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• Marco Camacho

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U NIDAD IV

A PLICACIONES

DE LA INTEGRAL

En la actualidad la aplicación del Cálculo integral se ha generalizado en diversas áreas del conocimiento, tales como Ciencias Químicas, Ciencias Económico-Administrativas, Ciencias Físico-Matemáticas, etc., interviniendo en diversos aspectos; por ejemplo, en el cálculo de velocidades, aceleraciones, áreas, volúmenes y sólidos; cambios en las reacciones químicas y en transformaciones de la materia, en el crecimiento bacterial, en el voltaje de una corriente eléctrica, en las utilidades o pérdidas de una empresa, en los gustos y preferencias de los consumidores, en transformaciones en el crecimiento poblacional, entre otros.

En esta unidad se tratará de mostrar la aplicación y utilidad de los conceptos abordados hasta el momento. Nos enfocaremos como primera instancia en aplicaciones de geometría, para después introducirnos un poco en aplicaciones físicas.

4.1. Longitud de curvas Una aplicación geométrica de la integral definida es el cálculo de la longitud de arco de una curva. Cuando una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos decimos que es rectificable en dicho intervalo, bajo la condición de que la función posea derivada contínua en el mismo. Lo que haremos es aproximar un arco (trozo de curva) por medio de segmentos de recta cuya longitud está dada por la fórmula de la distancia d=

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .

83

4.1. Longitud de curvas

Sea la función f contínua en el intervalo cerrado [a, b]. Consideremos la gráfica de la ecuación y = f (x) dada en la figura 4.1. La porción de la curva del punto A = (x0 , y0 ) al punto B = (xn , yn ) se llama arco. y y = f (x) B b

A b

a

x

b

Figura 4.1: Arco de la gráfica y = f (x) Dado que es imposible hacer que un segmento rectilíneo coincida con un arco de curva, no podemos medir las líneas curvas de la misma manera que las rectas. Entonces procedemos como sigue. Dividimos el arco de la curva en n segmentos de recta, como se muestra en la figura 4.2, tenemos que ∆ es la partición correspondiente de [a, b], tal que, a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b y (x3 , y3 ) (x2 , y2 ) b

b

(x4 , y4 )

b

b

(x1 , y1 ) (x0 , y0 )

(xn , yn ) b

b

x0 x1 x2 x3 x4

xn

x

Figura 4.2: Partición del arco de la gráfica y = f (x) La longitud total de esos segmentos rectilíneos es:

84

p

(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 +

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + · · · +

p

(xn − xn−1 )2 + (yn − yn−1 )2 MC. Lucía Marisol Valdés González

4. Aplicaciones de la integral

Siendo ∆xi = xi − xi−1 y ∆yi = yi − yi−1 , se estima la longitud total de la gráfica de f entre a

y b por

L≈

n p X

(∆xi )2 + (∆yi )2

i=1

Tomando en el lado derecho el límite k∆k → 0 cuando n → ∞, determinamos que la gráfica de

f entre a y b tiene longitud

L = l´ım

n→∞

= l´ım

n→∞

n p X

(∆xi )2 + (∆yi )2

i=1

n X i=1

s

1+



∆yi ∆xi

2

∆xi

Dado que f ′ es contínua, el teorema del valor medio es aplicable a f , de manera que existe algún ci en (xi−1 , xi ) tal que

f (xi ) − f (xi−1 ) = f ′ (ci )(xi − xi−1 ) de manera equivalente, ∆yi = f ′ (ci ) ∆xi

Por lo que escribimos, L = l´ım

n→∞

n q X

1 + [f ′ (ci )]2 (∆xi )

i=1

o bien L=

Z bq a

1 + [f ′ (x)]2 dx

El valor de L es llamado longitud de arco de f entre a y b.

MC. Lucía Marisol Valdés González

85

4.1. Longitud de curvas

Definición 4.1.1 (Longitud de arco). Si y = f (x) tiene derivada f ′ contínua en [a, b], la longitud de arco de f entre a y b viene dada por Z bq L= 1 + [f ′ (x)]2 dx

(4.1)

a

Ejemplo 4.1.1. Hallar la longitud de arco de la recta y = 3x en el intervalo [0, 1].

