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Tema 12

Aplicaciones de la integral. 12.1

´ Areas de superficies planas.

12.1.1

Funciones dadas de forma expl´ıcita.

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 10, parece razonable la siguiente definici´ on: Definici´ on 12.1 – Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on continua y positiva, y consideremos la regi´on R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y la gr´afica de f (fig 12.1). Entonces el ´area de la regi´on R est´ a definida por

a

f (x)dx.

.c om

A(R) =

Z b

m

at

ic a1

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos ofrecen aproximaciones por “defecto” y por “exceso” del ´area encerrado por la curva y = f (x). Si la funci´on es integrable, el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiores coinciden, luego ese valor debe de ser el valor del ´area.

at e

y = f (x)

ww

w.

M

R

a

b

Fig. 12.1. 2

Ejemplo 12.2 – Calcular el ´area de la regi´on limitada por la curva f (x) = x3 + 1, los ejes coordenados y la recta x = 3. Soluci´ on: La funci´on es positiva en todo IR. En particular, lo es en el dominio de integraci´ on y, por tanto, el valor del ´area que buscamos vendr´ a dado por A(R) = En nuestro caso, como F (x) = Barrow para obtener que A(R) =

Z 3Ã 2 x 0

3

x3 9

Z 3 0

f (x)dx.

+ x es una primitiva de f en [0, 3], basta aplicar la regla de !

Ã

+ 1 dx =

!#3

x3 +x 9

= (3 + 3) − (0 + 0) = 6, 0

nos ofrece el ´area del recinto R de la figura. Integral de una variable.

139

´ de superficies planas. 12.1 Areas

2

f (x) = x3 +1

1

R x=3

Cuando la funci´on f : [a, b] −→ IR que limita R, es continua y negativa, es decir, f (x) ≤ 0, para todo x ∈ [a, b], se tiene que

Z b a

f (x)dx ≤ 0, por lo que este valor no representa el ´area de

R como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el ´area de la regi´on R coincide con el ´area de la regi´on R0 determinada por la funci´on −f (fig 12.2), por lo que, teniendo en y = −f (x)

R0 a

om

b

a1

.c

R

ic

y = f (x)

em

at

Fig. 12.2.

cuenta las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definici´on.

ww

w.

M

at

Definici´ on 12.3 – Sea f : [a, b] −→ IR una funci´on continua y negativa. Consideremos la regi´on R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y la gr´afica de f . Entonces el ´area de la regi´on R est´a definida por A(R) =

Z b a

−f (x)dx = −

Z b a

f (x)dx.

Observaci´ on 12.4 – Es claro entonces que para calcular el ´area de regiones planas debe analizarse el signo de la funci´on en el intervalo de integraci´ on. De no hacerlo as´ı, la parte negativa de la funci´ on “restar´a” el ´area que encierra del ´area encerrado por la parte positiva. Contraejemplo.- Hallar el ´area encerrado por la funci´on f (x) = sen x, en el intervalo [0, 2π]. El valor

Z 2π 0

sen xdx = − cos x

el ´area encerrada por la curva.

i2π 0

= (− cos(2π)) − (− cos 0) = 0, es claro que no representa

R1 π

R2

2π

Ahora bien, teniendo en cuenta que la funci´on sen x es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π], el valor real del ´area encerrado ser´a por tanto A(R) = A(R1 ) + A(R2 ) =

Integral de una variable.

Z π 0

sen xdx +

Z 2π π

iπ

− sen xdx = − cos x

0

i2π

+ cos x

π

= 2 + 2 = 4.

140

´ de superficies planas. 12.1 Areas

Ejemplo 12.5 – Hallar el ´area determinada por la curva f (x) = (x−1)(x−2), las rectas x = 0, x = 25 y el eje de abcisas. Soluci´ on: f (x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en el resto. Luego 2

f (x) = (x−1)(x−2)

R1

R3

R2 2

1

A(R) = Como F (x) =

x3 3

−

3x2 2

Z 1 0

f (x)dx +

Z 2 1

2.5

Z

−f (x)dx +

5 2

2

f (x)dx.

+ 2x es una primitiva de f (x) en [0, 25 ], = 67 .

5−4+5+5−4 6

a1

.c o

m

A(R) = (G(1) − G(0)) − (G(2) − G(1)) + (G( 25 ) − G(2)) =

f (x)dx−

a

Z b

0dx =

a

em

a

Z b

(f (x)−0)dx y A(R) =

Z b a

0dx−

Z b a

f (x)dx =

Z b a

(0−f (x))dx,

M at

A(R) =

Z b

at ic

En las definiciones anteriores puede considerarse, que el ´area calculado esta encerrado por la funci´on y = f (x) y la funci´on y = 0, cuando la f es positiva, y por la funci´on y = 0 y la funci´ on y = f (x), cuando la f es negativa. En ambos casos, se tiene que

ww w.

es decir, que el ´area encerrado por ambas funciones es la integral de la funci´on mayor menos la integral de la funci´on menor. En general, se tiene entonces que Si f, g : [a, b] −→ IR son funciones continuas, con f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces, si R es la regi´on del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y las gr´aficas de f y g , el ´area de R se obtiene como A(R) =

Z b a

f (x)dx −

Z b a

g(x)dx =

Z b³ a

´

f (x) − g(x) dx.

En efecto, si las funciones verifican que 0 ≤ g(x) ≤ f (x), es claro que el ´area encerrado por f y g es el ´area encerrado por f menos el ´area encerrado por g (fig. 12.3), es decir, A(Rf −g ) = A(Rf ) − A(Rg ) =

Z b a

f (x)dx −

Z b a

g(x)dx.

Si alguna de ellas toma valores negativos, el ´area entre ambas, R, es el mismo que si le sumamos a cada funci´on una constante C que las haga positivas y, por tanto, el ´area R es el ´area R0 encerrado por f + C menos el ´area encerrado por g + C (fig. 12.3), es decir, A(Rf −g ) = A(Rf +C ) − A(Rg+C ) = =

Z b a

f (x)dx +

Z b a

Cdx −

Z b a Z b a

(f (x) + C)dx − g(x)dx −

Z b a

Z b a

(g(x) + C)dx

Cdx =

Z b a

f (x)dx −

Z b a

g(x)dx.

Observaciones 12.6 – Integral de una variable.

141

´ de superficies planas. 12.1 Areas

y = f (x)+C

R0 y = g(x)+C

y = f (x)

R a

b

y = g(x)

Fig. 12.3.

? Las definiciones son ampliables para a = −∞ y/´ o b = +∞ cuando tenga sentido, es decir, cuando las integrales impropias correspondientes sean convergentes.

A(R) =

at ic a1

.c o

m

? De forma an´aloga, si la regi´on est´a limitada por funciones x = f (y), x = g(y) y las rectas y = c e y = d, siendo g(y) ≤ f (y) para todo y ∈ [c, d], el ´area de la regi´on puede encontrarse mediante la f´ormula Z d³ c

´

f (y) − g(y) dy.

ecuaciones y 2 + 8x = 16

y 2 − 24x = 48.

at

e

em

Ejemplo.- Calcular el ´area de la regi´on acotada comprendida entre las par´abolas de

24

x = f (y)

ww

w.

M

√

x = g(y)

R

√ − 24

2

y x = f (y) = Las par´abolas pueden escribirse como x = g(y) = 16−y 8 de corte de ambas par´abolas son las soluciones de la ecuaci´on √ y 2 − 48 16 − y 2 = =⇒ y = ± 24. 8 24 √ √ Como en el intervalo [− 24, 24] es f (y) ≤ g(y), se tiene que A(R) =

Z √24 16−y 2 √ − 24

Integral de una variable.

8

dy −

Z √24 2 y −48 √ − 24

24

dy =

Z √24 Ã √ − 24

y2 4− 6

!

Ã

y 2 −48 24 .

y3 dy = 4y− 18

Los puntos

!#√24 √ − 24

=

16 √ 24. 3 142

´ de superficies planas. 12.1 Areas

12.1.2

Funciones dadas de forma param´ etrica.

Estudiaremos ahora el caso en que la curva y = f (x) en [a, b] viene dada por las ecuaciones param´etricas. ( x = ϕ(t) . y = ψ(t) Si f es positiva (si f es negativa o cambia de signo se escribir´a lo correspondiente), el ´area encerrado por f es A(R) =

Z b a

f (x)dx.

Como x = ϕ(t) e y = ψ(t) tenemos que y = f (x) = f (ϕ(t)) = ψ(t)

dx = ϕ0 (t)dt,

y

luego usando este cambio de variable en la integral, se tiene que A(R) =

Z b a

f (x)dx =

Z t2 t1

f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt =

Z t2 t1

ψ(t)ϕ0 (t)dt,

.c o

m

donde ϕ(t1 ) = a y ϕ(t2 ) = b. En consecuencia, puede calcularse el ´area encerrado por la curva dada en param´etricas usando estas ecuaciones, –naturalmente teniendo en cuenta el signo de y = ψ(t)–.

at

ic

a1

Observaci´ on: Los extremos de integraci´ on t1 y t2 aparecen al efectuar el cambio de variable, y est´an asociados respectivamente a a y b, con a ≤ b, por lo que puede ser tanto t1 ≤ t2 como t1 ≥ t2 seg´ un el caso (de hecho y respectivamente, seg´ un que el signo de x0 = ϕ0 (t) sea positivo o negativo en el intervalo).

em

(

at

Ejemplo 12.7 – Hallar el ´area encerrado por la curva

x = cos t , con t ∈ [0, 2π]. y = sen t

A(R+ ) =

Z 1 −1

ww

w.

M

Soluci´ on: El ´area pedida, es el ´area del c´ırculo de radio 1. Cuando y ≥ 0, haciendo el cambio x = cos t, para el cu´al dx = − sen tdt con 1 = cos 0 y −1 = cos π , tenemos que y(x)dx =

Z 0 π

sen t(− sen t)dt =

Z π 0

sen2 tdt =

Z π 1 − cos 2t 0

2

dt =

π 2

Cuando y ≤ 0, con el mismo cambio se obtiene 1 = cos 2π y −1 = cos π , de donde A(R− ) = −

Z 1 −1

y(x)dx = −

Z 2π π

sen t(− sen t)dt =

Z 2π π

sen 2t t sen tdt = − 2 4 2

¸2π

= π

π 2

Observaci´ on 12.8 – El ejemplo anterior subraya el comentario hecho en la observaci´ on previa sobre los extremos de integraci´ on. Si, directamente, decimos que el valor de A(R+ ) es Z π

0

sen t(− sen t)dt estamos cometiendo un error, pues esta integral se obtiene de Z π 0

sen t(− sen t)dt =

Z −1 1

y(x)dx

y el valor calculado no es el del ´area, sino Z π 0

sen t(− sen t)dt =

Z −1 1

y(x)dx = −

Z 1 −1

y(x)dx = −A(R+ ).

