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• Rous Chavez

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ANOVA DE DOS FACTORES: 1) Se tienen cuatro razas de gatos. Se toman tres muestras elegidas al azar de forma que en cada una de ellas hay un gato de cada raza. Se dispone de tres tipos de vitaminas distintas y se administra una de ellas solamente a cada muestra. Se elige como variable de respuesta el peso ganado por cada uno de los gatos, información que se recoge en la tabla.

Razas

Tratamientos Vitamina A

Vitamina B

Vitamina C

1

80

70

82

2

60

32

35

3

90

82

85

4

95

89

78

Con una significancia del 5%, se quiere saber: a) Si la ganancia media de pesos es equivalente para las tres vitaminas b) Si el peso medio ganado es significativamente distinto de una raza a otra SOLUCIÓN: A. Se supone que se cumplen las hipótesis de normalidad, homocedasticidad y elección al azar de las muestras. Se aplica el modelo ANOVA con dos factores de variación sin interacción (cuando el efecto de un factor sobre el peso depende de cual sea el nivel de otro factor): Factor A: Razas Factor B: Vitaminas 

EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS:

H 0: Las tres vitaminas proporcionan una ganancia en peso medio equivalente. H 1: Las ganancias en peso medio proporcionadas por las distintas vitaminas no son iguales

La descomposición de la varianza total sin interacción:  SCT=SCF A + SCF B + SCR

Tratamientos

Razas

Vitamina A

Vitamina B

Vitamina C

1

80

70

82

Total Y 1 • =232

2

60

32

35

Y 2 • =127

3

90

82

85

Y 3 • =257

4

95

89

78

Y 4 • =262

TOTAL

Y 1 • =325

Y 2 • =273

Y 3 • =280

Y •• =878

n=1, G=4, J=3, N=G.J=12 4

3

∑ ∑ Y 2gj=68952− 878 12

2

=68952−64240,333=4711,667

g=1 j=1

SCT = G

∑Y

4

2 i•

2 ••

∑ Y 2i•

Y SCF A = − = g =1 n.J N 3 g=1

Y 2• • 2322 1272 257 2 2622 878 2 − = + + + − 12 3 3 3 3 12

[

]

SCF A =3975 J

∑Y

2 •j

3

2 ••

∑ Y 2• j

Y SCF B = − = j=1 n.G N 4 j=1

Y 2•• 3252 2732 2802 8782 − = + + − 12 4 4 4 12

[

SCF B =64638,5−64240,333=398,167

]

 SCT=SCF A + SCF B + SCR SCR=SCT −SCF A −SCF B =4711,667−3975−398,167=338,5

Fuente de

Suma de

variación

cuadrados

Intergrupos

SCF A =3975

G−1=3

MCF A=

SCF A MCF A =1325F A= =23,486 G−1 MCR

Intersujetos

SCF B =398,167

J−1=2

MCF B=

SCF B MCF B =199,083 F B= =3,529 J −1 MCR

Error

SCR=338,5

( G−1 ) ( J −1 ) =6

MCR=

Total

SCT =4711,667

N−1=11



Grado de Libertad

Media cuadrática

Estadístico

SCR =56,417 ( G−1 )( J −1 ) SCT MCT = =30,773 N −1

El estadístico observado F B=3,529 contrasta si las vitaminas proporcionan o no ganancia

de

peso

medio

en

los

gatos.

El

estadístico

teórico

F 0.005; ( J−1) ;(G−1)(J −1)=F 0.05; 2;6 =5,1433 

Siendo F B=3,529< 5,1433=F 0,05; 2; 6 → Se acepta la hipótesis nula de que no hay diferencia de ganancia de pesos debido a las vitaminas.

 Para contrastar si el peso medio ganado es significativamente distintos por razas, se establece el contraste: H 0: El peso medio ganado es independiente de las razas H 1 : medio ganado depende de las razas

El peso



El estadístico observado F A=23,486 contrasta si las proporcionan o no ganancia

de

peso

medio

en

los

gatos.

