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• Edgar Fernando Martinez Sanchez

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ANUALIDADES DIFERIDAS Y PERPETUAS Lic. MARTÍNEZ SANCHEZ,EDGAR 1. INTRODUCCIÓN Cuando en un contrato de crédito u operación similar que debe amortizarse con cuotas uniformes, por acuerdo expreso de las partes, el pago de esas rentas empieza después del vencimiento de uno o varios períodos de renta, contados a partir del inicio del plazo pactado, se está ante el caso de una anualidad diferida.

2. ANUALIDADES DIFERIDAS Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo; desde el momento en que la operación quedó formalizada recibe el nombre momento inicial o de convenio. El intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio del plazo de la anualidad se llama período de gracia o período de diferimiento. El período de gracia se mide utilizando como unidad de tiempo el correspondiente a los períodos de pago. Por ejemplo, si dentro de cuatro meses se dará el primer pago de una anualidad vencida de $500 mensuales, y cuyo plazo es de seis meses, se tendrá el siguiente diagrama de tiempo.

En este ejemplo el período de gracia es de 3 años, ya que el final del tercer mes coincide con el comienzo de la anualidad vencida, el cual es de 6 meses. Para resolver problemas de anualidades diferidas no es necesario deducir nuevas fórmulas, ya que éstas pueden ser tratadas como anualidades vencidas o anticipadas. En esta separata, al resolver Problemas de anualidades diferidas, éstas se tratarán como anualidades vencidas, ya que esto es lo más usual.

2.1. Valor futuro s de una anualidad diferida El monto o valor futuro de una anualidad diferida es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo, desde el momento en que una determinada operación quedó formalizada. Ejemplo 1 Valor futuro s de una anualidad diferida La compañía Holandesa Foretrend Company adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400,000, suponiendo que la TNA es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse. Solución

2.2. Valor presente P de una anualidad diferida El valor presente de una anualidad diferida se define como la suma de los valores presentes de una serie de pagos iguales efectuados después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que una determinada operación quedó formalizada.

Ejemplo 1 Valor presente P de una anualidad diferida En el problema anterior, hallar el valor presente de las utilidades que la compañía Holandesa Foretrend Company obtendrá, al momento de adquirir los yacimientos de mineral.

Renta uniforme en función de P Para calcular la renta uniforme en una anualidad diferida, se debe tener en cuenta que mientras transcurre el período de gracia, una de las siguientes situaciones se lleva a cabo: 1. Que al final de cada período de pago se liquiden o paguen los intereses generados por el capital original. Es este caso estamos hablando de un período de gracia normal o parcial. 2. Que los intereses generados dentro del período de gracia se capitalicen. En este caso, estamos frente a un período de gracia total. En la mayor parte de las situaciones reales se lleva a cabo la segunda opción, pero a continuación veremos algunos ejemplos de cada uno de ellos. Ejemplo 1 Renta uniforme en función de P El señor Víctor Gómez obtiene un préstamo del Banco continental por $50.000, el mismo que será destinado para la compra de un auto 0 km. BMW-Serie 5. El préstamo se pagará a través de 60 pagos mensuales, después de un período de gracia total (los intereses no se pagan, si no se capitalizan) de un año. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la TNA es del 27.% capitalizable cada mes. Solución Ejemplo 2 Renta uniforme en función de P Resuelva el problema anterior, suponiendo que el banco Intesa, sólo nos ofrece un período de gracia normal, vale decir, durante el periodo de gracia se pagan los intereses. Solución:

3. PERPETUIDADES Una renta perpetúa o perpetuidad es una anualidad cuyo plazo no tiene fin. Este tipo de anualidades se presenta cuando se invierte un capital y únicamente se retiran los intereses; por tanto, mientras se mantenga invertido el capital, se tendrá una renta perpetua. Son ejemplos de rentas perpetuas los siguientes:

• Los legados hechos a centros de investigación, organismo de beneficencia, universidades, etc., que son invertidos y cuyos intereses son utilizados al final de cada periodo. • Los dividendos provenientes de acciones preferentes de una compañía.

