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• Ricardo Jesús Vázquez Bacadare

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Algunas aplicaciones de la derivada

Lic. Elsie Hernández S.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Algunas aplicaciones de la derivada

●

●

● ● ●

Estudio de la variación de funciones ❍ Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada ❍ Valor máximo y valor mínimo de una función ❍ Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función Concavidad y puntos de inflexión ❍ Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función Trazo de curvas Resolución de problemas de máximos y mínimos: Software ❍ Cálculo de derivadas ❍ Resolver ecuaciones (para puntos críticos)

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Lic. Elsie Hernández S.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estudio de la variación de funciones Además de la utilización de la derivada para el cálculo de ciertos límites, (Regla de L'Hôpital), es posible, por medio de ella, obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráficamente.

Subsecciones: ● ● ●

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada Valor máximo y valor mínimo de una función Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función.

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Lic. Elsie Hernández S. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Software

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada Sea f una función continua con ecuación

, definida en un intervalo

La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo

.

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1. Creciente en los intervalos

,

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node2.html (1 de 7)27/11/2005 01:02:26 a.m.

.

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2. Decreciente en los intervalos

,

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece. Note además que en los puntos

,

y

la recta tangente es

horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

Teorema 1

Sea f una función continua en un intervalo cerrado abierto

y derivable en el intervalo

.

1. Si

para toda x en

, entonces la función f es creciente en

2. Si

para toda x en

, entonces la función f es decreciente en

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos: 1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación . http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node2.html (2 de 7)27/11/2005 01:02:26 a.m.

. .

Algunas aplicaciones de la derivada

.

Para ello calculemos la primera derivada de Como

, o sea si

, entonces f es creciente para

Como

, o sea si

, entonces f es decreciente para

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node2.html (3 de 7)27/11/2005 01:02:26 a.m.

. .

Algunas aplicaciones de la derivada

con

.

La derivada de f está dada por

Como

que puede escribirse como

es positivo para toda x en

entonces:

y

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node2.html (4 de 7)27/11/2005 01:02:26 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Luego:

si

por lo que la función f crece en el

intervalo

.

Además:

si

de donde la función f decrece en el

intervalo

.

La representación gráfica de la función es la siguiente:

3. Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación , con

La derivada de f es

.

.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node2.html (5 de 7)27/11/2005 01:02:26 a.m.

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Como

es mayor que cero para x en para todo x en

,

,

, y además

entonces

, por lo que la función f es decreciente para x en

. La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

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Lic. Elsie Hernández S.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor máximo y valor mínimo de una función Si f es una función dada, entonces intervalo abierto

tal que

es un valor máximo relativo de f, si existe un y

para

, siendo x un valor

del dominio de la función. Si

para toda x en el dominio de f, entonces

es el valor máximo de f o

máximo absoluto. Similarmente, abierto Si

es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo

tal que

y

para

, con x en el dominio de f.

para toda x en el dominio de f, entonces se dice que

es el valor

mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto. Ejemplo:

Considere una función f definida en un intervalo

, cuya representación gráfica es la

siguiente:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (1 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Note que

, es un máximo relativo y

es el máximo valor que toma la función

en el intervalo en que está definida.

Similarmente, función en

es un valor mínimo relativo y

es el mínimo absoluto de la

.

Teorema 2

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si es un valor máximo relativo de f y si existe Prueba: al final del capítulo.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (2 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

entonces

.

Algunas aplicaciones de la derivada

Ejemplo:

Considere la función f definida por

Su representación gráfica es la siguiente:

Puede observarse que cuando x toma el valor de máximo. En este caso

entonces la función tiene un valor

es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: .

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (3 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Según el teorema anterior debe cumplirse que En efecto, como

es igual a cero.

, al sustituir x por -2 se obtiene que , que era lo que quería comprobarse.

Teorema 3

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si relativo de f y si

existe, entonces

.

