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Tema No. 9 Unidad III: Anualidades 3.4 Anualidad perpetua 3.4.1 3.4.2 3.4.3

Caracterìsticas Valor presente Renta

En los negocios, es frecuente que ciertas rentas, salvo sucesos imprevistos, se paguen indefinidamente. Entre muchas otras, las rentas que pagan a perpetuidad son la renta de un terreno, las donaciones efectuadas por filántropos, que son invertidas y cuyos intereses periódicos se les entregan a centros de investigación o de beneficiencia, los dividendos sobre las acciones preferentes de una compañía, las sumas de dinero que es necesario reservar cada perìodo de tiempo para proveer la reposición de activos, mantenimiento de puentes, carreteras y, en general, todos los elementos de servicios de una comunidad. Definiciòn: Una anualidad perpetua o perpetuidad es aquella que està compuesta por pagos periódicos iguales efectuados indefinidamente sin lìmite de tiempo. Tal es el caso que se presenta cuando se invierte un capital y sòlo se retiran los intereses generados, dejando intacto el capital invertido.

Como hablamos de una serie de pagos que se inician en una fecha fija, pero cuyo plazo o duración no tiene fin, es imposible obtener el monto o valor futuro de los mismos. Sin embargo, el valor Actual si puede establecerse, ya que para tener derecho a percibir una renta perpetua habrá que efectuar una inversión inicial, la cual no es otra cosa que el valor actual o presente de la serie de pagos. Por ejemplo, si se realiza el depòsito de $5,000 en una cuenta bancaria que abona el 14.4% anual capitalizable trimestralmente, se podrán retirar $1800 cada trimestre, permaneciendo inalterable la suma invertida. Si se deja indefinidamente el capital en manos del banco, es obvio que la percepción de los $1800 trimestrales constituye una anualidad y, dentro de la suposición de que no existe una fecha para retirar el depòsito, la anualidad es perpetua. Como vemos los $5,000 son el valor actual o presente de una anualidad o renta perpetua de 1800 trimestral. Al igual que las anualidades antes vistas, las anualidades perpetuas pueden ser ordinarias, anticipadas o diferidas. Valor presente anualidad perpetua simple ordinaria o vencida: Una anualidad perpetua ordinaria o vencida es aquella en que el valor de la renta “R” es igual a los intereses generados por una inversión al final de cada período.

Si llamamos “P” al capital invertido (por tiempo indefinido) a la tasa de interés “i”, el valor de la Renta será igual al interés generado en cada perìodo, el cual està dado por: R=Pi

Valor de la Renta

El valor actual de una anualidad perpetua ordinaria o vencida simple, es decir la inversión que proporciona la serie indefinida de pagos “R”, se obtiene con la fòrmula que resulta al despejar a “P” de la ecuaciòn anterior: P=

R i

Valor Actual o Presente de una Anualidad Perpetua simple ordinaria o

vencida

Ejemplo 1: Una empresa donò $6500 a un asilo de ancianos. Si el dinero se depositò en una cuenta bancaria que abona una tasa de interés del 14.1% anual capitalizable bimestralmente. Cuànto podrá retirar la administración del asilo al final de cada bimestre por tiemplo ilimitado? Soluciòn: Datos:

m= 6 veces

P= $6500 j = 14.1% anual

i

Pc = bimestral = 2 meses

=

j m

i

=

14 . 1 % 6

bimestral

R = ? Cuànto podrá retirar

la administración del asilo cada bimestre Pp = bimestral Pp = Pc

Sustituyendo en la fòrmula del valor de la Renta:

R = (6500)( R = $1527.5

R=Pi

(14 .61 % )

Es lo que podrá retirar la administració n del asilo al final de cada bimestre por tiemplo ilimitado por el depò sito de la donació n de $6500 en la cuenta bancaria que abona una tasa de interés del 14.1% anual capitalizable bimestralmente.

Ejemplo 2: Cuàl es la cuantìa de la inversión que debe efectuarse al 10.8% convertible mensualmente, de modo que garantice una renta indefinida mensual de $1566, quedando intacta dicha inversión? Soluciòn: Datos:

m= 12

P= ? La cuantìa de la inversión j = 10.8% anual

i

=

j m

i

=

10 . 8 % 12

mensual

Pc = 1 mes R = $1566 indefinido Pp = mensual Pp = Pc

Sustituyendo en la fòrmula de Valor Actual o Presente de una Anualidad Perpetua ordinaria o vencida simple : P= P=

R i

1566 10. 8 % 12

P = $174,000 Es la cuantía de la inversió n que debe efectuarse al 10.8% convertible mensualmente, de modo que garantice una renta indefinida mensual de $1566, quedando intacta dicha inversió n.

Valor presente anualidad perpetua simple anticipada: Una anualidad perpetua anticipada es aquella en que el pago de la renta perpetua “R” se hace de inmediato, es decir, al inicio de cada perìodo. Esto es equivalente a una anualidad perpetua ordinaria o vencida màs un primer pago que debe efectuarse en la fecha inicial.

El valor actual de una anualidad perpetua anticipada simple es aquella cantidad “P” que, disminuida en la primera cuota “R”, y colocada a la tasa de interés por perìodo “i” , produce como intereses una Renta perpetua:

( P−R ) . (i)=R De donde resulta:

P= R +

R i

Valor actual renta perpetua simple

anticipada Si el pago que debe efectuarse en la fecha inicial es distinto de R,

Entonces,

el valor actual vendría dado por:

P= C 0 +

R i

Ejemplo 1: Cuàl es el valor actual de una anualidad perpetua anticipada, si la renta tiene un valor de C$13800 mensuales, con una tasa de interés del 14.4% anual convertible mensualmente?

Soluciòn: Datos:

m= 12

P= ? Valor actual de una anualidad perpetua anticipada R = C$13,800 Pp = mensual

i

j = m

i

=

14 . 4 % 12

mensual

j = 14.4% anual Pc = 1 mes Pp = Pc

Sustituyendo en la fòrmula de Valor actual renta perpetua anticipada simple: P= 13800 +

P= R +

R i

13800 14 . 4 % 12

P = C$1,163,800,000

Es el valor actual de una anualidad perpetua anticipada, si la renta tiene un valor de C$13800 mensuales, con una tasa de interés del 14.4% anual convertible mensualmente?

Ejemplo 2: Un organismo no gubernamental hace donación en equipos médicos, a un hospital de Nicaragua. La donación consiste en un desembolso de $500,000 para la adquisición de los equipos y $17,500 anuales para su mantenimiento. ¿Cuál es el valor actual de la donación, si la tasa de interés es de 10% anual?

Soluciòn: Datos: Co = $500,000 R = $17,500 Pp = anual P= ? Valor actual de la donaciòn

i = 10% anual

Sustituyendo en la fòrmula cuando el pago que debe efectuarse en la fecha inicial es distinto de R: P= C 0 +

R i 17500 10 %

P= 500000 + P = $675,000.00

es el valor actual de la donación si se hizo un desembolso de $500,000 para la adquisición de los equipos y $17,500 anuales para su mantenimiento con una tasa de interés del 10% anual.

Valor presente anualidad perpetua simple diferida: Una anualidad perpetua diferida es aquella que contiene un intervalo de aplazamiento o período diferido Como se muestra en el diagrama:

Donde

P=

R ( 1+r ) − k i

Ejemplo: Determinar el valor efectivo de una serie de desembolsos semestrales de C$20,000 de forma indefinida, el primer desembolso será al tèrmino del segundo año a un interés del 12% CS.

Soluciòn: Datos: m=2 P= ? Valor efectivo de los desembolsos

i

R = C$20,000 Pp = semestral Primer desembolso al tèrmino del año 2 = t1

=

12 % 2

semestral

n1= 2 añ os x 2 = 4 semestres

j = 12% pc= semestral pp = pc

Sustituyendo en la fòrmula de valor presente anualidad perpetua simple diferida: P=

P=

R ( 1+r ) − k i

20000 12 % 1+ 12 % 2 2

(

P = C$279,873.09

)

−3

Es el valor efectivo de una serie de desembolsos semestrales de C$20,000 de forma indefinida, con el primer desembolso tèrmino del segundo año a un interés del 12% CS.

Ejercicios 1. La construcción de una carretera entre dos ciudades de Nicaragua costo $18 millones de dólares. Los proyectista estiman que es necesario crear un fondo para cubrir el costo de mantenimiento anual, el cual se calcula en aproximadamente 2.3% del valor inicial de la construcción. Determinar el valor que se deberá poner en el fondo para asegurar el mantenimiento, si la tasa de interés es del 6% anual. $6,900,000 2. La compañía Magma S.A espera pagar $2.50 cada seis meses, indefinidamente, como dividendo sobre sus acciones preferentes. Suponiendo un rendimiento de 6% convertible semestralmente, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar Lucero por cada acción? $83.33 3. Hallar el pago semestral de una perpetuidad cuyo valor presente es $36,000 suponiendo un interés de 4% CS. $720 4. En una localidad, las inversiones rinden el 14%, con capitalización semestral. Un comerciante que muestra en su libro una utilidad semestral de $252,000, en promedio de los últimos balances, ofrece

en venta su

negocio por $3, 800,000. Determine si es o no una oferta atractiva, e indicar el precio máximo que puede pagarse por el negocio. $3, 600,000 5. ¿Qué cantidad es necesaria para patrocinar una serie de conferencias que cuestan $2,500 al principio de cada año, indefinidamente, suponiendo intereses al 5% CT. $51,572.20

6. Una granja produzca $5,000 anuales indefinidamente. ¿Cuál es su valor real sobre la base de 5%? $100,000 7. Hallar el valor actual de una perpetuidad mensual de $5000 cuyo primer pago se hará dentro de seis meses, con tasa nominal de 12% convertible mensualmente. $475732.84 8. Los exalumnos de una universidad deciden donar un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $200,000 y el mantenimiento se estima en $35,000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva de interés es del 7%. $700,000 9. Cuànto puede retirar cada mes y por tiempo ilimitado la Sra. Gonzàlez, si le son depositados C$970,000 en un banco que paga una tasa de interés del 18.72 % anual compuesto por meses. C$15132.00. 10. Para poder hacer retiros perpetuos de $300 cada bimestre, Què cantidad se tendrá que depositar en este momento en un fondo de inversión que paga el 3.5% con capitalización bimestral? $51,428.57 11. Un inversionista decide arrendad su propiedad por $450 mensuales anticipados en forma indefinida. Recibe una oferta que consiste en recibir un solo pago el dìa de hoy equivalente a toda la serie de pagos mensuales, si su tasa de interès de oportunidad es del 3.50% mensual, que pago ùnico debe aceptar? $13,307,142.68 12. Un colegio calcula que el nuevo edificio de la sociedad de alumnos requerirá $800 de mantenimiento al final de cada año por los próximos 10 años y posteriormente $1,500 al final de cada año, indefinidamente. ¿Qué donativo se hace necesario para asegurar el mantenimiento del edificio, suponiendo intereses de 4%? $31,822.38 8. Hallar el valor presente de una perpetuidad de $780 pagaderos al final de cada año, suponiendo un interés de, a) 6% efectivo, b) 6% CS, c) 6% CT quitarlo 8.8) 11.