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Roles e ítem escogidos por cada estudiante Nombre del estudiante

Rol a desarrollar Grupo de ejercicios a desarrollar

CARLOS MARIO POLO ESCORCIA

REVISOR

El estudiante desarrolla el ejercicio A en todos los 4 Tipo de ejercicios.

ELBIS GOMEZ VARGAS

ENTREGAS

El estudiante desarrolla el ejercicio B en todos los 4 Tipo de ejercicios

ALERTAS

El estudiante desarrolla el ejercicio C en todos los 4 Tipo de ejercicios

ALERTAS

El estudiante desarrolla el ejercicio D en todos los 4 Tipo de ejercicios

WINNER DE JESUS AVILA MATRINEZ ANDRES MULETT

EMMANUEL MOISES MORENO Evaluador

El estudiante desarrolla el ejercicio E en todos los 4 Tipo de ejercicios

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

Ejercicio a.

∫

𝒙𝟒 − 𝟏 𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 4 − 1 𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 1 𝑐𝑜𝑚𝑜 12 = 𝑥 4 − 12 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎𝑏𝑐 = (𝑎𝑏 )𝑐 𝑥 4 = (𝑥 2 )2 = (𝑥 2 )2 − 12 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑗𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) (𝑥 2 )2 − 12 = (𝑥 2 + 1)(𝑥 2 − 1) = (𝑥 2 + 1)(𝑥 2 − 1) 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 2 − 1

𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 1 𝑐𝑜𝑚𝑜 12 = 𝑥 2 − 12 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 𝑥 2 − 12 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 =

(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 3𝑥 3 − 3𝑥

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 3𝑥 3 − 3𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑥3 = 𝑥2𝑥 = 3𝑥 2 𝑥 − 3𝑥 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 3𝑥 = 3𝑥(𝑥 2 − 1) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 2 − 1 𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 1 𝑐𝑜𝑚𝑜 12 = 𝑥 2 − 12 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑗𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 𝑥 2 − 12 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 =

(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 3𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠: 𝑥 + 1 =

(𝑥 2 + 1)(𝑥 − 1) 3𝑥(𝑥 − 1)

𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠: 𝑥 − 1 =

𝑥2 + 1 3𝑥

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:

𝑎±𝑏 𝑎 𝑏 = ± 𝑐 𝑐 𝑐

𝑥2 + 1 𝑥2 1 = + 3𝑥 3𝑥 3𝑥 =

𝑥2 1 + 3𝑥 3𝑥

𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠: 𝑥 𝑥2 𝑥 = 3𝑥 3 =

𝑥 1 + 3 3𝑥

𝑁𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑥 1 ∫ + 𝑑𝑥 3 3𝑥 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 1 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 3 3𝑥

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠.

𝑥 ∫ 𝑑𝑥 3

𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∶ ∫ 𝑎 . 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 . ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 . ∫ 𝑥𝑑𝑥 3

𝑥 𝑎+1 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = , 𝑎 ≠ −1 𝑎+1 𝑎

1 𝑥1+1 = . 3 1+1 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜: 1 + 1 = 2 1 𝑥2 = . 3 2

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:

𝑎 𝑐 𝑎 .𝑐 . = 𝑏 𝑑 𝑏. 𝑑

1 . 𝑥2 = 3. 2 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 =

𝑥2 6

∫

1 𝑑𝑥 3𝑥

𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∶ ∫ 𝑎 . 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 . ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 1 . ∫ 𝑑𝑥 3 𝑥

1 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: ∫ 𝑑𝑥 = ln(|𝑥|) 𝑥 =

1 ln|𝑥| 3

𝑁𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2 1 = + ln|𝑥| 6 3 𝐴𝑔𝑟𝑎𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥2 1 = + ln|𝑥| + 𝐶 6 3

𝑨𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑 𝑙𝑛(|𝑥|) 𝑥 2 [ + ] 𝑑𝑥 3 6

𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠:

[𝑎 . 𝑢(𝑥) + 𝑏 . 𝑣(𝑥)]ʹ = 𝑎 . 𝑢ʹ(𝑥) + 𝑏 . 𝑣ʹ(𝑥) =

1 𝑑 1 𝑑 [ln(|𝑥|)] + . [𝑥 2 ] . 3 𝑑𝑥 6 𝑑𝑥

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: [ln(𝑢(𝑥))]ʹ =

1 . 𝑢ʹ(𝑥) 𝑢(𝑥)

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: [𝑥 𝑛 ]ʹ = 𝑛 . 𝑥 𝑛−1 1 𝑑 [|𝑥|] 2𝑥 . |𝑥| 𝑑𝑥 = + 3 6 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: |𝑥|ʹ =

𝑥 |𝑥|

𝑥 𝑥 |𝑥| = + 3|𝑥| 3 =

𝑥 1 + 3 3𝑥

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝒙𝟒 − 𝟏 𝒙 𝟏 = + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 𝟑 𝟑𝒙 Ejercicio B.

∫

2𝑥 + 1 √4𝑥 + √2𝑥

𝑑𝑥

Solución Simplificamos las raíces

∫

2𝑥 + 1 2√2𝑥 + √2√𝑥

𝑑𝑥

Simplificamos el denominador mediante factor común

∫

2𝑥 + 1 √𝑥(2 + √2)

𝑑𝑥

Ya que es una suma podemos realizar la integración por partes

∫

2𝑥 √𝑥(2 + √2)

+

1 √𝑥(2 + √2)

𝑑𝑥

1

∫

∫

2𝑥 −2 (2 + √2) 2 √𝑥 (2 + √2)

+

+

1 √𝑥(2 + √2) 1 √𝑥(2 + √2)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

Integramos por partes quedando

−

2 (2 + √2)

∫ √𝑥𝑑𝑥 +

1 √𝑥(2 + √2)

∫

1 √𝑥

𝑑𝑥

Resolvemos 3

2𝑥 2 ∫ √𝑥𝑑𝑥 = 3 ∫

1 √𝑥

𝑑𝑥 =

1

∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 1

2𝑥 2 − 2√𝑥 Remplazamos los valores en las integrales resueltas

=

2 2 + √2

∗

3 2𝑥 2

3

+

1 2 + √2

∗ 2 √𝑥 + 𝐶

Realizamos la operaciones quedando que 3

4𝑥 2 3(2 + √2) 3 4𝑥 2

+

2 √𝑥 2 + √2

+ 6 √𝑥

3(2 + √2)

+𝐶

+𝐶

Ejercicio C. Solución ∫

(𝑥 3 + 5𝑥 − 4) 𝑑𝑥 𝑥2

Si separamos cada integral como ∫

(𝑥 3 + 5𝑥 − 4) 𝑥3 5𝑥 4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

Podemos desarrollarla fácilmente ya que son integrales directas (𝑥 3 + 5𝑥 − 4) 𝑥2 4 ∫ 𝑑𝑥 = + 5 ln(𝑥) + + 𝐶 2 𝑥 2 𝑥

Si se deriva la solución para comprobar su resultado tenemos 𝑑 𝑥2 4 ( + 5 ln(𝑥) + + 𝐶) 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑥+

5 4 5𝑥 − 4 𝑥 3 + 5𝑥 − 4 − 2=𝑥+ = 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥2

Ejercicio D. Tan(x) ∫[ + Csc 2 (x)] dx Sin(x)Cos(x) Para resolver la integral inmediata, se simplifica la expresión de la integral tan 𝑥 =

sin 𝑥 , cos 𝑥

sin(𝑥) cos(𝑥) ∫[ + Csc 2 (x)] dx Sin(x)Cos(x) Simplificando, ∫[

sin(𝑥) + Csc 2 (x)] dx sin(𝑥) cos 2(𝑥)

Eliminando los términos en común, ∫[

1 + Csc 2 (x)] dx cos2 (𝑥)

1

Ahora, sec 2 𝑥 = cos2 𝑥 reemplazando, ∫[Sec 2 (x) + Csc 2 (x)] dx Ahora separando las integrales,

∫ Sec 2 (x) dx + ∫ Csc 2 (x) dx

Aplicando las reglas de integración,

Tenemos que, ∫ Sec 2 (x) dx + ∫ Csc 2 (x) dx = tan 𝑥 − cos 𝑥 + 𝑐

Ejercicio E.

∫ (5

3

√𝑥

2

− 5 ) 𝑑𝑥 2 √𝑥

Aplicando uno de los principios de la integrales nos queda de la siguiente forma.