La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo: Considere la función f definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (4 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

es un valor mínimo

Algunas aplicaciones de la derivada

Note que la función f tiene un valor mínimo en

dado por

es el vértice de la parábola con ecuación De acuerdo con el teorema Como

debe cumplirse que

entonces

. El punto .

sea igual a cero. y se verifica lo enunciado respecto

al valor mínimo. Observación: El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que sea igual a cero, no implica que en

exista un máximo o un mínimo.

Por ejemplo, para la función f con ecuación

, se tiene que

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (5 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

,y

Algunas aplicaciones de la derivada

si

; sin embargo, en

no hay ni un valor máximo ni un valor

mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

Definición

Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que es igual a cero o en los que no existe.

Ejemplo: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (6 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

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Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones: a.

,

b.

,

Solución: a. Como Ahora:

, entonces si y solo si

o sea si

, ó,

, ó,

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

b. Como

Luego

entonces

, de donde

Por lo tanto el valor crítico de f es Note que aunque

se indefine en

si y solo si

, o sea, si

. , como este valor no pertenece al

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html (7 de 8)27/11/2005 01:02:31 a.m.

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dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función. Observación: Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un valor será un valor crítico de x para la función f si: a.

ó

b.

no existe ó

c. c es un extremo del intervalo k.

En este último caso, si

entonces "a" y "b" son valores críticos. Si

entonces "a" es un valor crítico. Si es un valor crítico. Si

, o si

o si entonces "b"

, entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los

valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).

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Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

Teorema 4

Sea f una función continua en un intervalo cerrado punto del intervalo abierto

.

Sea c en

o

tal que

, que es derivable en todo

no existe.

a. Si

es positiva para todo

, y negativa para todo

es un valor máximo relativo de

, entonces

.

b. Si

es negativa para toda es un mínimo relativo de

, y positiva para toda .

c. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (1 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

, entonces

Algunas aplicaciones de la derivada

Si

es positiva para todo es negativa para todo

y también lo es para todo y a su vez para todo

; o si

, entonces

no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de

.

Prueba: Al final del capítulo.

Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:

Máximo relativo en

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (2 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

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Mínimo relativo en

En

no hay ni máximo ni mínimo relativo.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (3 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

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En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el teorema anterior. 1.

Note que f está definida para Como

entonces

Los valores críticos son Determinemos ahora cuándo Como

si y solo si

,ó

.

, y , x=-2. y cuándo

.

, se deben resolver las desigualdades: ,

. Nos ayudamos con la tabla siguiente:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (4 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

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Como

para

y

para

entonces

es un

valor mínimo. Como

para

y

para

máximo. La representación gráfica de la función es la siguiente:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (5 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

entonces

es un valor

Algunas aplicaciones de la derivada

Note que

es un mínimo relativo y que

el dominio de la función.

2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (6 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

es un máximo relativo, en

Algunas aplicaciones de la derivada

En este caso

Luego, Además,

(¡Compruébelo!)

si y solo si no existe si

Los valores críticos de f son Como

, ó, . ,

es positivo para todo , y cuando

,

. entonces para determinar cuando

, basta con analizar la expresión

Utilizamos la siguiente tabla:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (7 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

.

Algunas aplicaciones de la derivada

i. para

Como

y como f es continua sobre ese intervalo,

es creciente sobre

entonces

por lo que

si

.

en un valor mínimo relativo de f.

Por lo tanto ii. para

Como .

y

para

, entonces

es un valor máximo relativo de f.

iii. Como

si

y como f es continua sobre , y por tanto

decreciente sobre

cuando

es un valor mínimo relativo de f. 3.

,

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (8 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

entonces f es . Luego

Algunas aplicaciones de la derivada

Se tiene que

(¡Compruébelo!)

