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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA CIVIL PRESENTADO POR: CATEDRATICO:

MATERIA: MATEMATICA IV

AGRADECIMIENTOS

INDICE:

QUEREMOS AGRADECER A NUESTROS PADRES POR PERMITIRNOS PARTICIPAR EN EL DESARROLLO DE ESTA EXPOSICION QE CONFORMA NUESTRA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCION: La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. Si la intuición o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan útil es ese modelo. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Con el uso de las soluciones conocidas, se puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones gráficas y tablas para poder comparar la teoría con lo obtenido de los experimentos. Puede, incluso, basar una investigación posterior en las interpretaciones de experimentos previos. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un problema aplicado.

I.

II.

OBJETIVOS 

Determinar experimentalmente el coeficiente de restitución del resorte



Obtener la ecuación del movimiento del resorte



Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical (flecha)



Relacionar el curso con la vida real.

de

Ecuaciones

Diferenciales

MARCO TEÓRICO a) Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.1 (b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza m1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = Ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado esencialmente por su número k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie. Segunda ley de Newton. Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2 (b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectado a un dispositivo amortiguador. Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre. En mecánica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

(I)

Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m1 y m2 son complejas:

Entonces, la solución general de la ecuación (l) es:

b) Deflexión de vigas La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:

Dónde:

Representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. La abscisa (eje X) sobre la viga. El momento flector sobre la abscisa . El segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal. El módulo de elasticidad del material. La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):

La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:

III. Procedimiento y resultados. a) Para hallar el coeficiente de resorte en forma experimental: Se midió la longitud de 11.7 cm ó 0.117 pesos que elongaron siendo F la fuerza resorte elongada, resultados:

fuerza (N) 29.43 66.22 39.54

Lo resorte (m)

0.117

b) Para determinar resorte

K

del

inicial del resorte, la cual es m, luego se colocaron distintas el resorte, como K = F / X, colocada y X la longitud del se obtuvieron los siguientes

Lf resorte (m) 0.172 0.243 0.191

la

restitución

X (m) 0.055 0.126 0.074

ecuación

del

K (N/m) 535.09 525.56 534.32

K promedio 531.66 N/m

movimiento

del

Consideramos el coeficiente de amortiguamiento del aire 3 N. s/m, y el coeficiente de restitución K = 531.66 N/m (valor obtenido experimentalmente). Como es un movimiento amortiguado libre, F(t) = 0. La ecuación diferencial planteada es: 7.05 y ' ' +3 y ' +531.66 y =0 La ecuación característica: 7.05 r 2+ 3r + 531.66=0 Como b^2-4ac = -14983.81 r1 = -0.213 + 122.41 i – 122.41 i 

y (t )=e−0.213 t ( a cos ( 122.41t ) +b sen (122.41 t )) R= √ a 2+ b2

δ = arc tan (b/a) y (t )=R . e−0.213t (cos ( 122.41 t ) +b sen ( 122.41t−δ ) )

,

r2 = -0.213

C) Para la viga:

∑ Fy = 0 2 F = 69.163 → F = 34.58 N

Tramo A – B (0 ≤ X ≤ 0.51)

M + 2.9 X (X/2) = 34.58 X M = 34.58 X – 1.45 X2 E . I . y’’ = 34.58 x – 1.45 x2

 

E . I . y’ = 17.29 x2 – 0. 48 x3 + C1 E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 + C1 x + C2

Como y’ (0.51) = 0 = 17.29 (0.51)2 – 0. 48 (0.51)3 + C1 Ensconces C1 = -4.43 Como y (0) = 0 → C2 = 0 

E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 -4.43 x

FLECHA MAXIMA:

y ( 0.51 )=

−1 (−1.5 ) E. I

y ( 0.51 )=

1 ( 1.5 ) E. I

0 .51 ¿ 3 5 .76 ( 0 . 51 ) −0 . 12(¿¿ 4−4 . 43 ( 0 . 51 )) 1 − y ( 0 .51 )= ¿ E.I

EJERCICIO 2 Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla bajo su propio peso, el cual es w por unidad de longitud. Encuentre la ecuación de su curva elástica. Formulación matemática: En la figura se muestra la curva elástica de la viga (línea punteada) relativa a un conjunto de ejes coordenados con origen en 0 y direcciones positivas indicadas; puesto que la viga está simplemente soportada en 0 y en B, cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso de la viga, o sea wL/2.

El momento flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado del punto P. Escogiendo el lado derecho de P, actuarían dos fuerzas: 1. La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de P, produciendo un momento positivo. 2. La fuerza hacia arriba wL/2, produciendo un momento negativo. En este caso el momento flector es:

a

una

distancia

L-x

de

P,

L−x wL M(x)=w(L-x)( ) (L-x) 2 2

=

wx 2

2

-

wLx 2

Con el valor de M(x), la ecuación fundamental es:

w x2 Ely´´= 2

-

wLx 2

Dos condiciones son necesarias para determinar y. Estas son, y = 0 en x = 0, y en x = L, puesto que la viga no tiene deformación en los extremos o apoyos. Solución:

wx Integrando dos veces Ely´´= 2 wL x 3 12

2

-

wLx 2

wx se obtiene Ely= 24

4

+ c1x + c2

wx Puesto que y = 0 cuando x = 0, tenemos c 2 = 0. De donde Ely= 24 -

-

wL x 3 12

4

+ c1x

Puesto que y = 0 cuando x = L, c1 = wL3 /24 y tenemos, finalmente:

w

Y= 24 EI (x4 – 2Lx3 + Lx3) Como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de interés

w

práctico usar la solución final Y= 24 EI (x4 – 2Lx3 + Lx3) para hallar la máxima deflexión. De la simetría o por el cálculo, el máximo ocurre en x = L/2, de donde la flecha máxima será: 4

Ymax=

5w L 384 EI

EJERCICIO 3 Un peso P estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de longitud por debajo de la posición de

equilibrio y se suelta aplicándole una fuerza externa dada por = f(t)=AcosBt Describir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso está en la posición de equilibrio (x = 0) y que su velocidad inicial es cero. Formulación matemática: La ecuación diferencial que describe el movimiento es, por tanto

P d2 x g dt 2 =-kx+F(t) Puesto que inicialmente (t = 0) el peso está x2 por debajo de la posición de equilibrio, tenemos x=x2 en t = 0. También, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en t = 0,

dx dt =0 en t=0 Solución: Como f(t)=AcosBt contiene una función de los términos cosBt, con lo que podemos utilizar el método de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular. Ensayando

como

solución

particular

xp=C1senBt

+

C2cosBt

de

(

P 2 D + K ¿ x=F (t ) g Xp=c1senBt + c2cosBt

X´p=Bc1cosBt – Bc2senBt

X´´p=- B

2

c1senBt -

B 2 c2cosBt Sustituyendo en la ecuación

P g x´´+Kx=F(t) calculamos el valor de

las constantes c1, c2 y por tanto la solución particular. 2

La solución complementaria de

Pd x g dt 2 =-kx+F(t) sería Xc=AcosBt +

BsenBt con lo que la solución general será de la forma: X=Xc + Xp= AcosBt + BsenBt + c1senBt + c2cosBt

Usando las condiciones iniciales, podemos observar una solución será cuando A = B = 0 de donde podemos sacar que: X= c1senBt + c2cosBt podríamos determinar el gráfico siguiente:

El gráfico de la ecuación X= c1senBt + c2cosBt está entre los gráficos de x = t y x = -t como se muestra en la figura. Se puede ver en el gráfico que las oscilaciones van creciendo sin límite. Naturalmente, el resorte está limitado a romperse dentro de un corto tiempo. En este ejemplo, el amortiguamiento fue ignorado, ocurriendo la resonancia porque la frecuencia de la fuerza externa aplicada fue igual a la frecuencia natural del sistema no amortiguado. Esto es un principio general. En el caso donde ocurre amortiguamiento las oscilaciones no crecen sin límite, pero sin embargo pueden llegar a ser muy grandes, la resonancia en este caso ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa aplicada es ligeramente menor que la frecuencia natural del sistema.