T´engase presente, que si bien en este caso es claro que basta con cambiar el signo para obtener el valor buscado, en general, pueden aparecer varios t´erminos en el c´alculo del ´area de forma que el resultado final no haga sospechar el error cometido. Integral de una variable.

143

´ de superficies planas. 12.1 Areas

12.1.3

Funciones dadas de forma polar.

Por u ´ltimo estudiaremos el caso de curvas dadas en coordenadas polares. Consideremos una curva dada en coordenadas polares por la ecuaci´on r = f (θ)

α

r = f (θ)

at ic

β

a1

.c

om

donde f es continua y sea S el sector comprendido entre los ´angulos θ = α, θ = β y la gr´ afica de la funci´on. Con un desarrollo an´alogo al realizado en la construcci´on de la integral definida para funciones dadas expl´ıcitamente, podemos definir sumas superiores e inferiores y la integrabilidad, a trav´es de particiones del intervalo angular [α, β] considerando las ´areas de los correspondientes sectores circulares (el ´area de un sector circular de radio r y ´angulo θ viene dado por 2θ r2 ), como puede observarse en la figura 12.4.

em

Fig. 12.4.

S(f, Pn , E) =

n X i=1

ww

w.

M

at

La expresi´on del ´area mediante una integral en funci´on del ´angulo, se obtiene de forma m´as intuitiva si consideramos las sumas de Riemman asociadas a este proceso de integraci´ on, es decir, dada una partici´on de [α, β], P = {α = θ0 , θ1 , . . . , θn−1 , θn = β}, y cualquier elecci´on de E , tenemos que (f (ei ))

2 4θi

luego, tomando particiones

2

cada vez m´ as finas

→

Z β α

(f (θ))2

dθ . 2

Hemos pues, introducido la siguiente definici´on: Definici´ on 12.9 – Sea f : [α, β] −→ IR continua. El ´area de la regi´on S del plano limitada por la curva r = f (θ) y las rectas que forman un ´angulo α y un ´angulo β con el eje se abcisas positivo, (fig. 12.5), viene dada por la integral 1 A(S) = 2

Z β α

f 2 (θ)dθ.

h12.1i

Si r = f (θ) y r = g(θ) son dos curvas dadas en coordenadas polares, donde f, g : [α, β] −→ IR son continuas con g(θ) ≤ f (θ), para todo θ ∈ [α, β] y S es el sector comprendido entre los angulos θ1 = α, θ2 = β y las gr´aficas de las funciones r = f (θ) y r = g(θ) (fig. 12.6), se tendr´a ´ que Z Z Z ´ 1 b 2 1 β³ 2 1 β 2 f (θ)dθ − g (θ)dθ = f (θ) − g 2 (θ) dθ. A(S) = 2 α 2 a 2 a

Integral de una variable.

144

´ de superficies planas. 12.1 Areas

r = f (θ)

S β α Fig. 12.5. r = f (θ)

S

r = g(θ)

β

a1

.c

om

α

ic

Fig. 12.6.

ww

w.

M

at

em

at

Observaci´ on 12.10 – Tambi´en puede llegarse a la f´ormula h12.1i mediante razonamientos geom´etricos y un cambio de variable sobre la integral en coordenadas cartesianas. Si observamos la figura 12.5 –y supuesto por comodidad que para cada valor de x no existe as que un valor de y –, en coordenadas cartesianas la funci´on r = f (θ), se expresa por ( m´ y = f (θ) sen θ , con θ ∈ [α, β], luego x ∈ [f (β) cos β, f (α) cos α]. x = f (θ) cos θ As´ı mismo, la recta de ´angulo α tiene por expresi´on yα = (tg α)x, cuando x ∈ [0, f (α) cos α], y la recta de ´angulo β , yβ = (tg β)x, cuando x ∈ [0, f (β) cos β]. Por tanto, el ´area de S ser´a el area encerrado por las gr´aficas de las funciones de x, es decir, ´ A(S) =

Z f (β) cos β 0

yβ dx +

Z f (α) cos α f (β) cos β

ydx −

Z f (α) cos α 0

yα dx = I1 + I2 − I3 .

Calculando directamente I1 e I3 , se tiene que I1 = I3 =

Z f (β) cos β 0

Ã

(tg β)xdx = tg β

Z f (α) cos α 0

x2 2

!#f (β) cos β

= tg β 0

1 f 2 (β) cos2 β = f 2 (β) sen β cos β, 2 2

1 (tg α)xdx = f 2 (α) sen α cos α. 2

Para calcular I2 , hacemos el cambio de variable x = f (θ) cos θ , para el cu´al se tiene que dx = (f 0 (θ) cos θ − f (θ) sen θ)dθ , luego A(S) = I1 +

Z f (α) cos α f (β) cos β

= (I1 − I3 ) −

Integral de una variable.

