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• Karol Tisoc

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA INTRODUCCION: Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que nos permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio (Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio), cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual sea la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. La idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio en la segunda variable. Esta idea fue posible gracias a Carnot seguido de León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall. Esta innovación se conoce como revolución marginalista.

Las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio y producción total COSTE TOTAL Coste: El coste de un producto es el gasto económico que representa la fabricación de un producto o la producción de un servicio. COSTE MARGINAL Costo marginal: Es el aumento en el coste total que se produce cuando la cantidad producida total varia, apareciendo una o más cantidades adicionales, esta variación siempre tiene que ser mínima. Función --> Derivada del Coste Total ->C'(x) EJEMPLOS Una empresa estima que el coste de producción por bienes es C(x) = 2600 +2x + 0,001x2 Coste: Para hallar el coste usamos la función del corte c(x) metiendo el dato dado -->x=2000 C(2000)= 2600 + 2(2000) + 0,001(2000)2 C(x) = 10600 u.m Coste marginal: Usamos la derivada del coste -->C(x) C'(x) = 2 + 0,002x C'(x) = 2 + 0,002 . 2000 C'(x) = 6 u.m INGRESOS TOTALES: Ingresos Totales: es la cantidad de dinero que recibe una empresa por la venta de sus productos o servicios.

Función Ingresos Totales --> P(x)

P es Precio Bn o Sv X es Nº de Bn o Sv vendidos

INGRESO MARGINAL: Ingreso Marginal: es la variación que se produce en los ingresos totales cuando la cantidad total de bienes y servicios vendidos aumentan en una o varias cantidades adicionales. Función Ingreso Marginal --> Derivada de la función de Ingreso Total --> I´(x) BENEFICIO TOTAL: Es la ganancia o beneficio obtenido al llevar a cabo una actividad económica. Se calcula restando a los Ingresos que produce la actividad económica, los costes de la misma. Función --> Bº(x) = I(x) - C(x) BENEFICIO MARGINAL: Beneficio Marginal: representa la ganancia adicional obtenida si la cantidad de bienes producidos o servicios prestados varia en un pequeño incremento. Función --> Bº´(x) EJEMPLOS: Imaginemos que estudiamos 4 días a la semana y la media de sus exámenes es un 7 entonces decide para mejorar sus notas estudiar un día más y su media pasa a un 7.5. Su beneficio marginal es 0.5 pues es la diferencia que hay al estudiar un día mas es decir al realizar una actividad adicional tiene un beneficio del 0.5 PROBLEMAS APLICACION DE DERIVADAS EN ECONOMIA PROBLEMA 1 Un hotel tiene 71 habitaciones y la tarifa es de 180 euros cada noche. El jefe se da cuenta de que cada 20 euros de aumento en la tarifa se desocupa una habitación si el mantenimiento cuesta 40 euros. ¿Cuantas habitaciones deben ocuparse para obtener la máxima ganancia? Solución (71-x) = número de habitaciones ocupadas X = Nº habitaciones desocupadas. Ingresos Totales = (71-x)(180+20x) Costes :40(71-x) Beneficios = (71-x)(180+20x) - 40(71-x) 9940+1280x-20x2 Beneficio Marginal Para calcular el máximo beneficio hay que hacer la derivada

B´=1280-40x 1280-40x=0 X=32 Sustituimos con las tres opciones x 0,71, 32 0 32 31 F(0) = 9940$ F(32) = 30420$ F(71) = 0$ PROBLEMA 2: La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la bolsa funciona 30 días por mes, responde a la siguiente ley. C(x)= x3 – 45x2 + 243x + 30000 C = Cotizaciones X = Nº de Días a) ¿Cuál ha sido la cotización en bolsa el segundo día? C(2) = 23 – 45 . 22 + 243 . 2 + 30000 2º Día Cotización en la Bolsa de la empresa Cotización = 30314 $ b) Determina los días que alcanza las cotizaciones máximas y mínimas. C´(x)= 3x2 - 2 . 45x + 243 3x2 – 90x + 243 = 0 soluciones X1= 27 X2= 3 c) Calcula esas cotizaciones máximas y mínimas. Máximos C(3) = 33 – 45 . 32 +243 . 3 + 30000 C(3)= 30351 $ Mínimos C(27) = 273 – 45 . 272 + 243 . 27 + 30000 C(27) = 23439 $ PROBLEMA 3 Una persona ha invertido acciones en una empresa durante 10 años. El valor de su cartera de acciones (dinero invertido + beneficios/perdidas obtenidos) viene dado por la expresión. F(x) = (x-2)2 . (1-2x) + 252x +116 (0