Ahora,

si y solo si

es decir, si ,

,

, estos últimos por ser extremos

, y,

,

, y,

Los valores críticos de f son del intervalo. Como positivas para todo

.

entonces el signo de

son expresiones

estará determinado por la

variación de x. Luego se tiene:

i. Como

para

decreciente sobre

y f es continua en . Luego

para

un máximo relativo de f. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html (9 de 11)27/11/2005 01:02:38 a.m.

entonces f es ,y

es

Algunas aplicaciones de la derivada

ii. para

Como

y

para

, entonces

es un mínimo relativo de f. iii. Como

para

. Luego

y f es continua en para

y

entonces f es creciente en es un máximo relativo de f.

Ejercicio: Hacer un estudio similar para:

a.

b.

c.

,

;

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Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

Definición de concavidad

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada

la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo

A. En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (1 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Teorema 5

cuando

Si f es una función tal que cóncava hacia arriba sobre

, entonces la gráfica de f es

.

Demostración:

y como

Si

, entonces se tiene que

es creciente sobre

por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre

.

Teorema 6

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (2 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

cuando

Si f es una función tal que cóncava hacia abajo sobre

, entonces la gráfica de f es

.

Demostración:

, y como

De la hipótesis: decreciente sobre

, se obtiene que

es

por lo que según la definición dada sobre concavidad, la

gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre

.

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación

Si

entonces

Luego,

si

Como

y, , entonces

pues en ellos

, y,

si

.

es creciente en los intervalos

es positiva. Además

,

es decreciente en el intervalo

pues en el

es negativa. Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo en el intervalo

.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (3 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

y cóncava hacia abajo

Algunas aplicaciones de la derivada

La representación gráfica de la función

es la siguiente:

Representación gráfica de la función

Observe que

es creciente en

y

y decreciente en

Representación gráfica de la función f:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (4 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

.

Algunas aplicaciones de la derivada

Representación gráfica de la función f

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos abajo en el intervalo

y cóncava hacia

.

Damos ahora la definición de punto de inflexión

Definición

Se dice que un intervalo

es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe tal que

, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre

, y cóncava hacia abajo sobre

, o viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (5 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Ejemplos: 1. El punto

es un punto de inflexión de la curva con ecuación

pues

es positiva si

hacia arriba para

, y negativa si

, y cóncava hacia abajo para

Gráficamente se tiene:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (6 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

,

, de donde f es cóncava .

Algunas aplicaciones de la derivada

2. Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que

por lo que

Resolvamos las desigualdades

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (7 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Como

si

entonces la gráfica de f es cóncava hacia

arriba en esos intervalos. La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo

Luego los puntos

y

pues en él

.

son puntos en los que cambia la concavidad y por

tanto son puntos de inflexión. La gráfica de la función f es la siguiente:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (8 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (9 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella. Teorema 7

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (10 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Si

es un punto de inflexión de la gráfica de f y si

existe, entonces

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplo: Considere la función f con ecuación

. .

La segunda derivada de f es Note que

si

, y,

si

Luego, f es cóncava hacia arriba para

Se tiene entonces que

, y cóncava hacia abajo para

es un punto de inflexión.

Evaluando la segunda derivada de f en

resulta que

con lo que se

verifica lo expresado en el teorema anterior. En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.

Teorema 8

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (11 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

Si: i. f es una función continua sobre un intervalo I, ii. es un punto interior de I tal que

,ó

existe, y

iii. Si existe un intervalo 1.

con

cuando

y

,

tal que: cuando

, entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f. 2.

cuando

y

cuando

, entonces

es un punto de inflexión de la gráfica de f. 3.

cuando

y

cuando

, o bien,

cuando

y

cuando

entonces

no es un punto de inflexión de la gráfica de f. Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo f por

por

,y

.

Ejemplos:

con

1. Sea f una función con ecuación

. Note que f

es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es

, que es igual a cero si y solo si

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (12 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

ó

.

Así Observemos la solución de las desigualdades

,y

por medio

de la siguiente tabla:

Como

para

y

para

entonces

es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8. De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como y

para

, entonces

inflexión. 2. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

, con http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html (13 de 14)27/11/2005 01:02:45 a.m.

para es un punto de

Algunas aplicaciones de la derivada

se tiene que

Como

nunca se hace cero y que

no

existe. Además

es mayor que cero para

cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto

, por lo que f siempre es no es punto de

inflexión.