Solución: Dado que f (x) = y = 3x, entonces f ′ (x) = 3 y la longitud del arco resulta,

y = 3x

4

b

3

L=

(1, 3)

=

1

b

(0, 0)1

2

Z

0

1p

sustituyendo en (4.1)

1 + (3)2 dx

1√

simplificando

10 dx i1 √ = 10 x 0 √  √  = 10 (1) − 10 (0) √ = 10

2

−1

Z

3

0

integrando evaluando la integral

−1

Por lo tanto la longitud de arco de la curva y = 3x es

√

10.

2

Ejemplo 4.1.2. Hallar la longitud de arco de la curva y = x 3 del punto (1, 1) al punto (8, 4).

2

1

Solución: Puesto que f (x) = y = x 3 , f ′ (x) = 23 x− 3 , la longitud de arco es,

Z

8

Z

8

1 = 3

Z

L=

1

=

1

86

s

1+

s

9x 3 + 4

8 1



2 1

3x 3

2

dx

sustituyendo en (4.1)

2

2

común denominador

1

simplificando

9x 3 q 2 9x 3 + 4 x3

MC. Lucía Marisol Valdés González

4. Aplicaciones de la integral 1

2

Esta integral se resuelve por cambio de variable, hacemos u = 9x 3 + 4, entonces du = 6x− 3 dx; ahora cambiamos nuestros límites de integración, cuando x = 1 ⇒ u = 13 y cuando x = 8 ⇒ u = 40, por consiguiente,

1 L= 18

Z

40

1 = 18



2 3 u2 3

=

1

sust. y completando la integral

u 2 du

13

40

por (2.9)

13

i 3 3 1 h (40) 2 − (13) 2 27

evaluando la integral

= 7.6

2

y = x3 b

4

(8, 4)

3

2

1

−1

MC. Lucía Marisol Valdés González

b

1

(1, 1) 2

3

4

5

6

7

8

87

4.2. Cálculo de áreas

4.2.

Cálculo de áreas

Otra aplicación de la integral en la geometría, es en el cálculo de áreas. Como ya se había mencionado, la integral definida nos proporciona un método para calcular el área de cualquier región plana, sin embargo es hasta ahora que comenzaremos a estudiar de manera formal el procedimiento para encontrar dicha área.

Para empezar, hay que tomar en cuenta si nuestra función es positiva f (x) > 0 o negativa f (x) ≤ 0, en el intervalo a integrar, dado que cuando se tiene una función negativa en dicho

intervalo, la integral definida es negativa y esta cantidad no representa su área como medida de magnitud positiva.

La figura 4.3 muestra la gráfica de la función y = f (x), la cuál es negativa en el intervalo [a, b] y la figura 4.4 representa la gráfica de y = −f (x), lo cual nos da la función positiva en el mismo intervalo.

y

a

b x

y = f (x)

Figura 4.3: Gráfica de la función y = f (x) ≤ 0 y

y = −f (x)

a

x

b

Figura 4.4: Área bajo la curva y = −f (x) 88

MC. Lucía Marisol Valdés González

4. Aplicaciones de la integral

Observando la figura 4.3 es claro que el área de la región limitada por y = f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b, es la misma que la de la región limitada por y = −f (x), las rectas x = a y x = b y el eje x, en la figura 4.4. Entonces por lo anterior y tomando en cuenta

la propiedad (3.3) el área de y = f (x) ≤ 0 está dada por, Z

b a

−f (x) dx = −

Z

b

f (x) dx

a

Como sabemos −f (x) = |f (x)| en [a, b], lo que nos lleva a la siguiente definición.

Definición 4.2.1. Si y = f (x) es contínua en [a, b], entonces el área S limitada por su gráfica, el eje x y las rectas x = a y x = b está determinada por, S=

Z

b a

(4.2)

|f (x)| dx

Ejemplo 4.2.1. Determinar el área limitada por la gráfica y = x3 , el eje x y las rectas x = −2 y x = 1. Solución: Por (4.2.1) y (4.2) tenemos que el área de la función está dada por, S=

Z

1 −2

3 x dx

Ahora graficamos la función original para determinar en que intervalos la función es negativa, graficamos también la función y = x3 para observar cuál es el área a calcular. 2 1 8 −2 −1 −1

1

2

7 6

−2 5 −3 4 −4 3 −5 2 −6 1 −7 −8

−2 −1 −1

1

2

Figura 4.5: Gráficas de y = x3 y y = x3 MC. Lucía Marisol Valdés González

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4.2. Cálculo de áreas

Como se puede ver en la primera gráfica de la figura 4.5 x3 < 0 para x < 0, por lo tanto tenemos que

|f (x)| =

  −x3   x3

−2 ≤ x < 0 0≤x