El

estadístico

teórico

F 0.005; ( G−1) ;(G −1)(J −1) =F0.05 ;3 ;6 =4,7571 

Como F A=23,486< 4,7571=F 0,05 ;3 ;6 → Se rechaza la hipótesis nula de que no hay diferencia de ganancia de pesos debido a las razas, concluyendo que el peso medio ganado depende de la raza de los gatos.

 De la fuente, S. (2016). Análisis de varianza. Departamento de Economía de Aplicada y empresarial de la Universidad Autónoma de Madrid: España. Recuperado

de:

http://www.estadistica.net/ECONOMETRIA/ANALISIS-

VARIANZA/analisis-varianza.pdf 2) Se usaron tres clases de gasolina en cuatro marcas de automóviles. ¿Indican los valores de la tabla(kilómetros recorridos por litro) una diferencia significativa entre las clases de gasolina?. ¿Y entre las marcas de automóviles? .Significancia del 5%.

Gasolina

Automóviles A1

A2

A3

G1

6,290

6,460

6,418

A4 6,205

G2

6,503

6,290

7,225

6,843

G3

7,310

7,183

7,438

7,055

SOLUCIÓN: A. Se supone que se cumplen las hipótesis de normalidad, homocedasticidad y elección al azar de las muestras. Se aplica el modelo ANOVA con dos factores de variación sin interacción (cuando el efecto de un factor sobre el peso depende de cual sea el nivel de otro factor): Factor A: Tipos de gasolina Factor B: Marcas de automóviles

 Para analizar si existe diferencia significativa entre los clases de gasolina, se establece el contraste de hipótesis: H 0: No hay diferencia significativa entre los efectos medios de las distintas gasolinas H 1: Si hay diferencia significativa entre los efectos medios de las distintas gasolinas  Para analizar si existe diferencia significativa entre los efectos medios producidos por las distintas marcas de automóviles, se establece el contraste: H ¿0: No hay diferencia significativa entre los efectos medios de las distintas ¿ gasolinas H 1: Si hay diferencia significativa entre los efectos medios de las

distintas gasolinas  La descomposición de la varianza total sin interacción:  SCT=SCF A + SCF B + SCR

Gasolin

Automóviles 6,418

A4 6,205

Total Y 1 • =25,373

6,290

7,225

6,843

Y 2 • =26,861

7,310

7,183

7,438

7,055

Y 3 • =28,986

Y 1 • =20,103

Y 2 • =19,933

Y 3 • =21,081

Y 4 • =20,103

Y •• =81,22

a

A1

A2

A3

G1

6,290

6,460

G2

6,503

G3 TOTAL

n=1, G=3, J=4, N=G.J=1 4

3

2

SCT=∑ ∑ Y gj − g=1 j=1

Y 2•• 81,222 =551,997− =551,997−549,724=2,273 N 12

G

∑ Y 2i •

3.

2 ••

∑ Y 2i•

Y SCF A = − = g =1 n.J N 4 g=1

SCF A =1,649

Y 2• • 25,3732 26,8612 28,9862 8782 − = + + − 12 4 4 4 12

[

]

J

∑ Y 2• j

4

2 ∑ Y 2• j Y 2 20,1032 19,9332 21,0812 20,1032 8782 Y SCF B = j=1 − •• = j=1 − •• = + + + − n.G N 3 12 3 3 3 3 12

[

]

SCF B =549,998−549,724=0,274 Fuente de

Suma de

variación

cuadrados

Intergrupos

SCF A =1,649

G−1=2

MCF A=

SCF A MCF A =0,824 F A= =14,108 G−1 MCR

Intersujetos

SCF B =0,274

J−1=3

MCF B=

SCF B MCF B =0,091 F B= =1,563 J −1 MCR

Error

SCR=0,351

( G−1 ) ( J −1 ) =6

MCR=

Total

SCT =2,273

N−1=11

Grado de Libertad

Media cuadrática

Estadístico

SCR =0,058 ( G−1 )( J −1 ) SCT MCT = =0,207 N −1

 ¿Existe diferencia significativa entre las clases de gasolina? Estadístico observado o empírico:

F A=

MCF A =14,108 MCR

Estadístico teórico: F α ; ( G−1) ;(G −1)(J −1 )=F 0.05;2 ;6 =5,1433

Siendo

F A=14,108