Subsecciones: ●

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función

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Algunas aplicaciones de la derivada

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Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.

Teorema

Sea f una función con dominio D. Si

está definida para

donde

y si

entonces: a.

es un valor máximo relativo de f si se cumple que

es un valor mínimo relativo de f si se cumple que b.

Demostración: Al final del capítulo. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node6.html (1 de 5)27/11/2005 01:02:48 a.m.

con

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Ejemplos: Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

,

1.

Note que la función f no está definida en La derivada de f está dada por

,

Los valores críticos de f se obtienen cuando si

,ó

. En este caso,

.

Ahora, la segunda derivada de f es Vamos a evaluar

en

y en

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si y solo

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a.

; como

entonces

es un valor mínimo

relativo de f.

b.

; como

entonces

es un valor

máximo relativo de f.

Gráficamente se tiene en el intervalo

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2.

Se tiene que La primera derivada de g está dada por

cuando

Como

y cuando

entonces estos son los valores críticos de

g. La segunda derivada de g es

Evaluando

en

se tiene que

que es mayor que cero, por lo que Observe que

es un valor mínimo relativo de g.

no puede evaluarse en

pues hace cero el denominador por lo que

para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada. Analizando para

se obtiene que

para

por lo que al no existir cambio de signo resulta que

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y no es ni

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máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.

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Trazo de curvas La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas. Asíntotas Dada una curva con ecuación

es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa

y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito.

Definición

Cuando el punto

de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que

su distancia al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre de asíntota de la curva.

Gráficamente:

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Asíntota horizontal: Sea la función con ecuación Si

ó

, entonces la recta con ecuación

la gráfica de f. Ejemplo: 1. Sea

la ecuación de una curva.

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es una asíntota horizontal de

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Como:

entonces la recta con ecuación

es una asíntota horizontal de la curva.

2.

entonces la recta con ecuación

es una asíntota horizontal de la curva.

Gráficamente se tiene:

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Asíntota vertical: es una asíntota vertical de la gráfica de una función con ecuación

La recta con ecuación

si se cumple alguna de las siguientes condiciones. i.

iii.

ii.

iv.

es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces f es

Si la recta con ecuación discontinua en "a". Ejemplo: Sea

la ecuación de una curva.

Observe que el dominio es el conjunto: Como

y

entonces la recta con ecuación

es una asíntota vertical de la gráfica de la curva.

Gráficamente:

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,

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, (eje x), es asíntota horizontal de la curva.

Note que la recta con ecuación Asíntota oblicua Si los límites:

y

existen, entonces la recta con ecuación

es una asíntota oblicua. (La justificación aparece al

final del capítulo)

Ejemplo: La curva con ecuación

posee asíntota oblicua pues:

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a. , de donde b. ,

de donde

Así la ecuación de la asíntota es La representación gráfica es la siguiente:

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Note que la recta con ecuación

, (eje y), es asíntota vertical de la curva.

Especificaremos ahora los pasos a seguir para hacer el análisis y la gráfica de una función f cuya ecuación se da. 1. Calcular el dominio de f. 2. Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados. Si

es la ecuación de la curva, los puntos de intersección con el eje x se determinan

resolviendo la ecuación

, los puntos de intersección con el eje Y se calculan dándole a x

el valor cero. 3. Sentido de variación Se hace el estudio de la primera derivada. a. Se calcula b. Para determinar los valores críticos se resuelve c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que decrece se , y, resuelven las desigualdades

4. Estudio de la segunda derivada de f. a. Se calcula b. Se determinan los puntos de inflexión resolviendo

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c. Para determinar los intervalos en que f es cóncava hacia arriba y en los que es y cóncava hacia abajo, se resuelven las desigualdades Los puntos máximos y los puntos mínimos se pueden establecer ya sea utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.

