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• Angel SG

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INTRODUCCIÓN. Para representar la derivada de una función se utilizan los símbolos: y', f'(x) y dy/dx (es muy importante darse cuenta que dy/dx es un símbolo y no una fracción. Esta notación de la derivada, se llama notación de Leibniz.) El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.

NOTACION. Existen 3 tipos diferentes de notación, creados por diferentes matemáticos. Estos son: 

Notación de Newton para Derivadas:

En la notación de Newton para la diferenciación se representa la diferenciación mediante un punto o comilla situado sobre el nombre de la función, y que Newton denominó fluxion. La notación de Isaac Newton se utiliza fundamentalmente en mecánica. Se define como:

Aunque no es útil para derivadas de mayor orden, en mecánica e ingeniería es útil ya que el uso de derivadas de mayor orden no es habitual. En física y otros campos, la notación de Newton es muy utilizada para la derivada respecto del tiempo, lo que permite diferenciarla de la pendiente o derivada de la posición.



Notación de Leibnz para Derivadas:

En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo df/dx como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto).

O bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales.

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.

 Notación para derivadas de orden superior. Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

NOTACIONES Y TERMINOLOGÍA. Por ecuación diferencial ordinaria (EDO), se entiende una ecuación que contiene una o varias derivadas de una función no especificada "y" con respecto a una o más variables independientes "x"

Ejemplo: Son ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por orden de una ecuación diferencial ordinaria (EDO), se entiende el orden de la máxima derivada que aparece en la ecuación, en el ejemplo anterior la ecuación del ejemplo es de primer orden. La ecuacion diferencial siguiente es de orden 3.

Decimos que una función f es solución de una ecaución diferencial, si al sustituir f y sus derivadas en la ecuación difrencial, el resultado es una identidad. Ejemplo: La función f´-3xf = 3e3x es una solución de la ecuación diferencial dfy/dx-3y = 0 En efecto f´-3xf = 3e3x por tanto f´-3f = 3e3x-3e3x = 0 Observación Cuando la solución de la ecuación difrencial se puede expresar de la forma y = f(x) decimos que la solución es Explicita, pero si la solución es de la forma G(x,y,c) = 0 se dice que es implícita.

PROBLEMAS. Ejemplo 1 Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial: Solución Derivando y = x2 + C tenemos:

dy  2x dx Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos: Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 2 Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C. Solución Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = x2 + C. Así

dy  2x dx Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.

Ejemplo 3 Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial: Solución Derivando y = x2 + C tenemos

dy  2x dx Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:

dy  2x dx

Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4 Comprobar que la función indicada es la solución de la EDO dada en el intervalo (, ):

dy/dx = xy1/2.

(a)

Solución: y = x4/16.

Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ). Lado izquierdo :

dy x3 x3  4  dx 16 4 Lado derecho: 1/ 2

1/ 2

xy

 x4   x     16 

 x

x 2 x3  4 4

Ejemplo5 x = c1cos(4t) x = c2 sen(4t) con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO: x + 16x = 0. Podemos comprobar fácilmente que la suma x = c1cos 4t + c2 sin 4t es también una solución.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Problema 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝑪𝒙

2. Problema 𝒚 = 𝑪𝟐 + 𝑪𝒙−𝟏

3. Problema 𝒚 = 𝟖𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝑪