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• Juan Carlos Angulo Garcia

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MATEMATICA APLICADA A LOS NEGOCIOS: ANUALIDADES 1.-Calcular el valor presente de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: S/.20.000 de contado, S/.1.000 por mensualidades vendidas durante 2 años y 6 meses y un ultimo pago de S/.2.500 un mes después de pagada la ultima mensualidad. Para el cálculo, utilizar una TNA de 9% con capitalización mensual. 20 000 1000

0

1000 1000 1000

1

2

3

1000 1000 1000

4

28

29

2500

30

MESE S

31

TNA=9%capitalizado mensualmente TEM=0.75% P=20 000+1000[(1+i)n-1/i(1+i)n]+2500(1+i)-n P= 20 000+1000[(1.0075)30-1/(0.0075)(1.0075)30]*+2500(1.0075)-31 P=48758.17 2.-Una mina en explotación genera ingresos anuales de S/.8’000000 y se estima que se agotará 10 años. Hallar el valor presente del valor de la producción, si el rendimiento anual del dinero es del 8%. TEA= 8%

0

8’

8’

1

2

8’

3

8’

8’

8’

4

5

6

8’

7

P=8’000000[(1.08)10-1/(0.08)(1.08)10=53’680651.19

8’

8

8’

9

8’

10

AÑOS

3.-En el momento de nacer su hija, un señor depósito S/.1500 en una cuenta que abona el 8% anual, dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a S/.3000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. TEA= 8% F=?

0

1

1500

2

3

1500

4

5

6

7

8

1500

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1500

AÑOS

3000 3000 3000 3000 3000

A=[(1+i)n-1/i] F=1500[(1.08)19-1/0.08]+1500[(1.08)7-1/0.08]=75553.59

4. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés anual, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. F=?

F=100[(1.005) ʌ240-1]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ¨´´240

0

(0.005)

MESES

F= 46204.09

100 100 100 100 100 100 100 TNA= 6 % TEM= 0.5%

5

Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2´400,000. Suponiendo que la tasa comercial es del 8% anual y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.

F=? 0 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ´´´20 Años 2´400 2´400 2´400 2´400 2´400 2´400

F=2´400,000 [(1.08) ^15 -1]

TEA= 8%

(0.08)

F=65165073.43

6

Se adquiere una deuda agropecuaria por $20,000 a la tasa preferencial de 6% anual. La forma de pago es: un año y medio de gracia y luego pagos sucesivos trimestrales durante 5 años. Determine el monto de dichos pagos.

20000

P´=?

0 24….25

5

6 trimestres

7

A

A

8

A

9 ………. …..

A

A

n = 20

TEA =6% TET =( ( 1.06 )1/4 - 1

) * 100 = 1.467384617%

Ƿ´=20000 *(1.01467384617)5

 0.01467(1.01467)^ 20  1.01467  20  1  

A  21511.09 

Ƿ´=21511.09

A

A= 1248.9 7

Cuanto tendrá que depositar mensualmente durante un año empezando hoy para juntar $730,000 si se considera una tasa de interés de 3% mensual. TEA =3 %------- 0.03 F´ F= 730000 0 1

2

3

¨´´

11

12

MESES

A A AA

A

F´=730000(1.03)^-1=708737.8641



 i  n  1  i   1 

A F

 0.03  A  708.737.8641  12  1.03  1

A=49,939.15 8. El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria y planea depositar $ 200 en una cuenta de ahorros al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa de interés es del 27% anual capitalizable mensualmente ¿cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?

T N A = 2 7 % - - - - - -T E M = 2 . 2 5 % F= ? 0 1

2

3

¨´´

95

96

MESES 200 200 200 200

 1  i  n  1   i  

F  A

200

200

 1.0225 96  1  0.0225  

F  200

F= 66364.4682 9. Raquel desea jubilarse en este año, y cree que necesitará $ 5,000 cada mes durante los siguientes 15 años. Su banco le paga el 24% anual compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes?

