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• Cristian Guillermo Reyes Reategui

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CÁLCULO DE LAS DEFLEXIONES EN VIGAS APLICANDO EL MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN

PROFESORA: MARILYN DELGADO BERNUI

CURSO: MATEMÁTICA II

FACULTAD: INGENIERÍA CIVIL

ALUMNOS:    

CAMPOS AQUINO JUAN LUIS CASTRO MENDOZA CINTHYA CHERO GARCÍA MIGUEL SARMIENTO RODRÍGUEZ JAVIER

CICLO: III

PIMENTEL, 09 DE JULIO DEL 2009

Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3

OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 4

APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA II EN LA INGENIERÍA CIVIL ....................................................... 5

CÁLCULO DE LAS DEFLEXIONES APLICANDO EL MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN ............... 5

DESARROLLO DEL TEMA: ....................................................................................................... 5

CONCLUSIÓN ............................................................................................................................... 20

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INTRODUCCIÓN El tema sobre las deflexiones en vigas aplicando el método de doble integración, se eligió con el propósito de calcular la deflexión máxima que puede sufrir una viga cuando esta siendo sometida a cargas puntuales. Se considera a las deflexiones, como la respuesta estructural, por que expresa, un momento de parámetros, que responde, a una acción de cargas aplicadas (muertas, sismos, etc.), las deflexiones son en cantidades no visibles. Las deflexiones, en estructuras, se pueden estimar, mediante métodos de cálculo, siendo los más conocidos: Método de trabajo real Método de Castigliano Método de la doble integración Método de área de momentos Método de la viga conjugada

Los valores de las deflexiones deben de ser mínimas ya que las normas lo indican, puesto que, a mayor valor de deflexión la vita útil de estructura será menor, y soportará menos las cargas a las que esta siendo sometida. Como vemos la aplicación de las matemáticas en nuestra formación como ingenieros civiles es de vital importancia, debido a que nos ayuda a resolver problemas referidas a las obras civiles como son: el cálculo del volumen de los materiales a utilizar en una obra, determinar las deflexiones que sufrirá una viga, la presión que ejerce el agua sobre una compuerta en una obra Hidráulica, etc.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL Conocer el origen y control de las deformaciones causadas por flexión y corte en vigas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Evaluar experimental y analíticamente las deflexiones.  Identificar cuando la deformación por corte contribuye apreciablemente en la deflexión de una viga y evaluar experimental y analíticamente esta componente.  Conocer las previsiones que los códigos de construcción toman para controlar el efecto de las deflexiones durante el diseño de las estructuras.

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APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA II EN LA INGENIERÍA CIVIL CÁLCULO DE LAS DEFLEXIONES APLICANDO EL MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN

DESARROLLO DEL TEMA: Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de maquina para trabajos de precisión, tales como tornos, prensas, limadoras, etc., las deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Así mismo en las vigas de piso que tengan por debajo cielo raso de yeso o escayola, se suele limitar la deflexión máxima a 1/360 de claro, para que no aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes aplicaciones de estudio de la deformación que, junto con las condiciones de equilibrio estático, permiten resolver vigas estáticamente indeterminadas. Se utilizan varios métodos para determinar la deformación de las vigas. Aunque basados en el los mismos principios, difieren en su técnica y en sus objetivos inmediatos. En primer lugar se estudia un procedimiento modernizado del método de la doble integración, que simplifica mucho la aplicación. Otro método, el área de momentos, se considera el más directo de todos, en especial si se desea conocer la deformación en un punto determinado. Después de un estudio previo del diagrama de momentos por partes se vera como es, no solamente muy sencillo, sino extremadamente rápido. Otros métodos son de la viga conjugada y el de superposición. El método de la viga conjugada es realmente una variante del método de área de momentos, pero difiere en su aplicación práctica. El método de superposición no es un método distinto; utiliza las formulas obtenidas para las deformaciones, en ciertos tipos fundamentales de cargas, para obtener las soluciones correspondientes a cargas que sean combinaciones de estos tipos fundamentales.

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MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN: La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto.se muestra sumamente exagerada en la figura 1. En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva, y como calcular el desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa X. Tomemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia, la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, puede hacerse sin error apreciable, igual a

. Por consiguiente, (a) y (b)

Considerando la variación de viga, es evidente que

en una longitud diferencial

, producida por la flexión de la

(c) Siendo el radio de curvatura en la longitud de arco . Como la curva elástica es casi recta, es prácticamente igual a . En estas condiciones de las ecuaciones (b) y (c) se obtiene: (d) Al deducir la formula de flexión, se obtuvo la relación: (e)

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Y, por tanto igualando los valores ⁄ de las ecuaciones (d) y (e) resulta: (f) Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto la flexión, es normalmente constante a lo largo de una viga.