Z α β

ydx − I3 = (I1 − I3 ) + f 2 (θ) sen2 θdθ +

Z α β

Z α β

f (θ) sen θ(f 0 (θ) cos θ − f (θ) sen θ)dθ

f (θ)f 0 (θ) sen θ cos θdθ

145

umenes de cuerpos s´olidos. 12.2 Vol´ (

)

)

(

du = cos2 θ − sen2 θdθ 2 = → v = f 2(θ) ¸α Z Z α 1 2 1 α 2 2 2 f (θ)(cos2 θ − sen2 θ)dθ = (I1 − I3 ) − f (θ) sen θdθ + f (θ) sen θ cos θ − 2 2 β β β Z Z α 1 α 2 f (θ)(1 − 2 sen2 θ)dθ = (I1 − I3 ) − f 2 (θ) sen2 θdθ + (I3 − I1 ) − 2 β β Z Z α Z α 1 α 2 f (θ)dθ + f 2 (θ) sen2 θdθ =− f 2 (θ) sen2 θdθ − 2 β β β Z 1 β 2 f (θ)dθ. = 2 α u = sen θ cos θ dv = f (θ)f 0 (θ)dθ

Ejemplo 12.11 – Hallar el ´area encerrada por la cardioide r = a(1 + cos θ). Soluci´ on: El ´area encerrada es el ´area del sector S limitado por la curva r = a(1 + cos θ) cuando θ ∈ [0, 2π]. Por tanto, Z

Z

µ

¶

1 2π 2 a2 2π 1 + cos 2θ a (1 + cos θ)2 dθ = 1 + 2 cos θ + dθ 2 0 2 0 2 µ ¶¸ a2 a2 θ sen 2θ 2π 3πa2 θ + 2 sen θ + + = (2π + π) = . = 2 2 4 2 2 0

at ic

a1

.c

om

A(S) =

r = a(1+cos θ)

at

em

a

ww

w.

M

2a

12.2

−a

Vol´ umenes de cuerpos s´ olidos.

Trataremos ahora de calcular el volumen de un s´olido S . Para ello supongamos que esta colocado en los ejes coordenados de IR3 y que los extremos del s´olido en la direcci´on del eje de abcisas se toman en los valores x = a y x = b. Consideremos para cada x ∈ [a, b] que A(x) representa el area de la intersecci´ ´ on del cuerpo con un plano perpendicular al eje de abcisas (fig. 12.7). Entonces, para cada partici´on P = {a = x0 , x1 , ..., xn = b} del intervalo [a, b], sean mi = inf{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1 }

y

Mi = sup{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1 },

el inferior y el superior de los valores de las ´areas A(x) de las secciones del s´olido entre xi−1 y xi . Definimos suma superior e inferior asociadas al s´olido S y la partici´on P en la forma U (A, P ) =

n X i=1

Integral de una variable.

Mi 4xi

y

L(A, P ) =

n X

mi 4xi ,

i=1

146

umenes de cuerpos s´olidos. 12.2 Vol´

S

A(x2)

A(x1)

A(x3)

a x = x1

x = x2

b

x = x3

a1

.c

om

Fig. 12.7. Secciones del s´olido.

at ic

Fig. 12.8. Vol´ umenes por exceso y por defecto.

ww

w.

M

at

em

donde cada t´ermino de las sumas representa el volumen de un cuerpo con ´area de la base mi ´o Mi y altura xi −xi−1 = 4xi . Por tanto, ambas sumas corresponden a volumenes que aproximan por exceso y por defecto, respectivamente, al verdadero volumen de S (fig 12.8). Considerando todas las particiones de [a, b] y razonando de forma an´aloga a como se hizo en el Tema 2, para la construcci´on de la integral de Riemann, estamos en condiciones de dar la siguiente definici´on: Definici´ on 12.12 – Sea S un s´olido acotado comprendido entre los planos x = a y x = b. Para cada x ∈ [a, b], sea A(x) el ´area de la secci´on que produce sobre S el plano perpendicular al eje de abcisas en el punto x. Si A(x) es continua en [a, b] definimos el volumen de S como V (S) =

Z b a

A(x)dx.

Nota: Podemos dar definiciones an´alogas si tomamos secciones perpendiculares al eje y o al eje z. La definici´on es ampliable para a = −∞ y/´ o b = +∞ cuando tenga sentido. Ejemplo 12.13 – Hallar el volumen del s´olido S = {(x, y, z) ∈ IR3 : x, y, z ≥ 0; x + y + z ≤ 1}. Soluci´ on: El s´olido S es la parte del primer octante limitada por el plano x + y + z = 1, es decir, el tetraedro (pir´amide de base tri´angular) cuyas caras son los planos coordenados y el plano x + y + z = 1. Las secciones formadas por planos perpendiculares al eje x son tri´angulos y su . area, para cada x, es A(x) = base(x)×altura(x) ´ 2 Para cada angulo es la coordenada y de la recta intersecci´on de ( x de [0, 1], la base del tri´ x+y+z =1 los planos , luego base(x) = y = 1 − x. La altura es la coordenada z de la z=0 Integral de una variable.

147

umenes de cuerpos s´olidos. 12.2 Vol´

1 z = 1−x

A(x)

1

1 (

recta intersecci´ on de los planos (1−x)(1−x) 2

y

V (S) =

12.2.1

x+y+z =1 , luego altura(x) = z = 1 − x. Por tanto, y=0

Z 1 0

A(x)dx =

Z 1 (1 − x)2

2

0

1 dx = 2

Ã

Vol´ umenes de revoluci´ on.

(1 − x)3 − 3

!#1

= 0

11 1 = 23 6

.c om

A(x) =

y = 1−x

at ic

a1

Un caso particular de gran importancia de la definici´on anterior es el de los s´ olidos de revoluci´ on. Supongamos dada una funci´on f : [a, b] −→ IR y consideremos la regi´on R de la figura 12.1. La rotaci´on de ´esta alrededor del eje de abcisas produce un s´olido S para el cual, cada secci´on es un c´ırculo y por tanto, su ´area ser´a

M at

Por tanto se tendr´a que

em

A(x) = πf 2 (x). Z b a

f 2 (x)dx.

w.

V (S) = π

ww

Ejemplo 12.14 – Hallar el volumen de la esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ 4. Soluci´ on: La esfera es claramente un s´olido de revoluci´ on. El circulo m´aximo, intersecci´ on de la esfera 2 2 con el plano y = 0, tiene por ecuaci´on (en el plano xz ) √ x + x = 4, luego basta girar la superficie encerrada por la semicircunferencia superior, z = √4 − x2 , para obtener la esfera. Para cada secci´on en x ∈ [−2, 2], el ´area es A(x) = π( 4 − x2 )2 = π(4 − x2 ). Luego el volumen buscado es V (S) = π

Z 2 −2

à 2

(4 − x )dx = π

x3 4x − 3

!#2

=π −2

32 4 = π23 , 3 3

como ya sab´ıamos. Observaci´ on: Si en el ejemplo anterior, giramos la superficie encerrada por toda la circunferencia x2 + z 2 = 4, obtendremos como resultado el doble del volumen de la esfera. Es claro, pues si girando el semic´ırculo superior engendramos toda la esfera, tambi´en girando el semic´ırculo inferior engendramos la esfera; en consecuencia, el volumen obtenido es el volumen de dos esferas. Observaciones 12.15 –

Integral de una variable.

148

umenes de cuerpos s´olidos. 12.2 Vol´

? An´alogamente, si tenemos una funci´on x = f (y) y hacemos rotar su gr´afica alrededor del eje de ordenadas, el volumen del s´olido ser´a

a1

donde c y d son los extremos de variaci´ on de y .

m

c

f 2 (y)dy.

.c o

V (S) = π

Z d

a

2

f (x)dx − π

Z b

at

V (S) = π

Z b

em

at

ic

? En el caso m´as general, los vol´ umenes de los cuerpos engendrados por la rotaci´on de una figura limitada por las curvas continuas y = f (x), y = g(x) (donde 0 ≤ g(x) ≤ f (x) ´o f (x) ≤ g(x) ≤ 0) y por las rectas x = a e x = b alrededor del eje de abcisas es

a

2

g (x)dx = π

Z b³ a

´

f 2 (x) − g 2 (x) dx.

M

Nota: Si sucede que g(x) ≤ 0 ≤ f (x), al girar alrededor del eje de abcisas la superficie

ww w.

comprendida entre las gr´aficas, debe tenerse en cuenta u ´nicamente la superficie (por encima o por debajo del eje de giro) de mayor radio de giro, pues el volumen que engendra al girar la parte mayor contiene al volumen engendrado por la parte menor. Es decir, si |g(x)| ≤ |f (x)| se gira s´olo la parte superior y si |g(x)| ≥ |f (x)| se gira la parte inferior. Lo que ocurre en este caso, es similar a lo que se apuntaba al final del ejemplo 12.14. 12.2.1.1

Curvas en param´ etricas.

(

x = ϕ(t) , el volumen se obtiene y = ψ(t) realizando el correspondiente cambio de variable x = ϕ(t), dx = ϕ0 (t)dt.

Si la funci´on viene dada por sus ecuaciones param´etricas

V (S) = π donde

Z b a

2

y (x)dx = π

Z t2 t1

2

ψ (t)d(ϕ(t)) = π

Z t2 t1

ψ 2 (t)ϕ0 (t)dt

ϕ(t1 ) = a y ϕ(t2 ) = b.

Ejemplo 12.16 – Hallar el volumen interior de la esfera engendrada al girar alrededor del eje ( x = 2 cos 2t de abcisas la semicircunferencia , con t ∈ [0, π2 ]. y = 2 sen 2t Soluci´ on: Integral de una variable.

149

12.3 Longitudes de arcos.

Haciendo el cambio de variable x = 2 cos 2t, para el cu´al dx = −4 sen 2tdt, se tiene que V (S) = π

Z 2 −2

= 24 π 12.2.1.2

2

y (x)dx = π

Z π 0

Z 0 π 2

Z 2

(2 sen 2t) (−4 sen 2t)dt = π Ã

(sen 2t − sen 2t cos2 2t)dt = 24 π

π 2

0

24 sen3 2tdt

− cos 2t cos3 2t + 2 6

!# π 2

= 24 π

0

4 4 = 23 π . 6 3

Curvas en polares.

Si la curva viene dada en coordenadas polares r = f (θ), el volumen se obtiene girando el sector limitado por la curva y las rectas de ´angulos α y β . Teniendo en cuenta que en coordendas cartesianas, las rectas son y = (tg α)x e y = (tg β)x, y la funci´on se decribe por y = f (θ) sen θ y x = f (θ) cos θ , se calcula el volumen de forma an´aloga a como se hizo para el ´area en la observaci´ on 12.10. Es decir, V (S) = π

Z a 0

(tg β)2 x2 dx + π

Z b a

y 2 (x)dx − π

Z b 0

(tg α)2 x2 dx =

2π 3

Z β α

f 3 (θ) sen θdθ,

donde f (β) cos β = a y f (α) cos α = b.

M

Longitudes de arcos.

ww w.