T N A = 2 4 % - - - - - - -T E M = 2 % P=? 5000

0

5000 5000 5000

1

2

3

4

5000 5000 5000

177

178

5000

179

180

 1  i  n  1    i (1  i )^ n 

MESE S

P  A

1.02 180  1 

p  5000

 

 0.02(1.02)^180 

P= 242922.024 10).-¿Cuánto se tiene que depositar cada mes en una inversión que gana una TNA de 18%, capitalizable mensualmente, para tener $ 75,000 al final de 4 años? TNA=18% TEM=1.5%

F=75, 000 MESES

0

A

1

2

A

A

46

A

47

A

48

A

F=75,000 TEM= 18%/12

=1.5%

A=75,000*(0.015/(1+0.015)˄(48)-1) A=1,078.12 11).-La Sra. Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por 650 mil pesos. Ella escogió no tomar la cantidad de contado, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido al 24% anual capitalizable cada mes, ¿qué cantidad recibirá cada mes la Sra. Aguilar?

(SERIES VENCIDAS)

P=650

TEM=2% MESES 0 1

2

143

144

A=650,000*((0.02)*(1+0.02)˄144/(1.0.02)˄(144)-1) A=13,796.81

12).- Una familia compra un terreno que cuesta $ 80,000. Pagan un enganche del 10 % del precio de contado y obtienen una hipoteca a 5 años para pagar el resto al 30% anual convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de los pagos mensuales?

TNA= 30%

TEM=2.5%

MESES 0

80,000 MENOS EL ADELANTO DEL 10% NOS QUEDARIA

1

2

60

A= 72,000*(0.025)*(1.025)˄(60)/(1.025)˄(60)-1)

A= 2,329.44. 13. Con el fin de construir un edificio, destinado a renta de oficinas, un inversionista obtiene un préstamo de $3’450,000 que se va a liquidar en 36 pagos mensuales vencidos, después de un periodo de gracia de un año. Obtenga el valor del pago mensual sabiendo que la tasa de interés es del 36% anual capitalizable mensualmente. TEM=3% 0.03 P=3450000

P´=?

Meses 0

1

2…

12 13 14 A

…..

A

48

A

P´=3450000(1.03)12 = 4918875.06

( 0.03 ) ( 1.03 )36 [ ] A=4918875.06 ( 1.03 )36−1

A=225303.1408

14) ¿Cuánto se necesita ahorrar cada fin de año en una cuenta que paga 10% de TEA para acumular $50,000 al momento de realizar el 5° depósito? TEA=10% 0 A A

1 A

2

F=50000

3

A

4

5

Años

A

( 0.10 ) A=50000 ( 1.10 )5 −1

A=8189.87

15 En el momento de nacer su hija, un señor depositó $ 500 en una cuenta que abona el 10% anual; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Calcular la suma que tendrá acumulada al cumplir ella los 20 años. TEA = 10%

0 15

1 16

2 3 4 17 18 19 20

5

6

F = ¿?

7

8

9

10

11

12

13

14

500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500

500 500 500

500

500

500

500 500 500

500

1

F= 500 (1+0. ¿ ¿21 -1 0. 1 F = 32001.25 16) Una persona deposita $300 al final de cada mes en una cuenta que abona el 18% de interés anual, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 10 años.

F=?

Meses 0

1 2

3

120

300 300 300

300

TNM= 18% TEM=1.5% n = 120 meses (en 10 años )

F=A (1+i

¿n

-1

i 120

A=300

1+0.015 … ¿ −1 ¿ ¿ ¿

A= 99386.46

17.- Un estudiante gana una beca de estudios que le otorga $2000 mensual y que comenzará a recibir dentro de tres meses. Calcule el valor actual de la beca si el interés es del 12% anual capitalizable mensualmente y la beca tiene una duración de 5 años.

TEM= 1%

Pʹ

P=?

2000

2000

2000

MESE S 0

2

3

4

5

62

Pʹ = 2000

((1,01)^60) -1 0.01(1.01)^60

P = Pʹ ((1,01)^-2) P = 2000 ((1,01)^60) -1

(1.01)^-2

0.01(1.01)^60

P = 88138.4931 18) Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 24 meses en una cuenta bancaria que paga el 1.5% mensual. ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente el interés?

TEM= 1.5% F=?

