• Author / Uploaded
• Daniela Alberca Merino

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE ECONOMIA

Integrantes:

Alberca Merino Daniela Raquel Almestar Bereche Brenda Anahí Baca Vilchez Jeny Clavijo Villaseca Alejandro Del Valle Chávez María José

Tema:

Anualidades con Gradiente Aritmético y Geométrico

Docente:

Chinga Nolasco Doris

Curso:

Matemática Financiera

Piura- Perú 2017

INTRODUCCIÓN

Es corriente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una obligación financiera en cuotas periódicas a una tasa de interés, durante un tiempo determinado. Cuando las cuotas son constantes la operación recibe el nombre de anualidad, por el contrario si las cuotas son cambiantes se le denomina gradiente. En el presente trabajo abordaremos el tema de gradientes, que son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente. Primero se dará a conocer lo que es anualidad con gradiente aritmético, con sus respectivas fórmulas de valor presente y valor futuro o monto. Luego se hablará de lo que es anualidad con gradiente geométrico, dando a conocer también las fórmulas de valor presente y futuro. Asi como también se expondrán las aplicaciones de las anualidades con gradientes.

ANUALIDADES

Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Sí los pagos son diferentes o alguno de ello es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades.

RENTA: El valor de pago periódico recibe el nombre de renta. PERIODO DE PAGO O PERIODO DE LA RENTA: El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos. TIEMPO O PAGO DE UNA ANUALIDAD: El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del último. RENTA ANUAL: La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual. TASA DE UNA ANUALIDAD: El tipo de interés fijado es la tasa de anualidades y puede ser nominal o efectiva. ANUALIDADES PERPETUAS O PERPETUIDADES: Estas son una variación de las anualidades ciertas, en las que la duración del pago, en teoría, ilimitada. ANUALIDADES INMEDIATAS: Estas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar el primer periodo. ANUALIDADES DIFERIDAS: Son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos.

ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES *Ordinarias o vecindades *Inmediatas

*Anticipadas

*Diferidas

*Perpetuas inmediatas

*Perpetuas diferidas

*Perpetuas diferidas

VALOR DE LAS ANUALIDADES

El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de esta. El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente.

VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS INMEDIATAS

Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por esto, cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata. Símbolos utilizados para las anualidades *A= pago periódico de una anualidad o renta * i= tasa efectiva por periodo de capitalización *j= tasa nominal anual *m= número de capitalizaciones en el año *j (m) = tasa nominal con m periodos de capitalización. *n= número de periodos de pago *F= monto de una anualidad o su valor futuro *P= valor actual o presente de una anualidad S

1

2

A

3

n-1

A

A

A

A

A

n

A A

Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes periodos. El primer pago acumula durante(n-1) periodos, el segundo (n-2) periodos y, así, sucesivamente, hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de término.

CALCULO DEL VALOR PRESENTE

El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad. *Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha final, se tiene:

P

0

S

1

2

n-2

P (1+i )n=S

n

P (1+i ) =¿

P=

A ( 1+i )n−1 i

A (1+i)−1 −n ( 1+i ) i

[

−n

1−(1+i) P= A i

] −n

NOTACION ALGEBRAICA: NOTACION ESTANDAR:

1−( 1+ i ) =Factor de Valor Presente i (P/A , i %, n) = factor de valor presente

n-1

GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO En el gradiente lineal o aritmético cada flujo es igual al anterior incrementado o disminuido en una cantidad constante en pesos (G) y se le denomina variación constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la variación

constante

es

negativa,

se

genera

el

gradiente

aritmético

decreciente.

Con las expresiones siguientes se encuentra un valor presente (VP) y un valor futuro (VF) de una serie gradiente lineal o aritmética, conocidos el número de pagos (n), el valor de cada pago (A), la variación (G) y la tasa de interés (i).

Para calcular el valor de cualquier flujo de caja en una serie gradiente aritmética, se usa la siguiente expresión:

GRADIENTE LINEAL CRECIENTE

Valor presente de un gradiente lineal creciente

Es un valor ubicado en el presente que resulta de sumar los valores presentes de una serie de pagos que aumentan cada periodo una cantidad constante (G).

GRADIENTE GEOMETRICO

Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentando en un porcentaje fijo. Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.

FÓRMULAS DEL GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE Y DECRECIENTE

ANUALIDADES CON GRADIENTE GEOMETRICO

Este tipo de anualidad cuyas rentas son variables siguiendo una ley en progresión geométrica. Una renta de términos variables en progresión geométrica es aquella cuyos términos se obtienen multiplicando por una cantidad constante el término anterior. La base permanece constante y a variación es un gradiente geométrico En el siguiente diagrama la base se designa por R

El crecimiento geométrico de las rentas de una anualidad se presenta en el siguiente diagrama:

P= Valor Presente R= Cuota base, es el importe del primer término de la anualidad g= Razón de crecimiento geométrico i= es el tipo de interés constante al que valoramos la renta. N= Tiempo

Valor presente de una anualidad cuyas rentas crecen geométricamente

n−1 r¿ ¿ ¿ PG = 1¿ a¿ ¿

donde

a

1=

R 1+i

r=

g 1+i

se deduce la fórmula del valor presente de

una anualidad cuyas rentas varían en progresión geométrica.