∫

3 5

√𝑥 2

2

𝑑𝑥 − ∫

5

√𝑥

𝑑𝑥

Expresamos los radicales como potencias de la siguiente forma:

∫

3 𝑋 2/5

𝑑𝑥 − ∫

2 𝑋 1/5

𝑑𝑥

Aplicamos nuevamente la propiedad de integrales con la cual podemos pasar los enteros atrás de la integral pero teniendo en cuenta que el signo de los exponentes de las X cambiara.

3∫ 𝑥 −2/5 𝑑𝑥 − 2∫ 𝑥 −1/5 𝑑𝑥 Luego de simplificar la expresión podemos aplicar la integral de un exponente 2

− +1 3𝑋 5 2 5

− +1

1

−

− +1 2𝑋 5 1 5

− +1

+c

Aplicamos la suma en los exponentes.

Nos queda de esta forma

3

𝑋 3/5

− 2

3 5 oreja

𝑋 4/5 4 5

3

3∗

5𝑋 5

− 2∗

3

+c

5𝑋 4/5 4

Aplicamos la división de fracciones o ley de la

+c

La expresión nos queda de la siguiente forma donde podemos simplificar mas términos al 2 y al 4 se le sacan mitades.

5𝑋

3/5

−

5𝑋 4/5 2

+c

Tipo de ejercicios A – Sumas de Riemann

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann

Ejercicio a.

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=5. Solución:

Sea f(x) una función continua en el intervalo [𝑎, 𝑏]. La aproximación del área bajo la curva utilizando sumas de Riemann, con n particiones está dada por la siguiente sumatoria: 𝑛

𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 𝑖=1

Con 𝑖 = 1, 2, 3, … . 𝑛. Si tenemos [𝑎, 𝑏] entonces ∆𝑥=

𝑏−𝑎 𝑛

Para 𝑛 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5. 𝑥1 = 𝑎 𝑥1 = 𝑎 + 1(∆𝑥) 𝑥1 = 𝑎 + 2(∆𝑥) 𝑥1 = 𝑎 + 3(∆𝑥) 𝑥1 = 𝑎 + 4(∆𝑥) 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 = 𝑓(𝑥1 ) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2 ) ∆𝑥 +𝑓(𝑥3 ) ∆𝑥 +𝑓(𝑥4 ) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥5 ) ∆𝑥 𝑖=1

Aplicamos estos conceptos a nuestra función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6

intervalo [3, 7] n=5

𝑛=5

𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 𝑖=1

Con 𝑖 = 1, 2, 3, … . 𝑛. Si tenemos [3, 7] entonces ∆𝑥= Para 𝑛 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5. 𝑥1 = 3 𝑥2 = 3 + 1(0,8) = 3,8 𝑥3 = 3 + 2(0,8) = 4,6 𝑥4 = 3 + 3(0,8) = 5,4 𝑥5 = 3 + 4(0,8) = 6,2

𝑏−𝑎 𝑛

=

7−3 5

=

4 5

= 0,8 = ∆𝑥

Realizamos la sumatoria 5

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 = 𝑓(3) 0,8 + 𝑓(3.8)0,8 + 𝑓(4,6) 0,8 +𝑓(5,4) 0,8 + 𝑓(6,2)0,8 𝑖=1 5

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 = 𝑓(0) 0,8 + 𝑓(1,6)0,8 + 𝑓(3,2) 0,8 +𝑓(4,8) 0,8 + 𝑓(6,4)0,8= 12,8 𝑖=1

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en GeoGebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=12 Solución:

Sea f(x) una función continua en el intervalo [𝑎, 𝑏]. La aproximación del área bajo la curva utilizando sumas de Riemann, con n particiones está dada por la siguiente sumatoria: 𝑛

𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 𝑖=1

Con 𝑖 = 1, 2, 3, … . 𝑛. Si tenemos [𝑎, 𝑏] entonces ∆𝑥=

𝑏−𝑎 𝑛

Para 𝑛 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5. 𝑥1 = 𝑎 𝑥1 = 𝑎 + 1(∆𝑥) 𝑥1 = 𝑎 + 2(∆𝑥) 𝑥1 = 𝑎 + 3(∆𝑥) 𝑥1 = 𝑎 + 4(∆𝑥) 𝑛

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 = 𝑓(𝑥1 ) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2 ) ∆𝑥 +𝑓(𝑥3 ) ∆𝑥 +𝑓(𝑥4 ) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥5 ) ∆𝑥 𝑖=1

Aplicamos estos conceptos a nuestra función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6

intervalo [3, 7] n=12

𝑛=12

𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 𝑖=1

Con 𝑖 = 1, 2, 3, … . 𝑛. Si tenemos [3, 7], entonces ∆𝑥= Para 𝑛 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5.

