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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas

Ecuaciones diferenciales INVESTIGACION I HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

NOMBRE DEL ALUMNO: APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRE

ZAVALA

JONATAN EDUARDO

RODRIGUEZ

CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA GRUPO: 41T SALON: M8

SEMESTRE: VERANO FECHA DE ENTREGA: 26/06/2018

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES El estudio de las Ecuaciones Diferenciales es tan viejo como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías. En la primera, estas tendrían a forma 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑜 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑦). En la segunda, tendrían la forma 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método “universalmente válido”. El matemático y filósofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Liebniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo. La segunda etapa (1728- ) de la historia de las Ecuaciones diferenciales estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820- ) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de existencia y unicidad de la solución cobraron importancia.

HISTORIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

En este capítulo presentamos un método de solución de ecuaciones diferenciales llamado transformada de Laplace (denotado con la abreviatura TL o con el símbolo ℒ). La TL es una poderosa herramienta utilizada con mucha frecuencia en física, matemáticas e ingeniería, para el análisis y solución de diversos problemas, como, por ejemplo, el cálculo de integrales impropias, análisis de señales y sistemas, entre otros. La TL se denomina así en honor al matemático Pierre-Simon Laplace, quien la definió a finales del siglo XVIII, aunque no la utilizó para resolver ecuaciones diferenciales. Casi 100 años después, Oliver Heaviside (1850-1925), un ingeniero inglés famoso por sus aportaciones a la teoría electromagnética, creó el cálculo operacional donde la TL desempeña un papel preponderante. Al aplicar este cálculo operacional para la solución de ED se obtuvieron métodos complementarios a los métodos de solución conocidos en esa época (como los que hemos visto en los capítulos anteriores). A reserva de describir con mayor detalle el proceso posteriormente, podemos adelantar de momento que el método de la TL para resolver ecuaciones diferenciales consiste en trasladar un problema de valor inicial a un ámbito diferente, generalmente algebraico, en donde la TL de la solución buscada se puede despejar y la solución del PVI se obtendrá aplicando una trasformación inversa a la transformada de Laplace.

Aplicar este método para resolver ED presupone un manejo fluido de la TL y su inversa, y el objetivo de este capítulo es lograr que el lector adquiera y desarrolle habilidades para el cálculo de ambos tipos de transformaciones en la solución de ED