Obtención de la formula cuando G ≠ 1+i

2

P=

R 1+i

1+i¿ ¿ + R.g ¿

1+i¿3 ¿ + R . g2 ¿

1+i ¿n ¿ + R . gn−1 ¿

Con la fórmula de la suma de una progresión geométrica

P

g 1+i ¿ ¿ ¿ R ¿ 1+i ¿¿

n

1+i¿ ¿ 1+i¿ n ¿ 1+i¿ n ¿ ¿ gn ¿ R ¿ 1+i ¿

P=

n

1+i ¿ ¿ n 1+i ¿ n g −¿ ¿ R¿ P=¿

n

1+i ¿ ¿ 1+i¿ n(g−1−i) ¿ P= n g −¿ ¿ R¿

n

1+i ¿ ¿ 1+i ¿n gnformula −¿ Obtención cuando G = 1+i  de la ¿ ¿ R P= ¿

1

2

P=

1+i¿ ¿ R ¿

1+i¿ ¿ + R.g ¿

P=

R +¿ g

R. g +¿ 2 g

P=

R +¿ g

R +¿ g

P=

3

1+i¿ ¿ + R . g2 ¿

n

+………+

2

R. g +¿ …… + 3 g

R g

1+i ¿ ¿ R . gn−1 ¿

+ ……… +

R g

n−1

R. g n g

+

R g

+

R g

n.R g

Valor futuro con gradiente geométrico

Se calcula su respectivo valor futuro, al llevar ese importe del presente n períodos hacia el futuro. Para hallar el Monto, simplemente se debe utilizar la relación entre el Monto de la anualidad:

1+ i¿n ¿ 1+ i¿n ¿ 1+ i¿n gn−¿ . ¿ ¿ ¿ R S= ¿

Ejercicios de aplicación

A=Renta o pago de una anualidad G=Valor del Gradiente

P=Valor Presente De la anualidad con gradiente aritmético S=Valor Futuro de la anualidad con gradiente aritm é tico

i=Tasa de Inter é s n=N ú mero de Periodos o Pagos

AG =Valor Presente de los pagos gradientes

Ejercicio 1

Una persona contrae la obligación de pagar $3 000 cada fin de mes durante un año, aumentando sus pagos sucesivos en $200 cada mes, hallar:

a) A la tasa del 24% capitalizable mensual, el valor presente de su obligación b) Si se desea sustituir su obligación por otra equivalente con una tasa del 12% efectiva mensual, con pagos mensuales iguales, ¿Cuánto deberá pagar mensualmente? c) Dicha persona adquiere una nueva obligación, ahora a pagar $1 000 cada fin de mes, aumentando sus pagos mensuales en $100 durante un año y medio, con un interés de 24% CM. Hallar el valor futuro de dicha obligación. Solución Pago en el mes 12= $3 000 +$ 200 (12-1) = $5 200

Separando la base A del gradiente G, se tiene que el valor P es igual a la suma del Valor Presente de la base de $3 000 más el valor de AG: Valor Presente de la anualidad:

[

1−( 1+i )−n P= A i

]

Valor Presente del Gradiente:

[

−n G 1−( 1+i ) AG = −n ( 1+i )−n i i

]

Valor Presente de la anualidad con Gradiente Aritmético:

(

1−( 1+ i ) P= A i

−n

) {

−n G [ 1−( 1+i ) ] −n + −n (1+i ) i i

A=3 000 , G=200 ,i=

(

0,24 =0,02 , n=12 12

−12

1− (1+ 0,02 ) P=3000 0,02

}

)

{

−12 200 [ 1−( 1+ 0,02 ) ] −12 + −12 ( 1+0,02 ) 0,02 0,02

P=3 000 ( 10.57534122 )+ 10 000 ( 10.57534122−9.461918107 )

}

P=31 726.02366+11 134.23113

P=42860.25

b)

P=42860 . 25 , i=18 =0,18 , n=12

R=P

(

i 1−( 1+i )−n

R=42 860. 25

(

)

0,18 −12 1− (1+ 0,18 )

)

R=42 860. 25 ( 0.2086278089 )

R=$ 8 941 .84 c)

A=1 000 , G=100 , i=0, 02 ,n=18

{

[

(1+i )n−1 G ( 1+i )n −1 S= A + −n i i i

]}

S=1 000

{

[

( 1+0,02 )18−1 100 ( 1+0,02 )18−1 + −18 0,02 0,02 0,02

]}

S=1 000 { 21.41231238+5 000 ( 3.412312379 ) }

S=1 000 ( 17 082. 97421 )

S=17 082 974 . 21

EJERCICIO 2 Aplicando una TEM (Tasa Efectiva Mensual) de 4%, calcule el valor presente de la anualidad con rentas en progresión geométrica que se ilustra en el siguiente diagrama.

Solución:

La razón de crecimiento geométrico la obtenemos dividiendo cualquier flujo entre el anterior, por ejemplo: 110,25/105= 1,05 P= ?

P= R

R=100

(1 + i)

g - (1 + i ) g - ( 1+ i)

i= 0,04 g= 1,05 n= 6

P=

100

1,05 - (1 + 0,04)

(1 + 0,04) 1,05 – (1 + 0,04) =590,97

CONCLUSIONES

-En conclusión, una renta de términos variables en progresión geométrica es aquella cuyos términos se obtienen multiplicando por una cantidad constante el término anterior. Y en el gradiente lineal o aritmético cada flujo es igual al anterior incrementado o disminuido en una cantidad constante. -A lo largo de la exposición logro demostrarse que la importancia de las anualidades radica en la posible amortización de préstamos en abonos. -También se demostró que una anualidad sirve para conocer el monto total de dinero al finalizar el año; que pagaras o recibirás por un préstamo o una ganancia que hayas realizado.