3.1. Valor futuro s de una perpetuidad Puesto que los pagos de una renta perpetua, en teoría no terminan nunca, es imposible calcular el valor futuro de los mismos.

3.2. Valor presente P de una perpetuidad El valor actual de una renta perpetua se encuentra perfectamente definido. Por ejemplo, si una persona deposita en un banco la cantidad de $50.000, la misma que paga una TEM del 1,5% mensual, pasado el mes, esta persona puede retirar $7.50 ($50.000 * 0,015) dejando intacto e inalterable su capital inicial. Los mismos podría hacer al final del segundo mes, y el capital inicial sería el mismo, y así sucesivamente. De esto se dice que $50,000 son el valor actual de una renta perpetua de $7.50 por mes. Este tipo de rentas, pueden ser vencidas, anticipadas o diferidas. Sin embargo, las rentas perpetuas vencidas son las más usadas en el mundo de los negocios. En este punto analizaremos este tipo de rentas. Estas rentas las podríamos visualizar a través de la siguiente gráfica:

El valor presente o valor actual de la renta perpetua vencida es aquella cantidad P que, en un periodo de interés, produce R de intereses. En el ejemplo anterior P son los $50.000 que están depositados en el banco y R son los $7.50 que gana dicho deposito en intereses. Esto es: P.i=R Esto es:

P=

R i

Ejemplo 1 Valor presente P de una perpetuidad Según el testamento del reconocido catedrático Jorge Chang, se establece que deberá pagarse al Hospital “Mi Buen Jesús”, una renta perpetua de $50.000, pagaderos al final de cada año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que se encuentra invertido a una TNA de 18%? Solución: Ejemplo 2 Valor presente P de una perpetuidad

Cierta universidad estadounidense recibe semestralmente una donación por $100.000 para otorgar becas para estudios de postgrado a estudiantes latinoamericanos de escaso recursos económicos. Si la TNA es 25% capitalizable cada mes, determine el valor presente de la donación Solución:

PRACTICA DOMICILIARIA N° 5 SANCHEZ, EDGAR

Lic, MARTINEZ

Anualidades diferidas 1. La compañía Norteamericana Repsol adquiere unos yacimientos petrolíferos en la selva peruana; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demorarán 3 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $25.000.000, suponiendo que la TNA es del 7.% y que los yacimientos se agotarán después de 25 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse. Rpta. $1.581.225.943 2. Hallar el valor presente de las utilidades que la compañía Repsol obtendrá, al momento de adquirir los yacimientos de petróleo. Rpta. $237.819.881 3. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales cada uno. Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular el valor de cada cuota, aplicando una TNA de 36% capitalizable trimestralmente. Rpta. $113.492,69 4. Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la TNA del 6% el valor presente de la producción. Rpta. $3.428.396,90 5. La señorita Susy Gonzáles obtiene un préstamo del Banco BBVA por $3.000, el mismo que será destinado para la compra de una computadora portátil de última generación. El préstamo se pagará a través de 36 pagos mensuales, después de un período de gracia total (los intereses no se pagan, si no se capitalizan) de un año. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la TNA es del 24% capitalizable cada mes. Rpta. $149,27. Perpetuidades 6. Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con TNA de 12% convertible mensualmente. Rpta. $475.732,84 7. Los ex alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estiman en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la TNA es del 7%. Rpta. $235.000 8. Encuentre el pago mensual de una perpetuidad cuyo valor presente es de $360,000, suponiendo una TNA de 25% capitalizable cada mes. Rpta. $7.500 9. Según el testamento del reconocido médico George Anderson, se establece que deberá pagarse al Hospital “Metropolitano”, una renta perpetua de $10.000, pagaderos al final de cada año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que se encuentra invertido a una TNA de 15%? Rpta. $66.666,67.

10. El testamento de Don Julio Fabre establece que una parte de sus bienes se invertirán de modo de Cáritas reciba, a perpetuidad, una renta de $7.0.000 al inicio de cada año. Si la TNA es 23% anual, encuentre el valor presente de la donación. Rpta. $37.4347,83