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EJERCICIOS DE ANUALIDADES Y GRADIENTES 1. Un banco otorgó un préstamo por $11.000 a una tasa de interés anual de 8% y acordó que se le pagaría en 10 cantidades iguales al final de cada año, dando inicio en el primero. Después de pagar la quinta anualidad el banco ofrece, como alternativa, hacer un solo pago de $7.000 al final8izar e siguiente año, es decir, ya no se harían los cinco años restantes sino uno solo al final del sexto año. Determine qué opción de pago le conviene aceptar al deudor para liquidar las últimas cinco anualidades?

RESPUESTA. En primer lugar se establece cuál es la A que deberá pagar a lo largo de 10 años. ⌊

⌊

⌋

⁄

⌋

De esta A= 1639, se han liquidado cinco de 10 pagos. Entonces es necesario calcular cuánto se debe al final del sexto año. (Hacer gráfica) Como las alternativas de pago es una sola cantidad en el año seis, la para ese periodo es: ⁄ Como $7068 es más que $7000, debe tomarse la alternativa de hacer un solo pago de $7000 al finalizar el sexto año. Después de haber determinado que para liquidar el préstamo se harán 10 pagos de A = $1639, calcúlese año con año, cuál será la deuda al final del sexto año. Se construye una tabla que muestre por año, deuda y pagos hechos. La diferencia de 7070 – 7068 = 2 se debe al redondeo de cifras por el uso de tablas. Obsérvese que se hicieron 5 pagos de A y todavía debe considerarse un año más de interés, puesto que la propuesta del banco es que le paguen una sola cantidad al final del años sexto. La solución al problema sería aceptar hacer un solo pago al final del año sexto con lo que ahorraría $70.

2. Una persona pide $3.000 prestados y acuerda finiquitarlos en 4 pagos. El segundo pago a será mayor que el primero en $200; el terceo será mayor que el segundo por $200 y el

cuarto será mayor que el tercero también por $200. S la i = 10%, cuál es el valor del primer pago? RESPUESTA Obsérvese que aquí hay un gradiente g = +200. Aplíquese el teorema fundamental y despéjese A: ⁄

⁄

⁄

⁄

Si se utiliza la fórmula de gradiente, se tiene lo siguiente: ⁄ ⁄

3.

Una persona compró un auto en $24.000 y acordó pagarlo en 36 mensualidades iguales a unja tasa de interés del 1% mensual. Un plan alternativo de pago consiste en dos anualidades de $4.218,50nal final del primero y segundo años, y ya no pagará las últimas 12 mensualidades. Determine cuál es mejor plan de pago: 36 mensualidades iguales o 24 anualidades más dos anualidades de $4.218, 50 al final de los meses 12 y 24 RESPUESTA Primero se calculan a cuanto ascenderían las 36 mensualidades: ⁄

[

]

Si el plan alternativo consiste en pagar 24 mensualidades de $797.14 más 2 anualidades (A) de $4218.50, (hacer el diagrama de flujo). Si A‘= 4218.50 determine el valor presente de la serie de pagos, ⁄

⁄

⁄

Como el VP de ambos planes es exactamente $24000, no importa cuál plan elija. Segundo: trasladar toda la corriente de pagos al futuro en el mes 36. ⁄

⁄

⁄

⁄

De acuerdo con los resultados de los 2 planes se pagará lo mismo en términos del valor del dinero en el mes 36 4.

Se compró una TV en $1.200 a un plazo de 24 mensualidades iguales. El primer pagos se hará un mes después de haberla adquirido. El comprador cree que es posible que a1.5% los 12 meses pueda pagar, además de la mensualidad, una cantidad de $312,y que para saldar su deuda le gustaría seguir pagando la misma mensualidad hasta el final. Este pago adicional hará que el número mensualidades disminuya. Calcule en que fecha se termina de pagar el televisor, si se adquirió el 1 de enero, y la tasa de interés que se cobra es de 1,5% mensual. Respuesta: Primero se calcula a cuánto asciende el pago mensual A: ⁄

Al término de la anualidad 12 será de: ⁄ Pero en ese momento aporta $312, por lo que su deuda disminuye a: 653.17-312=341.17 Hasta aquí sabemos que VP=341.17, A= 59.88, i = 1.5% mensual, ya que se desea seguir pagando la misma A = $59.88 hasta saldar la deuda. Pero, si queremos saber con cuántos pagos adicionales de A se cubre toda la duda, se procederá como sigue: *

