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• Diego Armando

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Formato: Aplicaciones de las integrales Datos del estudiante

Nombre: Matrícula: Fecha de elaboración: Tiempo de elaboración:

A continuación se te presentan cinco problemas. Para darles solución, hay que realizar la aplicación de las integrales.

Instrucciones: 1. Lee detenidamente cada problema. Posteriormente, elige dos y resuélvelos según lo que se te solicita. 2. Incluye en cada problema el procedimiento que realizaste así como el resultado final obtenido. 3. Finalmente escribe una breve conclusión en la que describas la importancia de la aplicación de las integrales en situaciones reales.

Es importante que pongas atención en los límites de integración establecidos para cada problema.

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Problema 1 La distancia total que recorre un objeto en una recta en un intervalo de tiempo [ t 1 , t 2 ] está dada por la integral definida de la función de velocidad como se muestra a continuación: t2

∫ v ( t ) dt t1

Se ha determinado que un móvil tiene una función de velocidad en metros por 3 segundo de v ( t )= t−2 determine la distancia recorrida entre el segundo 2 y el 2 segundo 9.

Procedimiento 9

∫( 2

9

9

3 3 t−2 dt= ∫ tdt −2∫ dt 2 22 2

)

3 t2 9 −2 t 9 22 2 2

{ { 3 ¿ t {9 −2 t {9 4 2 2 ¿

2

¿

3 [ ( 9 )2−( 2 )2 ] −2[9−2] 4

3 ¿ [ 81−4 ] −2 [7] 4 3 ¿ [ 77 ] −14 4 ¿

231 56 175 − = 4 4 4

¿ 43.75 m

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Resultado

R=

175 m=43.75 m 4

Problema 2 La corriente alterna necesaria para hacer funcionar adecuadamente un motor está regida por el comportamiento que se muestra en la siguiente función. Con base en dicho comportamiento, determina el área bajo la curva de las dos secciones sombreadas.

Procedimiento 0

0

∫ sen x dx + ∫ sen x dx=∫ sen x dx=−cos x −π

−π

−cos x 0 + (−cos x ) π =−⟦ cos 0−cos (−π )⟧ − ⟦ cos π−cos 0 ⟧ −π 0

{

{

¿−1.502 x 10−3 +1.502 x 10−3 =0

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Resultado

R=1.502 x 10−3 +1.502 x 10−3=3 x 10−3

Escriba aquí laecuación .

Problema 3 Una compañía dedicada a la elaboración de material didáctico para prescolar, utiliza una aplicación móvil para determinar el promedio de errores posibles en el material. La aplicación está programada por medio del uso de una función que al ser integrada bajo ciertos parámetros, indica el promedio del error usando como base la siguiente fórmula b

promedio de error=∫ xf ( x ) dx a

Si la función para un material determinado se define como f ( x )=

2(x +2) 5

en el

intervalo de [0,4], encuentra el promedio de error para este material.

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Procedimiento 4

4

2 2 4 error =∫ x ( x +2 ) dx=∫ x2 + x dx 5 5 0 0 5 4

¿

[

]

4

(

4

)

4

2 4 2 x3 + 4 x2 2 x dx + x dx = ∫ ∫ ∫ ∫¿ 50 5 0 5 3 0 5 2 0 4

4

2 3 +4 2 2 4 x∫ x ∫ ¿ [ ( 4 )3−( 0 )3 ] + [ ( 4 )2−( 0 )2 ]=¿ 15 0 10 0 15 10 2 64 128 32 160 ¿ [ 64 ] + = + = 5 10 5 5 5

Resultado

R=

160 5

Problema 4 El comportamiento de cierta máquina utilizada en la industria textil se define por la siguiente función f (t)=4 √ t 3 , en donde el tiempo está representado en meses. Los ingenieros de mantenimiento requieren conocer la longitud que representa ésta gráfica (longitud de arco) en los primeros cuatro meses [ 0 , 4 ] que lleva la máquina en funcionamiento. Determine la longitud de arco en el intervalo solicitado.

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Procedimiento b

2

√

L=∫ 1+ [ f ' ( t ) ] dt a

√

3 2

3

2

3 − f ( t )=4 t =4 t =4 t 2 2 2 3

f ' ( t )=6 √ t 4

2

√

L=∫ 1+ ( 6 √ t ) dt 0

4

¿ ∫ √ 1+ 36 t dt 0

¿ √ 1+ 36 ( 4 )−√ 1+ 36 ( 0 )=¿ ¿ √ 145−√ 1=12.04−1=11.04

Resultado

R=11.04

Problema 5 La estructura de una herramienta quirúrgica muestra el comportamiento de la siguiente figura. Para que su forma sea lo más precisa posible en su elaboración, se describe con 4 funciones, las cuales se muestra en la siguiente figura.

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Procedimiento 8

2

2

[( ) ( )] ∫ [( ) ( )]

A1=∫ 2

y y −4 − −1 dy 16 4

8

A2=

4−

2

Para A :

y2 y2 − 1− dy 16 4

y2 y2 y2 4 y2 3 y2 −4− +1= − −3= −3 16 4 16 16 16 8

8

3 y2 3 y2 y2 y2 4 y 2 y2 3 y2 A = −3 dy + A = 3+ dy Para A 2=4− −1+ =3+ − =3+ ∫ 2 ∫ 16 16 4 16 16 16 1 2 16 2 8

8

8

[

]

[

]

8

¿

3 y3 +3 y 3 2 3 1 −¿ 3 y ∫ +¿ 3 y ∫ = y ∫ ¿ [ ( 8 ) 3− ( 2 ) 3 ] ¿ ¿ ∫ 16 3 2 10 2 5 2 2 16 3

¿

512−8 504 = 5 5

Resultado

R=

504 5

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