5. Estudio de los límites Se calculan los siguientes límites: y

,

donde

6. Estudio de las asíntotas: Se determina si la curva posee asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.

7. Se hace el cuadro de variación. Este es un cuadro en el que se resume todo el análisis anterior.

8. Gráfica de la función. Con los datos señalados en el cuadro de variación se dibuja la gráfica de . Ejemplos:

Hacer el análisis, cuadro de variación y gráfica de la curva con ecuación: a.

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1. Dominio: 2. Intersección con los ejes: , luego

es el punto de intersección con el eje Y, y con el eje X.

3. Sentido de variación: i.

Como

es positivo para

, basta con analizar el numerador.

ii. valor crítico. iii. ; luego f crece si iv. , luego f decrece si

. De i. y iv. se deduce que

es un máximo relativo. 4. Estudio de la segunda derivada: i.

ii. para toda Para determinar si f es cóncava hacia arriba o hacia abajo se deben resolver las http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html (9 de 27)27/11/2005 01:03:05 a.m.

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desigualdades

Como

para

y

para lo que utilizamos la siguiente tabla.

entonces f es cóncava hacia arriba en ese

intervalo. Como

para

entonces f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

5. Estudio de los límites:

a. b. c. d.

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e. f. 6. Asíntota: De a. y b. del punto anterior, la recta con ecuación

es una asíntota horizontal.

Del punto anterior también se obtiene que las rectas con ecuaciones verticales.

,

son asíntotas

Como

pero:

entonces la asíntota oblicua coincide con la asíntota

horizontal. 7. Cuadro de variación: resumen de lo estudiado

8. Representación Gráfica: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html (11 de 27)27/11/2005 01:03:05 a.m.

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b.

1. Dominio: 2. Intersección con los ejes: para que la curva interseque al eje x se necesita que sucede únicamente si

, es decir, si

pero

el eje X. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html (12 de 27)27/11/2005 01:03:05 a.m.

, pero esto

por lo que no hay intersección con

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Para la intersección con el eje Y, x debe ser igual a cero, pero

, por lo que tampoco hay

intersección con el eje y. 3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada, a

a. b. c.

Para determinar los intervalos en que crece o decrece la función debemos resolver y Como

es mayor que cero para

, basta analizar el comportamiento de

. Para ello utilizamos el siguiente cuadro.

Como

para

Como

para

entonces f crece en ese intervalo. entonces f decrece en ese intervalo.

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Además en

, hay un mínimo relativo.

4. Estudio de la segunda derivada

a. b. c.

, luego f es cóncava hacia arriba si

d.

, luego f es cóncava hacia abajo si

5. Estudio de los límites

a.

(forma

Si

)

entonces

y

(forma

, por lo que:

por lo que puede aplicarse la

Regla de L'Hôpital)

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b.

, pues si

entonces

y

c.

Si

entonces

d.

, pues

y

y

6. Asíntotas Existe asíntota vertical dada por la recta con ecuación

, por el resultado del límite a.

No hay asíntota horizontal. Asíntota Oblicua i. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html (15 de 27)27/11/2005 01:03:05 a.m.

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de donde

ii.

(forma

por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital)

, de donde

Por tanto, la recta con ecuación

es una asíntota oblicua.

7. Cuadro de variación: resumen de lo anterior.

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8. Gráfica:

c.

1. Dominio: 2. Intersección con los ejes a. eje Y: no hay intersección, pues x debe tomar el valor de cero, pero

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b. eje X:

, pero

, por lo que no hay

intersección con este eje. 3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada a. ó

b.

, estos son los valores

críticos de f. c. Como:

Se tiene que

si

Entonces f es creciente si

Luego,

, es un valor máximo y

si

y f es decreciente si

es un valor mínimo.

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4. Estudio de la segunda derivada: a. b. c.

, entonces f es cóncava hacia arriba si

d.

; luego, f es cóncava hacia abajo si

5. Estudio de los límites: a. b.

c. d.