𝑏−𝑎 𝑛

=

7−3 12

=

1 3

= 0,3333333333 = ∆𝑥

𝑥1 = 3 𝑥2 = 3 + 1(0,3) = 3,333333333 𝑥3 = 3 + 2(0,3) = 3,666666667 𝑥4 = 3 + 3(0,3) = 4 𝑥5 = 3 + 4(0,3) = 4,333333333 𝑥6 = 3 + 5(0,3) = 4,666666667 𝑥7 = 3 + 6(0,3) = 5 𝑥8 = 3 + 7(0,3) = 5,333333333 𝑥9 = 3 + 8(0,3) = 5,666666667 𝑥10 = 3 + 9(0,3) = 6 𝑥11 = 3 + 10(0,3) = 6,333333333 𝑥12 = 3 + 11(0,3) = 6,666666667

Realizamos la sumatoria 12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 = 𝑓(3) 0,3 + 𝑓(3,3)0,3 + 𝑓(3,6) 0,3 +𝑓(4) 0,3 + 𝑓(4,3)0,3 + 𝑖=1

𝑓(4,6)0,3 + 𝑓(5)0,3 + 𝑓(5,3)0,3 + 𝑓(5,6)0,3 + 𝑓(6) + 0,3 + 𝑓(6,3) + 0,3 +𝑓(6,6)0,3 12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 = 𝑓(0) 0,3 + 𝑓(0,6)0,3 + 𝑓(1,2) 0,3 +𝑓(2) 0,3 + 𝑓(2,6)0,3 + 𝑖=1

𝑓(3,2) 0,3 +𝑓(4) 0,3 +𝑓(4,6) 0,3 +𝑓(5,2) 0,3 +𝑓(6) 0,3 +𝑓(6.6) 0,3 + 𝑓(7,2)0,3 = 12,96

Siga los siguientes pasos:

-

Graficar la función𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=12.

Al compara los resultados observamos que, entre mayor se n la aproximación tiende a ser mas exacta, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 = 16 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑛6 = 12,8 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑛12 = 12,96

Ejercicios B Sumas de Riemann. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann. Ejercicio b.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 En el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=5. Solución Tenemos en cuenta que suma de Riemann está dado por 𝑛

𝑏

𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 𝑖 →𝛼 𝑎 𝑖=1

Tenemos que ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

Aproximamos los datos a un integral 5

𝑏 2

∫ 𝑓(𝑥 − 3) + 1 𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 𝑎

𝑖=1

Ya que tenemos el valor de n, no es necesario utilizar el límite. Hallamos ∆𝑥 a=0 b=2 ∆𝑥 =

2−0 = 0.40 5

Tenemos que ∆𝑥 nos indica cada cuanto está variando el valor de xi a lo largo de la gráfica, entonces podemos hallar el valor de xi para cada uno de los n.

𝑥1 = 0.4 𝑥2 = 0.4 + 0.4 = 0.8 𝑥3 = 0.8 + 0.4 = 1.2 𝑥4 = 1.2 + 0.4 = 1.6 𝑥5 = 1.6 + 0.4 = 2 Evaluamos la función en cada uno de la xi. 𝑓(𝑥1) = (0.4 − 3)2 + 1 = 7.6 𝑓(𝑥2) = (0.8 − 3)2 + 1 = 5.84 𝑓(𝑥3) = (1.2 − 3)2 + 1 = 4.24 𝑓(𝑥4) = (1.6 − 3)2 + 1 = 2.96 𝑓(𝑥5) = (2 − 3)2 + 1 = 2 Evaluamos cada uno de los 𝑥𝑖 en la sumatoria y obtenemos un aproximado del resultado. 5

