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Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES Villalobos, Paula [email protected] Fundación Universitaria Konrad Lorenz

Resumen: en este documento se mostrará a través de un ejercicio la aplicación de integrales dobles. Índice de términos: densidad, masa, coordenadas. I.

INTRODUCCIÓN

La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteará tiene una aplicación de conceptos físicos tales como densidad y masa. II. FORMULACIÓN La frontera de una lámina está formada por los semicírculos y = 1 − x 2 y y = 4 − x 2 junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen.

Gráfica 1. Lámina formada por los semicírculos

y = 1 − x2 y y = 4 − x2

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III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

( )

Las coordenadas x, y del centro de masa de la lámina que ocupa una región D y con una función de densidad ρ ( x, y ) son:1 x=

My 1 = x ρ ( x, y ) dA m m ∫∫ D

y=

Mx 1 = y ρ ( x, y ) dA m m ∫∫ D

Donde la masa m está dada por:

m = ∫∫ ρ ( x, y )dA D

Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo

2

2

x + y =a

2

.Como la

densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto ( x, y ) al centro del círculo (el origen) es x 2 + y 2 , por lo tanto la función de la densidad es:

ρ ( x, y ) = K x 2 + y 2 Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces x 2 + y 2 = r y la región está dada por 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π

-

Convertimos a coordenadas polares:

ρ ( x, y ) = K x 2 + y 2 ⇒ ρ (r , θ ) = Kr -

Hallamos m: π 2

m = ∫∫ ρ ( x, y )dA = ∫∫ K x + y dA = ∫ ∫ ( Kr )rdrdθ 2

D

2

0 1

D

π 2

π

m = K ∫ ∫ r 2 drdθ = K ∫ 0 1

0

2

π

r3 7 7 = K ∫ dθ = θ 31 3 3 0

π

=K 0

7π 3

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Gráfica 2. Relación del
θ con respecto a

-

ry y

Hallamos y partiendo de la Gráfica 2., donde tomamos el ángulo θ , entonces:

y r y = rSenθ

Senθ =

-

Hallamos y : y=

1 y ρ ( x, y )dA m ∫∫ D

3 y= 7π K π

π 2

3 ∫0 ∫1 rSenθ ( Kr )rdrdθ = 7π K 42

π

π

∫ r Senθ Kdrdθ 3

0

π

π

3 3 1 3 15 45 45  y= Senθ r = Senθ  4 −  dθ = Senθ dθ = = 0.5115 ( Cosθ ) = ∫ ∫ ∫ 7π 0 4 1 7π 0 4 7π 4 0 28π 28π  0

Observando la Gráfica 2. encontramos que x = 0 , luego el centro de masa de la lámina es ( 0, 0.5115)

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REFERENCIAS

1

Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición