• Author / Uploaded
• anon_104953496

Citation preview

ÁNGULOS VERTICALES ÁNGULO VERTICAL: Se llama así a aquellos ángulos que están contenidos en un plano vertical. Los ángulos verticales son determinados en el instante en el cual se realiza una observación, estos ángulos se determinan en el punto desde el cual se está observando entre dos líneas imaginarias trazadas por dicho punto y que permitirán la observación; según su ubicación estos ángulos serán ángulos de elevación, ángulos de depresión o ángulos de observación.

“” “”es eselelángulo ángulode de elevación elevación

Visual Visual



hh

A 300m de la base de un edificio se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30°. Calcular la altura del edificio. A) 50 m B) 50 3 m C) 25 m D) 25 3 m E) 100 3 m

2.

Una persona de 3 m de estatura está a una distancia de 3 m de un muro que es visto por un ángulo de observación de 90°. Calcular la altura del muro. A) 3 3 B) 4 3 C) 5 3 D) 6 3 E) 7 3

3.

Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 100 m, el ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro. A) 50 m B) 50 3 m C) 25 m D) 25 3 m E) 100 3 m

4.

Un reflector, situado al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 30°. Si trasladamos el reflector 2m más cerca del monumento, éste se ve bajo un ángulo de 45°. Calcular la altura del monumento. A) ( 3  1)m B) ( 3  1 )m

Horizontal Horizontal

Visual Visual

Nivel Niveldel del suelo suelo

1.

“” “”es eselelángulo ángulode de depresión depresión

Visual Visual “” “”es eselelángulo ángulode de observación observación



C) E)

Si por una línea horizontal que pasa por el pie de un árbol observan dos campesinos la parte superior de éste con ángulos de elevación uno doble del otro. Calcular la altura del árbol si la tangente del menor ángulo de elevación es 0,5 y la distancia que separa a los campesinos es 10 m. A) 6 m B) 7 m C) 8 m D) 9 m E) 10 m

7.

Dos ciudades A y B separadas uno de otra 169m desde un avión en el mismo plano de ambas ciudades, se observa a éstas cuando el avión está entre ambas con ángulo de depresión complementarios. Si la tangente de uno de ellos es 24, calcular la altura desde donde se hizo la observación. A) 50 m B) 60 m C) 70 m D) 80 m E) 90 m

8.

Desde un punto en el suelo se observa la azotea de un edificio con ángulo de elevación de 37° y la parte superior de un tanque de agua que está sobre la azotea con un ángulo de 53°. Hallar la longitud del

VISUAL: Es la línea imaginaria que va desde el punto de observación al objeto que se observa. Los ángulos de elevación y depresión, son ángulos agudos. 0°    90° 0°    90°



El ángulo de observación puede ser obtuso. 0°    180°

PROBLEMAS

2 )m

6.





(3 

Un salvavidas desde su puesto de vigilancia ubicado a orillas del mar y a una altura de 12 m observa con un ángulo de depresión de 37° a un bañista en dificultades. ¿Con qué velocidad como mínimo debe nadar el salvavidas si solo cuenta con 8 segundos para llegar de la orilla al bañista? Dar la respuesta en m/s A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

CONSIDERACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS

NOTA:

D)

3) m

5. Visual Visual

La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos.  Toda persona u objeto que posea una altura, será considerada perpendicular al nivel del suelo, a no ser que se indique otra situación.  De no indicarse desde qué altura se realiza la observación y no siendo esta altura la incógnita del problema, se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo.

( 2  2)m (4 

tanque si el punto de observación se encuentra a 24m de la base del edificio. A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 9.

Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15°, acercándose 36 m, hacia el edificio el nuevo ángulo es el doble del anterior. Calcular la altura del edificio. A) 16 B) 18 C) 19 D) 17 E) 20

10. Desde lo alto de un acantilado se observan dos objetos a nivel del mar con ángulos de depresión  y  ( > ). Si la distancia entre dichos objetos es “d”, cuál es la altura del acantilado, si: ctgβ  ctgα  2

el suelo, hallar la separación entre Jaime y Carlos si ambos se encuentran a un mismo lado del edificio. A) 10 m B) 15 m C) 21 m D) 25 m E) 30 m 18. Un niño de 1,5 m de altura se encuentra a 30 m de distancia del pie de un edificio y observa su parte superior con un ángulo de elevación “” si se aleja 30 m el nuevo ángulo de elevación es “”; si Tgα  Tgβ  0,3 , calcular la altura del edificio. A) 5,5 B) 6,5 C) 6,0 D) 7,5 E) 8,0 TAREA 1.

Dos helicópteros de combate se encuentran a 400 m y 300 m de altura respectivamente; si desde el helicóptero más alto, se observa un tanque enemigo que se encuentra entre ellos, con un ángulo de depresión de 53°, a su vez desde el tanque se observa el otro helicóptero con un ángulo de elevación de 37°, calcular la cosecante del ángulo de elevación con que observaría desde un helicóptero al otro. A) 2 3 B) 3 2 C) 4 3 D) 5 2 E) 4 2

12. Desde la parte superior de un poste se observan los puntos M y N (en un mismo plano horizontal) con ángulos de depresión de 45° y 37° respectivamente. Calcular la máxima distancia entre los puntos, si la altura del poste es de 12 m. A) 18 m B) 24 m C) 20 m D) 16 m E) 28 m

2.

Calcular el ángulo de elevación con que se ve la cúspide de una torre de 12 m, sabiendo que acercándose 7 m hacia ella su cúspide se observa con un ángulo de elevación que es el complemento del anterior. A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°

13. Una hormiga que se encuentra entre dos árboles de 4m y 3m cada uno observa sus puntos más elevados con ángulo de 53° y 37° respectivamente. Hallar la distancia entre dichos puntos. A) 3 2m B) 4 m C) 5 2m D) 3 3m E) 5 m

3.

Un ovni vuela haciendo un recorrido tal que al ser observado desde dos puntos A y B, separados una distancia de 250 m uno del otro los ángulos de elevación generados sean complementarios en todo instante. Hallar la altura máxima que alcanzará el ovni. A) 80 m B) 100 m C) 125 m D) 150 m E) 200 m

4.

Desde la parte superior de un edificio de 120 m de altura se observa la parte superior de un poste y su base con ángulos de depresión de 37° y 45° respectivamente. Calcular la altura del poste. A) 90 m B) 80 m C) 60 m D) 50 m E) 30 m

5.

Un niño sujeta una cometa con una cuerda totalmente tensa, la cuerda forma con la horizontal un ángulo de 45°; a una distancia de 140 m del niño se encuentra un edificio de 60 m de altura y desde la azotea se observa la cometa con un ángulo de elevación ““. Si la cuerda mide 100 2 m, calcular “” A) 30° B) 37° C) 60° D) 45° E) 53°

A) d D)

B) 2d

d

E)

3

C)

d 2

3d

11. Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado, dos barcos anclados; con ángulos de depresión de 53° y 37°, si los barcos están separados una distancia igual a 28 m, ¿cuál es la altura del faro? A) 44 B) 46 C) 50 D) 48 E) 52

14. Andrea se encuentra a 20 m del pie de un poste y observa con un ángulo de elevación de 37°, su parte más alta, ¿cuál es la altura del poste? A) 5 m B) 10 m C) 15 m D) 20 m E) 25 m 15. Un estudiante observa a la luna llena con un ángulo de observación de , constituido por dos visuales. Hallar la distancia de esta visual, si el radio de la Luna es r. A) D)

rCos rCtg

θ 2 θ 2

B) E)

rSen rCsc

θ 2

C)

rTg

θ 2

θ 2

16. Un niño observa la parte superior de su colegio con un ángulo de elevación “” y la parte más baja con un ángulo de depresión “”; y una línea visual de longitud “k”. Hallar la altura del colegio. A) (Senθ  Cosθ Tg )k B) C) D) E)

(Cos  TgSen )k (Senθ  Cos ) k (Senα  Cos ) (Senα  Tg )

17. María se encuentra sobre un edificio de 36 m y es observada por Jaime desde el suelo con un ángulo de elevación de 53°, ella a su vez observa a Carlos con un ángulo de depresión de 37° quien se encuentra en