De la fórmula *

+ se conocen todos los datos excepto N. + Así, sabemos que N es menor que 12. Por prueba y

error se encuentra que N = 6. Otra solución: Si sólo se quiere utio8izar la fórmula básica para resolver todo el problema , entonces siga el ejemplo para el pago de los 24 pagos mensuales: Para calcular la deuda después de haber hecho 12 pagos se construye la tabla 1. En el momento de hacer el pago 12 el saldo será de $653.52. Si se hace un pago adicional de $312 la duda disminuye a $341.52. Con este dato se construye la tabla 2. De esta forma se confirma que con seis pagos adicianales A = $59.9, se cubre totalmente la deuda. Los residuos en los pagos se deben a l redondeo de cifras. PAGO INTERÉS PAGO PAGO A DEUDA MENSUAL PRINCIPAL DESPUÉS DE PAGO 0 1200 1 18 59.9 41.9 1158.1 2 17.37 59.9 42.52 1115.57 3 16.73 59.9 43.16 1072.40 4 16.08 59.9 43.81 1028.58 5 15.42 59.9 44.47 984.10 6 14.76 59.9 45.13 938.96 7 14.08 59.9 45.81 983.14 8 13.39 59.9 46-50 846.63 9 12.69 59.9 47.20 799.42 10 11.99 59.9 47.90 751.41 11 11.27 59.9 48.62 702.88 12

10.54

59.9

49.35

653.52

TABLA 2 PAGO 0 1

INTERÉS

5.12

PAGO MENSUAL

59.9

PAGO A PRINCIPAL 54.77

DEUDA DESPUÉS DE PAGO 341.52 286.74

2 3 4 5 6

4-30 3.46 2.62 1.76 0.88

59.9 59.9 59.9 59.9 59.9

55.59 56-43 57.27 58.13 50.01

231.14 174.70 117.42 59.28 0.26

5. Un préstamo de $1.000 se está pagando con anualidades de $80, a una tasa de interés del 5% anual. Un año después de hecho el préstamo empezó a pagarse. Si después de siete años se cuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dos pagos iguales únicos, al final de los años 9 y 11, ¿A cuánto ascenderán estos pagos de forma que salden totalmente la duda? RESPUESTA: Datos: VP = $10000; N = 24; i = 0.12/12 = =.01. Este tipo de problemas se resuelve en 2 partes. La primera consiste, desde luego, en calcular el valor de c/u de las 24 mensualidades iniciales. Es decir, si el estudiante se sitúa en el lugar del deudor, al adquirir la deuda nadie sabe lo que va a pasar en el futuro, de forma que inicialmente se calculan las 24 mensualidades, y es hasta el final del octavo mes en que cambian las condiciones del problema, lo cual se convierte en la segunda parte de la solución. Calculo de las 24 mensualidades iguales: *

+

En este problema se utilzarán 7 cifras decimales para efectos de demostració. En un problema propuesto normal la solución sería simplemente $470.73. Ahora supóngase que han transcurrido 8 meses desde que se realizó el primer pago, y se le informa al deudor que la tasa de interés del préstamo disminuyo al 9% anual con capitalización mensual. La pregunta inicial en ésta segunda parte del problema es ¿cuál es la nueva deuda después de haber pagado 8 mensualidades? La respuesta se puede obtener al menos de 3 formas distintas, dependiendo del periodo en que se quieren comparar el dinero a su valor equivalente. Estos periodos son: . Comparación del dinero en : Pasar lo 8 pagos qu se han realizado a su valor en *

+

Se tiene una deuda inicial de $10000 en y se han pagado $3601.910401. La nueva deuda en es: 10000 – 3601.910401 = 6398.089599. Pero en realidad lo que interesa es conocer esta deuda en su valor equivalente ( en que es el periodo donde cambia el interés: . Comparación en : La deuda de 10000 se lleva a su valor equivalente en . Los 8 pagos realizados también llevan a a su valor equivalente:

*

+

.

Se resta la cantidad que se debe menos la cantidad que se ha pagado, y el resultado será la nueva deuda después de pagar 8 mensualidades:

Al comparar el dinero en la diferencia entre los resultados obtenidoses de tan sólo 0.00008, lo cual por el efecto de redondeo de las calculadoras, se considera que es el mismo resultado. Otra forma de cálculo, en la cual también se toma como período de comparación a consiste en llevar en llevar a su valor equivalente a todos los pgos que se han efectuado, es decir, 16 pagos. Asimismo, calcular de manera directael valor presebnte en de los pagos no efectuados es equivalente a calcular la deuda pendiente después de *

realizar 8 pagos:

+

. Este resultado

difiere de los 2 anteriores en exactamente 0.000044, de manera que todos se consideran resultados iguales. Una cuarta forma de llegar al mismo resultado consiste en calcular, mes por mes, cuál es el saldo insoluto o deuda pendiente. Cualquiera que sea el método utilizado, se necesita obtener la duda pendiente o saldo insoluto después de pagar 8 mensualidades iguales, cuyo valor es el de $6928.214225, se calcula el valor de la nueva mensualidad, teniendo en cuenta que faltaban por pagar sólo 16 mensualidades. Ahor el nuevo intrés es: [

]

6. Se pide un préstamo de $2.500 a un banco que cobra un interés de 9% anual capitalizado mensualmente. El préstamo deberá cubrirse en cinco pagos iguales cada fin de año, que iniciaran un año después de recibir el préstamo. Calcule los siguiente: a) ¿A cuánto ascienden los pagos anuales?; b) ¿A cuánto ascienden estos pagos so la capitalización es semestral? RESPUESTA: Datos: *

Entonces tenemos: Entonces:

*

+ Obtenemos

(

)

+

Una forma alternativa de cálculo sería emplear la fórmula básica y el teorema fundamental.