𝑏 2

∫ 𝑓(𝑥 − 3) + 1 𝑑𝑥 = ∑(7.6 + 5.84 + 4.24 + 2.96 + 2) ∗ 0.4 = 9.056 𝑎

𝑖=1

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=10 Solución Tenemos en cuenta que suma de Riemann está dado por 𝑛

𝑏

𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 𝑖 →𝛼 𝑎 𝑖=1

Tenemos que ∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

Aproximamos los datos a un integral 5

𝑏 2

∫ 𝑓(𝑥 − 3) + 1 𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 𝑎

𝑖=1

Ya que tenemos el valor de n, no es necesario utilizar el límite. Hallamos ∆𝑥 a=0 b=2 ∆𝑥 =

2−0 = 0.2 10

Tenemos que ∆𝑥 nos indica cada cuanto está variando el valor de xi a lo largo de la gráfica, entonces podemos hallar el valor de xi para cada uno de los n.

𝑥1 = 0.2 𝑥2 = 0.2 + 0.2 = 0.4 𝑥3 = 0.4 + 0.2 = 0.6 𝑥4 = 0.6 + 0.2 = 0.8 𝑥5 = 0.8 + 0.2 = 1 𝑥6 = 1.0 + 0.2 = 1.2 𝑥7 = 1.02 + 0.2 = 1.4 𝑥8 = 1.4 + 0.2 = 1.6 𝑥9 = 1.6 + 0.2 = 1.8 𝑥10 = 1.8 + 0.2 = 2

Evaluamos la función en cada uno de la xi. 𝑓(𝑥1) = (0.2 − 3)2 + 1 = 8.84 𝑓(𝑥2) = (0.4 − 3)2 + 1 = 7.76 𝑓(𝑥3) = (0.6 − 3)2 + 1 = 6.76

𝑓(𝑥4) = (0.8 − 3)2 + 1 = 5.84 𝑓(𝑥5) = (1 − 3)2 + 1 = 5 𝑓(𝑥6) = (1.2 − 3)2 + 1 = 4.24 𝑓(𝑥7) = (1.4 − 3)2 + 1 = 3.56 𝑓(𝑥8) = (1.6 − 3)2 + 1 = 2.96 𝑓(𝑥9) = (1.8 − 3)2 + 1 = 2.44 𝑓(𝑥10) = (2 − 3)2 + 1 = 2

Evaluamos cada uno de los 𝑥𝑖 en la sumatoria y obtenemos un aproximado del resultado. 𝑏

∫ 𝑓(𝑥 − 3)2 + 1 𝑑𝑥 = 𝑎 5

∑(8.84 + 7.76 + 6.76 + 5.84 + 5 + 4.24 + 3.56 + 2.96 + 2.44 + 2) ∗ 0.2 = 9.88 𝑖=1

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los (10) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con

n= 5 →9.056 n=10→9.88

Ejercicio C

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=6. Sabemos que la integral se puede expresar por la suma de Riemann de la siguiente manera 𝑛

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 𝑎

𝑖=1

Sabiendo que ∆𝑥=

𝑏−𝑎 3−0 = = 0.5 𝑛 6

Si expresamos los valores de 𝑓(𝑥𝑖 ) como: 𝑥𝑖 = 𝑎 + ∆𝑥 ∗ 𝑖 = 0.5𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) = 4𝑥 3 + 1 = 4(0.5𝑖)3 + 1 i

F(xi)

1 2 3 4 5 6

1.5 5 14.5 33 63.5 109 6

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗∆𝑥 = (1.5 + 5 + 14.5 + 33 + 63.5 + 109) ∗ 0.5 = 113.25 𝑖=1

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 1 en el intervalo [0, 3], en donde use una partición de n=12 Ahora resolvemos con n=12 se tiene que

∆𝑥= 0.25 𝑥𝑖 = 0.25𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) = 4𝑥 3 + 1 = 4(0.25𝑖)3 + 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F(xi) 1.0625 1.5 2.6875 5 8.8125 14.5 22.4375 33 46.5625 63.5 84.1875 109

12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗ 𝑖=1

∆𝑥 = (1.0625 + 1.5 + 2.6875 + 5 + 8.8125 + 14.5 + 22.4375 + 33 + 46.5625 + 63.5 + 84.1875 + 1 ∗ 0.25 = 98.0625

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

SOLUCION 3

𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 𝑥 2

Sabemos que la derivada de una integral se puede expresar como 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑑𝑔(𝑥) [∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡] = 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑑𝑥 𝑎 𝑑𝑥

Ahora dividimos la integral en dos integrales de la siguiente forma 𝑥2

𝑥2

𝐾

∫ 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 𝑥 2

𝑥 2

𝐾

Además arreglamos la primera para que quede de la siguiente forma 𝑥 2

𝑥2

− ∫ 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑡(3 + 𝑡)𝑑𝑡 𝐾

𝐾

Aplicamos la definición y obtenemos 𝑥 𝑥 1 𝐹 ′ (𝑥) = − (3 + ) ∗ + 𝑥 2 (3 + 𝑥 2 ) ∗ 2𝑥 2 2 2

SOLUCION 4

Calcular la siguiente integral definida:

𝜋

∫ −𝜋

𝜋 [𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + ) + 1] 𝑑𝑥 2

Podemos resolver la integral como 𝜋

𝜋 2 ∗ ∫ [𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + ) + 1] 𝑑𝑥 2 0 Si convertimos el termino 𝜋 𝜋 𝜋 𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + ) = 𝑠𝑒𝑛 ( − 𝑥 − ) = 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 2 2 2 Reescribiendo la integral original

𝜋

2 ∗ ∫ [−𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1]𝑑𝑥 0

Resolviendo por linealidad 𝜋

𝜋

2 ∗ [∫ −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥 ] 0

𝜋

∫ −𝜋

0

𝜋 𝜋 𝜋 [𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + ) + 1] 𝑑𝑥 = 2 ∗ [∫ −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥 ] = 2 ∗ [cos(𝑥)|𝜋0 + x|𝜋0 ] 2 0 0 = 2 ∗ (0 − (−𝜋)) = 6.28319

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.

-

Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Ejercicios D Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=8.

La función del valor absoluto, 𝑥 2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 2 − 1 ≥ 0 |𝑥 2 − 1| = { −(𝑥 2 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 2 − 1 < 0 Entonces, |𝑥 2 − 1| = {

𝑥 2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 𝜖 𝑅, (−∞, −1]𝑈[1, ∞) −(𝑥 2 − 1) 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1

Graficando en geogebra, la función con particiones n=8

Primero dividimos el intervalo de [-1,2] en n particiones ∆𝑥 =

2 − (−1) 3 = 𝑛 𝑛

Según el valor absoluto, se debe realizar por segmentos. En este caso se usarían dos particiones de las cuales son,

Cuando −1 < 𝑥 < 1, ∆𝑥 =

1 − (−1) 2 = 𝑛 𝑛

El termino x es, 𝑥 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 𝑥 = −1 +

2𝑖 𝑛

Cuando 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∆𝑥 =

2 − (1) 1 = 𝑛 𝑛

El termino x es, 𝑥 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 𝑥 =1+

𝑖 𝑛

La enésima suma de Riemann es, 𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛=1

𝑛=1

𝑖 2 1 2𝑖 2 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = ∑ |(1 + ) − 1| ( ) + ∑ |− (−1 + ) + 1| ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Simplificando, 𝑛

𝑛

𝑛=1

𝑛=1

2𝑖 𝑖 2 1 4𝑖 4𝑖 2 2 = ∑ [(1 + + 2 ) − 1] ( ) + ∑ [− (1 − + 2 ) + 1] ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛=1

𝑛=1

2𝑖 𝑖 2 1 4𝑖 4𝑖 2 2 = ∑ [ + 2] ( ) + ∑ [ − 2 ] ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝑛

𝑛=1

𝑛=1

2𝑖 𝑖 2 8𝑖 8𝑖 2 = ∑ [ 2 + 3] + ∑ [ 2 − 3 ] 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

Separando las sumatorias,

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛=1

𝑛=1

𝑛=1

𝑛=1

2𝑖 𝑖2 8𝑖 8𝑖 2 = ∑ [ 2] + ∑ [ 3] + ∑ [ 2] − ∑ [ 3 ] 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

Sacando de la sumatoria las constantes y términos n, 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛=1