12.3

at em

at

ic

a1

.c

om

Ejemplo 12.17 – Hallar el volumen interior de la esfera engendrada al girar la semicircunferencia r = 2, con θ ∈ [0, π], alrededor del eje polar. Soluci´ on: En cartesianas es y = f (θ) sen θ = 2 sen θ y x = f (θ) cos θ = 2 cos θ , luego teniendo en cuenta ´esto y haciendo el cambio de variable x = 2 cos θ , para el cu´al dx = −2 sen θdθ , se tiene que Z 2 Z 0 Z π 4 2 2 3 V (S) = π y (x)dx = π (2 sen θ) (−2 sen θ)dθ = 2 π sen3 θdθ = 23 π . 3 −2 π 0

La integral definida se puede usar tambi´en para encontrar la longitud de una curva. En este caso, construiremos una f´ormula cuando la funci´on viene dada por sus ecuaciones param´etricas y, como casos particulares de ´esta, obtendremos f´ormulas para las expresiones en cartesianas y polares.

12.3.1

Curva dada en param´ etricas.

Para describir este proceso, llamaremos Pt = (ϕ(t), ψ(t)) al punto de la curva correspondiente a cada t de [α, β], Entonces, si Pc y Pd son dos puntos de la curva denotaremos por Pd c Pd a la parte de la curva entre los puntos Pc y Pd y lo denominaremos arco entre Pc y Pd . Su longitud la representamos por |Pd c Pd |. Si tomamos una partici´on P = {α = t0 , t1 , ..., tn = β} del intervalo [α, β] la recta quebrada, formada por los n segmentos rectilineos Pti−1 Pti , IP = Pt0 Pt1 ∪ Pt1 Pt2 ∪ · · · ∪ Ptn−1 Ptn , es una aproximaci´ on del arco defecto de la longitud del arco

Pd on por α Pβ y, por tanto, la longitud de IP es una aproximaci´ d Pα Pβ . Es decir,

n r³ n ¯ ¯ X ¯ ¯ ´2 ³ ´2 X ¯ ¯ ¯ ¯ ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) + ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) ≤ ¯Pd |IP | = ¯Pti−1 Pti ¯ = α Pβ ¯ . i=1 Integral de una variable.

h12.2i

i=1

150

12.3 Longitudes de arcos.

Pxi−1

Pxn

Px0

Pxi

a

b Fig. 12.9.

Adem´ as, si Q es una partici´on m´as fina que P se tiene que |IP |¯≤ |IQ |, ¯pues¯ si c es¯ un¯ punto¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ de Q que no est´a en P , c ∈ [ti−1 , ti ] para alg´ un i y, por tanto, ¯Pti−1 Pti ¯ ≤ ¯Pti−1 Pc ¯ + ¯Pc Pti ¯ (fig. 12.10). Entonces, tomando particiones cada vez m´as finas esperamos que ocurra |IP | −→ ¯ ¯ ¯ d ¯ ¯Pα Pβ ¯ . Por el teorema del valor medio de Lagrange aplicado a las funciones ϕ(t) y ψ(t) en [ti−1 , ti ], tenemos ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ei )(ti − ti−1 ) = ϕ0 (ci )4ti

ic a1 .c

om

para alg´ un ci ∈ (ti−1 , ti ), y

ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (zi )(ti − ti−1 ) = ψ 0 (zi )4ti para alg´ un zi ∈ (ti−1 , ti ), de donde h12.2i pasa a ser

at

n q X

at em

(ϕ0 (ci )4ti )2 + (ψ 0 (zi )4ti )2 =

|IP | =

(ϕ0 (ci ))2 + (ψ 0 (zi ))2 4ti .

i=1

P ti

w.

M

i=1

n q X

ww

Pti−1 Pti Pc Pti Pti−1 Pc Pc

Pti−1 Fig. 12.10.

Por otra parte, como ϕ0 y ψ 0 son continuas en [α, β], la funci´on g(t) = Z β p

es continua y, por tanto, integrable en [α, β]. Es decir, existe

p

(ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2

(ϕ0 (t)) + (ψ 0 (t))2 dt. Si

α

consideramos las sumas de Riemann asociadas a esta funci´on, tenemos que S(g, P, E) =

n q X

(ϕ0 (ei ))2

+

(ψ 0 (ei ))2 4ti

Z βq

tomando particiones

→

m´ as finas

i=1

(ϕ0 (t)) + (ψ 0 (t))2 dt,

α

por lo que esperamos que se verifique tambi´en que |IP | =

n q X

(ϕ0 (ci ))2

i=1 Integral de una variable.

+

(ψ 0 (zi ))2 4ti

tomando particiones m´ as finas

−→

Z βq α

(ϕ0 (t)) + (ψ 0 (t))2 dt. 151

12.3 Longitudes de arcos.

Se establece as´ı la siguiente definici´on: (

x = ϕ(t) , con y = ψ(t) t ∈ [α, β], siendo ϕ(t) y ψ(t) derivables con derivada continua, entonces la longitud de la curva viene dada por

Definici´ on 12.18 – Si una curva viene dada por sus ecuaciones param´etricas,

¯ ¯

¯ ¯

L = ¯Pd α Pβ ¯ =

Z βq

(ϕ(t))2 + (ψ(t))2 dt.

α

(

Ejemplo 12.19 – Hallar la longitud de un arco de la cicloide

x = a(t − sen t) y = a(1 − cos t).

Soluci´ on: En un arco de la cicloide, t ∈ [0, 2π], luego y 0 = a sen t y x0 = a(1 − cos t), luego Z 2π q

L=

0

=a

Z 2π 0

t | sen |dt = 2a 2

+

(a sen t)2 dt

=

Z 2π q

a 2(1 − cos t)dt =

0

µ

Z π

t t sen dt = 2a −2 cos 2 2

0

¶¸π

0

t a sen2 dt 2

= 4a. 0

m

Curva dada en expl´ıcitas.

Z 2π r

.c o

12.3.2

(a(1 −

cos t))2

m at ic

a1

Si en polares una curva tiene por ecuaci´on expl´ıcita y = f (x), donde f tiene derivada continua y a definida en [a, b]. dicha curva se expresa en coordenadas param´etricas de la forma ( est´ x = t = ϕ(t) , con lo que ϕ0 (t) = 1 y ψ 0 (t) = f 0 (t), luego y = f (t) = ψ(t) ¯ ¯

¯ ¯

Z bq

at e

L = ¯Pd a Pb ¯ =

1 + (f 0 (x))2 dx.

a

3

ww

w.

M

Ejemplo 12.20 – Determinar la longitud del arco de la gr´afica de f (x) = x 2 sobre el intervalo [0, 4]. Soluci´ on: 1 f es continua en [0, 4] y f 0 (x) = 23 x 2 es tambi´en continua en [0, 4], luego L=

12.3.3

Z 4r 0

³

1+

3 21 2x

´2

Z 4 √ 1

dx =

0

3

(4 + 9x) 2 4 + 9xdx = 2 27

#4 0

3

3

40 2 − 4 2 = . 27

Curva dada en polares.

Si en coordenadas polares una curva tiene por ecuaci´on r = f (θ), donde f tiene derivada continua y est´a definida entre los valores extremos α y β del ´angulo polar, dicha curva se expresa en coordenadas param´etricas de la forma (

x = f (θ) cos θ = ϕ(θ) , y = f (θ) sen θ = ψ(θ)

(

con

ϕ0 (θ) = f 0 (θ) cos θ − f (θ) sen θ , ψ 0 (θ) = f 0 (θ) sen θ + f (θ) cos θ

luego L=

Z βq α

(f 0 (θ) cos θ

Integral de una variable.

−

f (θ) sen θ)2

+

(f 0 (θ) sen θ

+

f (θ) cos θ)2 dθ

=

Z βq α

(f 0 (θ))2 + (f (θ))2 dθ.

152

´ de una superficie de revoluci´on. 12.4 Area

Ejemplo 12.21 – Hallar la longitud total de la curva r = a sen3 3θ , con a > 0. Soluci´ on: Como r = a sen3 3θ y el seno es peri´odico de periodo 2π , basta para recorrer la curva con tomar un periodo (si tomamos m´as se sobre escribe la curva), es decir 3θ ∈ [0, 2π], luego θ ∈ [0, 6π]. Ahora bien, como r es siempre positivo la funci´on no tiene sentido si a sen3 3θ < 0 por lo que ha de ser sen 3θ ≥ 0, es decir, θ ∈ [0, 3π]. En consecuencia, toda la curva queda descrita al variar θ de 0 a 3π . Entonces, como f (θ) = a sen3 3θ y f 0 (θ) = a sen2 3θ cos 3θ , se tiene

que

12.4

0

´

1 − cos 2θ 3 dθ =

=

Z 3π q 0

a2 sen4 3θ dθ

.c om

Z 3π ³

+

a2 sen6 3θ dθ

´i3π a³ 3aπ θ − 23 sen 2θ . = 3 0 2 2

=

Z 3π 0

a sen2 3θ dθ

a1

a 2

cos2 3θ

at em at

=

0

a2 sen4 3θ

ic

L=

Z 3π q

´ Area de una superficie de revoluci´ on.

M

El ´area de una superficie engendrada por la rotaci´on alrededor del eje de abcisas del arco de curva f (x) entre x = a y x = b, donde f admite derivada continua, se expresa por la f´ormula

ww

w.

S = 2π

Z b a

q

f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx.

Cuando la ecuaci´on de la curva se da de otra forma, el ´area de la superficie se obtiene a partir de la ecuaci´on anterior efectuando los correspondientes cambios de variable (comentados en el c´alculo de los vol´ umenes de revoluci´ on), obteni´endose: S = 2π (

cuando

Z β α

q

ψ(x) (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt,

x = ϕ(t) , con t ∈ [α, β]. Y y = ψ(t) S = 2π

Z β α

q

f (θ) sen θ (f (θ))2 + (f 0 (θ))2 dθ,

cuando r = f (θ), con θ ∈ [α, β]. Ejemplo 12.22 – Calcular el ´area de la superficie esf´erica x2 + y 2 + z 2 = 4. Soluci´ on: √ La esfera es una superficie de revoluci´ on obtenida al girar el arco de curva y = 4 − x2 en el intervalo [−2, 2]. Luego S = 2π

Integral de una variable.

Z 2 p −2

4−

s

x2

1+

µ

−x √ 4 − x2

¶2

dx = 2π

Z 2 −2

2dx = 16π.

153

12.5 Ejercicios.

Ejemplo 12.23 – Calcular area de la superficie esf´erica engendrada al girar alrededor del eje ( el ´ x = 2 cos t OX la curva dada por , con t ∈ [0, π]. y = 2 sen t Soluci´ on: S = 2π

Z π 0

q

2 sen t

(−2 sen t)2

+

(2 cos t)2 dt

= 2π

Z π 0

4 sen tdt = 16π.