Si la capitalización es semestral: (

[

)

]

Como se puede observar, capitalizar en periodos más cortos produce un cobro mayor en las anualidades.

7. Una persona compró un auto en $25.000. Dio un enganche de 20% y deberá cubrir el saldo en 18 pagos mensuales. Si el vendedor cobra un interés del 15% anual capitalizable mensualmente, por este tipo de crédito, ¿a cuánto ascenderán cada uno de los 18 pagos? RESPUESTA: Primera solución: La deuda total es de: 25000 – 25000(0.2) = $20000. El interés efectivo mensual es: Aquí es necesario considerar el interés mensual y no el anual. Dado que los pagos son mensuales. Una consideración adicional importante es que el primer pago se hace tres meses después de iniciada la operación. De ésta manera, si se desea emplear la fórmula A =VP( ⁄ es necesario trasladar a su valor equivalente la deuda inicial de $20000 al mes 2, ya que al tener ahí la duda inicial, es posible la aplicación de la fórmula; de otra manera el resultado sería erróneo. Así tenemos que: Deuda en el mes 2; *

Y

+

Otra alternativa sería trasladar la deuda del año cero $20000 a su valor equivalente al final del mes 2º (los dos primeros sin pagar, más 18 meses de pago).

⁄

*

+

8. Una persona compra a plazos un mueble que tiene un precio de cinco contados de $10.000. El trato es pagar 24 anualidades iguales, realizando el primer pago al final del primer mes. El interés que se cobra es del 3% mensual. Justo después de pagar la mensualidad número 10, la empresa informa al comprador que el interés ha disminuido al 2% mensual. Determinar el valor de c/u de las últimas 14 mensualidades que se deberán hacer para liquidar la deuda. RESPUESTA: Como en este tipo de problema no se sabe que va a suceder en el futuro con las tasas de interés, el primer paso en la solución es calcular las 24 mensualidades con las que se pagará la deuda, si no cambia el interés en el futuro. NOTA: Como este problema es un ejemplo de solución, para efectos de demostración los cálculos se hacen con 7 cifras decimales. En general, la solución deberá contener sólo dos cifras decimales y, además, se debe redondear el último decimal.

Continuando con la solución, ahora el problema consiste en determinar cuál es la deuda pendiente después de haber pagado 10 mensualidades. Este c´lculo se puede realizar de 4 formas distintas. Primera. ¿Cuánto se ha pagado con 10 mensualidades? [

]

Al comparar el dinero en , esta cantidad es la que se ha pagado. El saldo insoluto o deuda restante se obtiene restando a la deuda en , que es $10000, la cantidad que se ha pagado: 10000 – 5036.8643502 = 4963.1356508. Esta cantidad es la que se degbe3 ne , que es $10000, la cantidad que se ha pagado: 10000 – 5036.8643502 = 4963.1356508 Esta cantidad es la que se debe en , pero en el problema interesa conocer cuál es la cantidad que se debe al final del mes 10 Si ésta es la nueva deuda, entonces el valor de c/u de las últimas 14 mensualidades, ahora con un interés del 2% mensual es: [

]

Segunda solución: Se hace una comparación similar, pero se toma como el periodo de comparación el final del mes 10. Es decir, el saldo insoluto o deuda pendiente al final de sin haber efectuado algún pago: Cantidad que se ha pagado de la deuda, co la aportación de 10 mensualidades de $590.4741595: [

]

La resta de ambas cantidades, es decir, lo que se debe menos lo que se ha pagado, determinará directamente el saldo insoluto o deuda o deuda pendiente al final del Tercera solución: Una solución más directa es llevar a su valor equivalente las 14 mensualidades que no se han pagado, lo cual determinará de manera directa cuáles el saldo insoluto después de haber pagado 10mensualidades. En este cálculo todavía se utiliza una i = 3% mensual, puesto que sólo determina el saldo insoluto y aún no intenta calcular la nueva mensualidad: [

]

Con reste resultado se vuelve a calcular el valor de c/u de las 14 mensualidades restantes, pero con el nuevo interés del 2% mensual. Éstas arrojan un valor de A = 550.9583868. Como se puede observar, los resultados son casi idénticos, y presentan una variación de resultados hasta el sexto decimal.

Cuarta solución: Una solución más sencilla, pero mucho más laboriosa requiere ir determinando, mes a mes, cuál es el saldo insoluto que queda después de pagar esa mensualidad. Si se sigue ese procedimiento haciendo el cálculo par 10 meses, se llegará a resultados idénticos a los obtenidos en las tres soluciones anteriores.

9. Se tiene una deuda por $10.000 para pagar en 24 mensualidades iguales, que se empezarán a pagar al final del primer mes después de adquirir la deuda. Se cobra un interés del 12% anual con capitalización mensual. Luego de realizar e lpago al final del mes 8, se le informa al deudor que el interés del préstamo disminuyo al 9% anual. Determinar el valor de c/u de las últimas 16 mensualidades que se deben para pagar para saldar la deuda. Respuesta: Este tipo de problemas se resuelve en 2 partes.