6. Asíntotas De a. y b. del punto anterior se concluye que la recta con ecuación http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html (19 de 27)27/11/2005 01:03:05 a.m.

es una asíntota vertical.

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De c. y d. del punto anterior se concluye que no existe asíntota horizontal. Asíntota oblicua i.

de donde ii.

de donde

Luego, la recta con ecuación

es una asíntota oblicua.

7. Cuadro de variación

8. Gráfica http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node7.html (20 de 27)27/11/2005 01:03:05 a.m.

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c.

1. Dominio Se necesita:

lo cual se cumple cuando

2. Intersección con los ejes: Eje X:

, luego en el punto

interseca al eje x.

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Como

también en

interseca al eje Y.

3. Sentido de variación o estudio de la primera derivada a. (¡Compruébelo!)

Como determinar

Como

es positivo para

, analizamos únicamente el numerador para

y

es mayor que cero para

entonces f es creciente en esos

intervalos. Como

es menor que cero para

intervalos.

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entonces f es decreciente en esos

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Además en

y

hay dos valores mínimos relativos.

4. Estudio de la segunda derivada a. b.

y

por lo que f siempre es cóncava

hacia arriba.

5. Estudio de los límites a.

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b.

6. Asíntotas Del punto a. anterior se obtiene que no hay asíntota horizontal. Del punto b. anterior se obtiene que

y

son las ecuaciones de asíntotas verticales.

Determinemos si existen asíntotas oblicuas: 1. a.

de donde

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b.

, de donde

La recta con ecuación

.

es una asíntota oblicua.

2. a.

de donde

b.

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, de donde

Luego, la recta con ecuación 7. Cuadro de variación:

.

es otra asíntota oblicua.

8. Gráfica

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Resolución de problemas de máximos y mínimos: En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos: ● ● ●

●

●

● ●

● ●

●

Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. Hacer un dibujo cuando sea necesario. Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo. Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar) Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función. Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos. Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos. Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

1.

Círculo de radio r con centro en Ecuación: Circunferencia: Área:

2.

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Sector circular; donde

Área:

es el ángulo

central medio en radianes. Área:

donde s es la longitud del

arco AB

3. Trapecio Área:

, donde B es la

longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio. 4.

Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Área lateral: Área total:

Ver en ambiente 3D

5.

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Cono circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Superficie lateral: . L donde L es la generatriz está dada por:

Ver en ambiente 3D

6.

Esfera de radio r. Volumen: Superficie:

Ver en ambiente 3D

c. Ejemplos: 1. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible. Solución: Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos. Sean estos números: x, y Luego Como la suma de esos números es 10, entonces auxiliar, de donde

es la ecuación

.

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Entonces: Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función Derivando: Valores críticos: En se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo. entonces

Como

por lo que en

se tiene

un valor máximo. Si entonces . Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5. 2. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima? Solución: Se debe maximizar el área A de un rectángulo: Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo. Luego

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es: de donde . Luego y

Como

entonces

es un valor

crítico. Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada. Como

y

, entonces

es un valor

máximo. Si entonces por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

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3. corta al eje X en

Una recta variable que pasa por el punto en

. Hallar el área del triángulo

y al eje Y

de superficie mínima, suponiendo A

y B positivos. Solución: Se debe minimizar el área T de un triángulo. Gráficamente se tiene:

El triángulo es rectángulo y su área estádada por

,

La recta pasa por los puntos

y

, por lo que la pendiente estádada como

sigue: i. Tomando

y

:

Tomando

y

:

ii.

Luego:

es la ecuación auxiliar, de donde

(*)

Entonces

,

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Como

entonces

ó Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si los valores críticos son máximos o mínimos:

Del cuadro anterior, como T decrece para

y crece para

entonces en

se tiene un valor mínimo. Si

entonces

(al sustituir en (*))

Luego el área del triángulo es Además, la ecuación de la recta es

4. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima? Solución: En este caso se debe maximizar el área de la siguiente figura geométrica:

Se han señalado con las letras "x","y" las longitudes de los lados de la ventana.

