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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGERNIERIA QUIMICA

CURSO: Calculo II TEMA: Aplicaciones de la integral multiple ALUMNAS: Flores Valdivia, Flor de Maria Huaraca Tantane, Mónica Margareth Fabiola DOCENTE: AREQUIPA-PERU 2017

APLICACIONES DE LA INTEGRAL MULTIPLE OBJETIVOS:   

Identificar el área o volumen a hallar, con la respectiva gráfica y la correcta resolución. Establecer los fundamentos necesarios para la interpretación y aplicación de la integral doble y triple. Ser capaces de utilizar la integral doble en el cálculo de áreas, volúmenes, centro de masa.

INTRODUCCION: 𝑏

En el estudio de las integrales ordinarias ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, la función f(x) es definida en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], y las aplicaciones en la vida diaria como podremos reconocer se da también en el calculo de un área durante su recorrido, etc. Ahora estudiaremos las integrales dobles y triples de las funciónes f(x,y) definida sobre una región R, al cual denotaremos por ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 y la integral triplede la funcion f(x,y,z) denotada por ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, respectivamente y las aplicaciones de estas que son en el área de una región plana, volumen de solidos (integral doble) y en el caso de las integrales triples el volumen de solidos. Existen casos donde es necesario aplicarlo en la vida cotidiana de un profesional, sea ingeniero, matemático o arquitecto veremos ejercicios para fortalecer el aprendizaje. MARCO TEORICO: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. o 1.

EN EL CALCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES POR INTEGRALES DOBLES Consideremos la función f: D ⊂ R2→R, continua sobre la región cerrada D.El volumen del solido S bajo la superficie z = f(x,y), que tiene como base la región D es dado por la expresión: V(s) =∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

2.

Consideremos la función f: D ⊂ R2→R, continua en la región cerrada D, tal que: f(x,y) = 1, ∀(x,y) ∈ D, entonces el área de la región plana D es dado por: A (D)= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓𝑑𝐴

EJEMPLOS: Ejemplo 1. Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles:

Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales x= y2-2y y x =4-y2 , tal como se puede observar en la siguiente figura.

a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 es necesario definir los límites de integración, que se ilustran. Por tanto el área se obtiene como:

Ejemplo 2. Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la limitan y calcule su área empleando las integrales dobles:

y

Solución: Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:

a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral doble∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 , se necesita saber que valor toma la variable x a la entrada y salida de la región.