𝑛=1

𝑛=1

𝑛=1

2 1 8 8 = 2 ∑[𝑖] + 3 ∑[𝑖 2 ] + 2 ∑[𝑖] − 3 ∑[𝑖 2 ] 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Sumando términos en común,

𝑛

𝑛

𝑛=1

𝑛=1

10 7 = 2 ∑[𝑖] − 3 ∑[𝑖 2 ] 𝑛 𝑛 Reemplazando los términos de la i, 𝑛

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

∑[i2 ] = ( 𝑛=1

𝑛

∑[i ] = ( 𝑛=1

6 𝑛 ( 𝑛 + 1) 2

)

)

Reemplazando,

=

10 𝑛(𝑛 + 1) 7 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) ( )− 3( ) 2 𝑛 2 𝑛 6

Simplificando,

=

10 𝑛 + 1 7 (𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) ( )− 2( ) 𝑛 2 𝑛 6

Para la partición n= 8, reemplazamos en la ecuación final,

=

10 8 + 1 7 (8 + 1)(2(8) + 1) 363 ( )− 2( )= = 2.836 8 2 8 6 128

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=16 Graficando en geogebra,

Para la partición de n=16, se tiene que

=

10 16 + 1 7 (16 + 1)(2(16) + 1) 1411 ( )− 2( )= = 2.756 16 2 16 6 521

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 8 y n=16.

La integral con gegogebra es,

Comparando los resultados,

𝐺𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎: 2.666 𝑛 = 8: 2.836 𝑛 = 16: 2.756

Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración. Ejercicio d. 𝑥

1 𝑑𝑡 2 1/𝑥 1 − 𝑡

𝐹(𝑥) = ∫

Por medio del primer teorema del cálculo, 𝐹(𝑥) =

𝑑 𝑏(𝑥) ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑏(𝑥))𝑏´(𝑥) − 𝑓(𝑎(𝑥))𝑎´(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎(𝑥)

Entonces,

𝑥

1 1 1 1 𝑑𝑡 = ∗ 1 − ∗ (− ) 2 2 1 1 − 𝑥2 𝑥 1/𝑥 1 − 𝑡 1− 2 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ Simplificando, 𝐹(𝑥) =

1 1 1 1 𝑥2 − ∗ (− ) = − 1 − 𝑥2 𝑥2 − 1 𝑥2 1 − 𝑥 2 𝑥 2 (𝑥 2 − 1) 2 𝑥

𝐹(𝑥) =

1 1 − 2 2 1−𝑥 𝑥 −1

Ejercicio D Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 En el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=6.

𝐴 ≈ ∑6𝑖=1 𝑓 (xi)∆x Hallamos delta de x de la siguiente forma ∆x=

𝑏−𝑎 𝑛

entonce reemplazamos los datos que tenemos ∆x=

2−(−2) =0,66 6

Para el ejercicio nos dicen que n=6 entonces i=1,2,3,4,5,6. Asi que procedemos a calcular los valores de X1,X2….X6. X1=a

es decir

X1=-2

X2=a + (∆x)

es decir

X2=-2+0,66= -1,34

X3=a + 2(∆x)

es decir

X3=-2+2(0,66)= -0,68

X4=a + 3(∆x)

es decir

X4=-2+3(0,66)= -0,02

X5=a + 4(∆x)

es decir

X5=-2+4(0,66)= 0,64

X6=a + 5(∆x)

es decir

X6=-2+5(0,66)= 1,3

Procedemos a aplicar los valores obtenidos en la sumatoria: 𝐴 ≈ ∑6𝑖=1 𝑓 (xi)∆x= 𝑓(−2)0,66 + 𝑓(−1,34)0,66 + 𝑓(−0,68)0,66 + 𝑓(−0,02)0,66 + 𝑓(0,64)0,66 + 𝑓(1,3)0,66

Resolvemos cada función para proceder a sumar y obtener el resultado. 𝐴 ≈ ∑6𝑖=1 𝑓 (xi)∆x= 𝑓(1,9993)0,66 + 𝑓(1,9997)0,66 + 𝑓(1,9999)0,66 + 𝑓(1,9999)0,66 + 𝑓(1,9999)0,66 + 𝑓(1,9997)0,66 = 9,2581

𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔(𝒙) + 𝟏