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• Sara Aguilar

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Aplicaciones de vectores en R2 y R3

RECTAS EN R2 Dos puntos distintos cualesquiera, P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en R2 (figura 5.6) determinan una línea recta cuya ecuación es ax + by + c = 0, (1) Donde a, b y c son números reales, y a y b no son simultáneamente cero. Como P1 y P2 pertenecen a la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuación (1): ax1 + by1 + c = 0 (2) ax2 + by2 + c = 0 (3) Ahora escribimos (1), (2) y (3) como un sistema lineal en las incógnitas a, b y c, con lo que obtenemos xa + yb + c = 0 x1a + y1b + c = 0 (4) x2a + y2b + c = 0. Buscamos una condición sobre los valores de x y y para que (4) tenga una solución no trivial a, b y c. Como (4) es un sistema homogéneo, tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero, esto es, si y sólo si

X Y X1 Y1 1

1 =0

X2 Y2 1 Ejemplo: Determinar ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por los puntos P0(2, 3, −4) y P1(3, −2, 5). Solución La recta que se busca es paralela al vector Ahora u = (3 − 2, −2 − 3, 5 − (−4)) = (1, −5, 9). Como P0 está en la recta, podemos escribir ecuaciones paramétricas de L, como x = −2 + t y = −3 − 5t −∞ < t < ∞

z = −4 + 9t. Ejemplo : Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0(−3, 2, 1) y es paralela al vector u = (2, −3, 4), son x = −3 + 2t y = −2 − 3t −∞ < t < ∞ z = −1 + 4t

PLANOS EN R3 Un plano en R3 puede determinarse mediante un punto en el plano y un vector perpendicular al plano. Este vector se denomina normal al plano. Para obtener una ecuación del plano que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y que contiene el vector no nulo n = (a, b, c) como normal, procedemos de la manera siguiente. Un punto P(x, y, z) está en el plano si y sólo o si el vector es perpendicular a n Por lo tanto, P(x, y, z) está en el plano si y sólo si n·P0P = 0 Como: P0P = (x − x0, y − y0,z − z0), podemos escribir como a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. Ejemplo: Determinar una ecuación del plano que pasa por el punto (3, 4, −3) y es perpendicular al vector n = (5, −2, 4). Al sustituir en a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0, obtenemos la ecuación del plano como 5(x − 3) − 2(y − 4) + 4(z + 3) = 0. Si multiplicamos a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 y simplificamos , puede rescribirse como ax + by + cz + d = 0.

Ejemplo: Determinar una ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, −2, 1), P2(−1, 0, 3) y P3(5, −3, 4). 2a − 2b + 3c + d = 0

−a − 3b + 3c + d = 0 5a − 3b + 4c + d = 0 Al resolver este sistema, tenemos a = 8/ 17r, b = 15/ 17r, c = − 3/17r, d = r, donde r es cualquier número real. Haciendo r = 17, obtenemos a = 8, b = 15, c = −3, d = 17. Por lo tanto, una ecuación para el plano descrito es 8x + 15y − 3z + 17 = 0. (11)

Ejemplo: La siguiente es una segunda solución para el ejemplo anterior. Procediendo como en el caso de una recta en R2 determinada por dos puntos distintos P1 y P2, es fácil demostrar que una ecuación del plano que pasa por los puntos no colineales P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3) es X

y

z 1

x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1

=0

x3 y3 z3 1

En este ejemplo, la ecuación del plano descrito es X 2

y

z

1

−2 1

1

−1

0

5

−3

3 4

1

=0

1

Ejemplo: Determinar ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos π1 : 2x + 3y − 2z + 4 = 0 y π2 : x − y + 2z + 3 = 0 Al resolver el sistema lineal formado por las ecuaciones π1 y π2, obtenemos x = −13/5 – 4/5t y = 2/5 + 6/5t

