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MATEMÁTICAS FINANCIERAS ANUALIDADES Y GRADIENTES

GILDARDO PORRAS MACHADO INSTITUCION UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA FACULTAD DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Matemáticas financieras - Unidad 2. Criterios de evaluación financiera Actividad: Anualidades y gradientes Competencia específica: Definir conceptos de anualidades y gradientes, con el objetivo de comprender ecuaciones matemáticas relacionadas con la administración del dinero en el tiempo para la solución de problemas, mediante la valoración de instrumentos financieros. 1. Defina con sus propias palabras qué es gradiente. 2. Una máquina de centrifugar se cancela en 18 cuotas mensuales que aumentan de forma mensual en $30.000 y el valor de la primera cuota es de $220.000. Si la tasa de interés es de 3,5 % mensual, hallar el valor de la máquina de centrifugado. 3. Del ejercicio anterior, calcular la cuota #12.

Anualidades: Según pude comprender de las lecturas realizadas en los materiales de apoyo de la biblioteca virtual las anualidades son una sucesión de pagos, generalmente iguales que se proyectan en períodos constantes de tiempo. Es importante tener en cuenta que, a pesar de su nombre, las anualidades no implican el efecto de pagos de rentas de año a año, por el contrario, solo se hace referencia a una secuencia de pagos con características constantes (iguales en todos los casos) y con intervalos de tiempo regulares, de tal manera que como ejemplo surgen las obligaciones convencionales que tenemos pactadas por pago mensual muchos ciudadanos tales como alquiler mensual, pago de seguros, recibos etc. La manera gráfica se representa en el siguiente esquema.

Se hace necesario por cierto conocer ciertos términos que se deben tener en cuenta a la hora de realizar el cálculo de anualidades.  

Renta: valor nominal de cada pago periódico. Período de pago de renta: tiempo fijado entre dos pagos sucesivos.

 

Plazo de la anualidad: tiempo que transcurre desde el inicio del primer pago y el final del último. Tasa de la anualidad: tasa de interés fijada en la operación financiera.

Actualmente, el cálculo de anualidades simples ya cuenta con modelos matemáticos para su cálculo, como lo es:

A= renta o pago periódico J= tasa nominal anual i= tasa efectiva por período de capitalización m= número de períodos capitalizables en un año n= número de períodos de pago Vf= monto o valor de la anualidad Valor futuro para anualidades simples vencidas

Valor presente para anualidades simple vencidas

.

Gradientes: Son una serie de pagos periódicos en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad, esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior,

De acuerdo al monto en que varía el pago se determina el tipo de gradiente, que puede ser aritmético geométrico. Existen diferentes formas en los que se pueden presentar los gradientes, y estos son: Anticipados: la fecha de pago se realiza al final del periodo de tiempo. Vencidas: la fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo. Diferidas: es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia. Perpetuas: Su aplicación es perpetua, n tiende al infinito.

DESARROLLO DE EJERCICIO PROPUESTO. 1.Una máquina de centrifugar se cancela en 18 cuotas mensuales que aumentan de forma mensual en $30.000 y el valor de la primera cuota es de $220.000. Si la tasa de interés es de 3,5 % mensual, hallar el valor de la máquina de centrifugado. Gradiente Aritmético. A=$220.000 G=$30.000 N=18 meses i= 3,5% 𝒑 = 𝑨(

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑮 (𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 𝑵 ) +/− ( )−( ) 𝒏 𝒏 𝒊(𝟏 + 𝒊) 𝒊 𝒊(𝟏 + 𝒊) (𝟏 + 𝒊)𝒏

(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟖 − 𝟏 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟖 − 𝟏 𝟏𝟖 ) ( )−( ) 𝒑 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ( +/− 𝟎, 𝟎𝟑𝟓(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟖 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 𝟎, 𝟎𝟑𝟓(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟖 (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟖

𝑃 = $5′ 882.832,857 R/ el valor final de la máquina de centrifugado es $5′ 882.832,857.

Esquema grafico de representación.

18

220000 250000 280000 310000

220000+(𝒏 − 𝟏)(𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎)

Del ejercicio anterior, calcular la cuota #12. Para el pago #12 tenemos: 𝑨𝟏𝟐=𝑨𝟏 (𝟏+𝑮)𝒏−𝟏 𝑨𝟏𝟐=𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏+𝟎,𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟐−𝟏 𝑨𝟏𝟐=𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏,𝟒𝟓) 𝑨 = 𝟑𝟏𝟗𝟎𝟎𝟎 R/ El valor de la cuota numero 12 seria $319.000 pesos m/c

Referencias.

Rodríguez Franco, J., Pierdant Rodríguez, A. I., y Rodríguez Jiménez, E. C. (2014). Bloque 2. Calculas tipos de anualidades. En Rodríguez Franco, J., Pierdant Rodríguez, A. I., y Rodríguez Jiménez, E. C., Matemáticas financieras 2

Chu Rubio, M. y Agüero Olivos, C. (2015). 4. Gradientes. En Chu Rubio, M. y Agüero Olivos, C., Matemática para las decisiones financieras https://es.slideshare.net/lucydesantamartacolombia/gradientes-39878363