1 y 1g; (x; y) = xy 2 : b) D = f(x; y) : 0 x a, 0 y bg; (x; y) = cxy: 5) Find the moments of inertia Ix , Iy , I0 for the lamina of exercise 4:(a). 12

6) Find the moments of inertia Ix , Iy , I0 for the lamina of exercise 2. 7) Suppose X and Y are random variables with joint density function 8 < 0:1e (0:5x+0:2y) , si x 0, y 0 f (x; y) = : 0 otherwise (a) Verify that f is indeed a joint density function. (b) Find the following probabilities. i) P (Y

1)

ii) P (X

2, Y

4)

(c) Find the expected values of X and Y . 9) Find the area of the surface. a) The part of the plane z = 2 + 3x + 4y that lies above the rectangle [0; 5] [1; 4]: b) The part of the plane 2x + 5y + z = 10 that lies inside the cylinder x2 + y 2 = 9: c) The part of the plane with vector equation ! r (u; v) = h1 + v, u 2v, 3 5u + vi

that is given by 0 u 1, 0 v 1. d) The part of the hyperbolic paraboloid z = y 2 x2 that lies between the cylinders x2 + y 2 = 1 and x2 + y 2 = 4: 10) The …gure shows the torus obtained by rotating about the z-axis the circle in the xy-plane with center (b; 0; 0) and radius a < b. Parametric equations for the torus are x = b cos + a cos cos , y = b sin + a cos sin , z = a sin where and of the torus.

are the angles shown in the …gure. Find the surface area

13