−∞ < t < ∞

z=0+t Tres planos en R3 pueden intersecarse en un plano, en una recta, en un solo punto, o bien no tener puntos en común. Es posible detectar estas posibilidades al resolver el sistema lineal formado por sus ecuaciones. Ejemplo: Determinar dos planos cuya intersección es la recta x = −2 + 3t y = −3 − 2t −∞ < t < ∞ z = −5 + 4t Primero determinamos las ecuaciones de la recta en forma simétrica, como x +2/3 = y −3/−2 = z −5/ 4 . Entonces, la recta dada es la intersección de los planos x +2/3 = y −3/−2 y x +2/3 = z −5/4 . En consecuencia, la recta dada es la intersección de los planos 2x + 3y − 5 = 0y4x − 3z + 23 = 0. Dos planos son paralelos o se intersecan en una línea recta. Son paralelos si sus vectores son normales.

Espacios Vectoriales Un espacio vectorial real es una terna formada por un conjunto V y dos operaciones, ⊕ y que satisfacen las siguientes propiedades:

β) Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c u está en V (es decir, V es cerrado bajo la operación ). (e) c (u ⊕ v) = c u ⊕ c v , para todo número real c y toda u y v en V. (f) (c + d) u = c u ⊕ d u , para todo número real c y d y toda u en V. (g) c (d u) = (cd) u , para todo número real c y d y toda u en V. α) Si u y v son elementos cualesquiera de V, entonces u cerrado bajo la operación ). (a) u v = v u, para u y v en V. (b) u (v w) = (u v) w, para u, v y w en V. (c) Existe un elemento 0 en V, tal que u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u, para toda u en V d) Para cada u en V existe un elemento –u en V, tal que u ⊕ −u = 0.

Ejemplo Considere el conjunto V de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0), y defina las operaciones ⊕ ycomo

x, y, 0) ⊕ (x , y , 0) = (x + x , y + y , 0) c (x, y, 0) = (cx, cy, 0). Sea F[a, b] el conjunto de todas las funciones con valores reales, definidas en el intervalo [a, b]. Si f y g están en V, definimos f ⊕ g como ( f ⊕ g)(t) = f (t) + g(t). Si f está en F[a, b] y c es un escalar, definimos c

Entonces, F[a, b] es un espacio vectorial (ejercicio 9). De manera similar, el conjunto de todas las funciones con valores reales definidas para todos los números reales, denotado mediante F(−∞, ∞), es un espacio vectorial.■ Otra de las fuentes de ejemplos de espacios vectoriales que analizaremos será los conjuntos de polinomios; por lo tanto, comenzaremos por recordar algunos conceptos relativos a ellos. Un polinomio (en t) es una función que puede expresarse como p(t) = antn + an−1tn−1 + • • • + a1t + a0, donde n es un entero ≥ 0 y los coeficientes a0, a1, . . . , an son números reales

Subespacios Sean V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Si W es un espacio vectorial con respecto a las operaciones en V, entonces W es un subespacio de V

Ejemplo Cada espacio vectorial tiene por lo menos dos subespacios: él

mismo, y el subespacio {0} que consta sólo del vector cero [recordemos que 0 ⊕ 0 = 0 y c 0 = 0 en cual quier espacio vectorial (vea el ejercicio 19 de la sección 6.1)]. El subespacio {0} es denominado el subespacio cero.■ Ejemplo: Sea W el subconjunto de R3 formado por todos los vectores de la forma (a, b,1), donde a y b son números reales cualesquiera. Para verificar si se cumplen las propiedades (α) y (β) del teorema 6.2, sean u = (a1, b1, 1) y v = (a2, b2, 1) vectores en W. Entonces u + v = (a1, b1, 1) + (a2, b2, 1) = (a1 + a2, b1 + b2, 2), que no está en W, ya que el tercer componente es 2 y no 1. Como (α) del teorema 6.2 no se cumple, W no es un subespacio de R3.■ A partir de lo anterior, resulta fácil demostrar que V es un espacio vectoria, ya que satisface todas las propiedades de la definición 1

Definición Sean v1, v2, . . . , vk vectores en un espacio vectorial V. Un vector v en V es una com binación lineal de v1, v2, . . . , vk si v = c1v1 + c2v2 + · · · + ckv para ciertos números reales c1, c2, . . . , ck. (Vea también la sección 1.3.)