Ejemplo 12.24 – Calcular el ´area de la superficie esf´erica engendrada al girar alrededor del eje OX la curva en polares dada por r = 2, con θ ∈ [0, π]. Soluci´ on: S = 2π

12.5

Z π 0

2 sen θ

p

22

+ 0dθ = 2π

Z π 0

4 sen θdθ = 16π.

Ejercicios.

12.1 Comprobar que el ´area encerrado por la curva f (x) = pxn , con x ∈ [0, a] y n ∈ IN, es af (a) n+1 .

a1

.c om

12.2 Calcular el ´area de la regi´on del primer cuadrante limitada por las curvas x2 + y 2 = 3, y = 21 x2 y x = 21 y 2 . ex 1+ex

,

at

ic

12.3 Calcular el ´area de la regi´on del semiplano x ≥ 0 limitada por las curvas f (x) = 1 y la recta x = 1. g(x) = 2(x2 +x+1) x2 a2

m

at e

+

y2 b2

= 1. √ √ 12.5 Calcular el ´area encerrada por la curva y = 1 − x2 + arcsen x y el eje de abcisas.

12.4 Hallar el ´area encerrado por la elipse

M

12.6 Hallar el ´area contenida en el interior de la astroide x = a cos3 t, y = b sen3 t.

ww w.

12.7 Hallar el ´area de la superficie comprendida entre el eje OX y un arco de la cicloide x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t). 12.8 Hallar el ´area encerrado por la curva, en polares, r = a cos 2θ . 12.9 Dadas las curvas en polares r = 3 cos θ y r = 1 + cos θ . Hallar el ´area del recinto com´ un a ambas. 12.10 Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y = abscisas.

a3 x2 +a2

y el eje de

12.11 Hallar el ´area que determinan las gr´aficas de las funciones f (x) = ch x y g(x) = | sh x|. Hallar el volumen que genera el ´area limitada por las funciones anteriores entre x = 0 y x = 1 al girar alrededor del eje de abscisas. 12.12 La recta x = 2 divide al c´ırculo (x − 1)2 + y 2 ≤ 4 en dos partes. Calcular el volumen del s´olido generado al girar alrededor de la recta x = 2 la parte de mayor ´area. q

3

x , plantear mediante integrales dos formas distintas de calcular el 12.13 Dada la curva y = 1−x ´area comprendida entre la curva, la recta x = 1 y el eje de abscisas. Hacer lo mismo para el volumen del s´olido que se obtiene al girar la superficie sobre la recta x = 1. Resolver esas integrales utilizando las ecuaciones param´etricas de la curva: x = sen2 t, y = sen2 t tg t, con t ∈ [0, π2 ). Integral de una variable.

154

12.5 Ejercicios.

12.14 Hallar el volumen del elipsoide

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

12.15 Hallar el volumen del segmento del paraboloide el´ıptico plano x = a.

y2 2p

+

z2 2q

= x interceptado por el

12.16 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja los planos z = 0 y z = h.

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

=1 y

12.17 Hallar el volumen del cuerpo limitado por los cilindros: x2 + z 2 = a2 e y 2 + z 2 = a2 . 12.18 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies z = x2 y z = 1 − y 2 a partir del ´area de las secciones del cuerpo por planos paralelos al plano z = 0. 12.19 Calcular el volumen de cada una de las partes en que queda dividido un cilindro circular recto de radio 2 y de altura 8 por un plano que, conteniendo un di´ametro de una de las bases, es tangente a la otra base.

.c om

12.20 Sobre las cuerdas de la astroide x2/3 + y 2/3 = 22/3 , paralelas al eje OX , se han construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las cuerdas y los planos en que se encuentran son perpendiculares al plano XY . Hallar el volumen del cuerpo que forman estos cuadrados.

at

ic

a1

12.21 Un c´ırculo deformable se desplaza paralelamente al plano XZ de tal forma, que uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY y el centro recorre la elipse 2 x2 + yb2 = 1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por el desplazamiento de dicho a2 c´ırculo.

w.

M

at

em

12.22 El plano de un tri´angulo m´ovil permanece perpendicular al di´ametro fijo de un c´ırculo de radio a. La base del tri´angulo es la cuerda correspondiente de dicho c´ırculo, mientras que su v´ertice resbala por una recta paralela al di´ametro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del c´ırculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el movimiento de este tri´angulo desde un extremo del di´ametro hasta el otro.

ww

12.23 Sea S el recinto del plano limitado por la par´abola y = 4 − x2 y el eje de abscisas. Para cada p > 0 consideramos los dos recintos en que la par´abola y = px2 divide a S , A(p) = {(x, y) ∈ S : y ≥ px2 } y B(p) = {(x, y) ∈ S : y ≤ px2 }. a) Hallar p para que las ´areas de A(p) y B(p) sean iguales. b) Hallar p para que al girar A(p) y B(P ) alrededor del eje de ordenadas obtengamos s´olidos de igual volumen. 12.24 Hallar el per´ımetro de uno de los tri´angulos curvil´ıneos limitado por el eje de abscisas y las curvas y = ln | cos x| e y = ln | sen x|. 12.25 Hallar la longitud del arco de la curva x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t). 12.26 Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arqu´ımedes r = aθ . 12.27 Hallar el ´area de la superficie del toro engendrado por la rotaci´on del c´ırculo (x−b)2 +y 2 = a2 , con b > a, alrededor del eje OY . 12.28 Hallar el ´area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t) alrededor: a) del eje OX ; b) del eje OY ; c) de la tangente a la cicloide en su punto superior.

Integral de una variable.

155