, que se llama rigidez a

Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente, y por , no tienen influencia apreciable en la exactitud de la expresión (f) y, en efecto, sustituyendo ⁄ por su valor exacto, junto con la ecuación (e), se tendría

(

⁄

)

Teniendo en cuenta que ⁄ es muy pequeño, su cuadrado es despreciable frente a la unidad. Por lo que se puede escribir

Que coincide con la ecuación (f)

Integrando la ecuación (f), suponiendo

constante, resulta:

∫

(g)

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⁄ Que es la ecuación de la pendiente y que permite determinar el valor de la misma, o en cualquier punto. Conviene observar que en esta ecuación, M no es un valor del momento, si no la ecuación del momento flexionante en función de x, y C₁ es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando de nuevo la ecuación (g), ∬

(h)

Que es la ecuación de la elasticidad de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de X, C₂ es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la viga.

EJEMPLO 1: Determinar la deflexión máxima en una viga simplemente apoyada, de longitud L, con una carga concentrada P en el centro de su claro.

Por estática determinaremos la fórmula de Momento Flector de la Viga.

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( )

(

)

Determinando la ecuación de la pendiente:

∫ ∫ [( ) ( )

(

( )

)] ………………………(1)

Para determinar la deflexión máxima de la viga debemos integrar por segunda vez, pero ahora a la ecuación de la pendiente.

∫ *( ) ( )

Para determinar al constante en la fórmula 2 vemos que

(

(

)

+

)

…………………….. (2)

, podemos ver que en el punto .

La otra condición de apoyo es

,

y reemplazando

reemplazando en la fórmula 2 obtenemos ( )

(

( )

)

⁄ .

La deflexión máxima en el centro de luz, es decir, cuando ( )

(

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)

(

)

EJEMPLO 2: Calcular el valor de en el centro del claro en la viga representada en la figura. Si ⁄ determinar el valor de necesario para que la deflexión en el centro no sobrepase ⁄ del claro. Indicación: considerar el origen de en el apoyo derecho siendo positiva hacia la izquierda.

Resolución:

(

)

Determinando la ecuación de la pendiente: ∫ ∫[ (

)

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(

) ]

(

)

Para determinar la deflexión máxima de la viga debemos integrar por segunda vez, pero ahora a la ecuación de la pendiente.

∫*

(

(

) (

)

+

)

Usando las condiciones de borde:

( )

Luego (

)

Del problema tenemos: ⁄

(

( )

)

( )

( )

( ) ……………………… (1)

( )

De (1):

(

)

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EJEMPLO 3: Obtener la ecuación de la elástica de la ménsula de la figura, sometida a una carga triangular que varia desde cero en el empotramiento hasta en el extremo libre.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) Por semejanza de triángulo: ( ) (2) en (1)

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∫(

)

( ) ∫(

)

( ) Como la pendiente es nula para X=0, se deduce Para x=0 es y=0 como lo que también

……..(a)

………….. (b)

La ecuación elástica será:

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EJEMPLO 4: Calcular el valor

(

∑

en el extremo derecho de la figura.

)

( )

TRAMO AB

|

( )

Cuando x=0, y=0

|

( )

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TRAMO BC

(

)

( )

|

| Igualando (a) con (c) (

(b) y (c)

(

|

|

)

(

(

)

)

( )

|

TRAMO CD

(

)

) 15

( )

( )

| Igualando (d) con (e)

Para x=4, y=0 (

)

(

)

TRAMO CD

| |

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EJEMPLO 5: Calcular la pendiente de la elástica en el apoyo derecho de la viga con voladizo de la figura

:

〈

〉

〈

〉

〈

〉

( )

( ) 〈

〉

〈

〈 〈

De las condiciones de borde

〉

〉 〉

〈

〈

〉

〉

〈

〉

, por lo tanto

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〈 〈

〉 〉

cuando

( ) ( )

(

)(

)

)(

(

)

(

)

(

)

|

Como nos piden la pendiente en el apoyo derecho usamos:

(

)

( ) |

(

)

|

(

)

Ejemplo 6:

〈

〉

18

〈

〉

〈

( )

〉

( )(

)

(

)(

〈

( )(

)

(

)(

)

〈

〈

〉

)

( )(

)

〉

〈

(

)( )

19

〉

〈

(

)(

〉

〈

〉

)

( )

〉

CONCLUSIÓN Con la ayuda del método de doble integración hemos podido calcular las deflexiones que sufren las vigas cuando están siendo sometidas a cargas, estos cálculos lo hemos determinado mediante la ayuda del momento en cualquier punto de la viga y la pendiente. Estos cálculos nos sirven en nuestro desarrollo como futuros ingenieros civiles, para determinar la resistencia de los materiales a utilizar, en la elaboración de vigas y así poder evitar los pandeos que debilitarán la estructura. Como vemos la aplicación de las matemáticas en nuestra carrera a través del análisis vectorial o multivariable y la aplicación de las derivadas e integrales para el desarrollo algunos cursos dentro de la ingeniería civil como lo son la Mecánica de fluidos, Resistencia de materiales, Estática, Dinámica, etc.

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