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VECTORES EN R2 Y R3; MAGNITUD Y DIRECCION DE UN VECTOR. IGUALDAD Y OPERACIONES. ANGULO DE ENTRE DOS VECTORES PROYECCION DE UN VECTOR.

DEFINICION DE

VECTOR Un vector se define como un segmento dirigido lo que significa que, al ser un segmento se puede medir, y al ser dirigido tiene dirección y sentido. Dentro de este ámbito científico, y también de las Matemáticas, se hace necesario dejar patente que existe una gran variedad de vectores. De tal manera, que podemos hablar de fijos, paralelos, deslizantes, opuestos, concurrentes, libres o colineales, entre otros muchos más.

VECTORES EN R2 Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.

Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Módulo del vector Es la longitud del segmento AB, se representa por

.

Dirección del vector Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector El que va del origen A al extremo B.

VECTORES EQUIPOLENTES Dos vectores son equipolentes cuando igual módulo, dirección y sentido.

tienen

VECTOR LIBRE El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE COORDENADAS El vector del punto P.

que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición

COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector coordenadas del origen.

son las coordenadas del extremo menos las

MÓDULO DE UN VECTOR Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector coordenadas del origen.

son las coordenadas del extremo menos las

Si tenemos las componentes de un vector:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

VECTOR UNITARIO Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

SUMA DE VECTORES Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

REGLA DEL PARALELOGRAMO Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

RESTA DE VECTORES Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El producto de un número k por un vector De igual dirección que el vector Del mismo sentido que el vector De sentido contrario del vector De módulo

es otro vector:

. si k es positivo. si k es negativo.

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

COORDENADAS DEL BARICENTRO Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas. Las coordenadas del baricentro son:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

VECTORES EN R3 Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

VECTOR EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

COMPONENTES DE UN VECTOR Si las coordenadas de A y B son: A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

MÓDULO DE UN VECTOR El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos

VECTOR UNITARIO Un vector unitario tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo. OPERACIONES CON VECTORES EN EL ESPACIO SUMA Y RESTA DE VECTORES Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3) u - v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3) PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w Conmutativa u + v = v + u Elemento neutro u + 0 = u Elemento opuesto u + (-u) = 0 PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR El producto de un número real k ∈ℝpor un vector 𝑢 es otro vector: De igual dirección que el vector 𝑢. Del mismo sentido que el vector 𝑢 si k es positivo. De sentido contrario del vector 𝑢 si k es negativo. De módulo |k|. |u| Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector. u = (ku1, ku2, ku3) PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR Asociativa. (k’. u) = (k.k'). u Distributiva respecto a la suma de vectores k.(u+v) = k.u + k.v Distributiva respecto a los escalares (k+k'). u = k.u + k'u Elemento neutro 1.u = u