MESE S 1

2

3

4

24 320

F = 320

320

320

320

320

((1.015)^24) - 1 0.015

F = 9162.73 19. La compañía Alfa-Omega, S.A., desea acumular $ 1'000000 en una cuenta, al término de 7 años. ¿Qué depósito hecho al final de cada bimestre es necesario, si la cuenta paga una TEA de 30%? TEB = 4.469750779 %

F = 1´000 000

BIMEST RESRES 1 42

2

3

4

A

A

A

A

A

TEA = 30% ((1.30)^1/6TEB= 1)*100 4.469750 TEB= 79 % A= 1000000 [ 4.46975079 %/(( 1+4.46975079%) ^42)-1] A= S/.8,473.70 20. El Sr. Jáuregui compra una pequeña fábrica para el cromado de la madera mediante un pago inicial de $ 500000 y el resto a 2 años de plazo mediante pagos cuatrimestrales de $ 250000 cada uno; el primero con vencimiento al final de un año. Hallar el valor actual de la fábrica si la tasa de interés es de un 2.5% mensual. TEC= 10.38% P´ 0 2 3 Cuatrimestres

250000

4

5

6

7

8

250000 250000 250000 250000 250000

500000 P1= 500000 P´=250000[(1.1038)^6-1/0.1038(1.1038)] = 1076796.494 P=P´ (1.1038)^-2 = 883743.86 P total = 500000+ 883743.86 = 1383743.86

21. Una empresa tiene una letra de $ 1000000 que vence dentro de 10 meses y desea pagarla anticipadamente en 10 pagos mensuales iguales vencidos. ¿Cuál es el valor del

pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1.2%?

TEM = 1.2 %

F = 1´000 000

MESE S 1

2

3

4

10 A

A

A

A

A

A= 1`000 000 [ 0.012/(1.012)^10-1]

A= 94718.06 22) IGUAL QUE LA PREGUNTA 19 23. Un empleado desea acumular $115,000 dentro de 2 años. Si puede hacer depósitos bimestrales vencidos en una cuenta que paga 1.25% efectivo mensual ¿Cuánto deberá depositar cada vez? TEM= 1.25% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

Bimestrales

Hallamos la TE Bimestral: TE= (((1+i)^n)-

1

TEB= ((1+0.0125)^2)-1)*100= 2.515625% 2 2

con la fórmula hallamos el valor a depositar bimestralmente: A=

f

(i)

(((1+i)^n)-1) A= 115000

(0.02515625)

= 8328.634701

(((1+0.02515625)^12)-1)

24. Una casa se puede comprar con 5000 dólares de cuota inicial y 625 dólares al final de cada mes, por los próximos 15 años. Con una TEA del 21%, ¿cuál es el valor presente de la casa? TEA=21% 0 1

2

3

625 625

4

5

625 625 625

6

7

8

175 176 177 178 179

625 625 625

625

625

625

625

625

180 Meses

625

5000

1

Hallamos la TE Mensual: TE= (((1+i)^n)-

TEM= ((1+0.21)^1/12)-1)*100= 1.6011867% 2

Actualizamos con la fórmula y hallamos el valor actual de la casa: P= A (((1+i)^n) - 1) (i

P= 5000 + 625

(((1+0.016011867)^180)-1)

= S/.41,796.59

((0.016011867) ((1+0.016011867)^180) ) 25. El Banco Nacional de Crédito Rural otorga un préstamo a un grupo de campesinos bajo la siguiente forma de desembolso: 20 cuotas trimestrales vencidas de $45000. Encuentre el valor presente del préstamo, si la TNA es del 18% con capitalización mensual 1 20

4500

1

2

3 4 Trimestrales

4500 4500 4500

16

17

18

4500

4500

4500

Hallamos la TE Trimestral: TNA= 18% TEM= 18%/12= 1.5% TET= (((1+i)^n)-

19

4500

4500

TET= (((1+0.015)^3)-1)*100= 4.5678375% 2

V Actualizamos con la fórmula y hallamos el valor actual de la casa: P= 1)

A (((1+i)^n)( i

P= 45000

((1+0.045678375)^20-1) (0.045678375) (1.045678375)^20

= 581931.42