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El área de la ventana estádada por la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo. Área del triángulo: Área del rectángulo: Área total: Como el perímetro de la ventana es 3 metros entonces:

de donde

es una ecuación auxiliar.

Luego:

. Debemos escribir h también en términos de x.

Se tiene en el triángulo:

,

Luego:

Determinamos los valores críticos

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Luego:

El valor crítico es

Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que ,y,

de donde

es un valor máximo.

Luego, la longitud de la base del rectángulo debe ser

para que la ventana tenga el

área máxima. La altura del rectángulo debe ser:

y el lado del triángulo es

.

5. Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto más cercano O de una costa recta. En un punto B, también en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guarda faros puede remar a , y puede cambiar a , Donde debe desembarcar para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible? Solución: Se debe minimizar el tiempo de recorrido Gráficamente la situación es la siguiente:

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Sea Cel punto de la playa en el que desemboca el guarda faros, designemos con x la distancia . es la distancia en que debe remar desde Ahasta C es la distancia en que debe caminar desde Chasta B y

Note que

Además se tiene que la distancia Srecorrida en un tiempo t es igual a la velocidad por el tiempo: o sea; de donde La distancia velocidad de

.

es recorrida con una velocidad de

, y la distancia

con una

, por lo que el tiempo total de recorrido será:

siendo esta la función a minimizar.

Luego:

Para determinar los valores críticos hacemos

Utilicemos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico es un mínimo.

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, evaluando en

por lo que

se obtiene

es un valor mínimo.

Luego, el guarda faros debe desembarcar en un punto C que estáa

Km. de punto C,

para llegar a la tienda en el menor tiempo posible. 6. Determinar las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente:

Ver en ambiente 3D

Solución: Hay que maximizar el área lateral del cono inscrito. Las dimensiones de éste son: x radio de la base, h altura y se especifican en la figura de la siguiente manera:

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Algunas aplicaciones de la derivada

El área lateral de un cono es

.

Una ecuación auxiliar se puede obtener por medio de semejanza de triángulos de la siguiente forma:

Además

Sustituyendo en la ecuación del área lateral

Determinemos los puntos críticos:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFE...IAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node8.html (11 de 15)27/11/2005 01:03:19 a.m.

Algunas aplicaciones de la derivada

,ó

Por lo tanto, los valores críticos son

y

Determinemos cuál de esos valores es un valor máximo utilizando el criterio de la primera derivada.

Como

crece para

y decrece para

entonces

es un

y crece para

entonces

es un

valor máximo. Como

decrece para

valor mínimo. Luego el valor que nos interesa es

Por lo tanto, el radio de la base del cono inscrito es

cm., y la altura es

cm.

7. Determinar las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera de radio R, de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera. Solución:

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Algunas aplicaciones de la derivada

Hay que minimizar el volumen del cono circunscrito. Si el radio de la base del cono es x y su altura es h, su volumen está dado por:

Gráficamente se tiene:

Ver en ambiente 3D

Haciendo un corte transversal se tiene:

Podemos utilizar semejanza de triángulo para obtener una ecuación auxiliar:

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Algunas aplicaciones de la derivada

de donde

Sustituyendo en la ecuación del volumen del cono:

Utilizando el criterio de la primera derivada, analicemos cuál valor crítico corresponde a un valor mínimo:

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Algunas aplicaciones de la derivada

Como

decrece para

y crece para

entonces

corresponde a un valor mínimo que era lo que nos interesaba. Luego, las dimensiones del cono circunscrito a la esfera son: radio de la base

, altura

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Derivador

Derivador Derivar

x^2 y + x y^2

Respecto a

y

Derivar

La derivada es

Este guión calcula la derivada de la expresión dada respecto a la variable indicada.

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Resolver

Resolver Escriba una ecuación

x^3 + x - 2 = 0

Resolver

La(s) solución(es) es (son)

Este guión resuelve para x la ecuación polinomial dada, incluso cuando es simbólica.

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